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第二课时　对数函数的图象和性质(二)
课标要求　1.进一步掌握对数函数的图象和性质.
2.能运用对数函数的图象和性质解决求最值、解不等式等综合问题.
一、解简单对数不等式
例1 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a>0，且a≠1)，解关于x的不等式loga(1－ax)>f(1).
解　由f(x)＝loga(1－ax)，
得f(1)＝loga(1－a)，
则1－a>0，所以0原不等式化为loga(1－ax)>loga(1－a).
所以即
所以0所以不等式的解集为(0，1).
思维升华　两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解.
温馨提示　求解与对数函数相关问题一定遵循定义域的优先原则.
训练1 (1)已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，满足f(a＋1)>f(a＋2)，则f(2x2－x)>0的解集是(　　)
A.(－∞，0)∪
B.
C.∪
D.∪
(2)不等式log2(2x＋3)答案　(1)C　(2){x|x>3}
解析　(1)因为a＋1f(a＋2)，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故0f(2x2－x)>0，即0<2x2－x<1，
解得－(2)由于y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
∴解得x>3.
二、对数(型)函数的单调性
探究 设函数f(x)＝loga(x2－2)(a>0，且a≠1).
(1)当a>1时，判断f(x)在(，＋∞)上的单调性.
提示　t＝x2－2在(，＋∞)上单调递增，f(x)在(，＋∞)上是增函数.
(2)当0提示　∵t＝x2－2在(，＋∞)上单调递增，在(－∞，－)上单调递减，
∴f(x)在(，＋∞)上单调递减；
在(－∞，－)上单调递增.
【知识梳理】
形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的单调性.
(1)当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致.
(2)当00的前提下与y＝f(x)的单调性相反.
角度1　对数(型)函数的单调性
例2 (1)函数y＝log(2x－x2)的单调减区间为________.
(2)函数y＝loga(3＋ax)在[－2，－1]上是单调递增的，则实数a的范围是________.
答案　(1)(0，1]　(2)
解析　(1)由2x－x2>0，知函数定义域为(0，2)，
令t＝2x－x2，x∈(0，2)，则y＝logt，
又t＝2x－x2＝－(x－1)2＋1的对称轴为x＝1.
∴t＝2x－x2在(0，1]上单调递增，
又y＝logt是减函数，
∴y＝log(2x－x2)在(0，1]上单调递减，则单调减区间为(0，1].
(2)由于a>0且a≠1，则内层函数u＝ax＋3在区间[－2，－1]上为增函数，
由于函数y＝loga(3a＋x)在[－2，－1]上是单调递增的，
则外层函数y＝logau为增函数，所以a>1.
依题意对任意x∈[－2，－1]，u＝ax＋3>0恒成立，
则umin＝－2a＋3>0，解得a<.
综上知，1故实数a的取值范围是.
思维升华　1.首先求定义域，再利用复合法则“同增异减”求单调区间.
2.若已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围，则该区间为函数相应单调区间的子区间，或者根据复合法则“同增异减”及函数的定义域，列出不等式组求参数的范围.
训练2 已知函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围.
解　令g(x)＝x2－ax＋a，
因为函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，
所以g(x)＝x2－ax＋a在(－∞，)上是减函数，
且g(x)在(－∞，)上恒正.
∴
解得2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2(＋1)].
角度2　对数型函数的值域(最值)
例3 (链接教材P161T11)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值.
解　(1)由得－3所以函数的定义域为{x|－3f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]，
设t＝(1－x)(x＋3)＝4－(x＋1)2，
所以t≤4，又t>0，
则0当a>1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}，
当0(2)由题设及(1)知当0所以loga4＝－2，解得a＝.
思维升华　1.求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解，一定要注意定义域对它的影响.
2.当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化.
训练3 已知2≤x≤8，求函数f(x)＝log2·log2的最值.
解　f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2.
令t＝log2x，x∈[2，8]，则t∈[1，3].
∴y＝f(t)＝t2－3t＋2＝－.
易知，当t＝3，即x＝8时，ymax＝2.
当t＝，即x＝2时，ymin＝－，
故函数f(x)的最大值为2，最小值为－.
三、对数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝lg .
(1)若f(x)为奇函数，求a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m和n的值.
