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微专题(一) 一元二次方程根的分布
所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
(1)判别式Δ的符号；
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系；
(3)区间端点处函数值的符号．
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类：
类型一　已知两根与实数k的大小关系
根的分布情况 两根都小于k，即x1k，x2>k 一根小于k，一根大于k，即x1大致图象(a>0)
得出的结论　 f(k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论　 f(k)>0
综合结论(不讨论a) a·f(k)<0
例1(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________．
(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.
1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是________．
解得－62．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．
解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝<0，解得－类型二　已知两根所在的区间
根的分布情况 两根都在(m，n)内 恰有一根在(m，n)内 一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m大致图象(a>0)
得出的结论 或f(m)f(n)<0 或
大致图象(a<0)
得出的结论 或f(m)f(n) <0 或
综合结论(不讨论a) 或f(m)f(n) <0
另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1n(图形分别如下)，需满足的条件是：
(1)当a>0时，
(2)当a<0时，
例2已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m的取值范围为________．
求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值．
注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法．
3．已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________．
4．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．
类型三　可转化为一元二次方程根的分布的问题
一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解．
(2023·河北石家庄藁城一中模拟)设函数f(x)＝－cos2x＋asinx＋a＋，若方程f(x)＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
本题中，令sinx＝t，将原问题转化为3t2＋at＋a＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意．
5．(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数f(x)＝若关于x的函数g(x)＝[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3恰好有六个零点，则实数a的取值范围是________．
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微专题(一) 一元二次方程根的分布
所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
(1)判别式Δ的符号；
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系；
(3)区间端点处函数值的符号．
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类：
类型一　已知两根与实数k的大小关系
根的分布情况 两根都小于k，即x1k，x2>k 一根小于k，一根大于k，即x1大致图象(a>0)
得出的结论　 f(k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论　 f(k)>0
综合结论(不讨论a) a·f(k)<0
例1(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________．
答案　[－1＋2，2)
解析　设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，
则
解得－1＋2≤m<2.
(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1答案　
解析　由于方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax2＋(a＋2)x＋9a＝0可化为x2＋x＋9＝0，令f(x)＝x2＋x＋9，则f(1)＝1＋×1＋9<0，解得－当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.
1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是________．
答案　(－6，－2]
解析　令f(x)＝x2＋(m－2)x＋6－m，则即
解得－62．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　解法一：显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－x＋，则f(0)<0，即<0，所以(2m＋1)(m－1)<0，解得－解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝<0，解得－类型二　已知两根所在的区间
根的分布情况 两根都在(m，n)内 恰有一根在(m，n)内 一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m大致图象(a>0)
得出的结论 或f(m)f(n)<0 或
大致图象(a<0)
得出的结论 或f(m)f(n) <0 或
综合结论(不讨论a) 或f(m)f(n) <0
另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1n(图形分别如下)，需满足的条件是：
(1)当a>0时，
(2)当a<0时，
例2已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m的取值范围为________．
答案　　
解析　设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，则其图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图1，由题意，得
即
解得－＜m＜－.
由题意知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图2，由题意，得
即解得－＜m≤1－.
求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值．
注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法．
3．已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________．
答案　(0，1)
解析　解法一：设f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)，则即
解得所以0解法二：由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0，得(x－a)[x－(a＋1)]＝0，所以方程两根为x1＝a，x2＝a＋1，则解得04．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．
答案　(－3，0)
解析　显然a≠0，则方程ax2＋x＋2＝0可化为x2＋＋＝0，设f(x)＝x2＋＋，则
即解得－3类型三　可转化为一元二次方程根的分布的问题
一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解．
(2023·河北石家庄藁城一中模拟)设函数f(x)＝－cos2x＋asinx＋a＋，若方程f(x)＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
答案　(－3，6－6)
解析　f(x)＝－(1－2sin2x)＋asinx＋a＋＝3sin2x＋asinx＋a＋3，x∈(0，π)，令sinx＝t，t∈(0，1]，h(t)＝3t2＋at＋a＋3，当0本题中，令sinx＝t，将原问题转化为3t2＋at＋a＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意．
5．(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数f(x)＝若关于x的函数g(x)＝[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3恰好有六个零点，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　作出函数f(x)＝的图象如图，令f(x)＝t，则当t∈(1，2]时，方程f(x)＝t有3个不同的实数解，所以使关于x的方程[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则方程t2－(a＋2)t＋3＝0在(1，2]上有两个不同的实数根，令g(t)＝t2－(a＋2)t＋3，则解得2－221世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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