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函数概念问题的类型及解法
函数概念问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数概念的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），有时也可能出现大题；难度系数为低，中，高档问题都有可能。纵观近几年各种考试试卷，归结起来函数概念问题主要包括：①函数定义及运用；②函数解析式及运用；③函数定义域及运用；④函数值，值域（或最值）及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数概念问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过对近几年高一期末调研考试（或高一单元测试与专题练习）试卷中有关函数概念问题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、下列选项中，表示的不是同一个函数的是（ ）（成都市高2023级高一上期期末调研考试）
A y=与y= B y=，xR与 s=，tR
C y=，x{0，1}与 y=x，x{0，1} D y=1与y=
判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
f(x)=，g(x)=x-5； （2）f(x)=，g(x)=；
f(x)=x，g(x)=； （4）f(x)=，g(x)=x；
f(x)=，g(x)=2x-5。
A （1），（2） B （2），（3） C （4） D （3），（5）
3、设M={x|0 x 2}，N={y|0 y 2}，给出下列四个图像，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
y y y3 -------| y
2 -- -| 2 -------| 2 | 2 -------|
1 | 1 | | 1 |
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
① ② ③ ④
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
4、设M，N是两个非空集合，映射f：M→N，则下列说法正确的是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 集合N中每个元素必有原像 B 集合N中各个元素只能有一个原像C 集合M中的不同元素在集合N中的像不同 D 集合N中至少存在一个元素它有原像
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数定义及运用的问题，解答这类问题需要理解函数的定义，明确函数的三要素，掌握判断两个函数相等的基本方法；
（2）函数的三要素是：①函数的定义域；②函数的对应法则；③函数的值域；
（3）判断两个函数是否相等的基本方法是：①分别求出两个函数的定义域，看两个函数的定义域是否相同；②确定两个函数的对应法则，看两个函数的对应法则是否一致；③根据①②得出结论。
〔练习1〕解答下列问题：
下列各组函数是同一函数的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
f(x)=，g(x)=x； （2）f(x)=x，g(x)=；
（3）f(x)=，g(x)=； （4）f(x)=-2x-1，g(x)=-2t-1。
A （1）（2） B （1）（3） C （3）（4） D （1）（4）
中文“函数”（function）一词，最早由近代数学家李蓉兰翻译，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化。下列选项中两个函数是同一个函数的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A f(x)=x-1（xR），g(x)=x-1（xN） B f(x)=，g(x)=
C f(x)=x，g(x)= D f(x)=x，g(x)=
下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A A={x|x是锐角} ，B=（0，1）， f：求正弦； B A=B=R，f：取绝对值
C A=B=R，f：求平方 D A=B=R，f：取倒数
【典例2】解答下列问题：
如果f（）=，则当x0，1 时， f(x)=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A B C D -1
已知在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则将y表示成x的函数关系式为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A y=x B y=x C y=x D y=x
3、已知函数f(x)的图像关于直线x=-1对称，且当x>0时，f(x)=，则当x<-2时，f(x)= （成都市高2023级高一单元测试）
4、已知f(-1)=x，则f(x)= 。（成都市高2023级高一上期期末调研考试）
5、已知函数f(x)=2x+3，g(x)=，则复合函数f(g(x))的解析式为 （成都市高2023级高一单元测试）
6、在①f（2x-3）=4-6x，②f（x）+2f（-x）=3-3x，③对任意实数x，y，均有f（x+y）=2f（y）++2xy-+3x-3y这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答。已知函数f(x)满足 ，求函数f(x)的解析式。（注意：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分）（成都市高2023级高一单元测试）
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数解析式及运用的问题，解答这类问题需要理解函数解析式的定义，掌握求函数解析式的基本方法；
（2）函数解析式是指表示函数y与自变量x之间的关系的式子；
（3）求函数解析式的基本方法有：①待定系数法；②拼凑法；③换元法；④运用方程思想求解函数解析式；⑤直接代入法；⑥运用轴对称图形和中心对称图形的性质求函数解析式；⑦根据应用问题的类型与特征求函数解析式。
[练习2]解答下列问题：
已知f（-1）=x-2，则f(x)= （成都市高2023级高一单元测试）
