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2024-2025学年重庆市巴蜀中学高三（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.今年高二班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为分考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在分以上，其中语文分以上的有人，数学分以上的有人，这两科均在分以上的有人，高二班共有个同学．
A. B. C. D.
3.关于的不等式对一切恒成立，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.世纪美国天文学家西蒙纽康和物理学家本福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性若说明符号，则的值为( )
A. B. C. D.
5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮如图所示，大轮有个齿，小轮有个齿，大轮每分钟转圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是．
A. B. C. D.
6.已知函数，若为奇函数，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.若函数在区间上不单调，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列与角的终边可能相同的角是( )
A. B.
C. ， D. ，
10.若定义在上的函数满足：对任意，都有且，则下列结论一定正确的是( )
A. 点是图象的一个对称中心 B. 点是图象的一个对称中心
C. 是周期函数 D.
11.已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是( )
A. 的取值范围是 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是第二象限角，且，则 ______．
13.已知，，，则的最大值是______．
14.对于函数，，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，且．
求证：是等比数列，并求出的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，．
若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间；
若，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：附表：
近视情况 每天看电子产品的时间 合计
超过一小时 一小时内
近视 人 人 人
不近视 人 人 人
合计 人 人 人
．
根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
在该班近视的同学中随机抽取人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是．
过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于，两点，为坐标原点，求四边形的面积；
若不过点的直线与双曲线交于不同的两点，，且满足证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
19.本小题分
已知函数，．
求在上的最大值；
求过点且与曲线相切的直线方程；
证明：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
由得，
当时，．
当时，由，
得，
两式相减得，也符合，
所以．
所以，
所以，
两式相减得，
两边乘以得．
16.解：，定义域为，
则，
因为函数在处取得极大值，
所以，解得或，
当时，，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时为极小值点，不合要求，
当时，，
令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
此时为极大值点，满足要求，
综上，，有极大值，无极小值，
单调递增区间为，，单调递减区间为；
，定义域为，
则，
因为，所以，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，
令得，，解得，
故实数的取值范围是．
17.解：零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关，
计算可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
每天看电子产品超过一小时的人数为，
则，
所以在该班近视的同学中随机抽取人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是；
依题意，，，
事件包含两种情况：
其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；
其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，
于是，
所以．
18.解：由题意知，，
设，故，
则
，
当时，取到最小值，即，，
又，则，，
故双曲线方程为；
将代入可得，由于是双曲线在第一象限内的点，故，
又双曲线渐近线方程为，
不妨设方程为，联立，
解得，则，
设方程为，联立，得，
则，
由双曲线渐近线方程可知，则，
则为钝角，结合，可得，
故四边形的面积为；
证明：当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，
联立，得，
则，
因为，故，
故
，
即，
可得，
解得或；
当时，直线方程为过点，不合题意；
当时，直线方程为过点；
当直线的斜率不存在时，设其方程为，则可取，
，，解得或，
时，直线过点，不合题意；
时，直线也过点，
综合上述，直线过定点．
19.解：因为，，所以．
由；由．
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以．
因为，，
所以，．
设切点坐标为：，切线斜率为：，
所以切线方程为：．
因为切线过点，所以，
可得：．
由得：．
所以切点为，切线斜率为．
所以切线方程为：即．
证明：由得：，当且仅当时取“”．
所以当时，．
令，则，
所以．
设，，
则，，
再设，，
则，
所以在上为增函数，又，
所以在上有，
所以在上为增函数，又，
所以当时，．
所以，．
令，则．
所以，欲证：，只需证即可．
下面用数学归纳法证明：
当时，，，所以成立；
假设，时，不等式成立，
则，时，
．
因为，
所以成立．
即，不等式亦成立．
综上可知，对，不等式恒成立．
所以对成立．
综上：，成立．
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