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微专题(七) 解决解析几何问题常用的几种方法
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题．
类型一　共线问题转化法
解决圆锥曲线中的三点共线问题通常用转化法．
例1　(2024·福建泉州实验中学段考)点F是抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线Γ交于A，B两点，|AB|＝4，抛物线Γ的准线与x轴交于点K.
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)设C，D是抛物线Γ上异于A，B两点的两个不同的点，直线AC与BD交于点E，直线AD与BC交于点G，证明：E，K，G三点共线．
解析几何证明三点共线的方法
(1)直接证明其中一点在过另两点的直线上．
(2)证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等．
(3)证明过其中一点和另两点所连两个向量共线．
1．(2024·广东花都调研)已知动点M在圆x2＋y2＝3上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝，点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)已知点F(－，0)，设A，B是曲线C上的两点，直线AB与曲线x2＋y2＝1(x<0)相切．证明：A，B，F三点共线的充要条件是|AB|＝.
类型二　垂直关系转化法
解决圆锥曲线中的垂直关系问题通常是转化为斜率之间的关系或向量的数量积．
例2　双曲线C：x2－y2＝2右支上的弦AB过右焦点F.
(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)是否存在以AB为直径，且过原点O的圆？若存在，求出直线AB的斜率k的值；若不存在，请说明理由．
将以AB为直径的圆经过原点转化为OA⊥OB，利用·＝0求解是解决本题的关键．
2．(2024·河南平许济洛质检一)已知抛物线C：x2＝－4y，直线l垂直于y轴，与C交于M，N两点，O为坐标原点，过点N且平行于y轴的直线与直线OM交于点P，记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)点A在直线y＝－1上运动，过点A作曲线E的两条切线，切点分别为P1，P2，在平面内是否存在定点B，使得AB⊥P1P2？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三　对称关系转化法
对称关系转化法有：将角的关系转化为直线斜率之间的关系，将两条直线的对称关系转化为它们斜率之间的关系等．
例3　(2024·辽宁抚顺模拟)已知动点M到定点F(1，0)的距离与到定直线x＝2的距离之比为.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2) k∈R，曲线C上是否始终存在两点A，B关于直线y＝kx＋b对称？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数将几何问题转化为代数问题求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点关于直线对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
3．(2023·山东临沂模拟)如图，已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|＝16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四　设而不求法
设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．由于设而不求法在解答题中比较常见，而且前面也已经讲了很多，所以在这里以小题为例进行讲解．
例4　(2023·东北三省四城市联考暨沈阳二模)已知椭圆C：＋＝1(a>)的离心率为，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的最小值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
(1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．
4．(2024·福建诊断性检测)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为，则|AB|＝(　　)
A． B．4
C．8 D．24
类型五　整体换元法
变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．整体换元法常用于求解最值、范围问题．
例5　设双曲线C：－y2＝1，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求直线l的倾斜角θ的取值范围；
(2)直线AO(O为坐标原点)与双曲线C的另一个交点为D，求△ABD面积的最小值，并求此时直线l的方程．
通过整体换元法，可以降低求解难度，但要注意新元的取值范围，以保证等价转化，整体换元后，一般利用函数的性质求最值或范围．
5．(2024·湖南岳阳调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，且|PF1|＋|PF2|＝4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C交于M，N两点，以MN为直径的圆过点A，求|AM|·|AN|的最大值．
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微专题(七) 解决解析几何问题常用的几种方法
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题．
类型一　共线问题转化法
解决圆锥曲线中的三点共线问题通常用转化法．
例1　(2024·福建泉州实验中学段考)点F是抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线Γ交于A，B两点，|AB|＝4，抛物线Γ的准线与x轴交于点K.
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)设C，D是抛物线Γ上异于A，B两点的两个不同的点，直线AC与BD交于点E，直线AD与BC交于点G，证明：E，K，G三点共线．
解　(1)抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线Γ交于A，B两点，且|AB|＝4，不妨设A，B，则22＝2p·，
解得p＝2或p＝－2(舍去)，
所以抛物线Γ的方程为y2＝4x.