解　(1)由于f(x)是奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝0，
即lg ＋lg ＝0，
∴＝1，
解得a＝1(a＝－1时，函数f(x)无意义，故舍去).
(2)由(1)知，f(x)＝lg ，x∈(－1，1)，
又t＝＝－1＋在(－1，1)上是减函数，
且y＝lg t在定义域上为增函数，
∴f(x)在(－1，1)上是减函数.
又f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，
∴f(n)＝lg ＝－1，
当x＝m时，f(m)无意义，
从而m＝－1，且n＝.
思维升华　1.对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等.
2.熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.
训练4 已知函数f(x)＝loga(0(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.
解　(1)要使此函数有意义，则有>0，∴x>1或x<－1.
故函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，
故函数f(x)在定义域内为奇函数.
f(x)＝loga＝loga，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减，
又y＝logau(0∴f(x)＝loga的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
【课堂达标】
1.函数f(x)＝logax(0A.0 B.1
C.2 D.a
答案　C
解析　∵0∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
2.(多选)已知函数f(x)＝|lg x|，则(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的值域为[0，＋∞)
C.f(x)在[0，＋∞)上单调递增
D.f(x)在[1，＋∞)上单调递增
答案　BD
解析　画出f(x)＝|lg x|的图象如图所示.
根据图象可看出f(x)的值域为[0，＋∞)，f(x)有一个零点，f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
3.函数f(x)＝log4(9－x2)的单调递增区间是________，单调递减区间是________.
答案　(－3，0)　(0，3)
解析　由t＝9－x2>0，知定义域为(－3，3)，
当x∈(－3，0)时，t＝9－x2单调递增，f(x)在(－3，0)上单调递增；
当x∈(0，3)时，t＝9－x2单调递减，f(x)在(0，3)上单调递减.
4. (链接教材P140T2)若log0.7(2x)答案　(1，＋∞)
解析　∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.7(2x)得解得x>1.
∴x的取值范围是(1，＋∞).
一、基础巩固
1.函数f(x)＝log[(x＋5)(1－x)]的单调递增区间是(　　)
A.(－5，－2) B.(－5，1)
C.(－2，1) D.(1，＋∞)
答案　C
解析　函数f(x)的定义域为(－5，1)，
函数f(x)＝log[(x＋5)(1－x)]的单调递增区间即为y＝(x＋5)(1－x)＝－x2－4x＋5，y>0时的单调递减区间(－2，1).
2.已知log0.3(3x)A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，
所以原不等式等价于
解得x>.
3.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)
A.0C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1
答案　C
解析　令t＝x2－2kx＋k，
由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，
得函数t＝x2－2kx＋k的图象恒与x轴有交点，
所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象为(　　)
答案　D
解析　由f(x)是R上的奇函数，
即函数图象关于原点对称，排除A，B.
又x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，排除C，选项D适合.
5.(多选)关于函数y＝log2(x2－2x＋3)有以下4个结论，其中正确的有(　　)
A.函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B.函数的单调递增区间为[1，＋∞)
C.函数的最小值为1
D.函数的图象恒在x轴的上方
答案　BCD
解析　函数y＝f(x)＝log2(x2－2x＋3)的定义域为R，故A错误.
令t＝x2－2x＋3，则y＝log2t，t＝x2－2x＋3的单调递增区间为[1，＋∞)，y＝log2t为增函数，故函数y＝log2(x2－2x＋3)的单调递增区间为[1，＋∞)，故B正确.
当x＝1时函数取最小值为1，故C正确.
对于D，由C知最小值为1，而最小值1在x轴上方，故正确.故选BCD.
6.函数f(x)＝lg(＋x)的奇偶性为______.
答案　奇函数
解析　f(x)的定义域为R.
又f(－x)＋f(x)＝lg(－x)＋lg(＋x)＝lg[(－x)(＋x)]
＝lg 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数.
7.如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的增减性相同，则实数a的取值范围是________.
答案　(1，2)
解析　若f(x)，g(x)均为增函数，
则即1若f(x)，g(x)均为减函数，
则无解.
综上，实数a的取值范围是(1，2).
8.若函数f(x)＝loga(x＋5)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(m，n)，则m＋n＝________；函数g(x)＝ln(x2＋m)的单调递增区间为________.
