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第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解圆与圆的位置关系的种类． 1.逻辑推理素养和直观想象素养.
2.会用代数法和几何法来判断圆与圆的位置关系. 2.直观想象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
3.能利用圆与圆的位置关系解决一些简单的实际应用问题. 3.直观想象素养和化归转化素养.
温故知新
直线与圆的位置关系及判断：
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式
知新探究
前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系．现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：
⑴两圆相交，有两个公共点；
⑵两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
相交
外切
内切
⑶两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
相离
内含
知新探究
类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？
圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r12(r1>0)，圆C2：(x-c)2+(y-d)2=r22(r2>0).
⑴利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数：
设方程组的解的个数为n.
n=0
两个圆相离或内含
△<0
n=1
两个圆外切或内切
△=0
n=2
两个圆相交
△>0
知新探究
⑵利用连心线长|C1C2|与|r1+r2|和| r1-r2 |的大小关系判断：
圆C1与圆C2相离
|C1C2|> |r1+r2|
圆C1与圆C2外切
|C1C2|= |r1+r2|
圆C1与圆C2相交
|r1-r2|<|C1C2|< |r1+r2|
圆C1与圆C2内切
|C1C2|= |r1-r2|
圆C1与圆C2内含
|C1C2|< | r1-r2 |
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
C1
C2
知新探究
【例1】已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8=0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2=0试判断圆C1与圆C2的位置关系.
解法1：
将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组
①－②，得
.
由③，得.
x＋2y－1=0 ③，
分析：思路1：圆C1和圆C2的位置关系由几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定.
将上式代入①，并整理，得.
画出圆C1和圆C2以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？
x2－2x－3=0， ④
方程③表示的是圆C1和圆C2相交时，公共弦所在直线的方程.
知新探究
【例1】已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8=0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2=0试判断圆C1与圆C2的位置关系.
解法1：
方程④的根的判别式
所以方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2.
Δ=(－2)2－4×1×(－3)=16＞0，
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B (x2，y2)，这两个圆相交.
x2－2x－3=0， ④
本题只要判断圆C1与圆C2是否有公共点，并不需要公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两个实数根.
知新探究
【例1】已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8=0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2=0试判断圆C1与圆C2的位置关系.
解法2：
把圆C1的方程化成标准方程,得
圆C1的圆心是（－1，－4），半径长r1 =5，
.
把圆C1的方程化成标准方程,得
.
分析：思路2：借助图形，可以根据连心线的长与两半径的和r1+r2或两半径的差的绝对值|r1-r2|的大小关系，判断两圆的位置关系.
圆C2的圆心是（2，2），半径长r2 =，
圆C1与圆C2的圆心距为.
知新探究
【例1】已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8=0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
解法2：
因为，
分析：思路2：借助图形，可以根据连心线的长与两半径的和r1+r2或两半径的差的绝对值|r1-r2|的大小关系，判断两圆的位置关系.
即<|| <，
所以圆C1与圆C2相交（如图），它们有两个公共点A、B.
圆C1与圆C2的两半径之和，两半径之差.
知新探究
在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么？能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？
当时时，两圆是什么位置关系？
当时，方程组只有一组解，此时两圆相切，但不能确定两圆是内切还是外切.若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内切；否则，两圆外切.
当时，方程组没有解，此时两圆相离，但不能确定两圆是外离还是内含.若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内含；否则，两圆外离.
初试身手
1.已知圆C1：x2＋y2-2mx＋4y+(m2－5)=0与圆C2：x2＋y2+2x－2my+(m2－3)=0，求m为何值时，⑴两圆外离； ⑵两圆外切；⑶两圆相交；⑷两圆内切；⑸两圆内含.
解：
∵C1：,C2：．
∴圆C1的圆心为(m,-2)，半径为3；圆C2的圆心为(-1,m)，半径为2．
⑵若两圆外切，则
解得m<-5或m>2.
,即.
⑴若两圆外离，则
,即.
解得m=-5或m=2.
初试身手
1.已知圆C1：x2＋y2-2mx＋4y+(m2－5)=0与圆C2：x2＋y2+2x－2my+(m2－3)=0，求m为何值时，⑴两圆外离； ⑵两圆外切；⑶两圆相交；⑷两圆内切；⑸两圆内含.
解：
⑷若两圆内切，则
解得-5,即.
⑶若两圆相交，则
,即.
解得m=-2或m=-1.
⑸若两圆内含，则
,即.
解得-2知新探究
【例2】已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探求点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
解：
如图，以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，线
段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
由AB=4，得A(－2，0)，B(2，0).
设点M的坐标为(x，y)，由|MA|=|MB|，得
，
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点O的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系.
所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆.
化简，得x2－12x＋y2＋4=0，即(x－6)2＋y2=32.
A
O
B
P
M
x
y
知新探究
【例2】已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探求点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
解：
因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径分别为r1=2，r2= 4，又r1－r2 ＜ |PO|＜ r1＋r2，
所以点M的轨迹与圆O相交.
点M的轨迹方程为(x－6)2＋y2=32，圆O的方程为x2+y2=4.
A
O
B
P
M
x
y
另解：如图，建立直角坐标系，可得
∴
②-①,得12x-8=0,即x=,
将x=代入②得.
所以点M的轨迹与圆O相交.
知新探究
设点M的坐标为(x，y)，由|MA|=k|MB|，得
，
化简，得
.
当k=1时，方程为=0，可知点M的轨迹是线段AB的垂直平分线，与圆O相交;
当k>0，且k ≠1时，方程可化为，
点M的轨迹是以(，0)为圆心，半径为的圆，此圆与圆O相交.
如果把例2中的“倍”改为“>0)倍”你能分析并解决这个问题吗？
知新探究
1.建系，设点.求哪个点的轨迹方程就设该点的坐标为(x,y)；
2.条件坐标化.即用坐标把题目中的关系表示出来；
3.整理，化简；
求轨迹方程的基本步骤
4.检验，说明.检验方程的解为坐标的点是否都满足条件或者题目中是否有隐含的限制条件.若有，则对方程加以说明.
初试身手
由C1：x2＋y2＋6x－4=0，C2：x2＋y2+6y－28=0作差，得两圆公共弦所在直线方程为x-y+4=0.
由圆C1：x2＋y2＋6x－4=0,得(x+3)2+y2=13
2.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4=0与圆C2：x2＋y2+6y－28=0.
⑴求两圆公共弦方程及弦长；
∴圆C1的圆心为(-3,0)，半径.
又圆心到公共弦的距离.
解：
∴弦长为.
初试身手
由⑴得两圆公共弦所在直线方程为x-y+4=0，将y=x+4代入x2＋y2＋6x－4=0得
x2+(x+4)2+6x-4=0,即x2+7x+6=0,
2.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4=0与圆C2：x2＋y2+6y－28=0.
⑵求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
解得x1=-1,x2=-6,
∴两圆交点为A(-1,3),B(-6,-2).
解：
∴,线段AB的中点为.
∴y1=3,y2=-2,
∴线段AB的垂直平分线的方程为,即x+y+3=0,
∴,解得,
∴所求圆的圆心为,半径.
∴此圆方程为，即x2+y2-x+7y-32=0.
课堂小结
壹
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
圆与圆公共弦
(1)两圆相交，有两个公共点；
(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．
作业布置
作业： P98 练习 第2题
P98 习题2.5 第7，9,10题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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