(2)
如图，由(1)知A(1，2)，B(1，－2)，K(－1，0)，设C，D(y1≠±2，y2≠±2)，则直线AC的方程为y－2＝(x－1)，
y－2＝(x－1)，
直线BD的方程为y＋2＝(x－1)，y＋2＝(x－1)．
联立得
则E，
所以kEK＝
＝＝，
则直线BC的方程为y＋2＝(x－1)，
y＋2＝(x－1)，
直线AD的方程为y－2＝(x－1)，y－2＝(x－1)．
联立得
则G，
所以kGK＝
＝＝，
则kEK＝kGK，所以E，K，G三点共线．
解析几何证明三点共线的方法
(1)直接证明其中一点在过另两点的直线上．
(2)证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等．
(3)证明过其中一点和另两点所连两个向量共线．
1．(2024·广东花都调研)已知动点M在圆x2＋y2＝3上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝，点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)已知点F(－，0)，设A，B是曲线C上的两点，直线AB与曲线x2＋y2＝1(x<0)相切．证明：A，B，F三点共线的充要条件是|AB|＝.
解　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0，0)，＝(0，－y0)，＝(x0－x，－y)，
由＝，可得
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝3上，
所以x2＋(y)2＝3，即＋y2＝1，
所以C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x＝－1，不符合题意；
当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
必要性：
若A，B，F三点共线，可设直线AB：y＝k(x＋)，
即kx－y＋k＝0，
由直线AB与曲线x2＋y2＝1(x<0)相切，可得＝1，
解得k＝±1，
联立可得4x2＋6x＋3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|AB|＝·＝，必要性成立．
充分性：
设直线AB：y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，
由直线AB与曲线x2＋y2＝1(x<0)相切，可得＝1，
所以b2＝k2＋1，
联立可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|AB|＝·＝·＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直线AB：y＝x＋或y＝－x－，
所以直线AB过点F(－，0)，A，B，F三点共线，充分性成立．
所以A，B，F三点共线的充要条件是|AB|＝.
类型二　垂直关系转化法
解决圆锥曲线中的垂直关系问题通常是转化为斜率之间的关系或向量的数量积．
例2　双曲线C：x2－y2＝2右支上的弦AB过右焦点F.
(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)是否存在以AB为直径，且过原点O的圆？若存在，求出直线AB的斜率k的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)．
因为双曲线C：x2－y2＝2的右焦点为F(2，0)，
所以当AB⊥x轴时，x＝2，y＝0；
当AB与x轴不垂直时，x－y＝2，x－y＝2，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
所以x(x1－x2)－y(y1－y2)＝0.
因为kAB＝＝kFM＝，
所以x(x－2)－y·y＝0，即x2－2x－y2＝0.
又点(2，0)满足上式，点A，B在双曲线x2－y2＝2的右支上，
所以x≥2，
故所求中点M的轨迹方程为x2－2x－y2＝0(x≥2)．
(2)假设存在以AB为直径，且过原点O的圆．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当AB⊥x轴时，|AF|≠|OF|，
所以可设lAB：y＝k(x－2)，因为A，B两点都在双曲线右支上，所以k>1或k<－1.
由已知，得OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.(*)
由得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝，
因为x1x2＋y1y2＝－＝≠0，与(*)式矛盾，
所以不存在以AB为直径，且过原点O的圆．
将以AB为直径的圆经过原点转化为OA⊥OB，利用·＝0求解是解决本题的关键．
2．(2024·河南平许济洛质检一)已知抛物线C：x2＝－4y，直线l垂直于y轴，与C交于M，N两点，O为坐标原点，过点N且平行于y轴的直线与直线OM交于点P，记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)点A在直线y＝－1上运动，过点A作曲线E的两条切线，切点分别为P1，P2，在平面内是否存在定点B，使得AB⊥P1P2？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由．
解　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(－x0，y0)，由题意直线l垂直于y轴，与C交于M，N两点，知x0≠0，
过点N且平行于y轴的直线方程为x＝－x0，直线OM的方程为y＝x.