答案　－3　(2，＋∞)
解析　令x＋5＝1，则x＝－4，y＝0＋1＝1，
∴图象恒过定点P(－4，1)，则m＝－4，n＝1，
因此m＋n＝－3，且g(x)＝ln(x2－4).
易知函数g(x)的定义域是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
令u(x)＝x2－4，递增区间为(2，＋∞)，g(u)＝ln u在定义域内为增函数，复合函数g(u(x))根据同增异减性质，函数g(x)的递增区间为(2，＋∞).
9.已知对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(2，1).
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知f(x－1)>f(8－2x)，求x的取值范围.
解　(1)因为对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(2，1)，
所以1＝loga2，所以a＝2，故f(x)＝log2x.
(2)由于函数f(x)是定义域内的增函数，
f(x－1)>f(8－2x)，
∴解得3故原不等式的解集是{x|310.设f(x)＝loga(3＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(0)＝2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最小值.
解　(1)由f(0)＝2，
得loga3＋loga3＝2loga3＝2，则a＝3.
所以f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)，
所以解得－3所以f(x)的定义域是(－3，3).
(2)因为f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)＝log3(9－x2)，
当x∈[0，]时，t＝9－x2是减函数，且t>0.
又y＝log3t是增函数，
∴f(x)＝log3(9－x2)在[0，]上单调递减，
因此当x＝时，f(x)在区间[0，]上取得最小值f()＝log3[9－()2]＝1.
二、综合运用
11.(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　　)
A.f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B.f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C.f(x)在定义域内是偶函数
D.f(x)的图象关于直线x＝1对称
答案　AD
解析　因为函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，
所以f(x)＝loga(1－x)在(0，1)上是减函数.
又y＝1－x是减函数，则a>1.
当x>1时，f(x)＝loga(x－1)，y＝x－1是增函数.
又a>1，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误.
f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，
则f(x)为非奇非偶函数，C错误.
易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确.
12.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________.
答案　∪(2，＋∞)
解析　作出函数f(x)的图象，如图所示，
由于f(2)＝f，故结合图象可知02.
13.已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数.
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)解　(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
则log＝－log＝log，
解得a＝－1或a＝1(舍).
(2)f(x)＋log(x－1)＝log＋log(x－1)＝log(1＋x)，
当x>1时，log(1＋x)<－1，
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)因此实数m的取值范围为[－1，＋∞).
三、创新拓展
14.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为________.
答案　
解析　设B(x，2logax)，C(x′，logax′)，
∵BC平行于x轴，
∴2logax＝logax′，则x′＝x2.
∴正方形ABCD的边长＝|BC|＝x2－x＝2，
解得x＝2.
由已知，得AB垂直于x轴，∴A(x，3logax).
正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝.(共49张PPT)
第二课时　对数函数的图象和性质(二)
第四章 4.4　对数函数 4.4.2　对数函数的图象和性质
课标要求
1.进一步掌握对数函数的图象和性质.
2.能运用对数函数的图象和性质解决求最值、解不等式等综合问题.
课时精练
一、解简单对数不等式
二、对数(型)函数的单调性
三、对数函数性质的综合应用
课堂达标
内容索引
解简单对数不等式
一
例1
已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a>0，且a≠1)，解关于x的不等式loga(1－ax)>f(1).
由f(x)＝loga(1－ax)，得f(1)＝loga(1－a)，
则1－a>0，所以0原不等式化为loga(1－ax)>loga(1－a).
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式
(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解.
思维升华
温馨提示
求解与对数函数相关问题一定遵循定义域的优先原则.
(1)已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，满足f(a＋1)>f(a＋2)，则f(2x2－x)>0的解集是
训练1
√
因为a＋1f(a＋2)，
(2)不等式log2(2x＋3){x|x>3}
由于y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
对数(型)函数的单调性
二
知识梳理
形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的单调性.
(1)当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性______.
(2)当0一致
相反
f(x)>0
例2
角度1　对数(型)函数的单调性
由2x－x2>0，知函数定义域为(0，2)，
(0，1]
(2)函数y＝loga(3＋ax)在[－2，－1]上是单调递增的，则实数a的范围是________.
由于a>0且a≠1，则内层函数u＝ax＋3在区间[－2，－1]上为增函数，
由于函数y＝loga(3a＋x)在[－2，－1]上是单调递增的，
则外层函数y＝logau为增函数，所以a>1.
