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章末复习提升
　　
一、不等关系与不等式的性质
1.作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等.
2.运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题.
例1 (1)若a>b，x>y，则下列不等式正确的是(　　)
A.a＋xby
C.|a|x≥|a|y D.(a－b)x<(a－b)y
(2)已知0A.M>N B.MC.M＝N D.不能确定
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)因为当a≠0时，|a|>0，
由x>y，得|a|x>|a|y；
当a＝0时，|a|x＝|a|y.
因此|a|x≥|a|y.
选项A，B，D均不满足不等式性质，不正确.
(2)因为0所以1＋a>0，1＋b>0，ab<1.
M－N＝－－＝＋＝>0，所以M>N.
训练1 (1)(多选)若<<0，则下列结论正确的是(　　)
A.a2C.＋>2 D.|a|＋|b|>|a＋b|
答案　ABC
解析　由<<0，得b∴a2ab，则A，B正确.
又b0，且≠，
因此＋>2＝2，选项C正确.
显然|a|＋|b|＝|a＋b|＝－(a＋b)，D错误.
(2)已知2答案　
解析　因为－2因为2所以<<2.
二、基本不等式的应用
基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
例2 (1)若－4A.有最小值1 B.有最大值1
C.有最小值－1 D.有最大值－1
(2)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为________.
答案　(1)D　(2)5
解析　(1)＝，
又因为－40，
所以－≤－1，
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立.
∴当x＝0时，取到最大值－1.
(2)由题意得，2＝1，
所以x＋y＝(x＋3)＋y－3＝2[(x＋3)＋y]－3
＝2＋＋＋2－3
＝＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当＝，且＋＝，
即x＝1，y＝4时等号成立，
所以x＋y的最小值为5.
训练2 (1)已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＝________；b＝________.
答案　2　1
解析　y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y≥2－5＝2×3－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
此时a＝2，b＝1.
(2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________.
答案　4
解析　因为2xy＝x·(2y)≤，
所以8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，
(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0.
因为x>0，y>0，所以x＋2y≥4，
当且仅当x＝2，y＝1时取等号，
即x＋2y的最小值是4.
三、一元二次不等式的解法
1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏.
例3 已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0.
(1)若不等式的解集为，求实数k的值；
(2)若不等式的解集为R，求实数k的取值范围.
解　(1)若关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为，
则－和1是2kx2＋kx－＝0的实根，且k>0.
由根与系数的关系，得－×1＝，
求得k＝.
(2)若关于x的不等式2kx2＋kx－<0解集为R，
则k＝0，或
求得k＝0或－3故实数k的取值范围为{k|－3训练3 若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求a的值；
(2)求不等式>a＋5的解集.
解　 (1)依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，且a<0.
由根与系数的关系，得
解得a＝－2.
(2)将a＝－2代入不等式，得>3，
整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，
解得－2则不等式的解集为{x|－2四、不等式恒成立问题
1.二次不等式恒成立的问题，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立?
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏.另外在解题中可借助分离参数、数形结合等方法优化解题过程.
例4 已知函数y＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当a∈[4，6]时，y≥0恒成立，求x的取值范围.
解　(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
则Δ＝a2－4(3－a)≤0，
即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}.
(2)将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数或常数函数，由于a∈[4，6]，其图象是一条线段.
当a∈[4，6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可，
则
解得x≤－3－或x≥－3＋，
故x的取值范围是{x|x≤－3－或x≥－3＋}.
训练4 已知x>0，y>0，且＋＝2，若x＋2y>m2－3m－1恒成立，则实数m的取值范围是________.
答案　{m|－1解析　由＋＝2得2y＋x＋1＝2(x＋1)y，
所以x＋1＝2xy，则2y＝1＋，
所以x＋2y＝x＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x＝1，y＝1时，等号成立.
所以(x＋2y)min＝3，
所以x＋2y>m2－3m－1恒成立，
化为3>m2－3m－1，
则m2－3m－4<0，解得－1第二章
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1.作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等.
2.运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题.
一、不等关系与不等式的性质
例1
(1)若a>b，x>y，则下列不等式正确的是
A.a＋xby
C.|a|x≥|a|y D.(a－b)x<(a－b)y
√
因为当a≠0时，|a|>0，由x>y，得|a|x>|a|y；
当a＝0时，|a|x＝|a|y.
因此|a|x≥|a|y.
选项A，B，D均不满足不等式性质，不正确.
√
训练1
√
√
√
因为－2二、基本不等式的应用
例2
√
5
训练2
2
1
4
因为x>0，y>0，所以x＋2y≥4，
当且仅当x＝2，y＝1时取等号，
即x＋2y的最小值是4.
三、一元二次不等式的解法
1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏.
例3
训练3
四、不等式恒成立问题
例4
已知函数y＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取值范围；
当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
则Δ＝a2－4(3－a)≤0，
即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}.
将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数或常数函数，由于a∈[4，6]，其图象是一条线段.
(2)当a∈[4，6]时，y≥0恒成立，求x的取值范围.
当a∈[4，6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可，
训练4
{m|－1所以(x＋2y)min＝3，
所以x＋2y>m2－3m－1恒成立，
化为3>m2－3m－1，
则m2－3m－4<0，解得－1一、不等关系与不等式的性质
1.作差法比较大小的关键是对差式进行变形,变形的方法一般是通分、分解因式、配方等.
2.运用不等式的性质时,要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时,常利用特殊值法求解客观题.
例1 (1)若a>b,x>y,则下列不等式正确的是 (　　)
A.a+xby
C.|a|x≥|a|y D.(a-b)x<(a-b)y
(2)已知0A.M>N B.MC.M=N D.不能确定
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 (1)(多选)若<0,则下列结论正确的是 (　　)
A.a2C.>2 D.|a|+|b|>|a+b|
(2)已知2二、基本不等式的应用
基本不等式:(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
例2 (1)若-4A.有最小值1 B.有最大值1
C.有最小值-1 D.有最大值-1
(2)已知x>0,y>0,且,则x+y的最小值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 (1)已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a=　　　　;
b=　　　　.
(2)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值为　　　　.
三、一元二次不等式的解法
1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.
例3 已知关于x的不等式2kx2+kx-<0.
(1)若不等式的解集为,求实数k的值;
(2)若不等式的解集为R,求实数k的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 若不等式ax2+5x-2>0的解集是.
(1)求a的值;
(2)求不等式>a+5的解集.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、不等式恒成立问题
1.二次不等式恒成立的问题,即ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.另外在解题中可借助分离参数、数形结合等方法优化解题过程.
例4 已知函数y=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,y≥a恒成立,求a的取值范围;
(2)当a∈[4,6]时,y≥0恒成立,求x的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练4 已知x>0,y>0,且=2,若x+2y>m2-3m-1恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.

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