4.1.1 n次方根与分数指数幂 高中数学人教A版必修第一册(课件+教案+学案+练习四份打包)

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4.1.1 n次方根与分数指数幂 高中数学人教A版必修第一册(课件+教案+学案+练习四份打包)

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第四章 指数函数与对数函数
4.1 指 数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
课标要求 1.理解n次方根、根式的概念.
2.理解分数指数幂的含义,能对根式与分数指数幂进行互化.
3.掌握分数指数幂的运算性质.
【引入】 公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数来表示,希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这节课我们进一步研究更一般性问题.
一、n次方根与根式
探究1 由32=9和(-3)2=9我们可得到9的平方根是什么?由53=125以及(-3)3=-27我们可以得到125和-27的立方根分别是什么?
提示 9的平方根是3和-3,125的立方根是5,-27的立方根是-3.
探究2 类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么?
提示 比如(±2)4=16,我们把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫做-32的5次方根;(±2)10=1 024,我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫做a的n次方根.
【知识梳理】
1.n次方根
定义 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*
性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值,记为x=
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值,且互为相反数,记为x=±
a<0 x在实数范围内不存在
温馨提示 0的任何次方根都是0,负数没有偶次方根.
2.根式
(1)定义:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)根式的性质(n>1,且n∈N*):
①()n=a;
②=
温馨提示 (1)是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶限制.
(2)( )n其中实数a的取值由n的奇偶决定,要保证有意义,其运算结果恒等于a.
例1 (1)若x<0,则x+|x|+=________.
答案 -1
解析 ∵x<0,
∴=|x|=-x,
∴x+|x|+=x-x+=-1.
(2)若-3解 原式=-=|x-1|-|x+3|,
当-3当1≤x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4.
∴原式=
迁移 在本例(2)中,若将“-3解 原式=-=|x-1|-|x+3|.
∵x≤-3,
∴x-1<0,x+3≤0,
∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.
思维升华 1.解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.
2.正确区分与()n
(1)中a可取任意实数,当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|.
(2)含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,()n=a.
训练1 (链接教材P105例1)(1)设2A.1 B.-1
C.2a-5 D.5-2a
(2)()2++=________.
答案 (1)A (2)a-1
解析 (1)由20,
所以+=|2-a|+|3-a|=a-2+3-a=1.
(2)由题意知a-1≥0,即a≥1,
原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.
二、分数指数幂
探究3 (1)观察下列各式,你能得出什么结论?
①==22=2;
②==44=4.
提示 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
(2)类比(1)的规律,你能表示下列式子吗?
,,,.
提示 =a,=3,=b,=a.
【知识梳理】
1.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)
正分数指数幂 a=
负分数指数幂 a-==
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
2.有理指数幂的运算性质
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
例2 (链接教材P106例3)(1)(a>0)的分数指数幂表示为(  )
A.a B.a
C.a D.都不对
(2)化简·(a>0)的结果是(  )
A. B.
C. D.
答案 (1)A (2)B
解析 (1)原式===a×=a.
(2)原式=a·a=a=.
思维升华 根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,
被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
训练2 用分数指数幂表示下列各式(式中字母均是正数).
(1);(2);(3)a·.
解 (1)==a-.
(2)==ba-=a-b.
(3)a·=a·a-=a.
三、有理数指数幂的运算
例3 (链接教材P107例4)计算或化简下列各式:
(1)(×)6-4--×80.25-(-2.015)0;
(2)(a>0,b>0).
解 (1)原式=6-42×-2·(23)-1=22·33-4×-(2×23)-1
=4×27-4×-24×-1=108-7-2-1=98.
(2)
思维升华 1.无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
2.仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错,运算时尽可能用幂的形式来表示,便于运用指数幂的运算性质.
训练3 (1)-(-2)0--+=________.
(2)化简=____________(a>0,b>0).
答案 (1) (2)
解析 (1)原式=-1-3×+=2×-1-+
=-1-+=.
(2)原式=
===a--=a-1=.
【课堂达标】
1.下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是(  )
A.-=(-x)
B.x-=-
C.-=(x≠0,y≠0)
D.=x(x<0)
答案 C
解析 由于-=-x,x-=,=(-x)(x<0).
所以选项A,B,D不正确.
2.化简(x>0)的结果是(  )
A.x B.x2
C.1 D.
答案 A
解析 原式=x·x·x-=x+-=x.
3.若=(5-x),则x的取值范围是________.
答案 {x|-5≤x≤5}
解析 因为==(5-x),
所以所以-5≤x≤5.
所以x的取值范围是{x|-5≤x≤5}.
4.计算:0.25×-4÷20-=________.
答案 -4
解析 原式=×16-4÷1-=4-4-4=-4.
一、基础巩固
1.下列等式一定成立的是(  )
A.a·a=a B.a·a=0
C.(a3)2=a9 D.a÷a=a
答案 D
解析 同底数幂相乘,指数相加,故A,B错误;因为(am)n=amn,3×2=6,故C错误;同底数幂相除,指数相减,故D正确.
2.=(  )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 -=-=3×
==.
3.若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是(  )
A.a B.a
C.a D.a
答案 C
解析 由题意得==a2-=a.
4.(多选)下列说法正确的是(  )
A.的运算结果是±3
B.16的4次方根是2
C.当n为大于1的偶数时, 只有当a≥0时才有意义
D.当n为大于1的奇数时, 对任意a∈R都有意义
答案 CD
解析 对于A,因为偶次根式的结果只能是正数,A错误;
对于B,正数的偶次方根的结果有正有负,B错误;
根据指数幂的运算法则可知CD正确.故选CD.
5.化简(其中a>0,b>0)的结果是(  )
A. B.-
C. D.-
答案 C
解析 ===.
6.++=________.
答案 -1
解析 原式=+1-+|1-|
=|1-|+1-+-1=-1.
7.-化成分数指数幂为________.
答案 x
解析 原式==
==x.
8.计算-+0.25×=________.
答案 -1
解析 原式=-4-1+×(-)6=-5+×8=-1.
9.设f(x)=,若0解 f====,
因为010.化简:(1)--(π-3)0+-;
(2)(其中a>0,b>0).
解 (1)原式=--1+2=2.
(2)原式=-6a--b2--1=-6a0b=-6b.
二、综合运用
11.已知a,b,c为△ABC的三边长,化简-|b+c-a|的结果为(  )
A.2(b+c)-2a B.2(b+a)-2c
C.2a D.0
答案 D
解析 原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|
=|(b+c)-a|-|(b+c)-a|
=(b+c-a)-(b+c-a)=0.
12.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(  )
A.-=(-x)
B.=y(y>0)
C.x-=(x>0)
D.[]=x(x>0)
答案 BCD
解析 A错误,-=-x(x≥0),
而(-x)=(x≤0);
B正确,=y(y>0);
C正确,x-==(x>0);
D正确,[]=x2××=x(x>0).
13.求值化简:
(1)+(3-2)0+-;
(2)设a>0,b>0,化简.
解 (1)原式=+1+1+π--=π+.
(2)原式==
=a-1-·b1+-=ab.
三、创新拓展
14.若=,求实数a的取值范围.
解 ===,
所以1-2a≥0,解得a≤.
故实数a的取值范围是.(共50张PPT)
第四章 4.1 指 数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
课标要求
1.理解n次方根、根式的概念.
2.理解分数指数幂的含义,能对根式与分数指数幂进行互化.
3.掌握分数指数幂的运算性质.
引入
课时精练
一、n次方根与根式
二、分数指数幂
三、有理数指数幂的运算
课堂达标
内容索引
n次方根与根式