依题意对任意x∈[－2，－1]，u＝ax＋3>0恒成立，
思维升华
1.首先求定义域，再利用复合法则“同增异减”求单调区间.
2.若已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围，则该区间为函数相应单调区间的子区间，或者根据复合法则“同增异减”及函数的定义域，列出不等式组求参数的范围.
训练2
令g(x)＝x2－ax＋a，
例3
f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]，设t＝(1－x)(x＋3)＝4－(x＋1)2，
所以t≤4，又t>0，则0当a>1时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}，
当0思维升华
1.求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解，一定要注意定义域对它的影响.
2.当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化.
训练3
对数函数性质的综合应用
三
例4
(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m和n的值.
思维升华
1.对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等.
2.熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.
训练4
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.
【课堂达标】
1.函数f(x)＝logax(0A.0 B.1 C.2 D.a
√
∵0∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
√
2.(多选)已知函数f(x)＝|lg x|，则
A.f(x)是偶函数 B.f(x)的值域为[0，＋∞)
C.f(x)在[0，＋∞)上单调递增 D.f(x)在[1，＋∞)上单调递增
画出f(x)＝|lg x|的图象如图所示.
√
根据图象可看出f(x)的值域为[0，＋∞)，f(x)有一个零点，
f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
3.函数f(x)＝log4(9－x2)的单调递增区间是________，单调递减区间是________.
由t＝9－x2>0，知定义域为(－3，3)，
(－3，0)
(0，3)
当x∈(－3，0)时，t＝9－x2单调递增，f(x)在(－3，0)上单调递增；
当x∈(0，3)时，t＝9－x2单调递减，f(x)在(0，3)上单调递减.
4. (链接教材P140T2)若log0.7(2x)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
(1，＋∞)
【课时精练】
√
函数f(x)的定义域为(－5，1)，
√
2.已知log0.3(3x)因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，
√
3.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是
A.0C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1
令t＝x2－2kx＋k，
由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，
得函数t＝x2－2kx＋k的图象恒与x轴有交点，
所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象为
由f(x)是R上的奇函数，
√
即函数图象关于原点对称，排除A，B.
又x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，排除C，选项D适合.
√
5.(多选)关于函数y＝log2(x2－2x＋3)有以下4个结论，其中正确的有
A.函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B.函数的单调递增区间为[1，＋∞)
C.函数的最小值为1
D.函数的图象恒在x轴的上方
函数y＝f(x)＝log2(x2－2x＋3)的定义域为R，故A错误.
√
√
令t＝x2－2x＋3，则y＝log2t，t＝x2－2x＋3的单调递增区间为[1，＋∞)，
y＝log2t为增函数，故函数y＝log2(x2－2x＋3)的单调递增区间为[1，＋∞)，故B正确.
当x＝1时函数取最小值为1，故C正确.
对于D，由C知最小值为1，而最小值1在x轴上方，故正确.故选BCD.
f(x)的定义域为R.
奇函数
7.如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的增减性相同，则实数a的取值范围是________.
若f(x)，g(x)均为增函数，
(1，2)
－3
8.若函数f(x)＝loga(x＋5)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(m，n)，则m＋n＝________；函数g(x)＝ln(x2＋m)的单调递增区间为__________.
令x＋5＝1，则x＝－4，y＝0＋1＝1，
(2，＋∞)
∴图象恒过定点P(－4，1)，则m＝－4，n＝1，
因此m＋n＝－3，且g(x)＝ln(x2－4).
易知函数g(x)的定义域是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
令u(x)＝x2－4，递增区间为(2，＋∞)，g(u)＝ln u在定义域内为增函数，复合函数g(u(x))根据同增异减性质，函数g(x)的递增区间为(2，＋∞).
9.已知对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(2，1).
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知f(x－1)>f(8－2x)，求x的取值范围.
(1)因为对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(2，1)，
所以1＝loga2，所以a＝2，故f(x)＝log2x.
(2)由于函数f(x)是定义域内的增函数，f(x－1)>f(8－2x)，
10.设f(x)＝loga(3＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(0)＝2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
由f(0)＝2，得loga3＋loga3＝2loga3＝2，则a＝3.
