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第四章 指数函数与对数函数
4.1　指　数
4.1.1　n次方根与分数指数幂
课标要求　1.理解n次方根、根式的概念.
2.理解分数指数幂的含义，能对根式与分数指数幂进行互化.
3.掌握分数指数幂的运算性质.
【引入】 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这节课我们进一步研究更一般性问题.
一、n次方根与根式
探究1 由32＝9和(－3)2＝9我们可得到9的平方根是什么？由53＝125以及(－3)3＝－27我们可以得到125和－27的立方根分别是什么？
提示　9的平方根是3和－3，125的立方根是5，－27的立方根是－3.
探究2 类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？
提示　比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根.
【知识梳理】
1.n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*
性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为x＝
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为x＝±
a<0 x在实数范围内不存在
温馨提示　0的任何次方根都是0，负数没有偶次方根.
2.根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)根式的性质(n>1，且n∈N*)：
①()n＝a；
②＝
温馨提示　(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制.
(2)( )n其中实数a的取值由n的奇偶决定，要保证有意义，其运算结果恒等于a.
例1 (1)若x<0，则x＋|x|＋＝________.
答案　－1
解析　∵x<0，
∴＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x＋＝－1.
(2)若－3解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1≤x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
迁移 在本例(2)中，若将“－3解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，
∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
思维升华　1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.
2.正确区分与()n
(1)中a可取任意实数，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|.
(2)含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，()n＝a.
训练1 (链接教材P105例1)(1)设2A.1 B.－1
C.2a－5 D.5－2a
(2)()2＋＋＝________.
答案　(1)A　(2)a－1
解析　(1)由20，
所以＋＝|2－a|＋|3－a|＝a－2＋3－a＝1.
(2)由题意知a－1≥0，即a≥1，
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
二、分数指数幂
探究3 (1)观察下列各式，你能得出什么结论？
①＝＝22＝2；
②＝＝44＝4.
提示　当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
(2)类比(1)的规律，你能表示下列式子吗？
，，，.
提示　＝a，＝3，＝b，＝a.
【知识梳理】
1.分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)
正分数指数幂 a＝
负分数指数幂 a－＝＝
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2.有理指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q).
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q).
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
例2 (链接教材P106例3)(1)(a>0)的分数指数幂表示为(　　)
A.a B.a
C.a D.都不对
(2)化简·(a>0)的结果是(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)原式＝＝＝a×＝a.
(2)原式＝a·a＝a＝.
思维升华　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，
被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
训练2 用分数指数幂表示下列各式(式中字母均是正数).
(1)；(2)；(3)a·.
解　(1)＝＝a－.
(2)＝＝ba－＝a－b.
(3)a·＝a·a－＝a.
三、有理数指数幂的运算
例3 (链接教材P107例4)计算或化简下列各式：
(1)(×)6－4－－×80.25－(－2.015)0；
(2)(a>0，b>0).
解　(1)原式＝6－42×－2·(23)－1＝22·33－4×－(2×23)－1
＝4×27－4×－24×－1＝108－7－2－1＝98.
(2)
思维升华　1.无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.
2.仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错，运算时尽可能用幂的形式来表示，便于运用指数幂的运算性质.
训练3 (1)－(－2)0－－＋＝________.
(2)化简＝____________(a>0，b>0).
答案　(1)　(2)
解析　(1)原式＝－1－3×＋＝2×－1－＋
＝－1－＋＝.
(2)原式＝
＝＝＝a－－＝a－1＝.
【课堂达标】
1.下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A.－＝(－x)
B.x－＝－
C.－＝(x≠0，y≠0)
D.＝x(x<0)
答案　C
解析　由于－＝－x，x－＝，＝(－x)(x<0).
所以选项A，B，D不正确.
2.化简(x>0)的结果是(　　)
A.x B.x2
C.1 D.
答案　A
解析　原式＝x·x·x－＝x＋－＝x.
3.若＝(5－x)，则x的取值范围是________.
答案　{x|－5≤x≤5}
解析　因为＝＝(5－x)，
所以所以－5≤x≤5.
所以x的取值范围是{x|－5≤x≤5}.
4.计算：0.25×－4÷20－＝________.
答案　－4
解析　原式＝×16－4÷1－＝4－4－4＝－4.
一、基础巩固
1.下列等式一定成立的是(　　)
A.a·a＝a B.a·a＝0
C.(a3)2＝a9 D.a÷a＝a
答案　D
解析　同底数幂相乘，指数相加，故A，B错误；因为(am)n＝amn，3×2＝6，故C错误；同底数幂相除，指数相减，故D正确.
2.＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　－＝－＝3×
＝＝.
3.若a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　)
A.a B.a
C.a D.a
答案　C
解析　由题意得＝＝a2－＝a.
4.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.的运算结果是±3
B.16的4次方根是2
C.当n为大于1的偶数时， 只有当a≥0时才有意义
D.当n为大于1的奇数时， 对任意a∈R都有意义
答案　CD
解析　对于A，因为偶次根式的结果只能是正数，A错误；
对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，B错误；
根据指数幂的运算法则可知CD正确.故选CD.
