资源简介 第四章 指数函数与对数函数4.1 指 数4.1.1 n次方根与分数指数幂课标要求 1.理解n次方根、根式的概念.2.理解分数指数幂的含义,能对根式与分数指数幂进行互化.3.掌握分数指数幂的运算性质.【引入】 公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数来表示,希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这节课我们进一步研究更一般性问题.一、n次方根与根式探究1 由32=9和(-3)2=9我们可得到9的平方根是什么?由53=125以及(-3)3=-27我们可以得到125和-27的立方根分别是什么?提示 9的平方根是3和-3,125的立方根是5,-27的立方根是-3.探究2 类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么?提示 比如(±2)4=16,我们把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫做-32的5次方根;(±2)10=1 024,我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫做a的n次方根.【知识梳理】1.n次方根定义 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值,记为x=a<0 x<0n是偶数 a>0 x有两个值,且互为相反数,记为x=±a<0 x在实数范围内不存在温馨提示 0的任何次方根都是0,负数没有偶次方根.2.根式(1)定义:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.(2)根式的性质(n>1,且n∈N*):①()n=a;②=温馨提示 (1)是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶限制.(2)( )n其中实数a的取值由n的奇偶决定,要保证有意义,其运算结果恒等于a.例1 (1)若x<0,则x+|x|+=________.答案 -1解析 ∵x<0,∴=|x|=-x,∴x+|x|+=x-x+=-1.(2)若-3解 原式=-=|x-1|-|x+3|,当-3当1≤x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4.∴原式=迁移 在本例(2)中,若将“-3解 原式=-=|x-1|-|x+3|.∵x≤-3,∴x-1<0,x+3≤0,∴原式=-(x-1)+(x+3)=4.思维升华 1.解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.2.正确区分与()n(1)中a可取任意实数,当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|.(2)含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,()n=a.训练1 (链接教材P105例1)(1)设2A.1 B.-1C.2a-5 D.5-2a(2)()2++=________.答案 (1)A (2)a-1解析 (1)由20,所以+=|2-a|+|3-a|=a-2+3-a=1.(2)由题意知a-1≥0,即a≥1,原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.二、分数指数幂探究3 (1)观察下列各式,你能得出什么结论?①==22=2;②==44=4.提示 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.(2)类比(1)的规律,你能表示下列式子吗?,,,.提示 =a,=3,=b,=a.【知识梳理】1.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)正分数指数幂 a=负分数指数幂 a-==0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义2.有理指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).例2 (链接教材P106例3)(1)(a>0)的分数指数幂表示为( )A.a B.aC.a D.都不对(2)化简·(a>0)的结果是( )A. B.C. D.答案 (1)A (2)B解析 (1)原式===a×=a.(2)原式=a·a=a=.思维升华 根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.训练2 用分数指数幂表示下列各式(式中字母均是正数).(1);(2);(3)a·.解 (1)==a-.(2)==ba-=a-b.(3)a·=a·a-=a.三、有理数指数幂的运算例3 (链接教材P107例4)计算或化简下列各式:(1)(×)6-4--×80.25-(-2.015)0;(2)(a>0,b>0).解 (1)原式=6-42×-2·(23)-1=22·33-4×-(2×23)-1=4×27-4×-24×-1=108-7-2-1=98.(2)思维升华 1.无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.2.仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错,运算时尽可能用幂的形式来表示,便于运用指数幂的运算性质.训练3 (1)-(-2)0--+=________.(2)化简=____________(a>0,b>0).答案 (1) (2)解析 (1)原式=-1-3×+=2×-1-+=-1-+=.(2)原式====a--=a-1=.【课堂达标】1.下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是( )A.-=(-x)B.x-=-C.-=(x≠0,y≠0)D.=x(x<0)答案 C解析 由于-=-x,x-=,=(-x)(x<0).所以选项A,B,D不正确.2.化简(x>0)的结果是( )A.x B.x2C.1 D.答案 A解析 原式=x·x·x-=x+-=x.3.若=(5-x),则x的取值范围是________.答案 {x|-5≤x≤5}解析 因为==(5-x),所以所以-5≤x≤5.所以x的取值范围是{x|-5≤x≤5}.4.计算:0.25×-4÷20-=________.答案 -4解析 原式=×16-4÷1-=4-4-4=-4.一、基础巩固1.下列等式一定成立的是( )A.a·a=a B.a·a=0C.(a3)2=a9 D.a÷a=a答案 D解析 同底数幂相乘,指数相加,故A,B错误;因为(am)n=amn,3×2=6,故C错误;同底数幂相除,指数相减,故D正确.2.