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章末复习提升
　　
一、函数的概念和表示
函数是两个数集之间的一种确定的对应关系，当函数的定义域、对应关系确定时函数唯一确定.分段函数在自变量不同取值范围内对应关系不同，分段函数是一个而不是几个函数.
例1 (1)已知函数f(x)的定义域为[2，8]，则函数h(x)＝f(2x)＋的定义域为(　　)
A.[4，16] B.(－∞，1]∪[3，＋∞)
C.[1，3] D.[3，4]
(2)若f(x)对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有2f(x)＋f＝2x＋1，则f(2)＝________.
答案　(1)C　(2)
解析　(1)由于f(x)的定义域为[2，8]，
因此要使h(x)＝f(2x)＋有意义，则有解之得1≤x≤3.
(2)令x＝2，得2f(2)＋f＝5，①
令x＝，得2f＋f(2)＝2，②
联立①②得f(2)＝.
训练1 (1)若函数y＝f(x)的定义域是[－2，4]，则函数g(x)＝f(－x)的定义域是(　　)
A.[－4，4] B.[－4，2]
C.[－4，－2] D.[2，4]
(2)已知f(x)＝则f＋f等于(　　)
A.－2 B.4
C.2 D.－4
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)由－2≤－x≤4，得－4≤x≤2.
所以函数g(x)＝f(－x)的定义域是[－4，2].
(2)∵f(x)＝
∴f＝2×＝，f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，
∴f＋f＝＋＝4.
二、函数的性质
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响.
例2 已知函数f(x)＝.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明.
(2)当x∈(－∞，－1)时，判断f(x)的单调性并证明；
(3)当x∈(1，＋∞)时，若实数m满足f(3m)>f(5－2m)，求m的取值范围.
解　(1)函数f(x)是奇函数，
证明：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为?x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数.
(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增.
证明：?x1，x2∈(－∞，－1)，且x1＝eq \f(xx2＋x2－x1x－x1,x1x2)＝
＝，
因为－1>x2>x1，所以x1－x2<0，x1x2－1>0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增.
(3)因为f(x)在(－∞，－1)上单调递增，且f(x)是奇函数，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以3m>5－2m>1，解得1所以m的取值范围为(1，2).
训练2 已知幂函数y＝f(x)的图象经过点M(4，16).
(1)求f(x)的解析式.
(2)设g(x)＝.
①利用定义证明函数g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；
②若g(x)≥t2－2t在[2，＋∞)上恒成立，
求t的取值范围.
解　(1)设f(x)＝xα，则4α＝16，
∴α＝2，故f(x)＝x2.
(2)由(1)知g(x)＝＝x＋，
①证明　?x1，x2∈[1，＋∞)且x1则g(x1)－g(x2)＝eq \f(x＋1,x1)－eq \f(x＋1,x2)＝eq \f(xx2＋x2－x1x－x1,x1x2)
＝＝，
因为1≤x1所以x1－x2<0，x1x2－1>0，x1x2>0，
所以g(x1)－g(x2)<0，
即g(x1)所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增.
②由①知，g(x)在[2，＋∞)上单调递增.
∴g(x)min＝g(2)＝，
又g(x)≥t2－2t在[2，＋∞)上恒成立.
所以≥t2－2t，
解之得－1≤t≤5.
故实数t的取值范围是[－1，5].
三、函数的图象及应用
根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.
例3 已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|.
(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实数根}.
解　(1)当－x2＋2x＋3≥0，即－1≤x≤3时，
函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
当－x2＋2x＋3<0，即x<－1或x>3时，函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
故f(x)＝的图象如图.
根据函数图象特征，知函数y＝f(x)的单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，3).
(2)由题意可知，当0故集合M＝{m|0训练3 已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.
(1)求f(－1)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)画出函数f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间.
解　(1)∵f(x)在R上是奇函数，
且f(x)＝－x2＋2x＋2(x>0)，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2＋2)＝－3.
(2)设?x<0，则－x>0，于是f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.
因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x).
因此f(x)＝x2＋2x－2.
又f(0)＝0，
所以f(x)＝
(3)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的图象关于原点成中心对称图形，可得相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如图所示.
由图象可知，函数f(x)的单调增区间为(－1，0)和(0，1)，单调减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞).
四、函数的应用
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主动、被动关系，并用x，y分别表示.
(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.
(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.
例4 2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2 500万元，每生产x百辆，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝
由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
(2)2024年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
解　(1)当0当x≥40时，L(x)＝5×100x－501x－＋4 500－2 500＝2 000－，
∴L(x)＝
(2)当0∴当x＝20时，L(x)max＝L(20)＝1 500；
当x≥40时，L(x)＝2 000－
≤2 000－2＝2 000－200＝1 800.
当且仅当x＝，即x＝100时，上式取等号.
∴L(x)max＝L(100)＝1 800>1 500.
∴当x＝100，即2024年生产100百辆车时，该企业获得利润最大，最大利润为
1 800万元.
训练4 某校为弘扬中华传统中医药文化，在一块边长为30 m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为750 m2的矩形中药园.图中阴影部分是宽度为1 m的小
路，中间三个矩形区域(其中两个小矩形区域形状、大小相同)将种植益母草、板蓝根、苦参.中药种植的总面积为S m2.当S取得最大值时，x的值为(　　)
A.15 m B.20 m
C.25 m D.30 m
答案　C
解析　设中药园的长度为y m，
由题意可得xy＝750，所以y＝.
又因为y≤30，所以25≤x≤30.
S＝(x－2)a＋(x－3)a＝(2x－5)a，
因为y＝2a＋3，所以a＝＝－.