令x＝－x0，得y＝－y0，即P(－x0，－y0)，
由得
因为M在抛物线C上，即x＝－4y0，
则(－x)2＝－4(－y)，化简得x2＝4y.
由题意知O，M不重合，故x≠0，
所以曲线E的方程为x2＝4y(x≠0)．
(2)由(1)知，曲线E的方程为x2＝4y(x≠0)，点A在直线y＝－1上运动，当点A在特殊位置(0，－1)时，两个切点P1，P2关于y轴对称，故要使得AB⊥P1P2，则点B在y轴上．
故设A(m，－1)，B(0，n)，P1，P2，
曲线E的方程为y＝x2(x≠0)，求导得y′＝x，
所以切线AP1的斜率k1＝x1，
直线AP1的方程为y－x＝x1(x－x1)，
又点A在直线AP1上，
所以－1－x＝x1(m－x1)，
整理得x－2mx1－4＝0，
同理可得x－2mx2－4＝0，
故x1和x2是一元二次方程x2－2mx－4＝0的根，
由根与系数的关系，得
·＝·(－m，n＋1)＝(x2－x1)[－4m＋(n＋1)(x2＋x1)]＝(x2－x1)[－4m＋2m(n＋1)]＝m(x2－x1)(n－1)，
当n＝1时，·＝0恒成立，
所以存在定点B(0，1)，使得AB⊥P1P2恒成立．
类型三　对称关系转化法
对称关系转化法有：将角的关系转化为直线斜率之间的关系，将两条直线的对称关系转化为它们斜率之间的关系等．
例3　(2024·辽宁抚顺模拟)已知动点M到定点F(1，0)的距离与到定直线x＝2的距离之比为.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2) k∈R，曲线C上是否始终存在两点A，B关于直线y＝kx＋b对称？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
解　(1)设M(x，y)(x≠2)，
则＝，
即2[(x－1)2＋y2]＝(x－2)2，
整理得＋y2＝1，
所以点M的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)假设曲线C上始终存在两点A，B关于直线y＝kx＋b对称，
当k≠0时，设直线AB的方程为
y＝－x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
整理得x2－x＋2t2－2＝0，
则Δ＝－4(2t2－2)＝－8t2＋8>0，
所以t2<1＋＝，x1＋x2＝＝.
设AB的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝－x0＋t＝，
将(x0，y0)代入y＝kx＋b，
则b＝y0－kx0＝－＝－，
所以t＝－b，
所以<对k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，
即b2<对k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，
因为＝1－∈(0，1)，
所以b2≤0，则b＝0.
易知当k＝0时，曲线C上存在两点A，B关于直线y＝0对称．所以实数b的取值范围为{0}．
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数将几何问题转化为代数问题求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点关于直线对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
3．(2023·山东临沂模拟)如图，已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|＝16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解　设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
(1)当直线l的倾斜角为45°时，l的斜率为1，
因为F，
所以直线l的方程为y＝x－.
由
得x2－3px＋＝0，Δ>0.
则x1＋x2＝3p，
所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝16，
解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)假设满足条件的点P存在，设P(a，0)，由(1)知F(2，0)．
显然，直线l的斜率不为0，设l：x＝my＋2，
由
得y2－8my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16.
