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2024-2025学年山东省日照市校际联考高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
3.已知数列是公差不为的等差数列，则“”是“”成立的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则不等式解集是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数，对任意的实数，在上的值域是，则整数的最小值是( )
A. B. C. D.
8.数列满足，，且其前项和为若，则正整数( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，，，则下列结论正确的有( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
10.已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 的表达式可以写成
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的对称中心，
D. 若方程在上有且只有个根，则
11.已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是( )
A. 在上是增函数
B. 的图象关于点中心对称
C. 在上有两个极值点
D. 若为的一个极小值点，且恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则实数的值为______．
13.分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．图是长度为的线段，将图中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图，称为“一次分形”；用同样的方法把图中的每条线段重复上述操作，得到图，称为“二次分形”，依次进行“次分形”规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于的分形图，则的最小整数值是______取，
14.在锐角中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
若，求的面积．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求证：．
18.本小题分
已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比，，．
求数列和的通项公式；
设数列满足，，其中．
求数列的前项和；
求．
19.本小题分
已知定义域为的函数是关于的函数，给定集合且，当取中不同的数值时可以得到不同的函数例如：定义域为的函数，当时，有，，，若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点，则称是上的“跳跃函数”．
设，，若函数是上的“跳跃函数”，求集合；
设，，若不存在集合使为上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合的并集；
设，，为上的“跳跃函数”，满足，，若对于任意，均有的零点，求实数的最大值．
参考答案
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14.
15.解：由，得，
所以，
所以．
由，得，
所以

16.解：因为且，故，所以，
代入可得：，
因此，
化简可得：，则，
因为，所以，
所以，
所以可得：，化简可得：，
在中，由正弦定理可得：；
在中，，
由正弦定理可知：
可化为：
故可得：，代入可得：，
所以，故，
在中，由余弦定理可得：，
代入数据和式可得：，
所以三角形面积为：，
故的面积为．
17.解：当时，，
则，
又，，
所以切线方程为：，即；
证明：要证，即，需证，
当，时，，
故只需证明，
令，
则在区间上单调递增，
又，，
故在区间上有唯一实根，且，
当时，，
当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，
故，
综上所述，当时，．
18.解：当时，，
当时，，
所以，
显然符合上式，
所以，
由题意，
所以．
易知，，
即数列的前项中有项分别为，，，，，其余项均为，
故数列的前项和；
由知，而，
所以，
易知，，
所以．
19.解：依题意，所求的为使得在上有零点的全体．
由于在上有零点，
等价于关于的方程在上有解，
注意到当时，的取值范围是，
故关于的方程在上有解，
当且仅当，从而所求．
依题意，不存在集合使为上的“跳跃函数”，
当且仅当对任意的，在上都不存在零点．
这表明，全体满足条件的的并集，
就是使得在上不存在零点的全体构成的集合．
从而我们要求出全部的，
使得在上没有零点，
即关于的方程在上没有解，
该方程在上可等价变形为，
当时，方程恒无解，
当时，可变形为，
即．
综上，使得在上没有零点的构成的集合为，
故所求的集合为．
首先用数学归纳法证明：对任意正整数，有．
当时，有，故结论成立；
假设结论对成立，即，
则有：
．
故结论对也成立．
综上，对任意正整数，有．
当为奇数时，对，
有，
所以在上没有零点；
当为偶数时，对，
有，
，
从而在上一定存在零点，
所以在上一定有零点．
故对，在上有零点当且仅当是偶数．
因此，只需要求实数的最大值，使得对于任意，
均有的零点．
我们现在有，
由于当时，有，
故零点必定大于．
而对任意给定的，我们定义函数，
则．
取，
则当时，
有，
这表明在上单调递减，
所以当时，
有，
取正整数，使得且，
则我们有
，
但我们又有，
这表明在上必有一个零点，
从而在上必有一个满足的零点，
综上所述，的最大值是．
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