资源简介

青岛、泰山版义务教育课程标准教科书
八年级数学（下册）简介
泰山版《义务教育课程标准教科书·数学 八年级（下册）》，是根据教育部2001年颂布的《数学课程标准（实验稿）》的基础理念、课程目标和内容标准编写的。本套教科书由泰山出版社组织编写，由青岛出版社和泰山出版社联合出版，2006年3月经全国中小学教材审查委员会审查通过，并被教育部列入了全国中小学教材用书目录。
一、本套教科书编写的指导思想
本套教科书把全面落实《课程标准》规定的基本理念作为编写的指导思想，具体体现在以下四个方面：
1. 教科书内容全面体现义务教育的普及性、基础性和发展性，面向全体学习。为人人都能获得良好的数学教育创造条件，使学生既能获得现代社会的公民所必须的最基本的数学知识、技能、思想及活动经验，又能使不同的学生在数学上得到不同的发展。
2. 以教科书内容呈现方式的变革促进学生学习方式的变革。教科书以学生的发展为本，使学生的数学学习活动成为生动活泼的、主动的和富有个性的过程，使动手实践、自主探索与合作交流成为学生学习数学的主要方式。把教科书编的“容易些、有趣些、鲜活些。”
3. 教科书从内容方面全面体现50多年来我国数学教育的优良传统，努力反映我国数学教育改革实验的优秀成果，并吸取了国外数学教材编写的成功经验。
4. 重视现代信息技术的运用。本套教科书的设计注重现代信息技术的应用，配合教学内容，教科书引入科学计算器及计算机，供有条件的学校和学生选择使用。
二、本册教科书的主要内容及课程目标
本册教科书包括《数学课程标准》规定的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”、“课题学习”四个领域的内容。全书采用“混编”的形式，共五章加一个“课题学习”，供八年级下学期使用，全书约需60课时。
第7章“二次根式”。包括二次根式及其性质、二次根式的加减法、二次根式的乘除法共3节。本章是在学习了平方根、算术平方根的概念及开平方运算的基础上安排的。二次根式在传统的教材中，内容较多，是数学的难点之一。但考虑到二次根式是后继学习不可缺少的基础知识，本册教科书在删繁就简的基础上仍然单独设章，这是本套教科书整体结构安排的特点之一。
本章内容的重点是二次根式的运算。二次根式的有关概念及其性质，教科书是通过特例验证，在“观察与思考”“实验与探究”“合作与交流”等教学活动中合情归纳的，没有给出一般性的证明。
本章的学习目标是：
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
第8章“平面图形的全等与相似”。包括全等形与相似形、全等三角形、怎样判定三角形全等、相似三角形、怎样判定三角形相似、相似三角形的性质，相似多边形共7节。全章以实验几何为主，为学生提供观察、操作、归纳、类比、猜测的素材，在探索图形性质，与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，学习有条理的思考与表达。
本章是在学生已学习“平面图形的认识”“轴对称与轴对称图形”的基础上，将全等形与相似形融合在一起编写，以体现数学知识的形成与发展过程，引导学生感受数学知识的整体性，认识特殊与一般的关系。本章教学内容的处理充分体现了本套教科书的编写特色，即通过特设的板块“观察与思考”“实验与探究”“交流与发现”等，创设现实情境，让学生在观察、尝试、画图、估算、归纳、类比等自主参与的活动中发现问题、解决问题，使其理解知识，掌握技能，积累经验，感悟思想。
本章的学习目标是：
（1）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。
（2）探索两个三角形全等的条件，给出判定两个三角形全等的方法。
（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件，给出判定两个三角形相似的方法。
（4）了解相似三角形的性质。
（5）了解相似多边形的概念及其性质。
第9章“解直角三角形”。包括锐角三角比、30°，45°，60°角的三角比、用计算器求锐角三角比、解直角三角形、解直角三角形的应用共5节。本章是在学过相似三角形及二次根式的基础上安排的。这部分内容兼有几何和代数和特点，具有一定的综合性，有利于培养学生灵活地运用各种学过的知识发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强应用意识，了解数学的价值。
本章的学习目标是：
（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角比（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角比。
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角比；由已知的三角比求它的对应锐角。
（3）能用锐角三角比解直角三角形，能用相关知识，解决一些简单的实际问题。
第10章“数据离散程度的度量”。包括数据的离散程度、极差、方差与标准差、用科学计算器计算方差和标准差共4节。本章是在八（上）学过“样本与估计”，知道描述数据的集中趋势的量——平均数、众数、中位数的基础上安排的。
本章的学习目标是：
（1）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度。
（2）能用计算器处理较为复杂的统计数据。
第11章“几何证明初步”。包括定义与命题、为什么要证明、什么是几何证明、反证法、平行线的性质定理和判定定理、三角形内角和定理、全等三角形证明举例共7节。全章以演绎几何为主，将以前在实验与探究等教学活动中，通过合情归纳发现的角、平行线、三角形等的性质和判定方法，在这里都给予推理论证。推理论证不是通过语言叙述来过渡，而是直接通过图形使用数学符号推理论证，开始出现综合法推理论证的格式，对学生进行正规的命题证明的训练。
本章重点是几何证明。教科书单设“为什么要证明”“什么是几何证明”两节，使学生明确学习目的，激发学习兴趣，增强学习信心，这是以往任何教科书没有明确回答的内容，是本套教科书的特色之一。
本章的学习目标是：
（1）了解定义、命题、定理、推论的意义，会区分命题的条件和结论，了解原命题与逆命题的概念。
（2）知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，学会综合法证明的格式。