=( )A. B.C. D.答案 C解析 -=-=3×==.3.若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( )A.a B.aC.a D.a答案 C解析 由题意得==a2-=a.4.(多选)下列说法正确的是( )A.的运算结果是±3B.16的4次方根是2C.当n为大于1的偶数时, 只有当a≥0时才有意义D.当n为大于1的奇数时, 对任意a∈R都有意义答案 CD解析 对于A,因为偶次根式的结果只能是正数,A错误;对于B,正数的偶次方根的结果有正有负,B错误;根据指数幂的运算法则可知CD正确.故选CD.5.化简(其中a>0,b>0)的结果是( )A. B.-C. D.-答案 C解析 ===.6.++=________.答案 -1解析 原式=+1-+|1-|=|1-|+1-+-1=-1.7.-化成分数指数幂为________.答案 x解析 原式====x.8.计算-+0.25×=________.答案 -1解析 原式=-4-1+×(-)6=-5+×8=-1.9.设f(x)=,若0解 f====,因为010.化简:(1)--(π-3)0+-;(2)(其中a>0,b>0).解 (1)原式=--1+2=2.(2)原式=-6a--b2--1=-6a0b=-6b.二、综合运用11.已知a,b,c为△ABC的三边长,化简-|b+c-a|的结果为( )A.2(b+c)-2a B.2(b+a)-2cC.2a D.0答案 D解析 原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|=|(b+c)-a|-|(b+c)-a|=(b+c-a)-(b+c-a)=0.12.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-=(-x)B.=y(y>0)C.x-=(x>0)D.[]=x(x>0)答案 BCD解析 A错误,-=-x(x≥0),而(-x)=(x≤0);B正确,=y(y>0);C正确,x-==(x>0);D正确,[]=x2××=x(x>0).13.求值化简:(1)+(3-2)0+-;(2)设a>0,b>0,化简.解 (1)原式=+1+1+π--=π+.(2)原式===a-1-·b1+-=ab.三、创新拓展14.若=,求实数a的取值范围.解 ===,所以1-2a≥0,解得a≤.故实数a的取值范围是.(共50张PPT)第四章 4.1 指 数4.1.1 n次方根与分数指数幂课标要求1.理解n次方根、根式的概念.2.理解分数指数幂的含义,能对根式与分数指数幂进行互化.3.掌握分数指数幂的运算性质.引入课时精练一、n次方根与根式二、分数指数幂三、有理数指数幂的运算课堂达标内容索引n次方根与根式一探究1 由32=9和(-3)2=9我们可得到9的平方根是什么?由53=125以及(-3)3=-27我们可以得到125和-27的立方根分别是什么?提示 9的平方根是3和-3,125的立方根是5,-27的立方根是-3.探究2 类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么?提示 比如(±2)4=16,我们把±2叫做16的4次方根;(±3)4=81,我们把±3叫做81的4次方根;(-2)5=-32,我们把-2叫做-32的5次方根;(±2)10=1 024,我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程,我们可以得到:如果2n=a,那么我们把2叫做a的n次方根.1.n次方根知识梳理n次方根温馨提示0的任何次方根都是0,负数没有偶次方根.2.根式知识梳理根指数a|a|温馨提示例1-1迁移思维升华训练1√由20,a-1由题意知a-1≥0,即a≥1,原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.分数指数幂二知识梳理1.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)2.有理指数幂的运算性质(1)aras=______ (a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s=________ (a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).ar+sars例2√√思维升华用分数指数幂表示下列各式(式中字母均是正数).训练2有理数指数幂的运算三例3(链接教材P107例4)计算或化简下列各式:思维升华1.无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.2.仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错,运算时尽可能用幂的形式来表示,便于运用指数幂的运算性质.训练3【课堂达标】1.下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是√√{x|-5≤x≤5}-4【课时精练】√1.下列等式一定成立的是同底数幂相乘,指数相加,故A,B错误;因为(am)n=amn,3×2=6,故C错误;同底数幂相除,指数相减,故D正确.√√√4.(多选)下列说法正确的是√对于A,因为偶次根式的结果只能是正数,A错误;对于B,正数的偶次方根的结果有正有负,B错误;根据指数幂的运算法则可知CD正确.故选CD.√-1√原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|=|(b+c)-a|-|(b+c)-a|=(b+c-a)-(b+c-a)=0.12.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是√√√13.求值化简:4.1 指 数4.1.1 n次方根与分数指数幂课标要求 1.理解n次方根、根式的概念. 2.理解分数指数幂的含义,能对根式与分数指数幂进行互化. 3.掌握分数指数幂的运算性质.【引入】 公元前5世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线长度是多少呢 他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数来表示,希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这节课我们进一步研究更一般性问题.一、n次方根与根式探究1 由32=9和(-3)2=9我们可得到9的平方根是什么 由53=125以及(-3)3=-27我们可以得到125和-27的立方根分别是什么 探究2 类比平方根、立方根的概念,试着说说4次方根、5次方根、10次方根等,你认为n次方根应该是什么 【知识梳理】1.n次方根定义 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的 ,其中n>1,且n∈N* 性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值,记为 a<0 x<0n是偶数 a>0 x有两个值,且互为相反数,记为 a<0 x在实数范围内不存在温馨提示 0的任何次方根都是0,负数没有偶次方根.2.