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一、指数与对数的运算
1.指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算.
2.对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行.
例1 求下列各式的值：
(1)－－·e＋＋10lg 2；
(2)2log32－log3＋log38－25log53.
解　(1)－－·e＋＋10lg 2
＝－－e·e＋(e－2)＋2＝－e＋e－2＋2＝＝.
(2)原式＝log34－log3＋log38－52log53＝log3－5log59＝log39－9＝2－9＝－7.
训练1 计算：(1)－＋0.25×；
(2)log3＋2log510＋log50.25＋71－log72.
解　(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3.
(2)原式＝log3＋log5(100×0.25)＋7÷7log72
＝log33－＋log552＋＝－＋2＋＝.
二、指数函数、对数函数的图象
指数(对数)函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，考查图象的识别判断；二是图象的简单应用，是求解函数零点、最值、解不等式的工具.所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.
例2 (1)已知a>0，且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)
(2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A.{x|－1C.{x|－1答案　(1)C　(2)C
解析　(1)函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B；
若0此时g(x)＝loga是减函数，C，D都不满足；
若a>1，则f(x)＝ax是增函数，
此时g(x)＝loga是增函数，C满足.
(2)令y＝log2(x＋1)(x>－1)，
作出函数y＝log2(x＋1)(x>－1)的图象，如图.
由解得
结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1训练2 (1)已知a>1，b<－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等实数根，则k的取值范围是(　　)
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(1，＋∞) D.(0，1]
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)因为a>1，所以函数y＝loga(x－b)·(b<－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如图.
由图可知函数y＝loga(x－b)不经过第四象限.
(2)画出函数y＝f(x)和y＝k的图象，如图所示.
由图可知，当方程f(x)＝k有两个不等实数根时，实数k的取值范围是(0，1].
三、指数函数、对数函数的性质
对于指数函数和对数函数，注意底数a对函数单调性的影响；对于幂函数y＝xα，注意指数α对函数单调性的影响.根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集.
例3 (1)若a＝，b＝x，c＝logx，当x>1时，a，b，c的大小关系是(　　)
A.aC.c答案　B
解析　当x>1时，0b＝x>1，c＝logx<0.∴b>a>c.
(2)已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，
f(x)＝loga(3－ax)(a>0且a≠1).
①求当x<0时的f(x)的解析式；
②在①f(x)在(1，4)上单调递增；②在区间(－1，1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中，求g(a)＝的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)
解　①当x<0时，－x>0，
又当x≥0时，f(x)＝loga(3－ax)，
且f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝loga(3＋ax)，x<0.
②选条件①：由于f(x)在(1，4)上单调递增，
显然a>1不符合题意，
则
解得0此时g(a)＝的取值范围是.
选条件②：若0则f(0)＝loga3<0，显然不符合要求.
当a>1时，因为f(x)与y＝x2都是偶函数，
所以只需满足x∈[0，1)时，f(x)≥x2即可.
因为函数f(x)在[0，1)上单调递减，且y＝x2在[0，1)上单调递增，
所以F(x)＝f(x)－x2在[0，1)上单调递减.
则即
解得1此时g(a)＝的取值范围是.
训练3 已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值；
(2)若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域.
解　(1)因为loga3>loga2，
所以f(x)＝logax在[a，3a]上单调递增.
又f(x)在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，
则loga3＝1，所以a＝3.
(2)函数y＝(log3x)2－log3＋2
＝(log3x)2－log3x＋2＝＋.
令t＝log3x，x∈[1，3]，
则0≤t≤1.
所以y＝＋在上递减，在上递增，
∴≤y≤.
故所求函数的值域为.
四、函数的零点及应用
1.函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
2.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用转化思想.
例4 (1)设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
(2)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
答案　(1)B　(2)(3，＋∞)
解析　(1)因为函数f(x)＝log2x＋2x－3，
所以f(1)＝log21＋21－3＝－1<0.
f(2)＝log22＋22－3＝2>0，
所以根据函数零点存在定理可知在区间(1，2)内函数存在零点.
(2)如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；
当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)上为增函数.
若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m＜|m|.
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.
训练4 (1)方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　)
A.(0，2) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
(2)已知函数f(x)＝设函数g(x)＝f(x)－m，若m＝1，函数g(x)有________个不同的零点，若g(x)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________.
答案　(1)C　(2)2　(0，1)
解析　(1)令f(x)＝log3x＋x－3，
则f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，
f(2)＝log32＋2－3＝log3<0，
f(3)＝log33＋3－3＝1>0，
f(4)＝log34＋4－3＝log312>0，
则函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)，
所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2，3).
(2)作出函数f(x)的图象与直线y＝m如图所示.
当m＝1时，g(x)＝f(x)－m有2个零点；当这两个图象有3个交点时，则0五、函数模型的应用
利用函数模型解实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后根据问题条件，建立函数模型，最后结合其实际意义作出解答.
例5 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60，整治后前四个月的污染度如表所示：
月数 1 2 3 4
污染度 60 31 13 0
污染度为0后，该工厂停止整治，但污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)；g(x)＝(x－4)2(x≥1)；h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度.
