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专题23 与角相关的问题
例1 45° 提示：如图，通过拼补得∠1+∠2=45°.
例2．B
提示：①（90°－∠）+∠=90°符合；
②（∠－90°）+∠=∠+∠－90°=180°－90°=90°符合；
③
④符合.
故①②④能表示的余角.
13．∵OM、ON平分∠AOC，∠BOC，
∴∠AOM=∠COM=，∠CON=∠BON=
（1）如图①，若OC在∠AOB内，设∠BOC=x，则
图
图 图
例6 （1），，且与互为相反数。
且。，，即，
（2）有两种情况，如图
当在上时，
；当在的延长线上时，
，综上可
知，
作图如图，结论正确，设，则，
，当然对于我们也不难找出其值不为
定值的原因。，变化，其值也变化
A级
1 或 提示：当，在点两侧时，；当，在同一侧
时，
2 20
3 41.6 提示：所有线段长度总和为∠AOC＝80°－x，∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝40°．
（2）如图②，若OC在A′OB内，设∠BOC＝x，则∠AOC＝80°＋x．
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝40°．
（3）如图③，若OC在∠A′OB′内，设∠BOC ＝x，则 ∠AOC＝280°－x．
∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝140°．
（4）如图④，若OC在∠AOB′内，设∠BOC＝x，则∠AOC＝x－80°．
∴∠MON＝∠NOC－∠MOC＝40°．综上所述：∠MON＝40°或 140°．
例4 x＝ 提示：显然x的值大于1小于2，
依题意得6x－360(x—1)＝360(x—1)—0. 5x．
例5 提示：设“模板”角度为α，假设可由k个α角与t个 180°角画出1°的角来，即k，t满足等式kα－180t＝1．
（1）当α＝19°时，取k＝19，t＝2，即用模板连续画出19个19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角， 即得1°的角．
（2）当α＝17°时，即17k一180t＝1，此时，k＝53，t＝5是一组解，即用模板连续画53个17°的角，得到901°的角，除去两个周角和一个平角，即得1°的角．
（3）当α＝21°时，即21k—180t＝1无整数解，不能用21°的模板与铅笔画出1°的角．
例6 (1) ∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－30°＝150°．
又∵QE 平分∠BOC，∠COE＝∠BOC＝75°， ∠DOE＝90°－75°＝15°．
（2）∠DOE＝90°－＝α．
（3）①∠AOC＝180°－2∠COE＝180°—2(90°—∠DOE)＝2∠DOE；②设∠DOE＝x，∠AOF＝y．则 ∠AOC－4∠AOF＝2∠DOE－4∠AOF＝2x－4y．2∠BOE＋∠AOF＝2∠COE＋∠AOF＝2 ( 90°—∠DOE) ＋∠AOF＝2 ( 90°一 x )＋y＝180°一2x＋y．故 2x—4y＝180°—2x ＋y，即 4x—5y＝180°．所以 4∠DOE－5∠AOF＝180°．
A级
1．72°
2．10 450° 提示：一共有10个角，其中∠AOE＝90°， ∠BOD＝45°，∠AOB十∠BOE＝90°，∠AOC＋∠COE＝90°，∠AOD＋∠DOE＝90°，∠BOC＋∠COD＝45°．故这10个角的度数和为90°×4＋45°×2＝360°＋90＝450°．
3．30
4．6 提示：∠AOC 和∠BOC，∠AOD 和∠BOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE 和∠DOE ，∠AOE和∠COD，∠AOD 和∠COE．
5．B 6．A 7．C 8．B
9．114° 提示：设∠AOC＝x°，是∠BOC＝2x°，∠AOD＝(x)°，∠COD＝(x)°，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝114°
10．设∠AOD＝∠BOD＝x，则∠BOC＝180°—2x．
又∵∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝∠BOC＝(180°－2x)．
又∵∠BOD＋∠BOE＝∠DOE＝72°，∴x＋(180°－2x)＝72°，解得x＝36°．
则∠EOC＝∠BOC＝(180°—2x)＝72°．
11．（1）如图①，若 OD在∠A′OB 内时，∵∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COE＝∠DOE＝∠COD＝30°，∴∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝70°．
（2）如图②，若OD在∠AOB′内时，同理，∠AOC＝40°，∠OOE＝30°，∴∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10°．
综上所述：∠AOE＝70°或10°．
12．（1）共有：4＋3＋2＋l＝10 个角．
（2）∠AOE＝80°．
（3）所有锐角度数和为：416°．
B级
1．50° 2．345° 3．15
4．64° 提示：设∠EOF＝∠COF＝x，则∠AOE＝2x．∴∠BOC＝∠AOC＝2x＋x＋x＝4x，∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝2x，又∵∠FOD＝∠FOC＋∠COD＝x＋2x＝3x＝24°，x＝80°，∴∠AOB＝8x＝64°．
5．D
6．D 沿AB对折，上下图形能够完全重合，则∠1＋∠9＝∠4＋∠8＝∠2＋∠6＝90°．
7．B 8．D
9．提示：∠COE＋∠BOE＝90°，∠DOF＝45°，∠AOF＋∠BOD＝135°．
10．由题中条件知∠A3OA2—∠A2OA1＝2°①，∠A4OA3—∠A3OA2＝2° ②，∠A5OA4—∠A4OA3＝2°③，…， ∠A11OA10－∠A10OA9＝2°⑨，以上9个等式相加得∠A11OA10—∠A2 OA1 ＝9×2°＝18°．.即∠A11OA10＝∠A2OA1＋18°．由题设知，∠A1OA11＝∠A2OA1＋∠A3OA2 ＋∠A4OA3＋…＋∠A11OA10＝(∠A2OA1＋∠A11OA10)×10＝180°．
∴∠A2OA1＋∠A11OA10＝36°，∴∠A11OA10＝27°．
11．经过x秒时，OA与OB第一次垂直．由(6－0. 1)x＝90得x＝15．
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专题23 与角相关的问题
阅读与思考
角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
按角的大小可以分成锐角、直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.