2、已知函数f(x)=-2x+3，g(x)=x+1，则函数g(f(x))的解析式为 （成都市高2023级高一单元测试）
3、已知函数（x-1）f（）-f(x)=x（x1），求函数f(x)的解析式。
【典例3】解答下列问题：
已知函数f(x)的定义域为（-1，0），则函数f(2x+1)的定义域为（ ）（成都市高203级高一单元测试）
A （-1，1） B （-1，-） C （-1，0） D （，1）
函数f(x)=lnx+的定义域为（ ）
A [0，2］ B （0，2] C （0，+∞） D （2，+∞）
3、已知函数f(x)=（x-2）的值域是[1,14]，则函数f(x)的定义域是 （成都市高2023级高一单元测试）
4、已知函数f(x)=（a>0，且a1）。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）求使f(x)<0的x的取值范围。
『思考问题3』
【典例3】是函数定义域及运用的问题，这类问题主要包括：①已知函数的解析式，求函数定义域；②已知函数f(x)的定义域，求函数f〔g(x)〕的定义域；③已知函数f〔g(x)〕的定义域，求函数f(x)的定义域；④已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）。解答这类问题需要理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本方法；
解答已知函数的解析式，求函数定义域问题的基本方法是：①根据函数解析式有意义的条件（注意应该包括解析式有意义的所有条件）列出不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(x)的定义域。
（3）解答已知函数f(x)的定义域，求函数f〔g(x)〕的定义域问题的基本方法是：①将函数f(x)的定义域视为函数g(x)的值域得到不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f〔g(x)〕的定义域。
（4）解答已知函数f〔g(x)〕的定义域，求函数f(x)的定义域问题的基本方法是：①根据函数f〔g(x)〕的定义域求出函数g(x)的值域；②将函数g(x)视为整体未知数；③求出函数f(x)的定义域。
（5）解答已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①根据函数的解析式和定义域得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出参数的值（或取值范围）。
〔练习3〕解答下列问题：
函数f(x)=+的定义域是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A [-1，+∞） B（-∞，0）∪ （0，+∞） C [-1，0）∪（0，+∞） D R
2、f(x)=+的定义域是（）（成都市高2023级高一专题练习）
A （2，-） B （-2，+∞） C （，+∞） D （-2，）∪ （，+∞）
3、已知函数f(x)的定义域为[-1，2]，则f(|x|)的定义域为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A [-1，2） B [-1，1] C （-2，2） D [-2，2]
【典例4】解答下列问题：
已知函数f(x)=，则f()=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A B C a D 3a
函数f(x)=x+的值域是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A （-∞，1] B （-∞，1） C R D [1，+∞）
函数f(x)=x+1，x{-1，1，2}的值域是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 0，2，3 B 0≤f(x)≤3 C {0，2，3} D [0，3]
4、已知f(x)=x+2，x≤-1，若f(x)=3，则x的值是（ ）（成都市高2023级高一调研测试）
A 1 ，-12x，x≥2，
5、已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，则f(72)=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A p+q B 3p+2q C 2p +3q D +
6、已知函数f(x)=，x（m，n]，的最小值为8，则实数m的取值范围是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A （0，1） B （1，2） C （1，2] D [1，2）
7、（多选）已知函数f(x)=x+2，x≤-1，关于函数f(x)的结论正确的是（ ）（成都市高2023
，-1A 函数f(x)的值域为（-∞，4） B f(1)=3
C 若f(x)=3，则x的值是 D f(x)<1的解集为（-1，1）
8、（多选）设f(x)=，02（x-1），x≥1，（成都市高2023级高一上期期末调研考试）
9、定义在R上函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x[0,2）时，f(x)=2-|x-1|，则使得
f(x)≤在[m，+）上恒成立的m的最小值是 。 （成都市高2023级高一期末调研考试）
10、已知函数f(x)=x(x-m)，mR，若函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为3，则m= （成都市高2023级高一单元测试）
11、函数f(x)，g(x)分别由下表给出。（成都市高2023级高一单元测试）
x 1 2 3 x 1 2 3
f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为 ；满足f（g(x))>g(f(x))的x的值是 。
12、对于任意的实数a，b，min[a，b]表示a，b中较小的那个数，即min[a，b]= a，a≤b，
已知函数f(x)=3-，g(x)=1-x。 b，a>b，
求函数f(x）在区间[-1，1]上的最小值；
设h(x)=min[f（x），g(x)]，xR，求函数h(x)的最大值。
『思考问题4』
