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第二节　等差数列
课标解读 考向预测
1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系. 预计2025年高考将会从以下两个角度来考查：(1)等差数列及其前n项和的基本运算与性质；(2)等差数列的综合应用，可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查，难度中档.
【知识梳理】
1．等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b．
提醒：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列 an＋1＋an－1＝2an(n≥2)．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d．
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，则
①等间距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋(n－1)t，…为等差数列，公差为td；
②等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为m2d；
③算术平均值，，，…，即数列为等差数列，公差为.
(3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝；
若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(其中p，q为常数)也是等差数列．
【常用结论】
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数．(　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)等差数列{an}的前n项和Sn＝.(　　)
(4)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．小题热身
(1)(2023·福建福州质检)在等差数列{an}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝(　　)
A．10 B．20
C．25 D．30
答案　C
解析　等差数列{an}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25.故选C.
(2)(北师大版选择性必修第二册2.2 练习3(2)改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝(　　)
A．31 B．32
C．33 D．34
答案　B
解析　解法一：由S5＝5a3＝30，得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝＝＝＝32.故选B.
解法二：设等差数列{an}的公差为d，由得∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.故选B.
(3)(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．
答案　2
解析　由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
(4)(人教A选择性必修第二册4.2.2例8改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
答案　820
解析　设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820.
(5)已知数列{an}为等差数列，a2＋a8＝8，则a1＋a5＋a9＝________．
答案　12
解析　a1＋a9＝a2＋a8＝2a5＝8，则a5＝4，所以a1＋a5＋a9＝3a5＝12.
【考点探究】
考点一　等差数列基本量的运算
例1 (1)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案　C
解析　公差d＝＝＝2，又Sn＝64，所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2＝64，解得n＝8(负值舍去)．故选C.
(2)(2024·皖南八校开学考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a5＝－10，S6＝－42，则S10＝(　　)
A．6 B．10
C．12 D．20
答案　B
解析　设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a5＝2a1＋6d＝－10，S6＝6a1＋15d＝－42，解得a1＝－17，d＝4，所以S10＝10a1＋45d＝－170＋45×4＝10.故选B.
(3)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
答案　C
解析　设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝24，S9＝99，所以即解得所以a7＝a1＋6d＝3＋12＝15.故选C.
【通性通法】
等差数列基本量运算的思想方法
方程思想 等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”
整体思想 当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解
等价转化思想 运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程
【巩固迁移】
1．(2023·陕西部分名校高三下仿真模拟)在等差数列{an}中，a3＋a7＝a8＝16，则{an}的公差d＝(　　)
A． B．3
C． D．4
答案　A
解析　因为a3＋a7＝a8＝2a5＝16，所以a8－a5＝3d＝8，则d＝.故选A.
2．(2023·湖南名校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a7－a11＝4，则S5＝(　　)
A．15 B．20
C．25 D．30
答案　B
解析　设等差数列{an}的公差为d，则2(a1＋6d)－(a1＋10d)＝a1＋2d＝4，所以S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5×4＝20.故选B.
考点二　等差数列的性质及其应用(多考向探究)
考向1等差数列项的性质
例2 (1)(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　)
A．120 B．140
C．160 D．180
答案　C
解析　因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8(a5＋a12)＝160.故选C.
(2)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＝3(a3＋a5＋am)，则m＝(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
答案　C
解析　因为S9＝9a5，所以9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以a3＋a5＋am＝3a5，即a3＋am＝2a5，所以m＝7.故选C.
【通性通法】
等差数列项的性质的关注点
关注点一 项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq
关注点二 等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质
关注点三 项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合
【巩固迁移】
3．(2024·河南杞县模拟)已知项数为n的等差数列{an}的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n＝(　　)
A．48 B．36
C．30 D．26
答案　B
解析　由题意知a1＋a2＋…＋a6＝10，an＋an－1＋…＋an－5＝110，两式相加得6(a1＋an)＝120，所以a1＋an＝20，又＝360，所以n＝36.故选B.
4．(多选)(2023·山东淄博调研)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各项为定值的是(　　)
A．a7 B．a8
C．S13 D．S15
答案　AC
解析　由题意知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7是定值，∴S13＝＝13a7，是定值．故选AC.
