资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第三节　等比数列
课标解读 考向预测
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 预计2025年高考会从以下两个角度来考查：(1)等比数列及其前n项和的基本运算与性质，可能与等差数列综合出题，难度较小；(2)等比数列的综合应用，可能与函数、方程、不等式结合考查，难度中档.
【知识梳理】
1．等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝ab．
提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数．
(3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同．
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有akal＝aman．
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn．
【常用结论】
1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数．
6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}(c>0，c≠1)为等差数列．
8．若{an}为等差数列，则{can}(c>0，c≠1)为等比数列．
9．若{an}既是等差数列又是等比数列 {an}是非零常数列．
10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm qn＝(q为公比)．
11．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(2)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)
(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．小题热身
(1)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
答案　C
解析　设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，则解得所以a3＝a1q2＝4.故选C.
(2)若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，则b＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．0
答案　C
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，{an}是等比数列．当b≠－1时，a1不适合an＝2·3n－1，{an}不是等比数列．故选C.
(3)(人教A选择性必修第二册4.3.1练习T2改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　)
A．5 B．±5
C．4 D．±4
答案　C
解析　∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.又a5＝a3q2＞0，∴a5＝4.故选C.
(4)(人教A选择性必修第二册4.3.2练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．
答案　1，3，9或9，3，1
解析　设这三个数为，a，aq，则解得或∴这三个数为1，3，9或9，3，1.
【考点探究】
考点一　等比数列基本量的运算
例1 (1)(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)
A． B．
C．15 D．40
答案　C
解析　由题意知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题意知q＞0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
(2)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为(　　)
A． B．－3
C．－ D．－3或
答案　D
解析　由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，所以a2＝＝或－3.故选D.
【通性通法】
等比数列基本量运算的解题策略
方程思想 等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”
整体思想 当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解
分类讨论思想 若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论
【巩固迁移】
1．(2024·福建泉州中学阶段考试)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案　B
解析　解法一：设等比数列{an}的公比为q，则由解得所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n.故选B.
解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n.故选B.
2．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
答案　－
解析　若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不符合题意，所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－.
考点二　等比数列的性质及其应用(多考向探究)
考向1等比数列项的性质
例2 (1)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知0答案　9
解析　由T12＝T6，得＝1，即a7a8a9a10a11a12＝(a9a10)3＝1，故a9a10＝1，因为a1a18＝a9a10，则a1a18＝1，由于01，所以等比数列{an}是递增数列，故0(2)(2023·湖南师大附中模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝，a4a5＝－，则＋＋＋＋＋＋＋＝________．
答案　－6
解析　＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋，∵在等比数列{an}中，a4a5＝－，则a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝－，∴原式＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8)＝－×＝－6.
【通性通法】
利用项的性质的解题策略
策略一 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a”，可以减少运算量，提高解题速度
策略二 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用
【巩固迁移】
3．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
答案　B
解析　∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4，又a2am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.故选B.
4．(2023·北京东城区模拟)设等比数列{an}满足a1＋a2＝48，a4＋a5＝6，则公比q＝________，log2(a1a2a3…an)的最大值为________．
答案　　15
解析　因为a1＋a2＝48，所以由a4＋a5＝6，可得q3(a1＋a2)＝6，q3＝，q＝.由a1＋a2＝48，可得a1＋a1＝48 a1＝32，所以an＝32·＝26－n，log2(a1a2a3…an)＝log2(25·24·…·26－n)＝log22＝，因为＝－＋，n∈N*，所以n＝5或6时，有最大值，为15.
考向2等比数列前n项和的性质
例3 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)
A．120 B．85
C．－85 D．－120
答案　C
解析　解法一：设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1；由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×　①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C.
解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，与S4＝－5矛盾，舍去．故选C.
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
答案　2
解析　由题意，得解得所以q＝＝＝2.
【通性通法】
等比数列的性质分类
类型一 通项公式的变形
类型二 等比中项的变形
类型三 前n项和公式的变形
提醒：应用时根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
【巩固迁移】
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝t·2n－1－1，则t＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
答案　A
解析　设等比数列的公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，不符合题意；当q≠1时，等比数列的前n项和公式为Sn＝＝－·qn＋，依题意Sn＝t·2n－1－1＝t·2n－1，即t＋(－1)＝0，解得t＝2.故选A.
6．(2024·湖南岳阳一中月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________．
答案　20
解析　在正项等比数列{an}中，Sn>0，因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，所以S12－S8＝＝＋S4＋10≥2＋10＝20(当且仅当S4＝5时取等号)．因为a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.
考向3等比数列前n项和最值问题
例4 (多选)(2024·河北涿州模拟)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2023a2024＞1，＜0，下列结论正确的是(　　)
A．S2023＜S2024
B．a2023a2025－1＜0
C．T2024是数列{Tn}中的最大项
D．数列{Tn}无最大项
答案　AB
解析　当q＜0时，a2023a2024＝aq＜0，与已知矛盾；当q≥1时，a2023＞1，a2024＞1，＞0，与已知矛盾，故0＜q＜1，且a2023＞1，0＜a2024＜1，故S2024＞S2023，A正确；a2023a2025－1＝a－1＜0，B正确；T2023是数列{Tn}中的最大项，C，D错误．故选AB.