（3）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的，体会反证法的含义。
（4）证明平行线的性质定理和判定定理。
（5）证明三角形的内角和定理，掌握它的推论。
（6）证明两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。
（7）证明角平分线的性质定理及其逆定理。
（8）证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
（9）证明等腰三角形的性质定理及判定定理。证明等边三角形的性质定理及判定定理。
（10）掌握直角三角形的判定定理及直角三角形全等的判定定理。
本册的“课题学习”是“有趣的分形图”。它是在学生已学习了“平面图形的全等与相似”以后安排的。通过对典型的分形图的认识和实际绘制，体验大自然中的一些不规则现象与数学的联系，在欣赏分形图中，感受数学与艺术的完美结合。
本章的学习目标是：
1. 了解什么是分形图；
2. 通过对典型的分形图的欣赏和绘制，激发学习数学的兴趣，启迪创新意识。
三、教材分析和教学建议
（一）第7章二次根式
1. 二次根式的概念是从形式的描述来定义的。二次根式必须具备两条：
（1）从形式上看，二次根式必须有二次根号；
（2）被开方式a可以是数，也可以是代数式。a如果是数，这个数必须是非负数，如果是代数式，这个代数式的值必须是非负的。
2. 二次根式（a≥0）本身就是a的算术平方根，因而（a≥0）是一个非负数，即
≥0（a≥0）。
根据平方根的定义，有
（）2 =a（a≥0）。
这个等式从左往右看，是根式的乘方运算，它将带根号的式子转化为不带根号的式子；这个等式从右往左看，即
a =（）2（a≥0）。
利用它可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式，它将为某些运算带来方便。
≥0是二次根式的一个简单性质，反映二次根式总是一个非负数；a≥0是二次根式的一个必备条件，限制被开方式必须是非负的，这两者要区分开。
注意书写的意义，2表示2×，不要和带分数的表示法相混淆。含假分数的根式，如只能写成，不能写成1，b表示b×，b可以取负数。
在二次根式中对字母取值问题的讨论，目的在于巩固对“被开方式必须是非负数”的了解，但这种讨论只限于可以用简单的一元一次不等式解决的范围内。
3. 二次根式的化简，本章的基本要求是只限定在a≥0的条件下，=a（a≥0）；对于a＜0的情形，教科书在“挑战自我”栏目中通过实例引导学生探索发现
= -a（a＜0）。
但不要求学生掌握，更不要求学生在解题时进行讨论，教科书约定：“如果没有特别说明，本章中根号内的所有字母均表示正数”。
（）2与是两个重要的根式，要区分它们的异同。
4. 类比积的乘方的性质，不难发现积的算术平方根的性质。教科书是通过具体例子列出积的算术平方根的性质，这个性质可以证明。事实上
当a≥0，b≥0，≥0，≥0，≥0。
∵（）2 = ab，∴是ab的算术平方根。
又∵（·）2 =（）2·（）2 = ab，∴·也是ab的算术平方根。
∵ab的算术平方根只有一个，∴=·。
利用积的算术平方根的性质可以化简二次根式。应用这个性质时要注意：
（1）a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，只有在a≥0，b≥0的条件下，才能应用这个性质。要防止出现=·的错误。
（2）如果被开方式不是积的形式，必须先化成积的形式。
（3）如果被开方式中有的因数或因式能开得尽方，这些因数或因式应该全部用它的算术平方根来代替而移在根号外面。
（4）这个性质可以推广到多个因数（每个因数都是非负数）。
5. 与积的算术平方根一样，教科书对商的算术平方根的性质，也是采用以实例说明的方法导出公式的，这个性质也可以依照前例加以证明。
商的算术平方根的性质，是二次根式化简和运算的基础。公式中的条件， a≥0，b＞0是为了保证式子有意义，特别是b与a不同，要求b＞0。
根据商的算术平方根的性质，化去二次根式中根号内的分母，可以将二次根式化简，教科书通过例5（4）化简介绍了化去根号内分母的两种方法，不提分母有理化。
化去根号内的分母是根式性质的应用，是化简二次根式的基础，要使学生明白其中的算理：被开方数中的分子、分母同乘一个不为零的数（或代数式），根式的值不变。同乘一个数（式）的目的在于使分母成为完全平方数（或平方式），然后用商的算术平方根的性质时，分母开得尽方，能达到化去根号内分母的目的。在解决这类问题时，要防止变化过程中只乘分母，不乘分子的错误。
如果被开方数是带分数，在运算时一定要化成假分数，要防止出现如
=2
的错误。
6. 将算术平方根的性质=·（a≥0，b≥0），及=（a≥0，b＞0）反过来，就得到二次根式的乘法及除法的运算法则：
·=（a≥0，b≥0），
=（a≥0，b＞0）。
这里利用了相等关系的对称性，将等式作对称变换，可以达到一式两用的目的。
在进行乘法运算时，被开方数相乘应考虑因式分解或因数分解，如·直接可得，而不要先写成再分解。
2·5应这样来理解计算的步骤：
2·5= 2××5×
= 2×5××
=（2×5）×（×）
=10。
二次根式运算的结果，要化成最简二次根式。
7. 最简二次根式是指满足下列两个条件的二次根式：
（1）被开方式中不含分母（也就是被开方式的因数是整数，因式是整式）；
（2）被开方式中的每一个因式的指数都小于根指数2（也就是被开方式中不含能开得尽方的因数或因式）。
最简二次根式定义中的“每一个因式”包括被开方式中所能分解成的各个因式，如不是最简二次根式，因为8=22×2。
二次根式化简时，应注意可能出现的如下错误：
= 3 + 2，= +，= 2= 2·，2 = ，==。
遇到二次根式的运算问题，一般应先对二次根式进行化简，然后再进行运算，这样会使运算简便。
8. 同类二次根式是学习了化简二次根式的方法以后学习的另一个重要概念，化为同类二次根式的目的是进行二次根式的加减运算。
对于同类二次根式的定义，应强调两点：一是把几个二次根式都要化成为最简二次根式；二是根号内的被开方数相同，根号前的数字或字母系数可以不同。不经过化简，直接根据被开方数的异同来判断几个二次根式是否是同类二次根式往往是不正确的。
“最简二次根式”是对某一个二次根式而言，“同类二次根式”是对化简后的几个二次根式而言。