探究1 由32=9和(-3)2=9我们可得到9的平方根是什么?由53=125以及(-3)3=-27我们可以得到125和-27的立方根分别是什么?
提示 9的平方根是3和-3,125的立方根是5,-27的立方根是-3.
探究2 类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么?
提示 比如(±2)4=16,我们把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫做-32的5次方根;(±2)10=1 024,我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫做a的n次方根.
1.n次方根
知识梳理
n次方根
温馨提示
0的任何次方根都是0,负数没有偶次方根.
2.根式
知识梳理
根指数
a
|a|
温馨提示
例1
-1
迁移
思维升华
训练1

由20,
a-1
由题意知a-1≥0,即a≥1,
原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.
分数指数幂

知识梳理
1.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)
2.有理指数幂的运算性质
(1)aras=______ (a>0,r,s∈Q).
(2)(ar)s=________ (a>0,r,s∈Q).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
ar+s
ars
例2


思维升华
用分数指数幂表示下列各式(式中字母均是正数).
训练2
有理数指数幂的运算

例3
(链接教材P107例4)计算或化简下列各式:
思维升华
1.无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
2.仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错,运算时尽可能用幂的形式来表示,便于运用指数幂的运算性质.
训练3
【课堂达标】
1.下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是


{x|-5≤x≤5}
-4
【课时精练】

1.下列等式一定成立的是
同底数幂相乘,指数相加,故A,B错误;因为(am)n=amn,3×2=6,
故C错误;同底数幂相除,指数相减,故D正确.



4.(多选)下列说法正确的是

对于A,因为偶次根式的结果只能是正数,A错误;
对于B,正数的偶次方根的结果有正有负,B错误;
根据指数幂的运算法则可知CD正确.故选CD.