（1）【典例4】是函数值，函数值域（或最值）及运用的问题，这类问题主要包括：①已知函数的解析式，求函数值，函数值域（或最值）；②分段函数求函数值，函数值域（或最值）；③复合函数函数值，函数值域（或最值）；④抽象函数求函数值，函数值域（或最值）等几种类型。解答这类问题需要理解函数值，函数值域（或最值）的定义，掌握求函数值，函数值域（或最值）的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值，函数值域（或最值）的基本方法是：①把给定的自变量x的值（或取值范围）代入函数解析式；②通过运算求出函数值（或值域或最值）；
（3）分段函数求函数值，函数值域（或最值）的基本方法是：①确定给定的自变量值（或取值范围）属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量值（或取值范围）代入选定的解析式，并通过运算求出函数值，函数值域（或最值）；③得出问题的结果（注意：分段函数的值域是各段函数值域的并集，分段函数的最小值是各段函数最小值中最小的函数值，分段函数的最大值是各段函数最大值中最大的函数值，）
（4）复合函数求函数值，函数值域（或最值）的基本方法是：①根据给定的自变量求出内层函数的函数值；②把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，代入外层函数的解析式，并通过运算求出函数值；③得出复合函数的函数值，函数值域（或最值）；
（5）抽象函数求函数值的基本方法是赋值法，其基本步骤是：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
[练习4]解答下列问题：
已知f（x）= 3x+1，x≤1，则f（3）= （ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 7 +3，x>1， B 2 C 10 D 12
2、若函数f(x)= + 2，x≤1，在（-∞，a]上的最大值为4，则实数a的取值范围为（ ）
, （x-1），x>1，（成都市高2023级高一单元测试）
A [0，17] B （-∞，17] C [1，17] D [1，+∞）
由函数f(x)=-4x（x[0，5]）的最大值与最小值可以得其值域为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A [-4，+∞） B [0，5] C [-4，5] D [-4，0]
设函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,，则f(1)=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 2 B -2 C 1 D -1
5、设函数f(x)= 2，x<2，则f(f(2))的值为 （成都市高2023级高一单元测试）
（-1），x≥2，
6、从甲城市到乙城市m分钟的电话费有函数f(m)=1.06（[m]+）给出，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数（如[3]=3，[3.9]=3，[3.1]=3），则从甲城市到乙城市5.8分钟的电话费为 （成都市高2023级高一单元测试）
7、函数f(x)=x(8-x)，x（0，8）的最大值为 （成都市高2023级高一单元测试）
8、已知函数f(x)=2x，x>0，则f（-）+f（）= （成都市高2023级高一单元测试）
f(x+1)，x≤0，
9、函数f(x)，x[3,5]的最小值是 （成都市高2023级高一单元测试）
函数概念问题的类型及解法
函数概念问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数概念的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），有时也可能出现大题；难度系数为低，中，高档问题都有可能。纵观近几年各种考试试卷，归结起来函数概念问题主要包括：①函数定义及运用；②函数解析式及运用；③函数定义域及运用；④函数值，值域（或最值）及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数概念问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过对近几年高一期末调研考试（或高一单元测试与专题练习）试卷中有关函数概念问题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、下列选项中，表示的不是同一个函数的是（ ）（成都市高2023级高一上期期末调研考试）
A y=与y= B y=，xR与 s=，tR
C y=，x{0，1}与 y=x，x{0，1} D y=1与y=
【解析】
【考点】①函数定义与性质；②判断两个函数是否表示同一个函数的基本方法。
【解题思路】根据函数的性质，运用判断两个函数是否表示同一个函数的基本方法，结合问题条件对各选项的两个函数是否表示同一个函数进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数 y=与y=的定义域都是[-3，3），对应法则
=相同，y=与y=表示同一个函数；对B，函数 y=xR与s=tR 的定义域都是R，对应法则=相同，y=xR与y=tR 表示同一个函数；对C，函数 y=，x{0，1}与 y=x，x{0，1} 的定义域都是{0，1}，当x{0，1}时，对应法则=x相同， y=，x{0，1}与 y=x，x{0，1} 表示同一个函数；
对D，函数 y=1的定义域为R，y=的定义域为（-，0）（0，+），定义域不相同， y=1与y=表示的表示同一个函数，D正确，选D。
判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
f(x)=，g(x)=x-5； （2）f(x)=，g(x)=；
f(x)=x，g(x)=； （4）f(x)=，g(x)=x；
f(x)=，g(x)=2x-5。
A （1），（2） B （2），（3） C （4） D （3），（5）
【解析】
【考点】①函数定义与性质；②判断两个函数是否表示同一个函数的基本方法。
【解题思路】根据函数的性质，运用判断两个函数是否表示同一个函数的基本方法，结合问题条件对各组中的两个函数是否表示同一个函数进行判断就可得出选项。
【详细解答】对（1），函数f(x)=的定义域为（-，-3）（-3，+），函数g(x)=x-5 的定义域为R，两个函数的定义域不相同，函数f(x)=与函g(x)=x-5不是同一个函数；对（2），函数f(x)=的定义域为[1，+），函数g(x)=的定义域为（-，-1][1，+），两个函数的定义域不相同，函数f(x)=与函数g(x)=不是同一函数；对（3），函数f(x)=x的定义域为R，g(x)=的定义域为R，两个函数的定义域相同，f(x)=x，g(x)==|x|，两个函数的对应法则不相同，函数f(x)=x与函数g(x)=不是同一个函数； 对（4），函数f(x)=的定义域为R，函数g(x)=x的定义域为R，两个函数的定义域相同，f(x)==x，两个函数的对应法则相同，函数f(x)=与函数g(x)=x