因为kPM＝，kPN＝，
且直线PM，PN关于x轴对称，
所以kPM＋kPN＝0，
即(x2－a)y1＋(x1－a)y2＝0，
所以(my2＋2－a)y1＋(my1＋2－a)y2＝0，
即2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝2m×(－16)＋(2－a)×8m＝0，解得a＝－2，
所以存在唯一的点P(－2，0)，使直线PM，PN关于x轴对称．
类型四　设而不求法
设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．由于设而不求法在解答题中比较常见，而且前面也已经讲了很多，所以在这里以小题为例进行讲解．
例4　(2023·东北三省四城市联考暨沈阳二模)已知椭圆C：＋＝1(a>)的离心率为，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的最小值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
答案　B
解析　由题意，得＝，即＝1－＝1－＝，则a2＝6>2，过P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，则P为线段AB的中点，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1，又＋＝1，＋＝1，则＋＝0，即＝－，所以＝－＝－1，故直线AB的方程为y－＝－，即x＋y－2＝0，所以|OM|的最小值为＝.故选B.
(1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．
4．(2024·福建诊断性检测)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为，则|AB|＝(　　)
A． B．4
C．8 D．24
答案　C
解析　记AB的中点为M(x0，y0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则显然x1≠x2，所以由点差法，得(y1＋y2)＝2p，由题意知y1＋y2＝2，＝tan＝，所以p＝3，易得直线AB的方程为y＝，则x0＝y0＋＝×＋＝，即x1＋x2＝2x0＝5，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8.故选C.
类型五　整体换元法
变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．整体换元法常用于求解最值、范围问题．
例5　设双曲线C：－y2＝1，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求直线l的倾斜角θ的取值范围；
(2)直线AO(O为坐标原点)与双曲线C的另一个交点为D，求△ABD面积的最小值，并求此时直线l的方程．
解　(1)由双曲线C：－y2＝1，得c2＝3＋1＝4，则右焦点F(2，0)，显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋2，
由得(m2－3)y2＋4my＋1＝0.
因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Δ＝16m2－4(m2－3)>0，y1＋y2＝，y1y2＝.
故
解得－当m＝0时，直线l的倾斜角θ＝；
当m≠0时，直线l的斜率k>或k<－，
综上，直线l的倾斜角θ的取值范围为.
(2)因为O是AD的中点，所以S△ABD＝2S△OAB＝2×|OF|×|y1－y2|
＝2＝2＝2，
令t＝m2－3，则t∈[－3，0)，S△ABD＝4·＝4·＝4·，
其中u＝，且u∈.
又y＝4u2＋u在上单调递减，
所以S△ABD≥，
当u＝－，即m＝0时取得最小值，此时直线l的方程为x＝2.
通过整体换元法，可以降低求解难度，但要注意新元的取值范围，以保证等价转化，整体换元后，一般利用函数的性质求最值或范围．
5．(2024·湖南岳阳调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，且|PF1|＋|PF2|＝4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C交于M，N两点，以MN为直径的圆过点A，求|AM|·|AN|的最大值．
解　(1)根据题意，
可得
解得
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得A(2，0)，由题可设直线l的方程为x＝my＋t(t≠2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立得
(m2＋4)y2＋2mty＋t2－4＝0，
所以Δ＝(2mt)2－4(m2＋4)(t2－4)＝16m2－16t2＋64>0，
y1＋y2＝－，y1y2＝，
又y1y2<0，所以t2<4，即－2x1＋x2＝(my1＋t)＋(my2＋t)＝m(y1＋y2)＋2t＝m＋2t＝，
x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝m2·＋mt·＋t2＝.
因为以MN为直径的圆过点A，
故AM⊥AN，
所以·＝0，
所以(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，
所以－2(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＋4＝0，
所以－2×＋＋＋4＝0，
所以＝0，
解得t＝或t＝2(舍去)．
当t＝时，Δ>0，且|MN|＝|y1－y2|，点A到MN的距离为d＝，
所以S△AMN＝|AM|·|AN|
＝|2－t|·|y1－y2|
＝|2－t|·，
化简得|AM|·|AN|＝×.
令s＝≥，
则m2＋4＝s2＋，
所以|AM|·|AN|＝×＝×.
由对勾函数的单调性，知y＝s＋在上单调递增，
即当s＝，m＝0时，y＝s＋取得最小值，此时(|AM|·|AN|)max＝×＝.
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