根式(1)定义:式子 叫做根式,这里n叫做 ,a叫做被开方数. (2)根式的性质(n>1,且n∈N*):①()n= ; ②温馨提示 (1)是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶限制.(2)()n其中实数a的取值由n的奇偶决定,要保证有意义,其运算结果恒等于a.例1 (1)若x<0,则x+|x|+= . (2)若-3 迁移 在本例(2)中,若将“-3 思维升华 1.解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.2.正确区分与()n(1)中a可取任意实数,当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|.(2)含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,()n=a.训练1 (链接教材P105例1)(1)设2A.1 B.-1C.2a-5 D.5-2a(2)()2+= . 二、分数指数幂探究3 (1)观察下列各式,你能得出什么结论 ①;②. (2)类比(1)的规律,你能表示下列式子吗 ,,,. 【知识梳理】1.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)正分数指数幂 = 负分数指数幂 = 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂 意义 2.有理指数幂的运算性质(1)aras= (a>0,r,s∈Q). (2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q). (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).例2 (链接教材P106例3)(1)(a>0)的分数指数幂表示为 ( )A.C. D.都不对(2)化简(a>0)的结果是 ( )A. 思维升华 根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.训练2 用分数指数幂表示下列各式(式中字母均是正数).(1);(2);(3)a·. 三、有理数指数幂的运算例3 (链接教材P107例4)计算或化简下列各式:(1)()6-4×80.25-(-2.015)0;(2)(a>0,b>0). 思维升华 1.无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.2.仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错,运算时尽可能用幂的形式来表示,便于运用指数幂的运算性质.训练3 (1)-(-2)0-= . (2)化简= (a>0,b>0). 【课堂达标】1.下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 ( )A.-=(-xB.C.(x≠0,y≠0)D.(x<0)2.化简(x>0)的结果是 ( )A.x B.x2C.1 D.3.若=(5-x),则x的取值范围是 . 4.计算:0.25×= . 第四章 课时精练30 n次方根与分数指数幂(分值:100分)单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共12分.一、基础巩固1.下列等式一定成立的是 ( )=0(a3)2=a92.= ( )3.若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是 ( )4.(多选)下列说法正确的是 ( )的运算结果是±316的4次方根是2当n为大于1的偶数时, 只有当a≥0时才有意义当n为大于1的奇数时, 对任意a∈R都有意义5.化简(其中a>0,b>0)的结果是 ( )6.= . 7.化成分数指数幂为 . 8.计算= . 9.(10分)设f(x)=,若010.(10分)化简:(1)-(π-3)0+;(2)(其中a>0,b>0).二、综合运用11.已知a,b,c为△ABC的三边长,化简-|b+c-a|的结果为 ( )2(b+c)-2a 2(b+a)-2c2a 012.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 ( )-=(-x(y>0)(x>0)[(x>0)13.(13分)求值化简:(1)+(3-2)0+;(2)设a>0,b>0,化简.三、创新拓展14.(15分)若,求实数a的取值范围.1.D [同底数幂相乘,指数相加,故A,B错误;因为(am)n=amn,3×2=6,故C错误;同底数幂相除,指数相减,故D正确.]2.C [====.]3.C [由题意得==a2-=a.]4.CD [对于A,因为偶次根式的结果只能是正数,A错误;对于B,正数的偶次方根的结果有正有负,B错误;根据指数幂的运算法则可知CD正确.故选CD.]5.C [===.]6.-1 [原式=+1-+|1-|=|1-|+1-+-1=-1.]7.x [原式====x.]8.-1 [原式=-4-1+×(-)6=-5+×8=-1.]9.解 f====,因为0故f=-a.10.解 (1) 原式=--1+2=2.(2)原式=-6a--b2--1=-6a0b=-6b.11.D [原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|=|(b+c)-a|-|(b+c)-a|=(b+c-a)-(b+c-a)=0.]12.BCD [A错误,-=-x(x≥0),而(-x)=(x≤0);B正确,=y(y>0);C正确,x-==(x>0);D正确,[]=x2××=x(x>0).]13.解 (1) 原式=+1+1+π--=π+.(2)原式===a-1-·b1+-=ab.14.解 ===,所以1-2a≥0,解得a≤.故实数a的取值范围是. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 4.1.1 n次方根与分数指数幂 教案 高中数学人教A版必修第一册.doc 4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件(共50张ppt)高中数学人教A版必修第一册.pptx 4.1.1 n次方根与分数指数幂 学案 高中数学人教A版必修第一册.docx 课时精练30 n次方根与分数指数幂(含答案)高中数学人教A版必修第一册.docx