9. 二次根式的加减法，其实质是合并同类二次根式，它类似于整式加减法的合并同类项。
二次根式相加减，应先把各个二次根式进行化简，然后把其中的同类二次根式分别合并。
这里，本教科书将多年其他教材沿用的叙述进行了修改，将“应先把各个二次根式化成最简二次根式”改为“应先把各个二次根式进行化简”，将“把同类二次根式分别合并”改为“把其中的同类二次根式分别合并”。这样修改更科学，更符合实际。比如“计算+”按其他教材对法则的叙述就不好解释。
10. 二次根式一章不仅体现了化归、分类的思想方法，蕴含了类比推理方法，还集中反映了逆向思维方法。
（1）关于类比。
例如，二次根式的性质类比乘方的性质，二次根式的加减类比整式的加减。实际上，如果用分数指数来表示根式的根指数，那么二次根式的性质就是乘方运算，同类二次根式就是“同类项”。
（2）本章体现逆向思维方法比较集中，而且经常是正逆两方面的思维交织在一起，容易引起混淆。
例如，对于化简，可以利用3 =（）2直接约分：==；也可以把它看作二次根式的除法来运算：===；还可以利用分式的性质： = =。
11. 二次根式的化简
对任意实数a，都有a2≥0，所以，二次根式总有意义，根据算术平方根的定义：
当a＞0时，=a，①
当a＝0时，=0，②
当a＜0时，=？这是要研究的中心问题。
对于任意实数a来说，a2 =（-a）2，│a│=│-a│。所以，由算术平方根的定义知，当a＜0时，-a＞0，所以
==-a（a＜0，-a＞0）。③
将①②③合并起来，就可得到=
（）2与是两种不同的运算，应加以区分。
12. 泰九韶公式的转化
S =
=
=
=
=
=
设a + b + c = 2p，则上式可化为
S=
=。
这便是海伦公式。
（二）第8章 平面图形的全等与相似
1. 《课程标准》在编写建议中强调指出，“教材的整体要呈现不同数学知识之间的关联”。在传统的数学教材中，全等三角形与相似三角形是分章编写的，先研究全等形，隔较长的一段时间再研究相似形。这种割裂的安排，没有处理好全等与相似的关系。事实上，人们在对这两类图形的形状和大小认识时，全等和相似的感知是共性的，形状相同是二者的共性，全等形是相似比为1时相似形。从理论上讲，全等和相似是特殊与一般、个性与共性的关系，由全等形的判定定理，通过类比可以得到相似形的判定定理。因此，对于这两个概念本册教科书没有将其拆开放在不同的章中，而是将全等形与相似形整合为一章，引导学生感受数学的整体性，体现了数学知识的形成与发展过程，又顺应学习数学的心理规律，有利于学生较快地理解和掌握知识。这种编排在以往及现行的教材中均未见过，这是本套教科书在结构上的一个创新。
另外，对于推理能力的培养，本书采取分层递进，螺旋上升的处理方法。学生在七（下）了解了三角形的基本概念，八（上）学习了图形的轴对称，又通过“实验与探究”得到等腰三角形的有关性质。在学生的几何直觉与合情推理能力有了一定发展的基础上，本册教科书安排“平面图形的全等与相似”，在组织学生自主探索与合作交流的过程中，通过“观察与发现”、“实验与探究”、猜想、归纳揭示出所研究的平面图形的本质属性，明确规定它们的含义，并尝试应用这些图形的已有性质去研究推导出图形的其他性质。在应用中渗透推理训练，这里的训练是由因导果的一步推理，采用文字语言进行说理。
2. 平面几何是研究平面图形的形状、大小和位置关系的科学。借助图形引入概念，直观性强，效果好。全等形与相似形的定义是全章的基础。“能够完全重合的平面图形，叫做全等形”。全等三角形的判定方法，就是通过作图、叠合进行探究发现的，“完全重合”是关键，教科书安排的发现过程不是个案，特别注意到它的一般性。如P28的“实验与探究”：
由（1）、（2）的个别情形转向（3）一般情形进行探究，然后由（4）猜想、归纳结论，导出命题：判定方法1。教师要理解教科书为什么安排这样操作，这点既有严格的科学性，又能体现数学知识的形成过程。
3. 全等形是能够重合的图形，它们的形状和大小是完全一样的，仅是位置不同。判断不同位置的全等形是数学中的一个难点，应给予重视。图形的形状和大小是由线段的长度和角的大小决定的，因此全等形的对应边相等、对应角相等。对全等三角形来说，对应边相等与对应角相等的重要性质，是证明两条线段相等和两个角相等的主要依据。因此教学中应重视这一重要性质的教学。
4. 找出全等三角形的对应元素，是判定和运用全等三角形的关键。教学中要注意防止学生把对角与对应角、对边与对应边混为一谈。此外，两个任意三角形之间没有对应角、对应边之说。对应角、对应边、对应顶点是全等三角形定义后的衍生概念。对于“如果两个三角形的三条对应边相等，那么这两个三角形全等”的说法是错误的。
“对应”的思想对研究全等三角形尤为重要，因此在全等三角形的教学中，应贯穿这一重要的思想，要结合图形，训练学生辨认全等三角形的对应元素，特别当图形比较复杂，两个图形有公共或重合的元素时，要反复训练他们从中找出对应的部分，通过一段训练后，可总结一下寻找全等三角形对应边或对应角的规律：
全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；
若两个角相等，这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边；
若两条边相等，这两条边就是对应边，对应边的对角是对应角；
两个对应角所夹的边是对应边；
两条对应边所夹的角是对应角。
5. 用全等符号“≌”表示两个三角形全等时，应要求把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样会给证明两个三角形全等的问题带来方便。全等符号“≌”中，“∽”表示形状相同（即相似），“=”表示大小相等，这两层含义可向学生指明，全等形就意味着形状相同、大小相等。
6. 三角形全等的三个判定方法，都是通过实验与探究，让学生在操作中发现结论。这些结论，没有冠以“公理”或“定理”的名称，因为到目前为止，还没有给出“命题”“公理”“定理”的概念。为了训练学生初步掌握推理的方法，在教科书给出的每个三角形全等的判定方法后，都配有简单的例题。在教学例题时，要重视图形语言、符号语言和书面语言的表达与转化。例如，由符号语言△ABC≌△DEF，可画出图形（如图①②）
书面语言表达为：三角形ABC全等于三角形DEF；按符号语言的表示法，可以知道对应顶点是A与D，B与E，C与F；对应边是AB与DE，BC与EF，CA与FD，对应角是∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