因为f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)＝log3(9－x2)，
√
11.(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么
A.f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B.f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C.f(x)在定义域内是偶函数
D.f(x)的图象关于直线x＝1对称
因为函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，
√
所以f(x)＝loga(1－x)在(0，1)上是减函数.
又y＝1－x是减函数，则a>1.
当x>1时，f(x)＝loga(x－1)，y＝x－1是增函数.
又a>1，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误.
f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，
则f(x)为非奇非偶函数，C错误.
易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确.
12.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为_______________________.
作出函数f(x)的图象，如图所示，
∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，
14.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为________.
设B(x，2logax)，C(x′，logax′)，∵BC平行于x轴，第二课时　对数函数的图象和性质(二)
课标要求　1.进一步掌握对数函数的图象和性质. 2.能运用对数函数的图象和性质解决求最值、解不等式等综合问题.
一、解简单对数不等式
例1 已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,且a≠1),解关于x的不等式loga(1-ax)>f(1).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0;
②当a>1时,可转化为0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
温馨提示　求解与对数函数相关问题一定遵循定义域的优先原则.
训练1 (1)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),满足f(a+1)>f(a+2),则f(2x2-x)>0的解集是 (　　)
A.(-∞,0)∪ B.
C. D.
(2)不等式log2(2x+3)二、对数(型)函数的单调性
探究 设函数f(x)=loga(x2-2)(a>0,且a≠1).
(1)当a>1时,判断f(x)在(,+∞)上的单调性.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)当0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的单调性.
(1)当a>1时,y=logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y=f(x)的单调性　　　　.
(2)当0角度1　对数(型)函数的单调性
例2 (1)函数y=lo(2x-x2)的单调减区间为　　　　.
(2)函数y=loga(3+ax)在[-2,-1]上是单调递增的,则实数a的范围是　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.首先求定义域,再利用复合法则“同增异减”求单调区间.
2.若已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围,则该区间为函数相应单调区间的子区间,或者根据复合法则“同增异减”及函数的定义域,列出不等式组求参数的范围.
训练2 已知函数y=lo(x2-ax+a)在区间(-∞,)上是增函数,求实数a的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　对数型函数的值域(最值)
例3 (链接教材P161T11)已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)若函数f(x)有最小值为-2,求a的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求对数型函数的值域时,一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解,一定要注意定义域对它的影响.
2.当函数较为复杂时,可对对数函数进行换元,把复杂问题简单化.
训练3 已知2≤x≤8,求函数f(x)=log2的最值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、对数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)=lg .
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)在(m,n)上的值域为(-1,+∞),求m和n的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.对数型函数的综合问题,常以对数函数为依托,着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等.
2.熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.
训练4 已知函数f(x)=loga(0(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并求函数的单调区间.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.函数f(x)=logax(0A.0 B.1
C.2 D.a
2.(多选)已知函数f(x)=|lg x|,则 (　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的值域为[0,+∞)
C.f(x)在[0,+∞)上单调递增
D.f(x)在[1,+∞)上单调递增
3.函数f(x)=log4(9-x2)的单调递增区间是　　　,单调递减区间是　　　　.
4.(链接教材P140T2)若log0.7(2x)(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.函数f(x)=lo[(x+5)(1-x)]的单调递增区间是 (　　)
(-5,-2) (-5,1)
(-2,1) (1,+∞)
2.已知log0.3(3x)3.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是 (　　)
0k≤0或k≥1 k=0或k≥1
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象为 (　　)
A B
C D
5.(多选)关于函数y=log2(x2-2x+3)有以下4个结论,其中正确的有 (　　)
函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞)
函数的单调递增区间为[1,+∞)
函数的最小值为1
函数的图象恒在x轴的上方
6.函数f(x)=lg(+x)的奇偶性为　　　.
7.如果函数f(x)=(3-a)x与g(x)=logax(a>0,且a≠1)的增减性相同,则实数a的取值范围是　　　　.
8.若函数f(x)=loga(x+5)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P(m,n),则m+n=　　　　;函数g(x)=ln(x2+m)的单调递增区间为　　　　.
9.(13分)已知对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象过点(2,1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)已知f(x-1)>f(8-2x),求x的取值范围.
10.(13分)设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.