是同一个函数；对（5），函数f(x)=的定义域为[，+），函数g(x)=2x-5的定义域为R，两个函数的定义域不相同，函数f(x)=与函数g(x)=2x-5不是同一个函数，C正确，选C。
3、设M={x|0 x 2}，N={y|0 y 2}，给出下列四个图像，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
y y y3 -------| y
2 -- -| 2 -------| 2 | 2 -------|
1 | 1 | | 1 |
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
① ② ③ ④
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
【解析】
【考点】①映射的定义与性质；②函数的定义；③映射与函数的关系。
【解题思路】运用映射和函数的关系，根据函数的定义，结合图像进行判断确定具有从集合M到集合N的函数关系的个数就可得出选项。
【详细解答】对①，自变量x的集合为{x|0 x 1} M={x|0 x 2}，不是从集合M到集合N的函数关系；对②，自变量x的集合为{x|0 x 2} = M={x|0 x 2}，函数值y的集合为{y|0 y 2}= N={y|0 y 2}，且对任意的x M={x|0 x 2}，通过对应法则有唯一的y N={x|0 x 2}与之对应，是从集合M到集合N的函数关系；对③，函数值y的集合为{x|0 x 3} N={x|0 x 2}，不是从集合M到集合N的函数关系；对④，自变量x的集合为{x|0 x 2} = M={x|0 x 2}，函数值y的集合为{y|0 y 2}= N={y|0 y 2}，但对任意的x M={x|0 x 2}，通过对应法则有y N={x|0 x 2}与之对应函数值不唯一，不是从集合M到集合N的函数关系，B正确，选B。
4、设M，N是两个非空集合，映射f：M→N，则下列说法正确的是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 集合N中每个元素必有原像 B 集合N中各个元素只能有一个原像C 集合M中的不同元素在集合N中的像不同 D 集合N中至少存在一个元素它有原像
【解析】
【考点】①映射定义与性质；②原像定义与性质；③像定义与性质。
【解题思路】根据映射，原像和像的性质，结合问题条件对各选项说法是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，集合N中的元素不一定要原像，A错误；对B，集合N中的元素可能有多个原像，B错误；对C，集合M中的不同元素，在N中像可能相同，C错误；对D，集合M中的每一个元素，通过对应f在集合N中都有唯一确定的像与它对应，集合N中至少存在一个元素它有原像 ，D正确，综上所述，D正确，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数定义及运用的问题，解答这类问题需要理解函数的定义，明确函数的三要素，掌握判断两个函数相等的基本方法；
（2）函数的三要素是：①函数的定义域；②函数的对应法则；③函数的值域；
（3）判断两个函数是否相等的基本方法是：①分别求出两个函数的定义域，看两个函数的定义域是否相同；②确定两个函数的对应法则，看两个函数的对应法则是否一致；③根据①②得出结论。
〔练习1〕解答下列问题：
下列各组函数是同一函数的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：C）
f(x)=，g(x)=x； （2）f(x)=x，g(x)=；
（3）f(x)=，g(x)=； （4）f(x)=-2x-1，g(x)=-2t-1。
A （1）（2） B （1）（3） C （3）（4） D （1）（4）
中文“函数”（function）一词，最早由近代数学家李蓉兰翻译，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化。下列选项中两个函数是同一个函数的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：C）
A f(x)=x-1（xR），g(x)=x-1（xN） B f(x)=，g(x)=
C f(x)=x，g(x)= D f(x)=x，g(x)=
下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：D）
A A={x|x是锐角} ，B=（0，1）， f：求正弦； B A=B=R，f：取绝对值
C A=B=R，f：求平方 D A=B=R，f：取倒数
【典例2】解答下列问题：
如果f（）=，则当x0，1 时， f(x)=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A B C D -1
【解析】
【考点】①函数解析式定义与性质；②已知函数f(g(x))的解析式，求函数f(x)解析式的基本方法。
【解题思路】根据函数解析式的性质，运用已知函数f(g(x))的解析式，求函数f(x)解析式的基本方法，结合问题条件求出函数f(g(x))的解析式就可得出选项。
【详细解答】设=t，则x=（t0，1），f（）= f(t)==（t0，1），
f(x)=（ x0，1），B正确，选B。
已知在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则将y表示成x的函数关系式为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A y=x B y=x C y=x D y=x
【解析】
【考点】①函数解析式定义与性质；②百分比浓度单元与性质；③求函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据函数解析式和百分比浓度的性质，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出函数y关于x的解析式就可得出选项。
【详细解答】x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，ax%+by%=c(x+y)%，