例题1（P26）、例3（P32）涉及两个三角形的公用边，在练习题中涉及到两个三角形的公用角（如P32 T2），这些都是隐含在题目中的条件，需要去寻找。
解题时要注意分析题中的条件哪些是直接条件，哪些是隐含条件，如何将隐含条件转化为直接条件。题目的结论有时不是判断两个三角形全等，而是判断线段相等或角相等，这时就要通过判断线段或角分别所在的两个三角形全等，然后再根据全等三角形的对应边（对应角）相等得出结论，如P31例2、P32例3。
7. 形状相同的平面图形叫做相似形。“形状相同”是一种感性认识，其实质含义是什么，怎样进行数学表述？教科书从相似三角形概念入手，组织“实验与探究”；对两个在方格纸上画好的“形状相同”的三角形（大小不同）进行度量（度量各角的大小，各边的长）、计算（相对应的边的比例）、比较，明确“对应角相等，对应边成比例”是“形状相同”的数学表述。由此给出相似三角形的定义，并衍生对应角、对应顶点、对应边的概念（本册教科书没有明确相似比的概念，因原《课标》没提，只提“对应边的比”）。
根据相似三角形的定义，全等三角形也是相似三角形，因为它们对应角相等，对应边成比例（对应边的比为1），全等三角形是相似三角形的特例，相似三角形是全等三角形的推广。
两个相似三角形的相似比（即对应边的比），与三角形的顺序有关，如果△ABC与△A′B′C′的相似比为k1，则△A′B′C′与△ABC的相似比为k2=，即k1与k2互为到数，这是因为线段比的前项和后项交换后得到不同比的缘故。
8. 三角形相似的判定方法的导出，教科书首先用类比的方法，由全等三角形的判定方法猜想相似三角形的判定方法，然后再通过“实验与探究”，让学生动手操作：画图、叠合、度量、计算、分析、归纳、得出结论。如P42判定方法2的给出。
9. 判定三角形相似的题目有两类：一是根据给定的条件，判定两三角形相似，并会用语言说明理由；二是已知两个三角形相似，确定对应角或对应边，并要求说明理由，这是训练推理证明的一种手段。
10. 相似三角形的性质，可由学生相互交流发现。
11. 相似多边形的概念一定要突出“具有相同形状”这个本质特征，其数学表述就是“边数相同，一个多边形的各个角分别与另一个多边形的各个角相等，各边对应成比例”。其中“各边对应成比例”容易忽略，会造成P52习题8.6，T2（2）的判断失误。
12. 本章“挑战自我”及习题的难度较大，涉及知识多，如P41，测量电线杆的高度，就涉及物理中的一个光学性质：光线的入射角等于反射角；P43的作图就涉及基本作图；P45在网格中作出相似比为的相似三角形，就涉及勾股定理，解答如图：
P54、综合练习，B组T4就涉及解分式方程。
已知PQ = 12，EF = FQ = 1.6，AC = BD = 9.6。
设AP = QB = x。
由△CAB∽△FQB，所以=，
即=。所以x = 3（米）。
AB = 2x+12 = 18（米）。
13. 本章的练习与习题中，选了不少开放型题目，应鼓励学生探究，如P35习题8.3 T4，P39习题8.4 T3，P44练习T2，P54综合练习A组T2，B组T3。
（三）第9章 解直角三角形
1. 引入锐角三角比的概念，是为解直角三角形作准备。锐角三角比的定义，本章是采用直角三角形中边与边的比值来定义的。优点是比较直观，便于学生理解和证明，锐角三角比的定义是本章的基础，正确理解这个定义及其表示法是学好本章其他内容的关键，因为只有正确的掌握了锐角三角比的定义，才能正确掌握直角三角形中边与角的相互关系，从而利用这些关系来解直角三角形。
在锐角三角比的概念教学中，应指出以下几点：
（1）锐角三角比是一种比值，它们只有数值，没有单位，是无名数。这三个比值只与角的大小有关，与夹这个角的两边的长短无关；
（2）对于角A的每一个确定的值，这三个比值都有唯一确定的值与它对应；
（3）锐角三角比的符号都是一个整体，不能把sinA看成是sin与A的积，离开角A的sin没有意义，只有连起来才表示角A的正弦。对于利用直角三角形给出的锐角三角比的定义，一开始不宜采用sinA = 之类的提法，因为这样 使学生把注意力集中在a、b、c等字母上，而忽视了sinA = 这些本质的东西。因此，在教学中，首先要让学生熟练地用角的对边、邻边、斜边之间的比值来表示锐角的三角比。
2. 根据学生已掌握的几何知识，应引导学生依次求出45°，30°，60°角的三角比。因为这几个特殊角的三角比应用广泛，务必要求学生熟记这些三角比，熟记的关键在于理解，不能专靠强记，因此，理解这些三角比的推导过程十分必要。
为了帮助记忆，可采用下列方法：
（1）30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，2，3的算术平方根（即，，），而余弦值正好把顺序反过来。30°，45°，60°角的正切值的分母都是3，分子依次是31，32，33的算术平方根。
（2）借助下面三个图形来记忆，学生即使遗忘，还可以根据图形重新求出三角比。
3. 一般锐角三角比是借助科学计算器求出的，不同的计算器有不同的输入法，不论哪种计算器，都必须在角的度量单位为“度”的状态下进行计算。应掌握用计算器解决三类问题：
（1）已知锐角的值求三角比；
（2）已知锐角三角比求锐角；
（3）锐角三角比的四则运算。
4. 直角三角形中六个元素间的关系，是解直角三角形的根据。
直角三角形六个元素间的关系，可归纳为三种：
（1）锐角之间的关系；（2）三边之间的关系；（3）边角之间的关系。其中的每个关系式都包含三个元素，知道其中两个元素就可以求出第三个元素。“解直角三角形”就是由直角三角形中已知元素，求出未知元素的过程。
选择关系式解直角三角形有两条基本原则：一是应当选择可以应用题目中已知数据的关系式；二是应当尽量选择便于计算的关系式。解题中选择合适的关系式是一个难点，解决这一难点的关键，就是要熟悉直角三角形中边角关系式变形后的式子，如sinA=的变形： a = csinA，c = 。
解完直角三角形后，要对结果进行检验，有两种比较方便的方法，一种是观察A+B是否等于90°（如果解题时已用过A+B=90°这一关系式，就不再用它来检验）；第二种方法是观察b2 = c2 - a2 = （c +a）（c -a）是否成立（如果解题时已用过勾股定理，就不能再用它来检验）。解直角三角形得到的结果，一般都是一些近似值，如果检验得到的值相差较大，就说明结果有错误。