所以S＝(2x－5)＝－，x∈[25，30]，
所以S≤－2＝，
当且仅当3x＝，即x＝25时，取等号.(共26张PPT)
第三章
章末复习提升
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函数是两个数集之间的一种确定的对应关系，当函数的定义域、对应关系确定时函数唯一确定.分段函数在自变量不同取值范围内对应关系不同，分段函数是一个而不是几个函数.
一、函数的概念和表示
例1
由于f(x)的定义域为[2，8]，
A.[4，16] B.(－∞，1]∪[3，＋∞)
C.[1，3] D.[3，4]
√
(1)若函数y＝f(x)的定义域是[－2，4]，则函数g(x)＝f(－x)的定义域是
A.[－4，4] B.[－4，2]
C.[－4，－2] D.[2，4]
训练1
√
由－2≤－x≤4，得－4≤x≤2.
所以函数g(x)＝f(－x)的定义域是[－4，2].
A.－2 B.4 C.2 D.－4
√
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响.
二、函数的性质
例2
函数f(x)是奇函数，
证明：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为?x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增.
因为－1>x2>x1，所以x1－x2<0，x1x2－1>0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)(3)当x∈(1，＋∞)时，若实数m满足f(3m)>f(5－2m)，求m的取值范围.
因为f(x)在(－∞，－1)上单调递增，且f(x)是奇函数，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以3m>5－2m>1，解得1已知幂函数y＝f(x)的图象经过点M(4，16).
(1)求f(x)的解析式.
训练2
设f(x)＝xα，则4α＝16，
因为1≤x1所以x1－x2<0，x1x2－1>0，x1x2>0，
所以g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增.
②由①知，g(x)在[2，＋∞)上单调递增.
三、函数的图象及应用
根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.
例3
已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|.
(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；
当－x2＋2x＋3≥0，即－1≤x≤3时，
函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
当－x2＋2x＋3<0，即x<－1或x>3时，函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
根据函数图象特征，知函数y＝f(x)的单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，3).
由题意可知，当0(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实数根}.
故集合M＝{m|0训练3
已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.
(1)求f(－1)；
∵f(x)在R上是奇函数，
且f(x)＝－x2＋2x＋2(x>0)，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2＋2)＝－3.
(2)求f(x)的解析式；
设?x<0，则－x>0，于是f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.
因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x).
因此f(x)＝x2＋2x－2.
又f(0)＝0，
(3)画出函数f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间.
先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的图象关于原点成中心对称图形，可得相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如图所示.
由图象可知，函数f(x)的单调增区间为(－1，0)和(0，1)，单调减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞).
四、函数的应用
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤:
(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主动、被动关系，并用x，y分别表示.
(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.
(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.
例4
(1)求出2024年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
当0当0(2)2024年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
∴当x＝20时，L(x)max＝L(20)＝1 500；
∴当x＝100，即2024年生产100百辆车时，该企业获得利润最大，最大利润为1 800万元.
训练4
某校为弘扬中华传统中医药文化，在一块边长为30 m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为750 m2的矩形中药园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路，中间三个矩形区域(其中两个小矩形区域形状、大小相同)将种植益母草、板蓝根、苦参.中药种植的总面积为S m2.当S取得最大值时，x的值为
A.15 m B.20 m C.25 m D.30 m
√章末复习提升
一、函数的概念和表示
函数是两个数集之间的一种确定的对应关系,当函数的定义域、对应关系确定时函数唯一确定.分段函数在自变量不同取值范围内对应关系不同,分段函数是一个而不是几个函数.
例1 (1)已知函数f(x)的定义域为[2,8],则函数h(x)=f(2x)+的定义域为 (　　)
A.[4,16] B.(-∞,1]∪[3,+∞)
C.[1,3] D.[3,4]
(2)若f(x)对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有2f(x)+f=2x+1,则f(2)=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 (1)若函数y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数g(x)=f(-x)的定义域是 (　　)
A.[-4,4] B.[-4,2]
C.[-4,-2] D.[2,4]
(2)已知f(x)=等于 (　　)
A.-2 B.4
C.2 D.-4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、函数的性质
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性,利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容,解不等式时经常结合图象,要注意勿漏定义域的影响.
例2 已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明.
(2)当x∈(-∞,-1)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)当x∈(1,+∞)时,若实数m满足f(3m)>f(5-2m),求m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 已知幂函数y=f(x)的图象经过点M(4,16).
(1)求f(x)的解析式.
(2)设g(x)=.
①利用定义证明函数g(x)在区间[1,+∞)上单调递增;
②若g(x)≥t2-2t在[2,+∞)上恒成立,
求t的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、函数的图象及应用
根据函数的解析式及性质判断函数的图象,利用函数的图象可以直观观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等,重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.
例3 已知函数f(x)=|-x2+2x+3|.
(1)画出函数图象并写出函数的单调区间;
(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实数根}.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式;
(3)画出函数f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、函数的应用
建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤:
(1)对实际问题进行抽象概括,确定变量之间的主动、被动关系,并用x,y分别表示.
(2)建立函数模型,将变量y表示为x的函数,此时要注意函数的定义域.
(3)求解函数模型,并还原为实际问题的解.
例4 2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2 500万元,每生产x百辆,需另投入成本C(x)万元,
且C(x)=
由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式(利润=销售额-成本);
(2)2024年年产量为多少百辆时,企业所获利润最大 并求出最大利润.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练4 某校为弘扬中华传统中医药文化,在一块边长为30 m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为750 m2的矩形中药园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间三个矩形区域(其中两个小矩形区域形状、大小相同)将种植益母草、板蓝根、苦参.中药种植的总面积为S m2.当S取得最大值时,x的值为 (　　)
A.15 m B.20 m
C.25 m D.30 m
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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