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5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
课标要求　1.了解用单位圆作正弦函数图象的方法.
2.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的关系，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦函数的图象.
3.会利用正弦(余弦)函数的图象解决简单的问题.
【引入】 如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.你能描述一下该类曲线的特征吗？
一、正弦函数、余弦函数的图象
探究1 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)
提示　如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).
探究2 根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象y＝sin x，x∈R的图象吗？
提示　根据诱导公式一，把x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，得y＝sin x，x∈R的图象.
【知识梳理】
1.正弦函数的图象
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
(2)在精确度要求不高时，作y＝sin x，x∈[0，2π]的图象常常先找出五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，再用光滑的曲线将它们连接起来.
2.余弦函数的图象
(1)余弦函数的图象叫做余弦曲线，是“波浪起伏”的连续光滑曲线.
INCLUDEPICTURE"Q137.tif" INCLUDEPICTURE "F:\\赵国珍\\2024\\创新同步\\高一上\\2024（秋）数学 必修 第一册 人教A版（新教材新标准）教师用书（鲁津京……）\\Q137.tif" \* MERGEFORMATINET
(2)确定余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
温馨提示　(1)将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度得y＝cos x，x∈R的图象，因此y＝sin x，x∈R与y＝cos x，x∈R的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同.
(2)“五点法”只是画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象.若x∈R，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y＝sin x，x∈R和y＝cos x，x∈R的图象.
例1 (1)(多选)对于余弦函数y＝cos x的图象有以下描述，其中正确的描述有(　　)
A.将[0，2π]内的图象向左、向右不断平移2π个单位得到y＝cos x的图象
B.与y＝sin x图象完全相同
C.与y轴只有一个交点
D.关于x轴对称
答案　AC
解析　根据余弦函数的图象可以判断A，C正确，B，D错误.
(2)已知函数f(x)＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象如图所示，
点A的坐标为______；点E的坐标为______；|BD|＝________；|BE|＝________.
答案　(－2π，0)　　2π　
解析　由y＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象知点
A(－2π，0)，点E，|BD|＝2π.
|BE|＝＝.
思维升华　1.要熟练正弦、余弦函数图象特征，正弦曲线、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
2.知道正弦曲线、余弦曲线在x∈[－2π，2π]内特殊点(最高、最低点及与x轴的交点)的坐标，会求特殊点之间的横向距离.
训练1 (多选)下列说法正确的是(　　)
A.作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与y轴的单位长度要一致
B.y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)对称
C.y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π不对称
D.正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围
答案　ABD
解析　分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察知ABD正确，C不正确.
二、用“五点法”作三角函数的图象
探究3 如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图？
提示　根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
例2 (链接教材P199例1)用“五点法”作出函数y＝1－cos x的简图.
解　(1)取值列表
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－cos x 1 1
(2)描点，连线可得函数在[0，2π]上的图象.
(3)将函数图象向左、向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y＝1－cos x的图象，如图所示.
思维升华　“五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的步骤：
训练2 (链接教材P200练习T2)用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图.
(1)y＝2－sin x；(2)y＝cos x－1.
解　(1)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2－sin x 2 1 2 3 2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1)).
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
cos x－1 0 －1 －2 －1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(2)).
三、正弦、余弦函数图象的应用
角度1　与函数图象有关的交点问题
例3 (链接教材P200练习T4)已知函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________.
答案　(1，3)
解析　f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
画出函数的图象，如图.
由图象可知，当1故实数k的取值范围为(1，3).
思维升华　1.函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线y＝k，求得参数的取值范围.
2.作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件.
训练3 方程sin x＝lg x的实根个数有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.无穷多个
答案　C
解析　在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象.
由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i＝1，2，3)是方程sin x＝lg x的解.
角度2　利用函数图象解不等式
例4 (1)函数f(x)＝lg(sin x)＋的定义域为________________.
(2)不等式2cos x－1≥0的解集是___________________________________.
答案　(1)[－4，－π)∪(0，π) (2)(k∈Z)
解析　(1)由得
作出y＝sin x的图象，如图所示.
结合图象得－4≤x<－π或0∴f(x)的定义域是[－4，－π)∪(0，π).