考向2等差数列前n项和的性质
例3 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15＝(　　)
A．35 B．42
C．49 D．63
答案　B
解析　解法一：由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42.故选B.
解法二：∵{an}为等差数列，∴也为等差数列，∴＝＋，∴S15＝42.故选B.
(2)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　)
A．28 B．29
C．30 D．31
答案　B
解析　设等差数列{an}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.
【通性通法】
熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合理运用．
【巩固迁移】
5．(2024·安徽蚌埠二中阶段考试)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，－＝6，则S2023＝________．
答案　8092
解析　由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1，所以＝＋2022d＝－2018＋2022＝4，所以S2023＝8092.
6．(2023·广东湛江模拟)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn.若＝，则＝________；若＝，则＝________．
答案　　
解析　若＝，则＝＝＝.若＝＝，则可设Sn＝(2n2－n)k，Tn＝(3n2＋n)k，所以a5＝S5－S4＝45k－28k＝17k，b4＝T4－T3＝52k－30k＝22k，所以＝.
考向3等差数列前n项和的最值问题
例4 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15.求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
解　解法一(函数法)：因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－，
Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－＋.
因为n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
解法二(邻项变号法——利用单调性)：
因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－，an＝20＋(n－1)×
＝－n＋.
因为a1＝20>0，d＝－<0，
所以数列{an}是递减数列．
由an＝－n＋≤0，
得n≥13，即a13＝0.
当n≤12时，an＞0；当n≥14时，an＜0.
所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
解法三：(邻项变号法——利用性质)：
由S10＝S15得S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，所以5a13＝0，
即a13＝0.
又d＝＝－，
所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
【通性通法】
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
邻项变号法 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，即可求出最值 (1)当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm； (2)当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm
利用等差数列的性质，求出其正负转折项，即可求得最值
函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数的最值的方法求解
【巩固迁移】
7．(多选)(2023·济宁模拟)设等差数列{an}的公差为d，前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列说法正确的是(　　)
A．a1>0，d<0
B．a7＋a8>0
C．S6与S7均为Sn的最大值
D．a8<0
答案　ABD
解析　因为S14>0，S15<0，所以S14＝＝7(a1＋a14)＝7(a7＋a8)>0，即a7＋a8>0，因为S15＝＝15a8<0，所以a8<0，所以a7>0，所以等差数列{an}的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a1>0，d<0，S7为Sn的最大值．故选ABD.
8．(2024·陕西省洛南中学高三月考)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝35，a2＋a3＋a4＝39，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
答案　7
解析　解法一：设数列{an}的公差为d，则由题意得解得则Sn＝19n＋×(－3)＝－n2＋n＝－＋.又n∈N*，∴当n＝7时，Sn取得最大值．
解法二：设等差数列{an}的公差为d.∵a2＋a3＋a4＝3a3＝39，∴a3＝13，∴2a3－S2＝(a3－a2)＋(a3－a1)＝3d＝－9，解得d＝－3，则an＝a3＋(n－3)d＝22－3n，令解得≤n≤，又n∈N*，∴n＝7，即数列{an}的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当Sn取得最大值时，n＝7.
考点三　等差数列的判定与证明
例5 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解　选择条件①③ ②.
已知数列{an}是等差数列，a2＝3a1，设数列{an}的公差为d，
则a2＝3a1＝a1＋d，所以d＝2a1.
因为Sn＝na1＋d＝n2a1，
所以＝n(a1>0)，所以－＝(n＋1)－n＝(常数)．
所以数列{}是等差数列．
选择条件①② ③.
已知数列{an}是等差数列，数列{}是等差数列，设数列{an}的公差为d，
则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，
因为数列{}是等差数列，
所以＋＝2，即＋＝2，
化简整理得d＝2a1.所以a2＝a1＋d＝3a1.
选择条件②③ ①.
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，设数列{}的公差为d，
所以－＝d，即－＝d.
所以a1＝d2，＝＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2.
所以an＝Sn－Sn－1＝2d2n－d2(n≥2)．
又a1＝d2也适合该通项公式，
所以an＝2d2n－d2(n∈N*)．
an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，
所以数列{an}是等差数列．
【通性通法】
等差数列的判定与证明的常用方法
判定方法 定义法 对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数
等差中项法 对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1
通项公式法 对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)
前n项和公式法 对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)
证明方法 定义法 对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数
等差中项法 对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1
【巩固迁移】
9．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．
解　(1)设{an}的公差为d.