（b-c）y=（c-a）x， y=x，B正确，选B。
3、已知函数f(x)的图像关于直线x=-1对称，且当x>0时，f(x)=，则当x<-2时，f(x)= （成都市高2023级高一单元测试）
【解析】
【考点】①轴对称图形定义与性质；②函数解析式定义与性质；③求函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据轴对称图形和函数解析式的性质，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件就可求出当x<-2时，函数f(x)的解析式。
【详细解答】设P（x，y）是当x<-2时，函数f(x)图像上的任意一点，它高一直线x=-1的对称点为（，），函数f(x)的图像关于直线x=-1对称，=-2-x，=y，（-2-x，y），当x>0时，f(x)=，y===-，当x<-2时，函数f(x)的解析式为-。
4、已知f(-1)=x，则f(x)= 。（成都市高2023级高一上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①函数解析式定义与性质；②已知函数f(g(x))关于x的解析式，求函数f(x)解析
式的基本方法。
【解题思路】根据函数解析式的性质，运用已知函数f(g(x))关于x的解析式，求函数f(x)
解析式的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的解析式。
【详细解答】函数f(-1)=x==+2(-1)+1，f(x)=+2x+1（x≥-1）。
5、已知函数f(x)=2x+3，g(x)=，则复合函数f(g(x))的解析式为 （成都市高2023级高一单元测试）
【解析】
【考点】①函数解析式定义与性质；②复合函数定义与性质；③求复合函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据函数解析式和复合函数的性质，运用求复合函数解析式的基本方法，结合问题条件就可求出复合函数f(g(x))的解析式。
【详细解答】函数f(x)=2x+3，g(x)=，f(g(x))=f（）=2+3。
6、在①f（2x-3）=4-6x，②f（x）+2f（-x）=3-3x，③对任意实数x，y，均有f（x+y）=2f（y）++2xy-+3x-3y这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答。已知函数f(x)满足 ，求函数f(x)的解析式。（注意：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分）（成都市高2023级高一单元测试）
【解析】
【考点】①函数解析式定义与性质；②已知函数f(g(x))关于x的解析式，求函数f(x)解析式的基本方法；③方程思想在求函数解析式中的运用；④抽象函数求解析式的基本方法。
【解题思路】根据函数解析式的性质，运用已知函数f(g(x))关于x的解析式，求函数f(x)解析式和抽象函数求解析式的基本方法与方程思想，结合问题条件就可求出函数f(x)的解析式。
【详细解答】若选择条件①f（2x-3）=4-6x，f（2x-3）=4-6x=+3（2x-3），
f(x)=+3x；若选择条件②f（x）+f（-x）=3-3x，f（x）+2f（-x）=3-3x①，f（-x）+2f（x）=3+3x②，联立①②解之得：f（x）=+3x；若选择条件③对任意实数x，y，均有f（x+y）=2f（y）++2xy-+3x-3y，当x=y=0时，f（0+0）=2f（0）+0+0-0+0-0，f(0)=0；当x=x，y=0时，f（x+0）=2f（0）++0-0+3x-0，f(x)=+3x。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数解析式及运用的问题，解答这类问题需要理解函数解析式的定义，掌握求函数解析式的基本方法；
（2）函数解析式是指表示函数y与自变量x之间的关系的式子；
（3）求函数解析式的基本方法有：①待定系数法；②拼凑法；③换元法；④运用方程思想求解函数解析式；⑤直接代入法；⑥运用轴对称图形和中心对称图形的性质求函数解析式；⑦根据应用问题的类型与特征求函数解析式。
[练习2]解答下列问题：
已知f（-1）=x-2，则f(x)= （成都市高2023级高一单元测试）（答案：f(x)=-1）
2、已知函数f(x)=-2x+3，g(x)=x+1，则函数g(f(x))的解析式为 （成都市高2023级高一单元测试）（答案：g(f(x))=-2x+4）
3、已知函数（x-1）f（）-f(x)=x（x1），求函数f(x)的解析式。
（答案：函数f(x)的解析式为f(x）=2x+1）
【典例3】解答下列问题：
已知函数f(x)的定义域为（-1，0），则函数f(2x+1)的定义域为（ ）（成都市高203级高一单元测试）
A （-1，1） B （-1，-） C （-1，0） D （，1）
【解析】
【考点】①函数定义域定义与性质；②已知函数f(x)的定义域，求函数f(g(x））定义域的基本方法。
【解题思路】根据函数定义域的性质，运用已知函数f(x)d的定义域，求函数f(g(x））定义域的基本方法，结合问题条件求出函数f(2x+1)的定义域就可得出选项。
【详细解答】 函数f(x)的定义域为（-1，0），-1<2x+1<0，解之得：-1函数f(x)=lnx+的定义域为（ ）
A [0，2］ B （0，2] C （0，+∞） D （2，+∞）
【解析】
【考点】①函数定义域定义与性质；②已知函数f(x)的解析式，求函数f(x）定义域的基本方法。
【解题思路】根据函数定义域的性质，运用已知函数f(x)的解析式，求函数f(x）定义域的基本方法，结合问题条件得到关于x的不等式组，求解不等式组求出函数f(x)的定义域就可得出选项。
【详细解答】 函数f(x)有意义，必有x>0①，2-x≥0②，联立①②解之得：0f(x)的定义域为（0，2]，B正确，选B。
3、已知函数f(x)=（x-2）的值域是[1,14]，则函数f(x)的定义域是 （成都市高2023级高一单元测试）
【解析】
【考点】①函数定义域定义与性质；②函数值域定义与性质；③对数函数单元与性质；④求函数定义域的基本方法。
【解题思路】根据函数定义域，值域和对数函数的性质，运用求函数定义域的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的定义域。
【详细解答】 函数f(x)=（x-2）的值域是[1,14]，2≤x-2≤14，解之得：4≤x≤16，
函数f(x)的定义域为[4，16]。