(2)由2cos x－1≥0得cos x≥，
画出y＝cos x的图象和直线y＝.
结合图象，不等式的解集为.
思维升华　1.求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象直观地求得解集.
2.解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集.
训练4 (链接教材P214T11)使不等式－2sin x≥0成立的x的集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　因为－2sin x≥0，所以sin x≤作出y＝sin x在内的图象，如图所示.
由图可知，满足条件的x∈，
故不等式的解集是.
【课堂达标】
1.下列图象是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　)
答案　D
解析　由y＝sin x在[0，2π]上的图象，作其关于x轴的对称图形，得y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象为选项D中的图象.
2.函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点.
3.用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是_________________________________________________.
答案　0，，，，π
解析　令2x＝0，，π，，2π，得x＝0，，，，π.
4.不等式sin x<－，x∈[0，2π]的解集为________.
答案　
解析　如图所示，不等式sin x<－的解集为.
一、基础巩固
1.利用“五点法”画y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象时，五点中的第三个点为(　　)
A.(0，－1) B.
C.(π，－1) D.
答案　C
解析　令x＝π，得y＝sin π－1＝－1.
∴五点中的第三个点为(π，－1).
2.观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，下列说法错误的是(　　)
A.过原点
B.与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
答案　D
解析　观察题图可得，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象不关于y轴对称.
3.(多选)若点在余弦曲线f(x)＝cos x上，则n的值可以为(　　)
A. B.－
C. D.1
答案　AB
解析　由于点在余弦曲线f(x)＝cos x上，
所以|n|＝cos ＝，即n＝±.故选AB.
4.在[0，2π)内满足cos x≥－的x的取值范围为(　　)
A.∪ B.
C. D.∪
答案　A
解析　作出y＝cos x，x∈[0，2π)的图象与直线y＝－，如图所示.
由图象知x的取值范围是∪.
5.(多选)下列函数中与函数y＝sin x形状完全相同的是(　　)
A.y＝sin x－1 B.y＝|sin x|
C.y＝－cos x D.y＝
答案　AC
解析　y＝sin x－1是将y＝sin x向下平移1个单位长度，没改变形状；y＝－cos x＝sin，故y＝－cos x是将y＝sin x向右平移个单位长度得到的，没有改变形状，与y＝sin x形状相同，而y＝|sin x|，y＝＝|cos x|与y＝sin x的形状不相同.
6.已知余弦函数过点，则m的值为________.
答案　
解析　设余弦函数为y＝cos x，
由函数过点，可得m＝cos＝.
7.函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________________.
答案　，
解析　由解得cos x＝0，
当x∈[0，2π]时，x＝或，
∴交点坐标为，.
8.函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为_________________________________.
答案　
解析　要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－.
画出y＝sin x，x∈的图象，如图所示.
当－－成立，
故函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为{x＋2kπ9.画出y＝3cos x＋1，x∈[0，2π]的简图.
解　(1)取值列表
x 0 π 2π
3cos x＋1 4 1 －2 1 4
(2)描点连线，画出图象如图所示.
10.用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足y>1的x的区间；
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]有两个交点，求a的取值范围.
解　(1)①列表如下：
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
②描点连线得函数图象，如图.
由图象可知，图象在y＝1上方部分时，满足y>1.
∴满足y>1时，x的取值区间为(－π，0).
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1所以a的取值范围是{a|1二、综合运用
11.(多选)函数y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
答案　ABC
解析　由题意，y＝1＋sin x，x∈的图象如图，
可得当t>2或t<0时，交点个数为0；
当t＝2或t＝0或t∈时，交点个数为1；
当t∈∪(0，1)时，交点个数为2.
12.若函数f(x)＝cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf(x)>0的解集为________.
答案　∪∪
解析　当x>0时，由f(x)＝cos x>0，
得不等式的解集为∪；
当x<0时，由f(x)<0可得不等式的解集为.
13.已知函数f(x)＝
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值.
解　(1)作出函数
f(x)＝的图象，
如图①所示.
(2)因为f(x)＝，所以在图①基础上作直线y＝，如图②所示.
则当－π≤x<0时，由图象知x＝－；
当0≤x≤π时，x＝或x＝.