5. 解直角三角形的问题可分四种情况，一般解法是：
（1）已知斜边和一直角边，如a，c，可由sinA = ，求角A；
（2）已知两直角边，如a，b，可由tanA=，求角A；
（3）已知斜边和一锐角，如c，A，求对边用公式a = csinA；求邻边用公式b = ccosA；
（4）已知一直角边和一锐角（分两种情况）：
①已知锐角和邻边，如A，b，求对边用公式a = btanA；求斜边用公式c =。
②已知锐角和对边，如A，a，求邻边用公式b=；求斜边用公式c=。
对于已知三角形不是直角三角形的求解问题，应转化为解直角三角形问题。转化的途径是作辅助线，引三角形一边上的高，将原三角形分割为两个直角三角形，然后求解。
6. 解直角三角形在实际生产、生活中有着广泛地应用，本章特设“解直角三角形的应用”一节，通过例题进一步感悟转化思想。在数学建模中，知道怎样将有关实际问题转化为解直角三角形问题。本节内容不着眼于知识上的加深，题型的广泛，而是着力于培养学生将变化万千的实际问题转化为数学问题来解决的能力。
在“解直角三角形的应用”教学中，要注意：
（1）讲清实际问题中一些术语的意义，如仰角、俯角、方位角、坡度、倾斜角等。
（2）对实际问题最好有示意图，其中包括所要解的三角形，并且在图上标注已知条件，对学生的要求是把问题与示意图对照起来，找出合适的三角形解题。
（3）实际问题中有一些常识性的内容要注意它们的含义，在解题时，这些常识性的内容可能是一个不可缺少的条件。
7. 在解直角三角形应用问题的教学过程中，可以介绍一些测量高度、距离的方法，其中一些简单的测量，可以让学生自己动手尝试，这样可以提高学生学习的兴趣，培养他们的应用意识，感受数学的价值。
8. “挑战自我”及部分题目的答案或提示。
（1）P67，挑战自我。
∵BC = CD = 1，
∴∠CBD = 45°，BD = 。
∵BD=BD′，∠D′=∠BDD′，
∠D′=∠CBD== 22.5°。
在Rt△DD′C中，D′C = 1+，
∴tanD′=，即tan22.5°=。
（注：分母不要求有理化）。
（2）P75，练习2。
如图，作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB∶BC = 5∶8，设AB = 5a，
BC = 8a，∴BD = 4a，
在Rt△ABD中，
AD ==3a，
sinB ==，cosB = =。
（3）P76，习题9.4 B组 1。
如图∠C = 90°，CD⊥AB，垂足为D，
AB = 6，AD = 2，BD = 4。
∵△ACD∽△CDB，
∴=，即CD2 =AD·DB =8，∴CD =2，
在Rt△ACD中，
AC===2，
∴sinA===，cosA===，
tanA===。
（4）P76，习题9.4 B组2。
如图，作△ABC的高BD，垂足为D。
在Rt△BCD中，BC =4，
∠BCD=180°- 118°= 62°，
BD = BCsin∠BCD = 4sin62°= 3.53。
（5）P83，习题9.5 A组1（“情境导航”中的问题）
如图，MN为地平线，PO为原底层中心铅垂线，
A为塔顶中心。
作AB⊥PO，垂足为B，作AC⊥MN，垂足为C。
AO = 47.5米，AB = 2.3米，
①在Rt△AOC中，OC = AB = 2.3，
∴ AC ==
= 47.44（米）。
②在Rt△AOB中，
由sin∠AOB ==，得∠AOB = 2.78°=2°47′。
③∠AOC = 90°- 2°4 7′= 87°1 3′。
（6）P84，习题9.5 B组2。
如图，在Rt△PAC中，∵∠A=45°，∴PC =AC，
在Rt△PBC中，∵∠PBC =60°，
∴= tan60°=，BC = ，
∵PC = AC = 60+BC，∴PC = 60 +，
PC ==142（米），BC = PC – 60 = 82（米）。
在Rt△QBC中，∵∠QBC=30°，
∴QC = BCtan30°= 82×=47（米），
PQ = PC-QC = 142 - 47 = 95（米）。
（7）P88，综合练习 B组2。
如图，设CE⊥AD，垂足为E，CE=200（米），
作BF⊥CE，垂足为F，BG⊥AD，垂足为G。
∵∠CAD =45°，∴CE = AE。
在Rt△CBF中 ，设CF = x。
∵∠CBF=60°，∴BF =。
在Rt△ABG中，BG = EF = 200-x，
∵∠BAG = 30°∴AG = = 。
∵GE = BF，AE = AG + GE，AE = CE，
∴ A G + BF = C E，即 + = 200，解方程 ，得x =126.8（米）。
在Rt△CBF中，
BC ===146（米）。
（四）第10章 数据离散程度的度量
1. 在统计里，有两类描述一组数据分布状况的特征数，一类描述数据的集中趋势——平均数、中位数、众数；另一类描述数据的离散程度或波动大小——极差、方差、标准差。描述数据集中趋势的量，已在八（上）作了研究。本章的内容是研究描述数据离散程度的量。所以要研究这两类特征数，是因为：第一，有时很难知道数据的分布规律，而这两类特征数字能对数据的情况作出简要的描述；第二，在许多实际问题中，并不需要知道考察对象的一切性质，而只需要了解它的某些性质；第三，理论上可以证明，一些典型的分布规律可以由这两个特征数字（平均数和方差）唯一确定。
2. 衡量一组数据的波动大小，最简单的量是极差。极差是指一组数据中最大值与最小值的差。极差这个统计量不够精细，但计算简单。在有的情况下，只需要知道极差就行了。例如，天气预报通常只报最高气温和最低气温，因为对于一般人来说，只需要知道这两个极端值及表示气温波动范围的极差就够了。但极差只考虑一组数据的最大值和最小值，因而个别远离群体的极端值在很大程度上影响着极差，使极差不能充分反映一组数据的实际离散程度，因而在应用上有很大的局限性。
3. 极差只反应了两个极端数据之间的差异大小，没有反映其他数据的离散程度（波动大小），所以还需要寻找更精细的刻划数据离散程度的方法。由于平均数是最常用的反映集中趋势的特征数，人们就自然以平均数作为基准去衡量每一个数据与它的偏差。
一组数据偏离其平均数的值（可称为偏差）有正有负，求它们的和有时恰好相互抵消。所以用偏差的和来表示一组数据的离散程度不行。
为了防止正偏差与负偏差的相互抵消，可以取各数据与平均数的差的绝对值的和来刻划数据的离散程度。如果用M表示，即