4、已知函数f(x)=（a>0，且a1）。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）求使f(x)<0的x的取值范围。
【解析】
【考点】①函数定义域定义与性质；②对数函数定义与性质；③求函数定义域的基本方法；④求解分式不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数定义域和对数函数的性质，运用求函数定义域和求解分式不等式的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的定义域；（2）根据对数函数的性质，运用求解分式不等式的基本方法，结合问题条件对a>1和0【详细解答】 （1）函数f(x)有意义，必有>0①，1-x0②，联立①②解之得：-1<1，函数f(x)的定义域为（-1，1）；（2）当a>1时，f(x)<0，0<<1，解之得：
01，解之得：-11时，使f(x)<0的x的取值范围是（0，1）；当0『思考问题3』
【典例3】是函数定义域及运用的问题，这类问题主要包括：①已知函数的解析式，求函数定义域；②已知函数f(x)的定义域，求函数f〔g(x)〕的定义域；③已知函数f〔g(x)〕的定义域，求函数f(x)的定义域；④已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）。解答这类问题需要理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本方法；
解答已知函数的解析式，求函数定义域问题的基本方法是：①根据函数解析式有意义的条件（注意应该包括解析式有意义的所有条件）列出不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f(x)的定义域。
（3）解答已知函数f(x)的定义域，求函数f〔g(x)〕的定义域问题的基本方法是：①将函数f(x)的定义域视为函数g(x)的值域得到不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出函数f〔g(x)〕的定义域。
（4）解答已知函数f〔g(x)〕的定义域，求函数f(x)的定义域问题的基本方法是：①根据函数f〔g(x)〕的定义域求出函数g(x)的值域；②将函数g(x)视为整体未知数；③求出函数f(x)的定义域。
（5）解答已知函数的定义域，求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题的基本方法是：①根据函数的解析式和定义域得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③求出参数的值（或取值范围）。
〔练习3〕解答下列问题：
函数f(x)=+的定义域是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：C）
A [-1，+∞） B（-∞，0）∪ （0，+∞） C [-1，0）∪（0，+∞） D R
2、f(x)=+的定义域是（）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：D）
A （2，-） B （-2，+∞） C （，+∞） D （-2，）∪ （，+∞）
3、已知函数f(x)的定义域为[-1，2]，则f(|x|)的定义域为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：D）
A [-1，2） B [-1，1] C （-2，2） D [-2，2]
【典例4】解答下列问题：
已知函数f(x)=，则f()=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A B C a D 3a
【解析】
【考点】①函数值定义与性质；②已知函数解析式，求函数值的基本方法。
【解题思路】根据函数值的性质，运用求函数值的基本方法，结合问题条件求出f()的值就可得出选项。
【详细解答】 函数f(x)=，f()==a，C正确，选C。
函数f(x)=x+的值域是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A （-∞，1] B （-∞，1） C R D [1，+∞）
【解析】
【考点】①函数值域定义与性质；②数学换元法及运用；③求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值，值域和求解不等式的基本方法，结
合问题条件对各选项结论是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】设t=，t[0，+∞）,则z=，f(x)=x+，f(t)=+t
=-+t+，=-（-2t+1）+1=-+1≤1，函数f(x)=x+的值域是（-∞，1]，A正确，选A。
函数f(x)=x+1，x{-1，1，2}的值域是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 0，2，3 B 0≤f(x)≤3 C {0，2，3} D [0，3]
【解析】
【考点】①函数值域定义与性质；②函数值定义与性质；③求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据函数值和函数值域性质，运用求函数值和函数值域的基本方法，结
合问题条件求出函数f(x)=x+1，x{-1，1，2}的值域就可得出选项。
【详细解答】f(-1)=-1+1=0，f(1)=1+1=2，f(2)=2+1=3，函数f(x)=x+1，x{-1，1，2}的值域为{0，2，3}，C正确，选C。
4、已知f(x)=x+2，x≤-1，若f(x)=3，则x的值是（ ）（成都市高2023级高一调研测试）
A 1 ，-1【解析】 2x，x≥2，
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件，求出x的值就可得出选项。
【详细解答】当x≤-1时，f(x)=x+2=3，解之得：x=1（-∞，-1]，此时无解；当-15、已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，则f(72)=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A p+q B 3p+2q C 2p +3q D +
【解析】
【考点】①抽象函数定义与性质；②求抽象函数值的基本方法。
【解题思路】根据抽象函数的性质，运用求抽象函数值的基本方法，结合问题条件求出f(72）