综上，可知x的值为－或或.
三、创新拓展
14.若动直线y＝a与函数f(x)＝sin x(答案　(答案不唯一)
解析　当a＝0时，直线y＝a为x轴，y＝cos x是由y＝sin x向左平移个单位长度得到的，
所以|MN|＝满足题意.(共53张PPT)
第五章 5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
课标要求
1.了解用单位圆作正弦函数图象的方法.
2.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的关系，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦函数的图象.
3.会利用正弦(余弦)函数的图象解决简单的问题.
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.你能描述一下该类曲线的特征吗？
引入
课时精练
一、正弦函数、余弦函数的图象
二、用“五点法”作三角函数的图象
三、正弦、余弦函数图象的应用
课堂达标
内容索引
正弦函数、余弦函数的图象
一
探究1 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)
提示　如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0).
探究2 根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象y＝sin x，x∈R的图象吗？
提示　根据诱导公式一，把x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，得y＝sin x，x∈R的图象.
1.正弦函数的图象
知识梳理
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
(π，0)
(2π，0)
2.余弦函数的图象
(1)余弦函数的图象叫做余弦曲线，是“波浪起伏”的连续光滑曲线.
温馨提示
例1
√
根据余弦函数的图象可以判断A，C正确，B，D错误.
(1)(多选)对于余弦函数y＝cos x的图象有以下描述，其中正确的描述有
A.将[0，2π]内的图象向左、向右不断平移2π个单位得到y＝cos x的图象
B.与y＝sin x图象完全相同
C.与y轴只有一个交点
D.关于x轴对称
√
(2)已知函数f(x)＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象如图所示，
点A的坐标为__________；点E的坐标为__________；
|BD|＝________；|BE|＝______________.
(－2π，0)
2π
由y＝sin x，x∈[－2π，2π]的图象知点
1.要熟练正弦、余弦函数图象特征，正弦曲线、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
2.知道正弦曲线、余弦曲线在x∈[－2π，2π]内特殊点(最高、最低点及与x轴的交点)的坐标，会求特殊点之间的横向距离.
思维升华
(多选)下列说法正确的是
A.作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与y轴的单位长度要一致
B.y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)对称
C.y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π不对称
D.正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围
训练1
√
√
√
分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察知ABD正确，C不正确.
用“五点法”作三角函数的图象
二
探究3 如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图？
例2
(1)取值列表
(2)描点，连线可得函数在[0，2π]上的图象.
思维升华
“五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的步骤：
(链接教材P200练习T2)用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图.
训练2
按五个关键点列表：
(1)y＝2－sin x；(2)y＝cos x－1.
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1)).
正弦、余弦函数图象的应用
三
例3
角度1　与函数图象有关的交点问题
(链接教材P200练习T4)已知函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________.
(1，3)
由图象可知，当1有且仅有两个不同的交点.
故实数k的取值范围为(1，3).
思维升华
1.函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线y＝k，求得参数的取值范围.
2.作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件.
训练3
方程sin x＝lg x的实根个数有
A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个
在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象.
√
由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i＝1，2，3)是方程sin x＝lg x的解.
例4
角度2　利用函数图象解不等式
思维升华
1.求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象直观地求得解集.
2.解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集.
训练4
√
【课堂达标】
1.下列图象是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是
由y＝sin x在[0，2π]上的图象，作其关于x轴的对称图形，得y＝－sin x，
√
√
2.函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点.
3.用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横
坐标是__________________.
【课时精练】
√
1.利用“五点法”画y＝sin x－1，x∈[0，2π]的图象时，五点中的第三个点为
令x＝π，得y＝sin π－1＝－1.
∴五点中的第三个点为(π，－1).
√
2.观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，下列说法错误的是
A.过原点
B.与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
观察题图可得，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象不关于y轴对称.
√
√
√
√
5.(多选)下列函数中与函数y＝sin x形状完全相同的是
√
设余弦函数为y＝cos x，
7.函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为
__________________.
8.函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为_________________________________.
9.画出y＝3cos x＋1，x∈[0，2π]的简图.
(1)取值列表
(2)描点连线，画出图象如图所示.
10.用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足y>1的x的区间；
①列表如下：
②描点连线得函数图象，如图.
