资源简介

章末复习提升
　　
一、同角三角函数基本关系及诱导公式
1.(1)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α；
(2)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.
2.解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，还应注意整体思想的应用.
例1 (1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
(2)已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.
答案　(1)B　(2)－
解析　(1)由sin αcos α＝>0，
且<α<.
知sin α<0，cos α<0且cos α>sin α，
所以cos α－sin α＝＝.
(2)∵方程2x2－x－1＝0的根为－或1，
又α是第三象限角，∴sin α＝－，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝，
∴原式＝·tan2α
＝－tan2α＝－.
训练1 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值；
(2)把用tan α表示出来，并求其值.
解　(1)由sin α＋cos α＝，
得1＋2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－，
∵α是三角形的内角，
∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝＝
＝＝，
故得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
(2)＝＝，
又tan α＝－，∴＝＝－.
二、三角函数式的化简、求值
熟练掌握两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是进行三角函数式化简、求值的关键，注意公式的逆用与变形用.对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变成“已知角”.
例2 (1)的值为(　　)
A.－ B.
C. D.－
(2)已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)
A.－ B.－
C.－ D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)原式＝＝＝＝.
(2)因为tan＝＝，
所以tan α＝－，
因为－<α<0，所以sin α＝－，
则＝＝2sin α＝－.
训练2 已知α，β∈，cos α＝，cos(α＋β)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求2α＋β的值.
解　(1)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，
又cos α＝，cos(α＋β)＝，
则sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
(2)cos(2α＋β)＝cos[(α＋β)＋α]
＝cos(α＋β)cos α－sin(α＋β)·sin α＝×－×＝0.
由α，β∈，得2α＋β∈，
∴2α＋β的值为.
三、三角函数的图象与性质
正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.三角函数主要涉及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.主要考查角度：(1)三角函数的性质；(2)三角函数图象的变换.
例3 已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值.
解　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，
所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1.
训练3 (1)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
答案　A
解析　因为解得2<ω<3.
因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，
又2<ω<3，所以<ω＋<，
所以ω＋＝4π，解得ω＝，
所以f(x)＝sin＋2，
所以f＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上具有单调性，求φ和ω的值.
解　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，
即sin φ＝1或－1.
∵0≤φ<π，∴φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，
可知sin＝0，
即ω＋＝kπ，k∈Z，
解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上具有单调性，
∴T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω>0，
∴k＝1时，ω＝；
k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
四、三角函数的图象变换
由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩.
例4 已知函数f(x)＝4sincos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0，2).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.若α为锐角，且g(α)＝－，求cos α的值.
解　(1)f(x)＝4sincos ωx＝4cos ωx
＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx－
＝2sin－.
∵函数f(x)在x＝处取得最值，
∴2ω·－＝kπ＋，k∈Z，
解得ω＝2k＋，k∈Z.
又ω∈(0，2)，∴ω＝，
∴f(x)＝2sin－，
∴最小正周期T＝.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin－
＝2sin－的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，
得到函数y＝2sin－的图象，
故g(x)＝2sin－.
∵g(α)＝2sin－＝－，且α为锐角，
∴sin＝，
∴cos＝＝，
∴cos α＝cos＝cos－sin
＝×－×＝.
训练4 把函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，求ω和φ的值.
解　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos，再向左平移个单位长度，
则函数g(x)＝2cos.
因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω＝2，
则g(x)＝2cos.
又因为函数g(x)为奇函数，
所以φ＋＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<π，则φ＝.
五、三角函数的应用
三角函数模型应用广泛，构建函数模型解决实际问题，本章数学建模主要体现在三角函数在物理及现实生活中的应用.
例5 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θ.
(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数；
(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由.(铁棒的粗细忽略不计)
解　(1)由题设，AP＝，BP＝.
∴l＝＋＝，其中0<θ<.
(2)l＝，
设t＝sin θ＋cos θ＝sin，
则2sin θcos θ＝t2－1.
∴l＝＝，∵0<θ<，∴<θ＋<，
∴1∴t－的最大值为，且t－>0，
∴l＝的最小值为4.
∵4>5，∴长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊.
训练5 如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
解　(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，取φ＝－，
∴y＝100sin＋800＝800－100cost(0≤t≤11，t∈N).
(2)当t＝2时，y＝800－100cos＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.(共33张PPT)
第五章
章末复习提升
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一、同角三角函数基本关系及诱导公式
例1
√
训练1
熟练掌握两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是进行三角函数式化简、求值的关键，注意公式的逆用与变形用.对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变成“已知角”.
二、三角函数式的化简、求值
例2
√
√
训练2
三、三角函数的图象与性质
正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.三角函数主要涉及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.主要考查角度：(1)三角函数的性质；(2)三角函数图象的变换.
例3
训练3
√
由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
四、三角函数的图象变换
由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩.
例4
训练4
五、三角函数的应用
三角函数模型应用广泛，构建函数模型解决实际问题，本章数学建模主要体现在三角函数在物理及现实生活中的应用.
例5
训练5章末复习提升
一、同角三角函数基本关系及诱导公式
1.(1)两个基本关系式sin2α+cos2α=1及=tan α;
(2)诱导公式:可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.
2.解决“已知某个三角函数值,求其他三角函数值”的问题,关键在于观察分析条件角与结论角,清除条件与结论之间的差异,还应注意整体思想的应用.
例1 (1)已知sin αcos α=,且,则cos α-sin α的值为 (　　)
A.-
(2)已知sin α是方程2x2-x-1=0的根,α是第三象限角,则·tan2(π-α)=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=.
(1)求tan α的值;
(2)把用tan α表示出来,并求其值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、三角函数式的化简、求值
熟练掌握两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是进行三角函数式化简、求值的关键,注意公式的逆用与变形用.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”.
例2 (1)的值为 (　　)
A.-
(2)已知tan,且-<α<0,则= (　　)
A.-
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 已知α,β∈,cos α=,cos(α+β)=.
(1)求sin β的值;
(2)求2α+β的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、三角函数的图象与性质
正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.三角函数主要涉及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.主要考查角度:(1)三角函数的性质;(2)三角函数图象的变换.
例3 已知函数f(x)=2sin+a+1(其中a为常数).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 (1)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
D.3
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上具有单调性,求φ和ω的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、三角函数的图象变换
由函数y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有两种途径:先平移再伸缩;先伸缩再平移,这两种途径的区别是平移的单位长度不同,其余参数不受影响,若相应变换的函数名称不同时,要先用诱导公式转化为同名的三角函数,再进行平移或伸缩.
例4 已知函数f(x)=4sin处取得最值,其中ω∈(0,2).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.若α为锐角,且g(α)=,求cos α的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练4 把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后再向左平移个单位长度,得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x),求ω和φ的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
五、三角函数的应用
三角函数模型应用广泛,构建函数模型解决实际问题,本章数学建模主要体现在三角函数在物理及现实生活中的应用.
例5 直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为2米,过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A,B两点,且与走廊的一边的夹角为θ.
(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数;
(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊 并说明理由.(铁棒的粗细忽略不计)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练5 如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位);
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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