关于p，q的表示式就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，f(23)=f(6)=f(2)+f(3)=p+q，
f(26)=f(12)=f(2)+f(6)=p+p+q=2p+q，f(126)=f(72)=f(12)+f(6)=2p+q+p+q=3p+2q，B正确，选B。
6、已知函数f(x)=，x（m，n]，的最小值为8，则实数m的取值范围是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A （0，1） B （1，2） C （1，2] D [1，2）
【解析】
【考点】①函数最值定义与性质；②求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数最值的性质，运用求函数最值的基本方法，结合问题条件确定出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），函数f(x)==3+，在（m，n]上单调递减，函数f(x)在（m，n]上的最小值为8，f(n)==3+=8，解之得：n
=2，x（1，+∞），1≤m<2，若函数f(x)=，x（m，n]，的最小值为8，则实数m的取值范围是[1，2 ），D正确，选D。
7、（多选）已知函数f(x)=x+2，x≤-1，关于函数f(x)的结论正确的是（ ）（成都市高2023
，-1A 函数f(x)的值域为（-∞，4） B f(1)=3
C 若f(x)=3，则x的值是 D f(x)<1的解集为（-1，1）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法；③求分段函数值域的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值，值域和求解不等式的基本方法，结合问题条件对各选项结论是否正确解析判断就可得出选项。
【详细解答】对A，当x（-∞，-1]时， 函数f(x)的值域为（-∞，1]，当x（-1，2）时， 函数f(x)的值域为（0，4），函数f(x)在（-∞，2）上的值域为（-∞，4），A正确；
（-∞，-1]，此时无解；当-18、设f(x)=，02（x-1），x≥1，（成都市高2023级高一上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件得到关a的方程，求解方程求出a的值就可求出f(a)的值。
【详细解答】当0=2a，a=，f(a)=；当a≥1时，f(a)=2（a-1），f(a+1)=2（a+1-1）=2a，f(a)=f(a+1)，2（a-1）=2a，-2=0显然不成立，综上所述，若f(a)=f(a+1)，则f(a)=。
9、定义在R上函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x[0,2）时，f(x)=2-|x-1|，则使得
f(x)≤在[m，+）上恒成立的m的最小值是 。 （成都市高2023级高一期末调研考试）
【解析】
【考点】①函数值域定义与性质；②绝对值定义与性质；③求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据函数值域和绝对值的性质，运用求函数值域的基本方法，结合问题条件得到关于m的不等式，求解不等式求出m的取值范围就可求出m的最小值。
【详细解答】如图，当x[0,2）时，f(x)=2 y
-|x-1|，当x[0,2）时，函数f(x)的值域为[1， 2
2]，当x[2,4）时，x-2[0,2），定义在R上
函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x[2,4）时， 1
函数f(x)的值域为[，1]，当x[4,6）时，x
-4[0,2），定义在R上函数f(x)满足f(x+2)= 0 1 2 3 4 x
f(x)，当x[2,4）时，函数f(x)的值域为[，]，当x[2n,2n+2）（nN）时，
x-2n[0,2），定义在R上函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x[2n,2n+2）时，函数
f(x)的值域为[，]，≤，解之得：n≥4，当x≥8时，f(x)≤在[8，+）上恒成立，f(x)≤在[m，+）上恒成立，≤2，[m，+）[8，+），若f(x)≤在[m，+）上恒成立，则m的取值范围为[8，+），m的最小值是8。
10、已知函数f(x)=x(x-m)，mR，若函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为3，则m= （成都市高2023级高一单元测试）
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②函数最值定义与性质；③求一元二次函数在给定闭区间上最值的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数和函数最值的性质，运用求一元二次函数在给定闭区间上最值的基本方法，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【详细解答】函数f(x)=x(x-m)=-mx图像的对称轴为x=，当<1，即m<2时，函数f(x)在[1，2]上单调递增，函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(2)=4-2m=3，解之得：
m=<2，m=符合题意；当1≤<2即2≤m<4时，f(1)=1-m，f(2)=4-2m，f(2)-f(1)=3-m，若2≤m<3，函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(2)=4-2m=3，解之得：m=<2，此时无解；若3≤m<4，函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(1)=1-m=3，解之得：m=-2<2，此时无解；当≥2，即m≥4时，函数f(x)在[1，2]上单调递减，函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(1)=1-m=3，解之得：m=-2<4，此时无解，综上所述，若函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为3，则m=。
11、函数f(x)，g(x)分别由下表给出。（成都市高2023级高一单元测试）
x 1 2 3 x 1 2 3
f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为 ；满足f（g(x))>g(f(x))的x的值是 。