5.化简(其中a>0，b>0)的结果是(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　C
解析　＝＝＝.
6.＋＋＝________.
答案　－1
解析　原式＝＋1－＋|1－|
＝|1－|＋1－＋－1＝－1.
7.－化成分数指数幂为________.
答案　x
解析　原式＝＝
＝＝x.
8.计算－＋0.25×＝________.
答案　－1
解析　原式＝－4－1＋×(－)6＝－5＋×8＝－1.
9.设f(x)＝，若0解　f＝＝＝＝，
因为010.化简：(1)－－(π－3)0＋－；
(2)(其中a>0，b>0).
解　(1)原式＝－－1＋2＝2.
(2)原式＝－6a－－b2－－1＝－6a0b＝－6b.
二、综合运用
11.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简－|b＋c－a|的结果为(　　)
A.2(b＋c)－2a B.2(b＋a)－2c
C.2a D.0
答案　D
解析　原式＝|a－(b＋c)|－|b＋c－a|
＝|(b＋c)－a|－|(b＋c)－a|
＝(b＋c－a)－(b＋c－a)＝0.
12.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A.－＝(－x)
B.＝y(y>0)
C.x－＝(x>0)
D.[]＝x(x>0)
答案　BCD
解析　A错误，－＝－x(x≥0)，
而(－x)＝(x≤0)；
B正确，＝y(y>0)；
C正确，x－＝＝(x>0)；
D正确，[]＝x2××＝x(x>0).
13.求值化简：
(1)＋(3－2)0＋－；
(2)设a>0，b>0，化简.
解　(1)原式＝＋1＋1＋π－－＝π＋.
(2)原式＝＝
＝a－1－·b1＋－＝ab.
三、创新拓展
14.若＝，求实数a的取值范围.
解　＝＝＝，
所以1－2a≥0，解得a≤.
故实数a的取值范围是.(共50张PPT)
第四章 4.1　指　数
4.1.1　n次方根与分数指数幂
课标要求
1.理解n次方根、根式的概念.
2.理解分数指数幂的含义，能对根式与分数指数幂进行互化.
3.掌握分数指数幂的运算性质.
引入
课时精练
一、n次方根与根式
二、分数指数幂
三、有理数指数幂的运算
课堂达标
内容索引
n次方根与根式
一
探究1 由32＝9和(－3)2＝9我们可得到9的平方根是什么？由53＝125以及(－3)3＝－27我们可以得到125和－27的立方根分别是什么？
提示　9的平方根是3和－3，125的立方根是5，－27的立方根是－3.
探究2 类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？
提示　比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根.
1.n次方根
知识梳理
n次方根
温馨提示
0的任何次方根都是0，负数没有偶次方根.
2.根式
知识梳理
根指数
a
|a|
温馨提示
例1
－1
迁移
思维升华
训练1
√
由20，
a－1
由题意知a－1≥0，即a≥1，
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
分数指数幂
二
知识梳理
1.分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)
2.有理指数幂的运算性质
(1)aras＝______ (a>0，r，s∈Q).
(2)(ar)s＝________ (a>0，r，s∈Q).
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
ar＋s
ars
例2
√
√
思维升华
用分数指数幂表示下列各式(式中字母均是正数).
训练2
有理数指数幂的运算
三
例3
(链接教材P107例4)计算或化简下列各式：
思维升华
1.无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.
2.仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错，运算时尽可能用幂的形式来表示，便于运用指数幂的运算性质.
训练3
【课堂达标】
1.下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是
√
√
{x|－5≤x≤5}
－4
【课时精练】
√
1.下列等式一定成立的是
同底数幂相乘，指数相加，故A，B错误；因为(am)n＝amn，3×2＝6，
故C错误；同底数幂相除，指数相减，故D正确.
√
√
√
4.(多选)下列说法正确的是
√
对于A，因为偶次根式的结果只能是正数，A错误；
对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，B错误；
根据指数幂的运算法则可知CD正确.故选CD.
√
－1
√
原式＝|a－(b＋c)|－|b＋c－a|＝|(b＋c)－a|－|(b＋c)－a|
＝(b＋c－a)－(b＋c－a)＝0.
12.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是
√
√
√
13.求值化简：4.1　指　数
4.1.1　n次方根与分数指数幂
课标要求　1.理解n次方根、根式的概念. 2.理解分数指数幂的含义,能对根式与分数指数幂进行互化. 3.掌握分数指数幂的运算性质.
【引入】 公元前5世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线长度是多少呢 他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数来表示,希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这节课我们进一步研究更一般性问题.
一、n次方根与根式
探究1 由32=9和(-3)2=9我们可得到9的平方根是什么 由53=125以及(-3)3=-27我们可以得到125和-27的立方根分别是什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.n次方根
定义 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的　　　,其中n>1,且n∈N*
性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值,记为　　　
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值,且互为相反数,记为　　　
a<0 x在实数范围内不存在
温馨提示　0的任何次方根都是0,负数没有偶次方根.