M =│x1-│+│x2-│+…+│xn-│
这个特征数的计算，虽然能保证各个偏差为非负数，但出现了数学上不便于处理的绝对值问题。
如果选用各个偏差的平方来描述这组数据偏离其平均数的大小，那么既可以避免正、负偏差相互抵消，而且在数学运算中也便于处理。
但是，由于各个偏差的平方都是非负数，所以数据容量越大，平方和也就越大。为了消除数据容量的影响，采用各个偏差的平方的平均数来描述一组数据偏离其平均数的大小比较合适，这就是方差。
4. 方差的定义
S2 = [（x1-）2 +（x2-）2 +…+（xn-）2 ]。
方差越大，这组数据就越离散，数据的波动也就越大；方差越小，这组数据就越聚合，数据的波动也就越小。这一公式可以简单记忆为“方差等于差方的平均数”。
方差的概念是本章的教学难点。根据《课程标准》的要求，教学中不探究为什么这样定义方差，对“标准差”也不作要求。事实上，比较两组数据的波动大小，从所得结果看，采用方差或标准差实际上是等价的。这是因为
S21＞S22S1＞S2（S1，S2均为非负数）。
5. P100“挑战自我”的解答：
即两组数据的方差一样。
7. P104习题10.3 B组1答案：一组新数据的方差是4S2。
（五）第11章 几何证明初步
1. 从本章开始进入几何的推理证明，引入了符号推理；给出了命题的意义、结构、推理证明的步骤，并要求会写出命题的已知、求证，会进行简单命题的推理证明。这是几何证明中的演绎推理的入门，教师要恰当地把握每一节的推理论证的要求，不可操之过急。虽然经过七（下）、八（上）有关几何内容用文字语言说理的训练，但严格的演绎推理证明仍是几何入门的难点。
2. 定义是明确规定一个概念的含义，即指出概念所反映的本质属性，使 它和其他概念不混淆。因此，定义一方面可作为性质使用，另一方面也可以作为判定的方法。如直角三角形的定义：“有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形”，作性质使用：“若△ABC是直角三角形，则有一个内角是直角（或等于90°）”，作为判定的方法：“在△ABC中，若 ∠C=90°，则△ABC是直角三角形”。
3. 表示判断的语句叫做命题。判断就是确定“是”或“不是”，命题的作用就在于作出一个判断，它要肯定某个事物是什么或不是什么，不能同时既肯定又否定。关于区分什么是命题、什么不是命题，可通过具体例子简单地介绍，不要作探究。如“长度相等的两条线段是相等的线段”、“画两条长度相等的线段”、“你会画两条长度相等的线段吗？”“三个语句中，只有第一句是命题，第二三句都不是命题，因为第二句是描述一个过程，第三句是疑问句，它们都不能肯定什么或否定什么，学生能区分这类的语句就够了。
命题是由条件和结论两部分组成，找出一个命题的条件和结论是准确认识判断的关键。如果给出的一个命题已经具有“如果…，那么…”的形式，那么区分命题的条件和结论并不困难。难点是找出条件和结论不明显的命题中的条件和结论。如“同角（或等角）的余角相等”，“对顶角相等”等不是写成“如果…，那么…”形式的命题，一般方法是先添补一些命题中省略的词句，再找出结论，然后再分析什么是已知的，这就是条件。
因为判断有正确和错误两种，所以命题相应的有真假之分。一个命题是正确的，它就是真命题；如果不正确，它就是假命题。学生已熟悉很多真命题，对假命题却不熟悉，严格地说，命题的真实性都需要通过推理的方法证实。学生已熟悉的很多“真命题”都没有通过推理证实，要判断一个命题是假命题，只要找出一个具备命题的条件，但不符合命题的结论的例子就可以了，这个例子就是反例。几何中由于假命题的存在，所以对命题的推理证明就十分必要的了。
4. 学习几何为什么要证明，这是学生一直困惑的问题，几乎所有现行教材都没有给学生明确地回答这个问题。为回答这个问题，在本册“几何证明初步”一章中，单设一节“为什么要证明”。通过从观察、实验、归纳、类比等活动中得到的结论不一定都正确的事例，引导学生探究、交流，使其感悟证明的意义及证明的必要性。接着本章又独设“什么是几何证明”一节，根据《课程标准》指出的8条基本事实以及等式（不等式）的基本性质，作为证明其他命题的起始依据，除基本事实及等式的基本性质外，其他命题的真实性都要由基本事实、定义，已证实的结论及已知条件出发，通过逻辑推理的方法加以证实。在七（下）、八（上）及前一章进行说理训练的基础上，本节以证明“两直线平行，同旁内角互补”、“对顶角相等”为例，介绍了证明一个命题的全过程，概括了几何证明的一般步骤，目的是使学生了解综合法证明几何命题的格式，为以后的几何证明训练打下基础。这两节的安排是本套教科书的特色之一。
5. 教学几何证明，应按下列步骤进行：（1）根据题意，画出图形；（2）结合图形，写出已知、求证；（3）写出证明。
画图时，命题中出现的点、线都要画出，并注上字母。画图要注意不能画成特殊图形。
证明是由一系列的推理组成，推理是从一个或几个判断说出一个新判断的思维形式。推理时，无论是写出“∵……”或“∴……”都需要有根据。在“∵……”后面，加括号填写已知、已证事项，在“∴……”后面加括号填写定义、基本事实、已证明的真命题等。初学证明时，在每一步推理后面的括号内都要填写理由，其目的是使学生明确，推理必须步步有据，不能“想当然”，以此培养逻辑思维的缜密性。
初学证明时，一般按下面的原则填写理由：若用到题目中的已知条件，则填写“已知”；若用到前面已推出的结论，则填写“已证”；若用到某个概念的定义，则填写“某某的定义”；若用到基本事实或定理，则填写它的内容。
6. 平行线的判定与性质是互逆命题。教学中应使学生理解这两种命题的不同本质。“判定”具有作出判断的意思。“平行线的判定”就是作出这两条直线平行的判断，因此，平行线的判定必须在两条直线的位置不能确定的前提下，应用平行线判定公理或定理说出两直线平行或不平行的结论。平行线的性质是在已知两直线平行的条件下得出的一些性质，它的前提是“平行”，“性质”是平行的产物。
在这里，“判定”是证明两直线平行的依据，“性质”则是证明两个角相等或互补的一种依据。应用“判定”或“性质”，特别要注意它们因果关系的正确表述，“判定”是以“两直线平行”为结束的推理过程，判定的根据应填写在结论之后。“性质”是以“两直线平行”为开始的推理过程，推出两角相等或互补的结论。