由图象可知，图象在y＝1上方部分时，满足y>1.
∴满足y>1时，x的取值区间为(－π，0).
如（1）图中所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1－1(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]有两个交点，求a的取值范围.
所以a的取值范围是{a|1√
√
√
12.若函数f(x)＝cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf(x)>0的解集为
______________________________.
当x>0时，由f(x)＝cos x>0，5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
课标要求　1.了解用单位圆作正弦函数图象的方法. 2.理解y=sin x与y=cos x图象之间的关系,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦函数的图象. 3.会利用正弦(余弦)函数的图象解决简单的问题.
【引入】 如图,将一个漏斗挂在架子上,做一个简易的单摆,在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,这就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.你能描述一下该类曲线的特征吗
一、正弦函数、余弦函数的图象
探究1 绘制函数图象,首先要准确绘制其上一点,对于正弦函数,在[0,2π]上任取一个值x0,如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0,并画出点T(x0,sin x0)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 根据函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,你能想象y=sin x,x∈R的图象吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.正弦函数的图象
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线,是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
(2)在精确度要求不高时,作y=sin x,x∈[0,2π]的图象常常先找出五个关键点(0,0),,　　　　,,　　　　,再用光滑的曲线将它们连接起来.
2.余弦函数的图象
(1)余弦函数的图象叫做余弦曲线,是“波浪起伏”的连续光滑曲线.
(2)确定余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,1),　　　　,(π,-1),　　　　,(2π,1).
温馨提示　(1)将y=sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度得y=cos x,x∈R的图象,因此y=sin x,x∈R与y=cos x,x∈R的图象形状相同,只是在直角坐标系中的位置不同.
(2)“五点法”只是画出y=sin x和y=cos x在[0,2π]上的图象.若x∈R,可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象,然后通过不断向左、右平移可得到y=sin x,x∈R和y=cos x,x∈R的图象.
例1 (1)(多选)对于余弦函数y=cos x的图象有以下描述,其中正确的描述有 (　　)
A.将[0,2π]内的图象向左、向右不断平移2π个单位得到y=cos x的图象
B.与y=sin x图象完全相同
C.与y轴只有一个交点
D.关于x轴对称
(2)已知函数f(x)=sin x,x∈[-2π,2π]的图象如图所示.
点A的坐标为　　　　;点E的坐标为　　　　;|BD|=　　　　;|BE|=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.要熟练正弦、余弦函数图象特征,正弦曲线、余弦曲线的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
2.知道正弦曲线、余弦曲线在x∈[-2π,2π]内特殊点(最高、最低点及与x轴的交点)的坐标,会求特殊点之间的横向距离.
训练1 (多选)下列说法正确的是 (　　)
A.作正弦函数的图象时,单位圆的半径长与y轴的单位长度要一致
B.y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)对称
C.y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π不对称
D.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围
二、用“五点法”作三角函数的图象
探究3 如何画函数y=sin x,x∈[0,2π]的简图
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 (链接教材P199例1)用“五点法”作出函数y=1-cos x的简图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　“五点法”作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的步骤:
训练2 (链接教材P200练习T2)用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图.
(1)y=2-sin x;(2)y=cos x-1.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、正弦、余弦函数图象的应用
角度1　与函数图象有关的交点问题
例3 (链接教材P200练习T4)已知函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则实数k的取值范围是　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.函数式中含有绝对值符号,首先应去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,并画出函数图象,然后利用数形结合法平移直线y=k,求得参数的取值范围.
2.作图应准确,要揭示函数的特征,注意端点值是否满足条件.
训练3 方程sin x=lg x的实根个数有 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.无穷多个
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　利用函数图象解不等式
例4 (1)函数f(x)=lg(sin x)+的定义域为　　　　　　　　.
(2)不等式2cos x-1≥0的解集是　　　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求三角函数定义域时,常常归结为解三角不等式(组),这时可利用基本三角函数的图象直观地求得解集.
2.解三角不等式sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集.
训练4 (链接教材P214T11)使不等式-2sin x≥0成立的x的集合是 (　　)
A.
B.
C.
