资源简介

第二课时　指数函数的图象和性质(二)
课标要求　1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.
2.能判断与证明指数型函数的单调性.
3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.
一、指数型函数的单调性及最值
探究 对于函数y＝af(x)(a>0，a≠1)，其定义域为区间I，若令t＝f(x)，则y＝at.
(1)当a>1时，在区间I上，如果t随x的增大而增大，那么y随t怎样变化？y随x怎样变化？
提示　y随着t的增大而增大；y随着x的增大而增大.
(2)当0提示　y随着t的增大而减小；y随着x的增大而减小.
【知识梳理】
一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质：
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0例1 (链接教材P120T9)判断f(x)＝的单调性，并求最值.
解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
又y＝在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴y＝在(－∞，1]上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0<≤＝3，
∴当x＝1时，原函数的最大值为3，无最小值.
思维升华　1.指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定：一是底数；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成.
2.求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性求出y＝f[φ(x)]的单调性.
训练1 (1)函数y＝ax(a＞0且a≠1)在[1，2]上最大值与最小值的差为2，则a＝(　　)
A.－1或2 B.2
C. D.
(2)函数f(x)＝－＋1在[－1，2]上的最小值是________，最大值是________.
答案　(1)B　(2)　3
解析　(1)y＝ax(a＞0且a≠1)在[1，2]上是单调函数，
当a>1时，a2－a＝2，解得a＝2(舍去－1).
当0综上知a＝2.
(2)令＝t，则当x∈[－1，2]时，t∈，
则g(t)＝t2－t＋1＝＋图象关于直线t＝对称，
∴g(t)在上单调递减，在上单调递增，
∴当t＝(此时x＝1)时，
取到最小值g＝，
当t＝2(此时x＝－1)时，取到最大值g(2)＝3，
∴f(x)的最小值为，最大值为3.
二、指数型函数单调性的应用
角度1　比较两数的大小
例2 (链接教材P117例3) (1)已知a＝23.2，b＝23，c＝2－1，那么a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aC.b答案　(1)A　(2)C
解析　(1)函数y＝2x在R上是增函数，
又3.2>3>－1，∴23.2>23>2－1，故a>b>c.
(2)∵y＝0.6x在R上是减函数，
∴1>a＝0.60.6>0.61.5＝b.
又y＝1.5x在R上是增函数，知1.50.6>1，
所以c>a>b.
思维升华　比较幂值大小的3种类型及处理方法
训练2 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.b>a>c
答案　A
解析　因为函数y＝x是(0，＋∞)上的增函数，
且<，所以b又函数y＝在R上是减函数，且<，
所以>，即a>c，
则a，b，c的大小关系为a>c>b.
角度2　解简单的指数型不等式
例3 (链接教材P119T3) (1)解不等式≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，且a≠1)，求x 的取值范围.
解　(1)∵2＝，
∴原不等式可以转化为≤.
又y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，解得x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)当00，且a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
解得x<－1或x>5；
当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1解得－1综上，当05；
当a>1时，－1思维升华　1.利用指数函数的单调性解不等式时，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
2.解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要先判断底数的范围，若底数不确定，则需进行分类讨论.
训练3 (1)不等式2x2＋2x－4≤的解集为(　　)
A.[－1，3] B.[－3，－1]
C.[－3，1] D.[1，3]
(2)若存在正实数x使2x(x－a)<1，则a的取值范围是(　　)
A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)原不等式化为2 x2＋2x－4≤2－1，
∴x2＋2x－4≤－1，解得－3≤x≤1，
∴不等式的解集为[－3，1].
(2)由2x(x－a)<1，得a>x－(x>0)，
令f(x)＝x－(x>0)，即a>f(x)有解，
则a>f(x)min.
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)>f(0)＝－1，∴a>－1.
三、指数函数图象和性质的综合运用
例4 设函数f(x)＝a－.
(1)求证：不论a为何实数，f(x)总为增函数；
(2)当f(x)为奇函数时，求a及此时f(x)的值域.
(1)证明　f(x)的定义域为R，
任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＋＝，
∵x1∴2x1－2 x2<0，(1＋2 x1)(1＋2 x2)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴不论a为何实数，f(x)总为增函数.