二、综合运用
11.(多选)函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,那么 (　　)
f(x)在(1,+∞)上递增且无最大值
f(x)在(1,+∞)上递减且无最小值
f(x)在定义域内是偶函数
f(x)的图象关于直线x=1对称
12.已知f(x)=|log3x|,若f(a)>f(2),则a的取值范围为　　　　.
13.(17分)已知函数f(x)=lo的图象关于原点对称,其中a为常数.
(1)求a的值;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)三、创新拓展
14.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为　　　　.
1.C　[函数f(x)的定义域为(－5，1)，
函数f(x)＝log[(x＋5)(1－x)]的单调递增区间即为y＝(x＋5)(1－x)＝－x2－4x＋5，y>0时的单调递减区间(－2，1).]
2.A　[因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>.]
3.C　[令t＝x2－2kx＋k，
由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，
得函数t＝x2－2kx＋k的图象恒与x轴有交点，
所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.]
4.D　[由f(x)是R上的奇函数，
即函数图象关于原点对称，排除A，B.
又x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，排除C，选项D适合.]
5.BCD　[函数y＝f(x)＝log2(x2－2x＋3)的定义域为R，故A错误.
令t＝x2－2x＋3，则y＝log2t，t＝x2－2x＋3的单调递增区间为[1，＋∞)，y＝log2t为增函数，故函数y＝log2(x2－2x＋3)的单调递增区间为[1，＋∞)，故B正确.
当x＝1时函数取最小值为1，故C正确.
对于D，由C知最小值为1，而最小值1在x轴上方，故正确.故选BCD.]
6.奇函数　[f(x)的定义域为R.
又f(－x)＋f(x)＝lg(－x)＋lg(＋x)＝lg[(－x)(＋x)]＝
lg 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数.]
7.(1，2)　[若f(x)，g(x)均为增函数，
则即1若f(x)，g(x)均为减函数，
则无解.
综上，实数a的取值范围是(1，2).]
8.－3　(2，＋∞)　[令x＋5＝1，
则x＝－4，y＝0＋1＝1，
∴图象恒过定点P(－4，1)，则m＝－4，n＝1，
因此m＋n＝－3，且g(x)＝ln(x2－4).
易知函数g(x)的定义域是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
令u(x)＝x2－4，递增区间为(2，＋∞)，g(u)＝ln u在定义域内为增函数，复合函数g(u(x))根据同增异减性质，函数g(x)的递增区间为(2，＋∞).]
9.解　(1)因为对数函数f(x)＝logax(a>0，
且a≠1)的图象过点(2，1)，
所以1＝loga2，所以a＝2，故f(x)＝log2x.
(2)由于函数f(x)是定义域内的增函数，
f(x－1)>f(8－2x)，
∴解得3故原不等式的解集是{x|310.解　(1)由f(0)＝2，
得loga3＋loga3＝2loga3＝2，则a＝3.
所以f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)，
所以解得－3所以f(x)的定义域是(－3，3).
(2)因为f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)
＝log3(9－x2)，
当x∈[0，]时，t＝9－x2是减函数，且t>0.
又y＝log3t是增函数，
∴f(x)＝log3(9－x2)在[0，]上单调递减，
因此当x＝时，f(x)在区间[0，]上取得最小值f()＝log3[9－()2]＝1.
11.AD　[因为函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，
所以f(x)＝loga(1－x)在(0，1)上是减函数.
又y＝1－x是减函数，则a>1.
当x>1时，f(x)＝loga(x－1)，y＝x－1是增函数.
又a>1，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误.
f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，
则f(x)为非奇非偶函数，C错误.
易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确.]
12.∪(2，＋∞)　[作出函数f(x)的图象，如图所示，
由于f(2)＝f，
故结合图象可知02.]
13.解　(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
则log＝－log＝log，
解得a＝－1或a＝1(舍).
(2)f(x)＋log(x－1)＝log＋log(x－1)
＝log(1＋x)，
当x>1时，log(1＋x)<－1，
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)因此实数m的取值范围为[－1，＋∞).
14.　[设B(x，2logax)，C(x′，logax′)，
∵BC平行于x轴，
∴2logax＝logax′，则x′＝x2.
∴正方形ABCD的边长＝|BC|＝x2－x＝2，
解得x＝2.
由已知，得AB垂直于x轴，
∴A(x，3logax).
正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝.]

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