7. 几何中有许多互逆的命题，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题是重要概念。以前学过的命题，如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”，勾股定理与它的逆命题等都是互逆命题。这些命题的条件和结论比较简单，学生接受它们困难不大，但对于不是以“如果……，那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题困难比较大，是教学中的一个难点，教学要求不应过高。
原命题是真命题，逆命题不一定是真命题，教学中应举出这样的例子，防止学生认为原命题正确，逆命题也正确。逆命题与逆定理是不同的概念。
8. 三角形内角和定理在小学曾通过实验获得过证实，但实验证得的结论，其真实性还需要通过逻辑推理的方法证明。证明这个定理的关键是添加辅助线。为了使学生了解为什么要这样作辅助线，可以回顾在小学曾做过的实验，如何将一个三角形的三个角拼成一个平角。辅助线的概念首次接触，辅助线通常画成虚线，添加辅助线一律用“作××”。这里，画辅助线的目的是通过平行线把三角形的三个角移到一起。辅助线的画法很多，由此得到的证明方法也很多，鼓励有余力的学生去研究。借助证明三角形内角和定理的图形，很容易得到有关三角形外角性质的两个推论。
由直角三角形的定义很容易证明直角三角形的一个重要性质：直角三角形的两个锐角互余（安排在练习中）及直角三角形的判定方法：有两角互余的三角形是直角三角形（安排在习题11.4）。
9. “几何证明举例”一节涉及的内容较多，几乎包括了原初中几何教材中“全等三角形”、“等腰三角形”、“直角三角形”、“角平分线”、“线段的垂直平分线”的所有《课程标准》列出的内容，作为例题给出证明的定理有：
判定三角形全等的“角角边”定理；
判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理；
到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；
等边三角形的每个内角都等于60°；
两个全等三角形的对应高相等；
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半。
作为练习或习题要求学生证明的定理有：
线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；
等腰三角形的两个底角相等；
等腰三角形底边上的高是底边上的中线、顶角的平分线；
等腰三角形两底角的平分线相等；
在角的内部，并且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
10. 等腰三角形的性质定理与判定定理，为研究“角相等”和“线段相等”相互转化提供了重要依据。在运用这两个定理时，（1）要注意“在同一个三角形中”这个隐含条件；（2）会区分这两个互逆定理的条件和结论。虽然这两个定理都是对“等腰”来说的，但在性质定理中是已知 “等腰”，然后得出两角相等的结论，即“由边推角”；在判定定理中却是已知两角相等，而要证明“等腰”，即“由角推边”；（3）要重视纠正学生在解题中不顾问题的条件，一概用全等三角形来证明两角相等或线段相等的思维定势。
对于线段垂直平分线的教学，也应弄清线段垂直平分线定理及其逆定理的联系与区别，这可与角平分线的性质定理及判定定理相对照，加深学生的认识。
11. 从“什么是几何证明”第2课时开始，学生将进入推理论证的训练，这里主要是平行线的判定及性质的应用。“几何证明举例”逐步进入难度稍大的推理论证的训练。有些题目需要进行两步推理论证，第一步由已知条件判定一组三角形全等，第二步由全等的性质得出结论。个别题目需要进行两次三角形全等的证明，然后才能得出结论。为了减缓学习难度，结合例题让学生练习把文字语言转换成符号语言，根据语言画出相应的图形，教师的示范 作用很重要。有些教师教学例题时直接借助多媒体，在屏幕上打出已知、求证及图形，将证明也不加分析直接打出证明过程。这样做就削弱了对学生推理证明能力的培养。对例题的教学，要求教师必须做到：板书——工整、规范；画图——准确、美观；语言——清晰、简练。教师的板书，就是学生作业的“镜子”，要求学生必须做到的，教师要率先做出榜样；好的言传身教，对初学几何证明的学生的确能起到潜移默化的作用。
12. 对一个几何命题，当用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一种间接证法。有关反证法的思想前面已有所孕伏，如“两条直线相交，只有一个交点”， 不是有理数的证明等。本册教科书将其独列一节，目的是使学生初步了解反证法的基本思想和证明步骤，进一步开拓思路，知道更多的证明方法。
教科书通过几何和代数中论证过程比较简明的例题，使学生领会什么是反证法，并且归纳出证明的一般步骤。
反证法的实质是驳倒欲证结论的反面，从而反衬出结论的正确。其基本思路是：不直接证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设，然后推导出与已经证明了的定理，公理（基本事实）、定义或已知条件相矛盾的结果，从而判定与结论相反的假设不成立，得出命题的结论成立。
反证法证明命题的三个步骤，第二步的关键是从第一步的假设出发，经过推理论证得出矛盾。这里的推理论证，必须像前面运用直接证法一样，注意每一步都要有根有据。这里的推理论证没有统一的方法。
用反证法证题时，由于要假设求证的命题结论不成立，就必须考虑结论的反面可能出现的情况。如果结论的反面只有一种情况，那么只须否定这种情况，就足以证明原结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能情况全部列举出来，并且一一加以否定之后，才能肯定原结论是正确的。因此必须注意全面考虑结论的反面可能出现的情况。
13. 本章个别题目的解答。
（1）P119习题11.2 B组 1。
设甲、乙两码头之间的距离为s，汽船在静水中的般行速度为v，水的流速为a，则
t1=+=，t2=+=，
t1-t2=-=-，
当a = 0时，t1 = t2；
当a≠0时，t1≠t2。
（2）P129，习题11.4 B组1
在△AGD中
∠A+∠AGD+∠D =180°，
∠AGD =∠C +∠GHC，
∠GHC =∠EHD，
∠EHD =∠B+∠E，
∴∠A+∠AGD+∠D =∠A+∠C+∠GHC+∠D，
=∠A+∠C+∠EHD+∠D