(2)解　∵f(x)为奇函数，且f(x)定义域为R，
∴f(0)＝a－＝0，解得a＝1.
经检验，当a＝1时，f(x)为奇函数，
∴f(x)＝1－.
∵2x＋1>1，∴0<<2，
则－2<－<0，从而－1故函数f(x)的值域为(－1，1).
思维升华　1.解决指数函数图象和性质综合问题的注意点：
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧；
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行；
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
2.解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质利用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解.
训练4 已知函数f(x)＝，
(1)判断函数g(x)＝f(x)－1的奇偶性，并求函数y＝g(x)的值域；
(2)若实数m满足g(m)＋g(m－2)>0，求实数m的取值范围.
解　(1)因为g(x)＝f(x)－1＝－1＝，函数的定义域为R，
设任意x∈R，－x∈R，
且g(－x)＝＝－g(x)，
所以函数g(x)是奇函数.
g(x)＝－1＝－1，
因为1＋3－2x>1，所以0<<2，
所以－1<－1<1，
所以函数y＝g(x)的值域是(－1，1).
(2)因为y＝1＋3－2x在R上单调递减，
所以g(x)＝－1＝－1在R上是单调递增函数，
所以y＝g(x)在R上是单调递增的奇函数，
由g(m)＋g(m－2)>0得，g(m)>－g(m－2)＝g(2－m)，所以m>2－m，所以m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞).
【课堂达标】
1.f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　)
A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
答案　D
解析　由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)＝是减函数.
2.(链接教材P119T6)三个数1.10.5，0.90.5，0.90.6按照由小到大的顺序排列是________.
答案　0.90.6＜0.90.5＜1.10.5
解析　∵y＝0.9x在R上为减函数，且0＜0.5＜0.6，
∴1＞0.90.5＞0.90.6.
又∵y＝1.1x在R上为增函数，且0.5＞0，
∴1.10.5＞1.10＝1，
∴从小到大排序为0.90.6＜0.90.5＜1.10.5.
3.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.
答案　[2，＋∞)
解析　由复合函数的单调性知，
y＝－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2.
4.若<，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　因为函数y＝在R上为减函数，
且<，
所以2a＋1>8－2a，所以a>.
一、基础巩固
1.已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
答案　B
解析　a＝30.2∈(1，3)，b＝0.2－3＝＝53＝125，c＝(－3)0.2＝<0，
所以b>a>c.
2.方程3x－1＝的解是(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　B
解析　∵3x－1＝，∴3x－1＝3－2，
∴x－1＝－2，因此x＝－.
3.(多选)已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，下列等式可以成立的是(　　)
A.a＝b＝0 B.aC.0答案　ABD
解析　如图，观察易知，a因此A，B，D项均可成立.
4.(多选)已知不等式ax－3>a1－x，下列结论正确的是(　　)
A.当a>1时，不等式的解集为(－∞，2)
B.当a>1时，不等式的解集为(2，＋∞)
C.当0D.当0答案　BC
解析　当0由ax－3>a1－x，
得x－3<1－x，解得x<2.
当a>1时，y＝ax是增函数，
由ax－3>a1－x，得x－3>1－x，解得x>2.
因此B，C正确，A，D不正确.
5.函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值是(　　)
A.6 B.1
C.3 D.
答案　C
解析　函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2.
因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3.
6.已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为________.
答案　2
解析　因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝＝0，解得n＝2.
经验证n＝2时f(x)为奇函数.
7.函数y＝3·在[0，1]上的最大值为________.
答案　12
解析　函数y＝3·＝12·在[0，1]上单调递减，
∴当x＝0时，函数取到最大值ymax＝12.
8.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________.
答案　a>c>b
解析　因为y＝x(x>0)为增函数，所以a>c.
因为y＝(x∈R)为减函数，所以c>b，
所以a>c>b.
9.已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若g(2x2－3x＋1)>g(x2＋2x－5)，求x的取值范围.
解　(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)＝8，
所以a3＝8，即a＝2，
所以f(x)＝2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)＝.
(2)根据(1)知，g(x)＝是减函数，
由g(2x2－3x＋1)>g(x2＋2x－5)，
得2x2－3x＋1则x2－5x＋6<0，
解得2故原不等式的解集为{x|210.已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，
故f(x)的单调增区间是(－2，＋∞).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，
故当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.