∵{an}为等差数列，
∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，
∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，
又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13.
∴∴∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n＋×4＝2n2－n，假设存在常数k，使得数列{}为等差数列．
由＋＝2，
得＋＝2，解得k＝1.
∴＝＝n，
当n≥2时，n－(n－1)＝，为常数，
∴数列{}为等差数列．
故存在常数k＝1，使得数列{}为等差数列．
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第二节　等差数列
课标解读 考向预测
1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系. 预计2025年高考将会从以下两个角度来考查：(1)等差数列及其前n项和的基本运算与性质；(2)等差数列的综合应用，可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查，难度中档.
【知识梳理】
1．等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b．
提醒：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列 an＋1＋an－1＝2an(n≥2)．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d．
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，则
①等间距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋(n－1)t，…为等差数列，公差为td；
②等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为m2d；
③算术平均值，，，…，即数列为等差数列，公差为.
(3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝；
若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(其中p，q为常数)也是等差数列．
【常用结论】
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数．(　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)等差数列{an}的前n项和Sn＝.(　　)
(4)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等．(　　)
2．小题热身
(1)(2023·福建福州质检)在等差数列{an}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝(　　)
A．10 B．20
C．25 D．30
(2)(北师大版选择性必修第二册2.2 练习3(2)改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝(　　)
A．31 B．32
C．33 D．34
(3)(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．
(4)(人教A选择性必修第二册4.2.2例8改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
(5)已知数列{an}为等差数列，a2＋a8＝8，则a1＋a5＋a9＝________．
【考点探究】
考点一　等差数列基本量的运算
例1 (1)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)(2024·皖南八校开学考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a5＝－10，S6＝－42，则S10＝(　　)
A．6 B．10
C．12 D．20
(3)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7＝(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
【通性通法】
等差数列基本量运算的思想方法
方程思想 等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”
整体思想 当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解
等价转化思想 运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程
【巩固迁移】
1．(2023·陕西部分名校高三下仿真模拟)在等差数列{an}中，a3＋a7＝a8＝16，则{an}的公差d＝(　　)
A． B．3
C． D．4
2．(2023·湖南名校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a7－a11＝4，则S5＝(　　)
A．15 B．20
C．25 D．30
考点二　等差数列的性质及其应用(多考向探究)
考向1等差数列项的性质
例2 (1)(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　)
A．120 B．140
C．160 D．180
(2)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＝3(a3＋a5＋am)，则m＝(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
【通性通法】
等差数列项的性质的关注点
关注点一 项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq
关注点二 等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质
关注点三 项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合
【巩固迁移】
3．(2024·河南杞县模拟)已知项数为n的等差数列{an}的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n＝(　　)
A．48 B．36
C．30 D．26
4．(多选)(2023·山东淄博调研)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各项为定值的是(　　)
A．a7 B．a8
C．S13 D．S15
考向2等差数列前n项和的性质
例3 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15＝(　　)
A．35 B．42
C．49 D．63
(2)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　)
A．28 B．29
C．30 D．31
【通性通法】
熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合理运用．
【巩固迁移】
5．(2024·安徽蚌埠二中阶段考试)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，－＝6，则S2023＝________．
6．(2023·广东湛江模拟)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn.若＝，则＝________；若＝，则＝________．
考向3等差数列前n项和的最值问题
例4 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15.求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
【通性通法】
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
邻项变号法 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，即可求出最值 (1)当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm； (2)当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm
利用等差数列的性质，求出其正负转折项，即可求得最值
函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数的最值的方法求解
【巩固迁移】
7．(多选)(2023·济宁模拟)设等差数列{an}的公差为d，前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列说法正确的是(　　)
A．a1>0，d<0
B．a7＋a8>0
C．S6与S7均为Sn的最大值
D．a8<0
8．(2024·陕西省洛南中学高三月考)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝35，a2＋a3＋a4＝39，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
考点三　等差数列的判定与证明
例5 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【通性通法】
等差数列的判定与证明的常用方法
判定方法 定义法 对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数
等差中项法 对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1
通项公式法 对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)
前n项和公式法 对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)
证明方法 定义法 对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数
等差中项法 对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1
【巩固迁移】
9．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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