(1)试问选用哪个函数模拟比较合理， 并说明理由；
(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？(注：log23≈1.58)
解　(1)选择函数h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)模拟比较合理.
理由如下：
因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)＝30|log23－2|≈12.6，
由此可得h(x)更接近实际值，
所以用h(x)模拟比较合理.
(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.
训练5 衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)
A.125 B.100
C.75 D.50
答案　C
解析　由已知，得a＝a·e－50k，
∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，
∴＝e－kt1＝，∴＝，即t1＝75.(共28张PPT)
第四章
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1.指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算.
2.对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行.
一、指数与对数的运算
例1
求下列各式的值：
训练1
指数(对数)函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，考查图象的识别判断；二是图象的简单应用，是求解函数零点、最值、解不等式的工具.所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.
二、指数函数、对数函数的图象
例2
√
函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B；
若0(2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是
A.{x|－1B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1D.{x|－1√
令y＝log2(x＋1)(x>－1)，
作出函数y＝log2(x＋1)(x>－1)的图象，如图.
(1)已知a>1，b<－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
训练2
√
因为a>1，所以函数y＝loga(x－b)·(b<－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如图.
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(1，＋∞) D.(0，1]
√
画出函数y＝f(x)和y＝k的图象，如图所示.
由图可知，当方程f(x)＝k有两个不等实数根时，
实数k的取值范围是(0，1].
三、指数函数、对数函数的性质
对于指数函数和对数函数，注意底数a对函数单调性的影响；对于幂函数y＝xα，注意指数α对函数单调性的影响.根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集.
例3
√
训练3
已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值；
四、函数的零点及应用
1.函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
2.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用转化思想.
例4
(1)设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
√
(3，＋∞)
当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)上为增函数.
若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，
则m2－2m·m＋4m＜|m|.
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.
训练4
(1)方程log3x＋x＝3的解所在的区间为
A.(0，2) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
√
则函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)，
所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2，3).
2
(0，1)
五、函数模型的应用
利用函数模型解实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后根据问题条件，建立函数模型，最后结合其实际意义作出解答.
例5
某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60，整治后前四个月的污染度如表所示：
月数 1 2 3 4
污染度 60 31 13 0
训练5
√章末复习提升
一、指数与对数的运算
1.指数的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.
2.对数的运算:注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,一般本着真数化简的原则进行.
例1 求下列各式的值:
(1)+10lg 2;
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)2log32-log3.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 计算:(1);
(2)log3.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、指数函数、对数函数的图象
指数(对数)函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,考查图象的识别判断;二是图象的简单应用,是求解函数零点、最值、解不等式的工具.所以要能熟练画出这两类函数图象,并会进行平移、对称、翻折等变换.
例2 (1)已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax和g(x)=loga的图象只可能是 (　　)
(2)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是 (　　)
A.{x|-1C.{x|-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 (1)已知a>1,b<-1,则函数y=loga(x-b)的图象不经过 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等实数根,则k的取值范围是 (　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(1,+∞) D.(0,1]
三、指数函数、对数函数的性质
对于指数函数和对数函数,注意底数a对函数单调性的影响;对于幂函数y=xα,注意指数α对函数单调性的影响.根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集.
例3 (1)若a=,b=,c=lox,当x>1时,a,b,c的大小关系是 (　　)
A.aC.c(2)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时,
f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1).
①求当x<0时的f(x)的解析式;
②在①f(x)在(1,4)上单调递增;②在区间(-1,1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中,求g(a)=的取值范围.(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)若1≤x≤3,求函数y=(logax)2-loga+2的值域.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、函数的零点及应用
1.函数的零点与方程的根的关系:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
2.函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间,主要利用转化思想.
例4 (1)设函数f(x)=log2x+2x-3,则函数f(x)的零点所在的区间为 (　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练4 (1)方程log3x+x=3的解所在的区间为 (　　)
A.(0,2) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
(2)已知函数f(x)=设函数g(x)=f(x)-m,若m=1,函数g(x)有　　　　个不同的零点,若g(x)有3个不同的零点,则实数m的取值范围是　　　　.
五、函数模型的应用
利用函数模型解实际应用题,关键要分清函数类型,并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件,然后根据问题条件,建立函数模型,最后结合其实际意义作出解答.
例5 某工厂因排污比较严重,决定着手整治,第一个月污染度为60,整治后前四个月的污染度如表所示:
月数 1 2 3 4
污染度 60 31 13 0
污染度为0后,该工厂停止整治,但污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:f(x)=20|x-4|(x≥1);g(x)=(x-4)2(x≥1);h(x)=30|log2x-2|(x≥1),其中x表示月数,f(x),g(x),h(x)分别表示污染度.
(1)试问选用哪个函数模拟比较合理, 并说明理由;
(2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过60 (注:log23≈1.58)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练5 衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为:V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a,则需经过的天数为 (　　)
A.125 B.100
C.75 D.50

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