二、综合运用
11.已知(0.61.2)a>(1.20.6)a，则a的取值范围是(　　)
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(1，＋∞) D.(－∞，1)
答案　B
解析　由指数函数的性质知，
0<0.61.2<1，1.20.6>1，则1.20.6>0.61.2>0.
设幂函数为y＝xa，
由(0.61.2)a>(1.20.6)a知，幂函数在第一象限内应为减函数，故a<0.
12.已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________.
答案　(－∞，0]　(0，2]
解析　令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，
令t＝－1，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增，
又y＝为减函数，
故f(x)的增区间为(－∞，0].
∵t＝－1，且t≥－1.
∴∈(0，2].
故f(x)的值域为(0，2].
13.已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)>0.
解　(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.
令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，
则f(x)＝g(x)·φ(x).
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，
因此f(－x)＝(－x)3g(－x)＝x3g(x)＝f(x)，
∴f(x)＝·x3为偶函数.
(3)证明　当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴＋>0.
∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立.
故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
三、创新拓展
14.设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A.(－∞，0) B.(0，＋∞)
C.(－∞，1) D.(0，1)
答案　C
解析　函数f(x)＝的图象如图，
显然函数f(x)在R上单调递减，
∵f(x＋1)∴x＋1>2x，解之得x<1.(共50张PPT)
第二课时　指数函数的图象和性质(二)
第四章 4.2　指数函数 4.2.2　指数函数的图象和性质
课标要求
1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.
2.能判断与证明指数型函数的单调性.
3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.
课时精练
一、指数型函数的单调性及最值
二、指数型函数单调性的应用
三、指数函数图象和性质的综合运用
课堂达标
内容索引
指数型函数的单调性及最值
一
探究 对于函数y＝af(x)(a>0，a≠1)，其定义域为区间I，若令t＝f(x)，则y＝at.
(1)当a>1时，在区间I上，如果t随x的增大而增大，那么y随t怎样变化？y随x怎样变化？
提示　y随着t的增大而增大；y随着x的增大而增大.
(2)当0提示　y随着t的增大而减小；y随着x的增大而减小.
一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质：
知识梳理
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有______的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有______的单调性；当0相同
相同
相反
例1
1.指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定：一是底数；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成.
2.求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性求出y＝f[φ(x)]的单调性.
思维升华
(1)函数y＝ax(a＞0且a≠1)在[1，2]上最大值与最小值的差为2，则a＝
训练1
√
y＝ax(a＞0且a≠1)在[1，2]上是单调函数，
当a>1时，a2－a＝2，解得a＝2(舍去－1).
当0综上知a＝2.
3
指数型函数单调性的应用
二
例2
√
角度1　比较两数的大小
函数y＝2x在R上是增函数，
(链接教材P117例3)(1)已知a＝23.2，b＝23，c＝2－1，那么a，b，c的大小关系为
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a
又3.2>3>－1，∴23.2>23>2－1，故a>b>c.
√
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是
A.a∵y＝0.6x在R上是减函数，
∴1>a＝0.60.6>0.61.5＝b.
又y＝1.5x在R上是增函数，知1.50.6>1，
所以c>a>b.
思维升华
比较幂值大小的3种类型及处理方法
训练2
√
例3
角度2　解简单的指数型不等式
(2)已知ax2－3x＋10，且a≠1)，求x 的取值范围.
思维升华
1.利用指数函数的单调性解不等式时，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
2.解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要先判断底数的范围，若底数不确定，则需进行分类讨论.
训练3
√
√
指数函数图象和性质的综合运用
三
例4
f(x)的定义域为R，任取x1，x2∈R，且x1(2)当f(x)为奇函数时，求a及此时f(x)的值域.
思维升华
1.解决指数函数图象和性质综合问题的注意点：
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧；
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行；
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
2.解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质利用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解.
训练4
【课堂达标】
√
0.90.6＜0.90.5＜1.10.5
3.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是_________.