2.根式
(1)定义:式子　　　　叫做根式,这里n叫做　　　　,a叫做被开方数.
(2)根式的性质(n>1,且n∈N*):
①()n=　　　　;
②
温馨提示　(1)是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶限制.
(2)()n其中实数a的取值由n的奇偶决定,要保证有意义,其运算结果恒等于a.
例1 (1)若x<0,则x+|x|+=　　　　.
(2)若-3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移 在本例(2)中,若将“-3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.
2.正确区分与()n
(1)中a可取任意实数,当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|.
(2)含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,()n=a.
训练1 (链接教材P105例1)(1)设2A.1 B.-1
C.2a-5 D.5-2a
(2)()2+=　　　　.
二、分数指数幂
探究3 (1)观察下列各式,你能得出什么结论
①;
②.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)类比(1)的规律,你能表示下列式子吗
,,,.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)
正分数指数幂 =　　　
负分数指数幂 =　　　
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂　　　　意义
2.有理指数幂的运算性质
(1)aras=　　　　(a>0,r,s∈Q).
(2)(ar)s=　　　　(a>0,r,s∈Q).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
例2 (链接教材P106例3)(1)(a>0)的分数指数幂表示为 (　　)
A.
C. D.都不对
(2)化简(a>0)的结果是 (　　)
A.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,
被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
训练2 用分数指数幂表示下列各式(式中字母均是正数).
(1);(2);(3)a·.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、有理数指数幂的运算
例3 (链接教材P107例4)计算或化简下列各式:
(1)()6-4×80.25-(-2.015)0;
(2)(a>0,b>0).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
2.仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错,运算时尽可能用幂的形式来表示,便于运用指数幂的运算性质.
训练3 (1)-(-2)0-=　　　　.
(2)化简=　　　　(a>0,b>0).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 (　　)
A.-=(-x
B.
C.(x≠0,y≠0)
D.(x<0)
2.化简(x>0)的结果是 (　　)
A.x B.x2
C.1 D.
3.若=(5-x),则x的取值范围是　　　　.
4.计算:0.25×=　　　　. 第四章　课时精练30 n次方根与分数指数幂
(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.下列等式一定成立的是 (　　)
=0
(a3)2=a9
2.= (　　)
3.若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是 (　　)
4.(多选)下列说法正确的是 (　　)
的运算结果是±3
16的4次方根是2
当n为大于1的偶数时, 只有当a≥0时才有意义
当n为大于1的奇数时, 对任意a∈R都有意义
5.化简(其中a>0,b>0)的结果是 (　　)
6.=　　　　.
7.化成分数指数幂为　　　　.
8.计算=　　　　.
9.(10分)设f(x)=,若010.(10分)化简:(1)-(π-3)0+;
(2)(其中a>0,b>0).
二、综合运用
11.已知a,b,c为△ABC的三边长,化简-|b+c-a|的结果为 (　　)
2(b+c)-2a 2(b+a)-2c
2a 0
12.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　　)
-=(-x
(y>0)
(x>0)
[(x>0)
13.(13分)求值化简:
(1)+(3-2)0+;
(2)设a>0,b>0,化简.
三、创新拓展
14.(15分)若,求实数a的取值范围.
1.D　[同底数幂相乘，指数相加，故A，B错误；因为(am)n＝amn，3×2＝6，故C错误；同底数幂相除，指数相减，故D正确.]
2.C　[＝＝＝＝.]
3.C　[由题意得＝＝a2－＝a.]
4.CD　[对于A，因为偶次根式的结果只能是正数，A错误；
对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，B错误；
根据指数幂的运算法则可知CD正确.故选CD.]
5.C　[＝＝＝.]
6.－1　[原式＝＋1－＋|1－|
＝|1－|＋1－＋－1＝－1.]
7.x　[原式＝＝
＝＝x.]
8.－1　[原式＝－4－1＋×(－)6＝－5＋×8＝－1.]
9.解　f＝＝＝＝，
因为0故f＝－a.
10.解　(1) 原式＝－－1＋2＝2.
(2)原式＝－6a－－b2－－1＝－6a0b＝－6b.
11.D　[原式＝|a－(b＋c)|－|b＋c－a|
＝|(b＋c)－a|－|(b＋c)－a|
＝(b＋c－a)－(b＋c－a)＝0.]
12.BCD　[A错误，－＝－x(x≥0)，
而(－x)＝(x≤0)；
B正确，＝y(y>0)；
C正确，x－＝＝(x>0)；
D正确，[]＝x2××＝x(x>0).]
13.解　(1) 原式＝＋1＋1＋π－－＝π＋.
(2)原式＝＝
＝a－1－·b1＋－＝ab.
14.解　＝
＝＝，
所以1－2a≥0，解得a≤.
故实数a的取值范围是.

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