【通性通法】
涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响．
【巩固迁移】
7．(2023·安徽安庆模拟)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若q>0，则的最小值是________．
答案　2－1
解析　由题意知，＝＝＝＝q＋1＋－1，又q>0，则q＋1＋－1≥2－1，当且仅当q＝－1时，等号成立．即的最小值是2－1.
考点三　等比数列的判定与证明
例5 Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)易知q≠1，
由题意可得解得
∴an＝3n－1，Sn＝＝.
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，
∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，
解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，
则＝＝3，
故存在常数λ＝，使得数列是以为首项，3为公比的等比数列．
【通性通法】
等比数列的判定与证明的方法
提醒：(1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法与等比中项法，判断一个数列是等比数列，有通项公式法及前n项和公式法，只用于选择题、填空题中的判定．
(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可．
(3)判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.
(4)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证．
【巩固迁移】
8．(2024·江西抚州一中质检)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn，2bn＋1＝an＋bn.
(1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＜.
证明　(1)依题意
①＋②，得an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
又a1＋b1＝≠0，
∴{an＋bn}是首项为，公比为的等比数列，
①－②，得an＋1－bn＋1＝(an－bn)．
又a1－b1＝≠0，
∴{an－bn}是首项为，公比为的等比数列．
(2)由(1)得，an＋bn＝×，　③
an－bn＝×， ④
③＋④得，an＝＋，
故Sn＝＋＝－－＜.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第三节　等比数列
课标解读 考向预测
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 预计2025年高考会从以下两个角度来考查：(1)等比数列及其前n项和的基本运算与性质，可能与等差数列综合出题，难度较小；(2)等比数列的综合应用，可能与函数、方程、不等式结合考查，难度中档.
【知识梳理】
1．等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝ab．
提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数．
(3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同．
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有akal＝aman．
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn．
【常用结论】
1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数．
6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}(c>0，c≠1)为等差数列．
8．若{an}为等差数列，则{can}(c>0，c≠1)为等比数列．
9．若{an}既是等差数列又是等比数列 {an}是非零常数列．
10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm qn＝(q为公比)．
11．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(2)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)
(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)
2．小题热身
(1)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
(2)若等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，则b＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．0
(3)(人教A选择性必修第二册4.3.1练习T2改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　)
A．5 B．±5
C．4 D．±4
(4)(人教A选择性必修第二册4.3.2练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．
【考点探究】
考点一　等比数列基本量的运算
例1 (1)(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)
A． B．
C．15 D．40
(2)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为(　　)
A． B．－3
C．－ D．－3或
【通性通法】
等比数列基本量运算的解题策略
方程思想 等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”
整体思想 当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解
分类讨论思想 若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论
【巩固迁移】
1．(2024·福建泉州中学阶段考试)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n.故选B.
2．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
考点二　等比数列的性质及其应用(多考向探究)
考向1等比数列项的性质
例2 (1)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知0(2)(2023·湖南师大附中模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝，a4a5＝－，则＋＋＋＋＋＋＋＝________．
【通性通法】
利用项的性质的解题策略
策略一 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a”，可以减少运算量，提高解题速度
策略二 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用
【巩固迁移】
3．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
4．(2023·北京东城区模拟)设等比数列{an}满足a1＋a2＝48，a4＋a5＝6，则公比q＝________，log2(a1a2a3…an)的最大值为________．
考向2等比数列前n项和的性质
例3 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)
A．120 B．85
C．－85 D．－120
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
【通性通法】
等比数列的性质分类
类型一 通项公式的变形
类型二 等比中项的变形
类型三 前n项和公式的变形
提醒：应用时根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
【巩固迁移】
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝t·2n－1－1，则t＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
6．(2024·湖南岳阳一中月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________．
考向3等比数列前n项和最值问题
例4 (多选)(2024·河北涿州模拟)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2023a2024＞1，＜0，下列结论正确的是(　　)
A．S2023＜S2024
B．a2023a2025－1＜0
C．T2024是数列{Tn}中的最大项
D．数列{Tn}无最大项
【通性通法】
涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响．
【巩固迁移】
7．(2023·安徽安庆模拟)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若q>0，则的最小值是________．
考点三　等比数列的判定与证明
例5 Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【通性通法】
等比数列的判定与证明的方法
提醒：(1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法与等比中项法，判断一个数列是等比数列，有通项公式法及前n项和公式法，只用于选择题、填空题中的判定．
(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可．
(3)判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.
(4)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证．
【巩固迁移】
8．(2024·江西抚州一中质检)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn，2bn＋1＝an＋bn.
(1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＜.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