由复合函数的单调性知，
[2，＋∞)
【课时精练】
√
1.已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
√
√
3.(多选)已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，下列等式可以成立的是
如图，观察易知，aA.a＝b＝0 B.aC.0√
√
因此A，B，D项均可成立.
√
4.(多选)已知不等式ax－3>a1－x，下列结论正确的是
当0a1－x，
A.当a>1时，不等式的解集为(－∞，2)
B.当a>1时，不等式的解集为(2，＋∞)
C.当0D.当0√
得x－3<1－x，解得x<2.
当a>1时，y＝ax是增函数，由ax－3>a1－x，得x－3>1－x，解得x>2.
因此B，C正确，A，D不正确.
√
5.函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值是
函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，
故有a0＋a1＝3，解得a＝2.
因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3.
因为f(x)为定义在R上的奇函数，
2
12
a>c>b
9.已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称.
(1)求函数g(x)的解析式；
设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(3)＝8，
所以a3＝8，即a＝2，
所以f(x)＝2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
(2)若g(2x2－3x＋1)>g(x2＋2x－5)，求x的取值范围.
由g(2x2－3x＋1)>g(x2＋2x－5)，
得2x2－3x＋1则x2－5x＋6<0，
解得2故原不等式的解集为{x|2√
11.已知(0.61.2)a>(1.20.6)a，则a的取值范围是
由指数函数的性质知，0<0.61.2<1，1.20.6>1，则1.20.6>0.61.2>0.
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(1，＋∞) D.(－∞，1)
设幂函数为y＝xa，
令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，
(－∞，0]
(0，2]
(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(3)证明：f(x)>0.
当x>0时，2x>1，
√
显然函数f(x)在R上单调递减，
∵f(x＋1)2x，解之得x<1.第二课时　指数函数的图象和性质(二)
课标要求　1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质. 2.能判断与证明指数型函数的单调性. 3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.
一、指数型函数的单调性及最值
探究 对于函数y=af(x)(a>0,a≠1),其定义域为区间I,若令t=f(x),则y=at.
(1)当a>1时,在区间I上,如果t随x的增大而增大,那么y随t怎样变化 y随x怎样变化
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)当0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
一般地,形如y=af(x)(a>0,且a≠1)函数的性质:
(1)函数y=af(x)与函数y=f(x)有　　　　的定义域.
(2)当a>1时,函数y=af(x)与y=f(x)具有　　　　的单调性;当0例1 (链接教材P120T9)判断f(x)=的单调性,并求最值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定:一是底数;二是f(x)的单调性,它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.
2.求复合函数的单调区间时,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过f(u)和φ(x)的单调性求出y=f[φ(x)]的单调性.
训练1 (1)函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上最大值与最小值的差为2,则a= (　　)
A.-1或2 B.2
C.
(2)函数f(x)=+1在[-1,2]上的最小值是　　　　,最大值是　　　　.
二、指数型函数单调性的应用
角度1　比较两数的大小
例2 (链接教材P117例3)(1)已知a=23.2,b=23,c=2-1,那么a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
(2)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.aC.b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　比较幂值大小的3种类型及处理方法
训练2 设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.b>a>c
角度2　解简单的指数型不等式
例3 (链接教材P119T3)(1)解不等式≤2;
(2)已知0,且a≠1),求x 的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.利用指数函数的单调性解不等式时,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
2.解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要先判断底数的范围,若底数不确定,则需进行分类讨论.
训练3 (1)不等式的解集为 (　　)
A.[-1,3] B.[-3,-1]
C.[-3,1] D.[1,3]
(2)若存在正实数x使2x(x-a)<1,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
三、指数函数图象和性质的综合运用
例4 设函数f(x)=a-.
(1)求证:不论a为何实数,f(x)总为增函数;
(2)当f(x)为奇函数时,求a及此时f(x)的值域.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.解决指数函数图象和性质综合问题的注意点:
(1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧;
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行;
(3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注意是否需要讨论.
2.解题过程中要关注、体会性质的应用,如果性质利用不充分,会导致解题步骤烦琐或无法求解.
训练4 已知函数f(x)=,
(1)判断函数g(x)=f(x)-1的奇偶性,并求函数y=g(x)的值域;
(2)若实数m满足g(m)+g(m-2)>0,求实数m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.f(x)=,x∈R,那么f(x)是 (　　)
A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数
B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数
C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数
D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数
2.(链接教材P119T6)三个数1.10.5,0.90.5,0.90.6按照由小到大的顺序排列是　　　　.