=∠A+∠C+∠B+∠E+∠C =180°。
（六）课题学习“有趣的分形图”的有关计算
谢尔宾斯基三角形
图1
1. 设图1（1）中三角形的面积为1，那么图1（2）中涂色的中点三角形的面积为。图1（2）中涂色的中点三角形的周长与图1（1）中三角形的周长之比为。
2. 图1（3）中所有未涂色三角形的面积之和为×=，所以图1（3）中所有涂色三角形的面积为1-=。
图1（3）中所有涂色三角形的周长与（1）中三角形的周长之比为。
科克雪花曲线
图2
1. 设图2（1）为正三角形，边长为1，面积为S，则图2（1）的边数=3；周长=1×3；面积=S。
2. 图2（2）：
边数=3×4=12；边长=1×=；
周长=1××12=4；
面积 = S + S××3 =（1+×3）S = S。
3. 图2（3）：
边数=（3×4）×4=3×42=48；
边长=1××=（）2；
周长=（）2×48=（）2×3×42=；
面积=S +（××12）S = [1+×3+（）2×3×4] S =S。
4. 图2（4）：
边数=3×43=192；边长 =（）3；
周长=（）3×3×43 =；
面积=[1+×3+（）2×3×4+（）3×3×42] S=S。
5. 一般地，图2（n）：
边数=3×4n-1；边长=（）n-1；
周长=（）n-1×3×4n-1=3×()n-1；
面积=[1+×3+（）2×3×4+（）3×3×42+…+（） n-1×3×4 n-2] S。
四、使用教科书应注意的问题
1. 吃透教材，领会编者意图
教科书编写的依据是《数学课程标准》，不同版本的教科书的编写规格，处理数学知识的方式是不同的，如本书在探讨判定三角形全等的方法1时，是这样安排的：
教科书在这里安排（2）目的是什么？为什么又安排（3）呢？
又如：11.1节例1后，提出“想一想，例1中哪些命题是错误的？”为什么不提“哪些命题正确的？”再如11.1中的习题11.1 A组3，“下列命题，哪些是假命题？如果是假命题举出一个反例”。这里为什么不提“哪些是真命题？”
教科书中安排了不少没有给出解答的实际问题，如P61第九章的情境导航：苏州虎丘塔的倾斜问题；P76“9.5 解直角三角形的应用”的导入：测量东方明珠塔的高度等，这是为什么？
学生经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，可以在实际情境中通过活动体会数学、了解数学、认识数学，认识数学与生活的密切联系，了解数学的价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力。教科书的这种呈现方式体现了“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式。即从实际的问题情境中抽象出数学问题，运用各种数学语言（文字语言、图形语言、符号语言等）表达问题，使学生通过自主探索与合作交流的过程建立数学模型，获得合理的解答，从而完成学生的认知、建构和问题解决的过程。这样的呈现方式体现了以学生为本的课程理念，有利于学生理解并掌握相关的知识与方法，形成良好的数学思维习惯和用数学的意识，学会如何学习数学，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较为全面的体验与理解，促进一般能力的发展。
2. 适当安排学生的课外作业
为了满足学生对数学学习的不同需求，教科书设计了包含多种层次的练习系统。其中，“ 练习”是对所学知识的巩固和初步应用，安排在课堂内，供全体学生使用；“习题”帮助学生消化、应用和拓展所学知识，安排为课后作业；“综合练习”是各章的复习题，帮助学生巩固和进一步提高。本册教材的习题和综合练习都设置了A，B两组不同层次的问题，其中A组为巩固性问题，供全体学生使用，B组为拓展性问题，供学有余力的学生选用。与教科书配套的练习册是按章节顺序安排的，练习册的最基本单元是课时，每一课时与每章综合练习均设计了“复习与巩固”、“拓展与延伸”和“探索与创新”三组不同层次、不同要求的习题。“复习与巩固”相当于教材中的A组题的要求，意在帮助学生及时消化、巩固本课时的基础知识、基本方法，通过练习初步掌握相应的基本技能，是全体学生学习本课时应达到的基本要求；“拓展与延伸”意在帮助学生拓展和应用本课时内容，帮助学生通过独立思考，积累分析问题与解决问题的基本经验，增强应用意识和实践能力，该栏目中的习题大部分学生通过努力都能完成；“探索与创新”意在培养学生的创新意识，锻炼克服困难的意志，体验获得成功的乐趣，该栏目的习题供学有余力的学生选用。练习册力求促进学生在知识、能力、情感态度、价值观诸方面的和谐发展，注意本学科各内容间相互衔接以及与其他学科内容的联系，体现开放多元与兼容并蓄的时代精神。
3. 适当渗透数学思想方法
数学教学不能仅仅是数学知识、技能的教学，应注意对其中所蕴涵的数学思想方法的渗透。在各章内容呈现时要恰当地体现数学思想方法，如探究图形性质的归纳思想，几何证明中的演绎思想，二次根式加减中的类比思想，解直角三角形中的数形结合思想、转化思想及模型思想等。
对数学思想方法的介绍是以渗透的方式进行，在每章的回顾与总结时，可适当点拨。
4. 在重视数学的科学价值的同时，关注数学的文化价值
既重视数学的科学价值，又关注其文化内涵，是本套教科书的一个特色。本册设计了“广角镜”、“史海漫游”等固定栏目，以这些栏目为载体，结合各章具体的数学内容，向学生生动地介绍了世界古今数学的发展和数学家的光辉成就，深入浅出地反映了数学对于人类社会发展的工具作用和数学的人文精神，使学生感受数学的科学价值和人文价值，提高他们的科学文化素养。
其中“广角镜”选取了与教学内容有关的其他数学素材，以及该教学内容在其他学科或生产、生活中的应用素材，意在开拓学生的视野。如P78“用雷达测定目标的高度”、 P33“三角形的稳定性”等。配合相应的教材内容，“史海漫游”提供了有关的数学史料和数学家介绍，帮助学生了解数学的发展，了解人类为构建数学大厦而付出的艰辛的、创造性的劳动。如P47“漫谈相似与全等”、P118“一个闪耀着智慧光辉的推理典范”等。上述栏目从各个不同的角度，展示了数学的社会价值和丰富的文化内涵。设计这些栏目的目的，一是拓宽学生的知识面，帮助学生了解数学的价值，二是培养学生的阅读能力和查阅资料的能力，三是增加教科书的趣味性和可读性。这些栏目都属于学生的阅读材料，可以安排在课内阅读，也可以安排在课外阅读。

展开更多......

收起↑