-1

原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|=|(b+c)-a|-|(b+c)-a|
=(b+c-a)-(b+c-a)=0.
12.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是



13.求值化简:4.1 指 数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
课标要求 1.理解n次方根、根式的概念. 2.理解分数指数幂的含义,能对根式与分数指数幂进行互化. 3.掌握分数指数幂的运算性质.
【引入】 公元前5世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线长度是多少呢 他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数来表示,希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这节课我们进一步研究更一般性问题.
一、n次方根与根式
探究1 由32=9和(-3)2=9我们可得到9的平方根是什么 由53=125以及(-3)3=-27我们可以得到125和-27的立方根分别是什么
                                       
                                       
探究2 类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么
                                       
                                       
【知识梳理】
1.n次方根
定义 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的   ,其中n>1,且n∈N*
性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值,记为   
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值,且互为相反数,记为   
a<0 x在实数范围内不存在
温馨提示 0的任何次方根都是0,负数没有偶次方根.
2.根式
(1)定义:式子    叫做根式,这里n叫做    ,a叫做被开方数.
(2)根式的性质(n>1,且n∈N*):
①()n=    ;

温馨提示 (1)是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶限制.
(2)()n其中实数a的取值由n的奇偶决定,要保证有意义,其运算结果恒等于a.
例1 (1)若x<0,则x+|x|+=    .
(2)若-3                                       
                                       
                                       
                                       
迁移 在本例(2)中,若将“-3                                       
                                       
                                       
                                       
思维升华 1.解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.
2.正确区分与()n
(1)中a可取任意实数,当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|.
(2)含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,()n=a.
训练1 (链接教材P105例1)(1)设2A.1 B.-1
C.2a-5 D.5-2a
(2)()2+=    .
二、分数指数幂
探究3 (1)观察下列各式,你能得出什么结论
①;
②.
                                       
                                       
(2)类比(1)的规律,你能表示下列式子吗
,,,.
                                       
                                       
【知识梳理】
1.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)
正分数指数幂 =   
负分数指数幂 =   
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂    意义
2.有理指数幂的运算性质
(1)aras=    (a>0,r,s∈Q).
(2)(ar)s=    (a>0,r,s∈Q).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
例2 (链接教材P106例3)(1)(a>0)的分数指数幂表示为 (  )
A.
C. D.都不对
(2)化简(a>0)的结果是 (  )
A.
                                       
                                       
思维升华 根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,
被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
训练2 用分数指数幂表示下列各式(式中字母均是正数).
(1);(2);(3)a·.
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
三、有理数指数幂的运算
例3 (链接教材P107例4)计算或化简下列各式:
(1)()6-4×80.25-(-2.015)0;
(2)(a>0,b>0).
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
思维升华 1.无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
2.仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错,运算时尽可能用幂的形式来表示,便于运用指数幂的运算性质.
训练3 (1)-(-2)0-=    .
(2)化简=    (a>0,b>0).
                                       
                                       
                                       
                                       
【课堂达标】
1.下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 (  )
A.-=(-x
B.
C.(x≠0,y≠0)
D.(x<0)
2.化简(x>0)的结果是 (  )
A.x B.x2
C.1 D.
3.若=(5-x),则x的取值范围是    .
4.计算:0.25×=    . 第四章 课时精练30 n次方根与分数指数幂
(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.下列等式一定成立的是 (  )
=0
(a3)2=a9
2.= (  )
3.若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是 (  )
4.(多选)下列说法正确的是 (  )
的运算结果是±3
16的4次方根是2
当n为大于1的偶数时, 只有当a≥0时才有意义
当n为大于1的奇数时, 对任意a∈R都有意义
5.化简(其中a>0,b>0)的结果是 (  )
6.=    .
7.化成分数指数幂为    .
8.计算=    .
9.(10分)设f(x)=,若010.(10分)化简:(1)-(π-3)0+;
(2)(其中a>0,b>0).
二、综合运用
11.已知a,b,c为△ABC的三边长,化简-|b+c-a|的结果为 (  )
2(b+c)-2a 2(b+a)-2c
2a 0
12.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (  )
-=(-x
(y>0)
(x>0)
[(x>0)
13.(13分)求值化简:
(1)+(3-2)0+;
(2)设a>0,b>0,化简.
三、创新拓展
14.(15分)若,求实数a的取值范围.
1.D [同底数幂相乘,指数相加,故A,B错误;因为(am)n=amn,3×2=6,故C错误;同底数幂相除,指数相减,故D正确.]
2.C [====.]
3.C [由题意得==a2-=a.]
4.CD [对于A,因为偶次根式的结果只能是正数,A错误;
对于B,正数的偶次方根的结果有正有负,B错误;
根据指数幂的运算法则可知CD正确.故选CD.]
5.C [===.]
6.-1 [原式=+1-+|1-|
=|1-|+1-+-1=-1.]
7.x [原式==
==x.]
8.-1 [原式=-4-1+×(-)6=-5+×8=-1.]
9.解 f====,
因为0故f=-a.
10.解 (1) 原式=--1+2=2.
(2)原式=-6a--b2--1=-6a0b=-6b.
11.D [原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|
=|(b+c)-a|-|(b+c)-a|
=(b+c-a)-(b+c-a)=0.]
12.BCD [A错误,-=-x(x≥0),
而(-x)=(x≤0);
B正确,=y(y>0);
C正确,x-==(x>0);
D正确,[]=x2××=x(x>0).]
13.解 (1) 原式=+1+1+π--=π+.
(2)原式==
=a-1-·b1+-=ab.
14.解 =
==,
所以1-2a≥0,解得a≤.
故实数a的取值范围是.

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