3.函数y=在(-∞,1)内单调递增,则a的取值范围是　　　　.
4.若,则实数a的取值范围是　　　　.第四章　课时精练34 指数函数的图象和性质(二)
(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.已知a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则a,b,c的大小关系为 (　　)
a>b>c b>a>c
c>a>b b>c>a
2.方程的解是 (　　)
-
3.(多选)已知实数a,b满足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成立的是 (　　)
a=b=0 a04.(多选)已知不等式ax-3>a1-x,下列结论正确的是 (　　)
当a>1时,不等式的解集为(-∞,2)
当a>1时,不等式的解集为(2,+∞)
当0当05.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是 (　　)
6 1
3
6.已知函数f(x)=为奇函数,则n的值为　　　　.
7.函数y=3·在[0,1]上的最大值为　　　　.
8.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是　　　　　　　　.
9.(13分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)若g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范围.
10.(13分)已知函数f(x)=.
(1)若a=-1时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)如果函数f(x)有最大值3,求实数a的值.
二、综合运用
11.已知(0.61.2)a>(1.20.6)a,则a的取值范围是 (　　)
(0,+∞) (-∞,0)
(1,+∞) (-∞,1)
12.已知函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为　　　　,值域为　　　　.
13.(17分)已知函数f(x)=·x3.
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)证明:f(x)>0.
三、创新拓展
14.设函数f(x)=则满足f(x+1)(-∞,0) (0,+∞)
(-∞,1) (0,1)
1.B　[a＝30.2∈(1，3)，b＝0.2－3＝
＝53＝125，c＝(－3)0.2＝<0，
所以b>a>c.]
2.B　[∵3x－1＝，∴3x－1＝3－2，
∴x－1＝－2，因此x＝－.]
3.ABD　[如图，观察易知，a因此A，B，D项均可成立.]
4.BC　[当0由ax－3>a1－x，
得x－3<1－x，解得x<2.
当a>1时，y＝ax是增函数，
由ax－3>a1－x，得x－3>1－x，解得x>2.
因此B，C正确，A，D不正确.]
5.C　[函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2.
因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3.]
6.2　[因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝＝0，解得n＝2.
经验证n＝2时f(x)为奇函数.]
7.12　[函数y＝3·＝12·在[0，1]上单调递减，
∴当x＝0时，函数取到最大值ymax＝12.]
8.a>c>b　[因为y＝x(x>0)为增函数，所以a>c.
因为y＝(x∈R)为减函数，所以c>b，
所以a>c>b.]
9.解　(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，
所以f(x)＝2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)＝.
(2)根据(1)知，g(x)＝是减函数，
由g(2x2－3x＋1)>g(x2＋2x－5)，
得2x2－3x＋1则x2－5x＋6<0，解得2故原不等式的解集为{x|210.解　(1)当a＝－1时，
f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，
故f(x)的单调增区间是(－2，＋∞).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，
故当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.
11.B　[由指数函数的性质知，
0<0.61.2<1，1.20.6>1，则1.20.6>0.61.2>0.
设幂函数为y＝xa，
由(0.61.2)a>(1.20.6)a知，幂函数在第一象限内应为减函数，故a<0.]
12.(－∞，0]　(0，2]　[令x2－2x≥0，
解得x≥2或x≤0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，
令t＝－1，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增，
又y＝为减函数，
故f(x)的增区间为(－∞，0].
∵t＝－1，且t≥－1.
∴∈(0，2].
故f(x)的值域为(0，2].]
13.解　(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称.
令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，
则f(x)＝g(x)·φ(x).
∵g(－x)＝＝＝－g(x)，
因此f(－x)＝(－x)3g(－x)＝x3g(x)＝f(x)，
∴f(x)＝·x3为偶函数.
(3)证明　当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴＋>0.
∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立.故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
14.C　[函数f(x)＝的图象如图，
显然函数f(x)在R上单调递减，
∵f(x＋1)∴x＋1>2x，解之得x<1.]

展开更多......

收起↑