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②求复合函数值的基本方法。
【解题思路】根据复合函数的性质，运用求复合函数值的基本方法，结合问题条件就可求出f(g(1))的值为的值，从而求出满足f（g(x))>g(f(x))的x的值。
【详细解答】g（1）=3，f(g(1))=f（3）=1；当x=1时，f（1）=1，g（1）=3，f(g(1))=f（3）=1，g(f(1))=g（1）=3，f(g(1))g(f(2))符合题意；当x=3时，f（3）=1，g（3）=1，f(g(3))=f（1）=1，g(f(3))=g（1）=3，f(g(1))g(f(x))的x的值为2。
12、对于任意的实数a，b，min[a，b]表示a，b中较小的那个数，即min[a，b]= a，a≤b，
已知函数f(x)=3-，g(x)=1-x。 b，a>b，
求函数f(x）在区间[-1，1]上的最小值；
设h(x)=min[f（x），g(x)]，xR，求函数h(x)的最大值。
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②函数最值定义与性质；③求一元二次函数在给定闭区间上最值的基本方法；④分段函数定义与性质；⑤求分段函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据一元二次函数和函数最值的性质，运用求一元二次函数在给定闭区间上最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x）在区间[-1，1]上的最小值；（2）
根据分段函数和函数最值的性质，运用求分段函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出
函数h(x)的最大值；
【详细解答】（1）函数f(x)=3-图像的对称轴为y轴，且开口向下，当x[-1，1]时，f(-1)=f(1)=3-1=2，函数f(x）在区间[-1，1]上的最小值为2；（2）在同一直角坐标系中作出函数f(x)=3-，g(x)=1-x的图像如图 y
所示，根据图像得到函数h(x)的解析式为：
h(x) = 3-，x≤-2或x≥1，当x（-∞， - -1 0 x
x+1，-2值为h(-2)=3-4=-1；当x（-2，1）时，函数h(x)无最大值；当x（1，+∞）时，函数h(x)的最大值为h(1)=3-1=2，2>-1，综上所述，函数h(x)的最大值为2。
『思考问题4』
（1）【典例4】是函数值，函数值域（或最值）及运用的问题，这类问题主要包括：①已知函数的解析式，求函数值，函数值域（或最值）；②分段函数求函数值，函数值域（或最值）；③复合函数函数值，函数值域（或最值）；④抽象函数求函数值，函数值域（或最值）等几种类型。解答这类问题需要理解函数值，函数值域（或最值）的定义，掌握求函数值，函数值域（或最值）的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值，函数值域（或最值）的基本方法是：①把给定的自变量x的值（或取值范围）代入函数解析式；②通过运算求出函数值（或值域或最值）；
（3）分段函数求函数值，函数值域（或最值）的基本方法是：①确定给定的自变量值（或取值范围）属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量值（或取值范围）代入选定的解析式，并通过运算求出函数值，函数值域（或最值）；③得出问题的结果（注意：分段函数的值域是各段函数值域的并集，分段函数的最小值是各段函数最小值中最小的函数值，分段函数的最大值是各段函数最大值中最大的函数值，）
（4）复合函数求函数值，函数值域（或最值）的基本方法是：①根据给定的自变量求出内层函数的函数值；②把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，代入外层函数的解析式，并通过运算求出函数值；③得出复合函数的函数值，函数值域（或最值）；
（5）抽象函数求函数值的基本方法是赋值法，其基本步骤是：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
[练习4]解答下列问题：
1、已知f（x）= 3x+1，x≤1，则f（3）= （ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 7 +3，x>1， B 2 C 10 D 12（答案：D）
2、若函数f(x)= + 2，x≤1，在（-∞，a]上的最大值为4，则实数a的取值范围为（ ）
, （x-1），x>1，（成都市高2023级高一单元测试）（答案：B）
A [0，17] B （-∞，17] C [1，17] D [1，+∞）
3、由函数f(x)=-4x（x[0，5]）的最大值与最小值可以得其值域为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：C）
A [-4，+∞） B [0，5] C [-4，5] D [-4，0]
设函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,，则f(1)=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：A）
A 2 B -2 C 1 D -1
5、设函数f(x)= 2，x<2，则f(f(2))的值为 （成都市高2023级高一单元测试）
（-1），x≥2， （答案：f(f(2))的值为2）
6、从甲城市到乙城市m分钟的电话费有函数f(m)=1.06（[m]+）给出，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数（如[3]=3，[3.9]=3，[3.1]=3），则从甲城市到乙城市5.8分钟的电话费为 （成都市高2023级高一单元测试）（答案：5.8分钟的电话费为5.83元）
7、函数f(x)=x(8-x)，x（0，8）的最大值为 （成都市高2023级高一单元测试）（答案：函数f(x)=x(8-x)，x（0，8）的最大值为16）
8、已知函数f(x)=2x，x>0，则f（-）+f（）= （成都市高2023级高一单元测试）
f(x+1)，x≤0，（答案：f（-）+f（）=4）
9、函数f(x)，x[3,5]的最小值是 （成都市高2023级高一单元测试）
（答案：函数f(x)，x[3,5]的最小值是）

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