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专题提升三　类碰撞模型(一)——“弹簧—小球”模型和“滑块—曲(斜)面类”模型
学习目标　1.理解“弹簧—小球”模型和“滑块—曲(斜)面类”模型的特点。2.会应用动量和能量的观点解决有关问题。
模型一　“弹簧—小球”模型
如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球，小球与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：
(1)弹簧的弹性势能什么情况下最大？
(2)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧的长度如何变化？
(3)小球m2的速度什么情况下最大？
提示　(1)当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。
(2)如图所示，两球共速后，A减速，B加速，A、B间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。
(3)当弹簧第一次恢复原长时，小球m2的速度最大。
1.模型建构(如图所示)
2.模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。
例1 (2024·山东临沂高二期末)如图所示，两滑块A、B位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝2 kg，B的质量mB＝3 kg。滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝5 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(整个过程弹簧没有超过弹性限度)，直至分开。求：
(1)滑块通过弹簧相互作用过程中弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块B的最大动能；
(3)滑块A的动能最小时，弹簧的弹性势能。
答案　(1)15 J　(2)24 J　(3) J
解析　(1)当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时滑块A和B的速度相同。选取向右为正方向，根据动量守恒定律有
mAv0＝(mA＋mB)v，解得v＝2 m/s。
根据机械能守恒定律知，弹簧的最大弹性势能等于滑块A、B损失的动能，即
Ep＝mAv－(mA＋mB)v2
解得Ep＝15 J。
(2)当A、B分离时，弹簧恢复原长，滑块B的速度最大，动能最大，由动量守恒定律和能量守恒定律得
mAv0＝mAvA＋mBvB
mAv＝mAv＋mBv
解得vA＝－1 m/s，vB＝4 m/s
则滑块B的最大动能Ek＝mBv＝24 J。
(3)当A的速度为零时，滑块A的动能最小，根据动量守恒定律得
mAv0＝mAvA′＋mBvB′(vA′＝0)
解得vB′＝ m/s
此时弹簧的弹性势能Ep′＝mAv－mBvB′2
解得Ep′＝ J。
训练1 如图所示，A、B两滑块的质量均为m，分别穿在光滑的足够长的水平固定导杆上，两导杆平行，间距为d。用自然长度也为d的轻弹簧连接两滑块。开始时两滑块均处于静止状态，今给滑块B一个向右的瞬时冲量I，求滑块A的最大速度。
答案　
解析　弹簧第一次恢复原长时A的速度最大，设速度为vm，此时B的速度为vB′。
给滑块B一个向右的冲量，滑块B获得一个向右的初速度，设为vB，由动量定理得I＝mvB－0，故vB＝，B获得冲量后，A、B及弹簧组成的系统动量和机械能均守恒，则有
mvB＝mvm＋mvB′，mv＝mv＋mvB′2
联立解得vm＝vB＝。
模型二　“滑块—曲(斜)面类”模型
1.模型建构：如图所示，光滑斜(曲)面静置放在光滑水平地面上，滑块以速度v0冲上斜(曲)面，滑块始终未脱离斜(曲)面。
2.模型特点
(1)在相互作用过程中，滑块和斜(曲)面轨道组成的系统机械能守恒，系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。
(2)滑块上升到最大高度时，滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共，此时滑块的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。
(3)当滑块返回最低点时，滑块与斜(曲)面分离，水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(相当于完成了弹性碰撞)。
例2 如图所示，光滑水平面上质量为m1＝2 kg的物块以v0＝2 m/s的初速度冲向质量为m2＝6 kg静止的光滑圆弧面斜劈体，且未滑出。求：
(1)物块滑到最高点位置时，二者的速度大小；
(2)物块从圆弧面滑下后，二者速度大小；
(3)若m1＝m2，物块从圆弧面滑下后，二者速度大小。
答案　(1)均为0.5 m/s　(2)1 m/s　1 m/s　(3)0　2 m/s
解析　(1)物块与圆弧面作用过程中水平方向上动量守恒，且到达最高点时系统水平速度相同。以v0方向为正方向，由水平方向上动量守恒得
m1v0＝(m1＋m2)v，解得v＝0.5 m/s。
(2)物块从圆弧面滑下过程，在水平方向上动量守恒，有m1v0＝m1v1＋m2v2
由能量守恒定律得m1v＝m1v＋m2v
解得v1＝v0＝－1 m/s，v2＝v0＝1 m/s。
(3)若m1＝m2，根据上述分析，物块m1从圆弧面滑下后，交换速度，即v1′＝0，v2′＝2 m/s。
训练2 如图所示，在光滑水平面上停放质量为m装有弧形槽的小车，现有一质量为2m的光滑小球以水平速度v0沿切线水平的槽口向小车滑去，到达某一高度后，小球又返回小车右端，则下列说法正确的是(　　)
A.小球离开车后，对地将做自由落体运动
B.小球离开车后，对地将向右做平抛运动
C.小球在弧形槽上上升的最大高度为
D.此过程中小球对车做的功为mv
答案　C
解析　设小球离开小车时，小球的速度为v1，小车的速度为v2，整个过程中水平方向动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得2mv0＝2mv1＋mv2，由机械能守恒定律得×2mv＝×2mv＋mv，解得v1＝v0，v2＝v0，所以小球与小车分离后对地将向左做平抛运动，故A、B错误；当小球与小车的水平速度相等时，小球在弧形槽上升到最大高度，设最大高度为h，系统在水平方向动量守恒，以向左为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得2mv0＝3mv，由机械能守恒定律得×2mv＝×3mv2＋2mgh，解得h＝，故C正确；对小车运用动能定理得，小球对小车做功W＝mv＝mv，故D错误。
基础对点练
题组一　“弹簧类”模型
1.(多选)如图所示，与水平轻弹簧相连的物体A停放在光滑的水平面上，物体B沿水平方向向右运动，跟轻弹簧相碰。在B跟弹簧相碰后，对于A、B和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是 (　　)