D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.下列图象是y=-sin x在[0,2π]上的图象的是 (　　)
2.函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
3.用“五点法”作函数y=cos 2x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是　　　　　　.
4.不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集为　　　　. 第五章　课时精练53 正弦函数、余弦函数的图象
(分值:100分)
单选题每小题5分,共15分;多选题每小题6分,共18分.
一、基础巩固
1.利用“五点法”画y=sin x-1,x∈[0,2π]的图象时,五点中的第三个点为 (　　)
(0,-1)
(π,-1)
2.观察正弦函数y=sin x,x∈R的图象,下列说法错误的是 (　　)
过原点
与y=cos x的图象形状相同,只是位置不同
与x轴有无数个交点
关于y轴对称
3.(多选)若点在余弦曲线f(x)=cos x上,则n的值可以为 (　　)
1
4.在[0,2π)内满足cos x≥-的x的取值范围为 (　　)
5.(多选)下列函数中与函数y=sin x形状完全相同的是 (　　)
y=sin x-1 y=|sin x|
y=-cos x y=
6.已知余弦函数过点,则m的值为　　　　.
7.函数y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为　　　　　　　　.
8.函数y=log2(2sin x+1)的定义域为　　　　　　　　.
9.(13分)画出y=3cos x+1,x∈[0,2π]的简图.
10.(13分)用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足y>1的x的区间;
(2)若直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]有两个交点,求a的取值范围.
二、综合运用
11.(多选)函数y=1+sin x,x∈的图象与直线y=t(t为常数)的交点可能有 (　　)
0个 1个
2个 3个
12.若函数f(x)=cos x,x∈[-2π,2π],则不等式xf(x)>0的解集为　　　　.
13.(16分)已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象;
(2)若f(x)=,求x的值.
三、创新拓展
14.若动直线y=a与函数f(x)=sin x1.C　[令x＝π，得y＝sin π－1＝－1.
∴五点中的第三个点为(π，－1).]
2.D　[观察题图可得，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象不关于y轴对称.]
3.AB　[由于点在余弦曲线f(x)＝cos x上，
所以|n|＝cos ＝，即n＝±.故选AB.]
4.A　[作出y＝cos x，x∈[0，2π)的图象与直线y＝－，如图所示.
由图象知x的取值范围是∪.]
5.AC　[y＝sin x－1是将y＝sin x向下平移1个单位长度，没改变形状；
y＝－cos x＝sin，故y＝－cos x是将y＝sin x向右平移个单位长度得到的，没有改变形状，与y＝sin x形状相同，而y＝|sin x|，y＝＝|cos x|与y＝sin x的形状不相同.]
6.　[设余弦函数为y＝cos x，
由函数过点，
可得m＝cos＝.]
7.，　[由
解得cos x＝0，
当x∈[0，2π]时，x＝或，
∴交点坐标为，.]
8.
[要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，
即sin x>－.
画出y＝sin x，x∈的图象，如图所示.
当－－成立，故函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为
{x＋2kπ9.解　(1)取值列表
x 0 π 2π
3cos x＋1 4 1 －2 1 4
(2)描点连线，画出图象如图所示.
10.解　(1)①列表如下：
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
②描点连线得函数图象，如图.
由图象可知，图象在y＝1上方部分时，满足y>1.
∴满足y>1时，x的取值区间为(－π，0).
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1所以a的取值范围是{a|111.ABC　[由题意，y＝1＋sin x，x∈的图象如图，
可得当t>2或t<0时，交点个数为0；
当t＝2或t＝0或t∈时，交点个数为1；
当t∈∪(0，1)时，交点个数为2.]
12.∪∪
[当x>0时，由f(x)＝cos x>0，
得不等式的解集为∪；
当x<0时，由f(x)<0可得不等式的解集为.]
13.解　(1)作出函数
f(x)＝的图象，
如图①所示.
(2)因为f(x)＝，所以在图①基础上作直线y＝，如图②所示.
则当－π≤x<0时，由图象知x＝－；
当0≤x≤π时，x＝或x＝.
综上，可知x的值为－或或.
14.(答案不唯一)　[当a＝0时，直线y＝a为x轴，y＝cos x是由y＝sin x向左平移个单位长度得到的，
所以|MN|＝满足题意.]

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