解与角有关的问题常用到以下知识与方法：
1. 角的分类；
2. 角平分线的概念；
3. 互余、互补等数量关系角；
4. 用方程的观点来进行角的计算.
例题与求解
【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则 .
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出的值.
【例2】如果与互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④. 其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
（2013年浙江省衢江市数学竞赛试题）
解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.
【例3】已知，OC是不在直线OA，OB上的任一条射线. OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC. 求∠MON的大小.（题目中考虑的角都小于平角）
（湖北省武汉市武昌区调考试题）
解题思路：因OC位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.
【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x的值.
（湖北省黄冈市竞赛试题）
解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x的代数式表示，通过解方程求出x的值.
【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.
（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？
（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？
对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1°.
【例6】如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
（1）如图①，若，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，若，直接写出∠DOE的度数 （用含α的代数式表示）；
（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置.
① 探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
② 在∠AOC的内部有一条射线OF，满足，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由
图 ① 图 ②
（湖北省武汉市模拟试题）
解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出∠DOE的度数；
（2）先根据∠DOE与∠COE的互余关系列出相应的关系式，然后用∠BOC表示出∠COE，再根据互补角的关系用α表示出所求角的度数；
（3）①可设∠BOC为一个未知数，分别表示出∠AOC与∠DOE，可得相应关系；②结合①把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.
能力训练
A 级
1. 已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 .
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
2. 如图，，，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 .
（“希望杯”邀请赛试题）
3. 如图，，若，则等于 .
4. 如图，O是直线AB上一点，，，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角有 对.
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
5. 一个角的补角的是6°，则这个角是（ ）
A. 68° B. 78° C. 88° D. 98°
（“希望杯”邀请赛试题）
6. 用一副三角板可以画出大于0°且小于176°的不同角度有（ ）种
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
7. 如图，若，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A. B. C. D.
（甘肃省兰州市竞赛试题）
8. 如图，，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设，则与α的余角相等的角是（ ）
A.∠COD B.∠COE C.∠DOA D.∠COA
9. 如图，已知，OD平分∠AOB，且，求∠AOB的度数.
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
10. 如图，已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，，. 求∠EOC的度数.
11. 已知，OC平分∠AOB，，OE平分∠COD. 求∠AOE的大小.
12. 如图，已知OB，OC，OD为∠AOE内三条射线.
（1）图中共有多少个角？
（2）若OB，OC，OD为∠AOE四等分线，且图中所有锐角的和为400°，求∠AOE的度数.
（3）若，，求图中所有锐角的和.
B 级
1. 已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10°，则这个角的度数是 .
（浙江省杭州市竞赛试题）
2. α，β，γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，有三位同学分别算出了23°，24°，25°这三个不同的结果. 其中只有一个是正确的答案，则 .
（江苏省竞赛试题）
3. 如图，点O在直线AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一侧的射线，那么在这个图形中，不大于平角的角共有 个.
（五城市联赛试题）
4. 如图，射线OC，OD，OE，OF分别平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC，若，则 .
（2013年“希望杯”数学邀请赛试题）
5. 4点钟后，从时针到分针第二次成90°角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数）
A. 60 B. 30 C. 40 D. 33
（“五羊杯”竞赛试题）
6. 如图是一个3×3的正方形，则图中的和等于（ ）
A. 270° B. 315° C. 360° D. 405°
（广西省竞赛试题）
7. 已知，OM，ON，OP分别是∠AOB，∠BOC，∠AOC的平分线，则下列各式中成立的是（ ）
A. B. C. D.以上情况都有可能
8. 如图，∠AOC是直角，，且OB，OD分别是∠AOC，∠BOE的平分线，则∠AOE等于（ ）
A. 111.5° B. 138° C. 134.5° D. 178°
（五城市联赛试题）
9. 如图，在直线AB上取一点O，在AB同侧引射线OC，OD，OE，OF，使∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE. 求证：.
10. 如图，∠A1OA11是一个平角，
. 求的度数.
（山东省竞赛试题）
11. 在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的选择中心）. 若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？
（“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）
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