A.弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同
B.弹簧压缩量最大时，A、B的动能之和最小
C.弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减少
D.物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零
答案　ABD
解析　物体B与弹簧接触时，弹簧发生形变，产生弹力，可知B做减速运动，A做加速运动，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，故A正确；A、B和弹簧组成的系统能量守恒，弹簧压缩量最大时，弹性势能最大，此时A、B的动能之和最小，故B正确；弹簧在压缩的过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，故C错误；当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，然后A继续加速，B继续减速，弹簧逐渐恢复原长，当弹簧恢复原长时，A的速度最大，此时弹簧的弹性势能为零，故D正确。
2.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视作质点，Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生相互作用。在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(　　)
A.P的初动能 B.P的初动能的
C.P的初动能的 D.P的初动能的
答案　B
解析　把小滑块P和Q以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒，在整个过程中，当小滑块P和Q的速度相等时，弹簧的弹性势能最大。以P的初速度方向为正方向，设小滑块P的初速度为v0，两滑块的质量均为m，则mv0＝2mv，解得v＝，P的初动能Ek0＝mv，弹簧具有的最大弹性势能Ep＝mv－×2mv2＝mv＝
Ek0，故选项B正确。
3.(多选)如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧右端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x。现让弹簧右端连接另一质量为m的物体B(如图乙所示)，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则(　　)
A.物体A的质量为3m
B.物体A的质量为2m
C.弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv
D.弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv
答案　AC
解析　对题图甲，设物体A的质量为M，由机械能守恒定律可得，弹簧压缩x时弹性势能Ep＝Mv；对题图乙，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，A、B组成的系统动量守恒，弹簧达到最大压缩量时，A、B速度相等，由动量守恒定律有M·2v0＝(M＋m)v，由能量守恒定律有Ep＝M(2v0)2－(M＋m)v2，联立解得M＝3m，Ep＝mv，选项A、C正确，B、D错误。
题组二　“曲(斜)面类”模型
4.(多选)(2024·江西宜春高二月考)在光滑水平地面上放一个质量为M＝2 kg的内侧带有光滑弧形凹槽的滑块B，凹槽的底端切线水平，如图所示。质量为m＝1 kg的小物块A以v0＝6 m/s的水平速度从滑块B的底端沿槽上滑，恰好能到达滑块B的顶端。重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力。在小物块A沿滑块B滑行的整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A.小物块A沿滑块B上滑的最大高度为1.2 m
B.小物块A沿滑块B上滑的最大高度为0.6 m
C.合力对滑块B的冲量大小为8 N·s
D.合力对滑块B的冲量大小为16 N·s
答案　AC
解析　当二者速度相等时，小物块A沿滑块B上滑的高度最大，设最大高度为h，系统水平方向动量守恒，以v0的方向为正方向，有mv0＝(m＋M)v，根据机械能守恒定律有mv＝(m＋M)v2＋mgh，解得 h＝1.2 m，A正确，B错误；设小物块返回滑块的底端时，小物块与滑块的速度分别为v1、v2，系统水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2，根据机械能守恒定律有mv＝mv＋Mv，解得v1＝－v0＝－2 m/s，v2＝v0＝4 m/s，根据动量定理可知，合力对滑块的冲量大小为I＝Mv2－0＝8 N·s，C正确，D错误。
5.如图所示在足够长的光滑水平面上有一静止的质量为M的斜面，斜面表面光滑、高度为h、倾角为θ。一质量为m(m＜M)的小物块以一定的初速度沿水平面向右运动，不计冲上斜面过程中的机械能损失。如果斜面固定，则小物块恰能冲到斜面的顶端。如果斜面不固定，则小物块冲上斜面后能达到的最大高度为(　　)
A.h B. C. D.
答案　D
解析　斜面固定时，小物块恰能冲到斜面的顶端，由动能定理得－mgh＝0－mv，所以v0＝；斜面不固定时，设小物块冲上斜面后能达到的最大高度为h′，小物块达到最高点时的速度为v，由水平方向动量守恒得mv0＝(M＋m)v，由机械能守恒定律得mv＝(M＋m)v2＋mgh′，解得h′＝h，故D正确。
6.(2024·河北唐山高二期中)质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一的光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，则m∶M的值为(　　)
A.1∶3 B.1∶4 C.3∶5 D.2∶3
答案　C
解析　设小球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律可知mv0＝Mv1－mv2
＝
对整体由机械能守恒定律可得
mv＝Mv＋mv
联立解得＝，故C正确。
7.(2024·四川绵阳高二期中)如图所示，质量为M的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与水平面相切，一质量为m的小球以速度v0向滑块滚来，设小球不能越过滑块，则(　　)
A.小球滑到最高点的过程中，小球和弧面组成的系统动量守恒
B.小球滑到最高点时滑块的速度大小为0
C.小球滑到最高点时的高度为
D.小球滑到最高点时的高度为
答案　D
解析　小球滑到最高点的过程中，小球和弧面组成的系统动量不守恒，系统水平方向动量守恒，A错误；水平方向，根据动量守恒定律得mv0＝(m＋M)v，小球滑到最高点时滑块的速度大小为v＝，B错误；根据机械能守恒定律得mv＝(M＋m)v2＋mgh，小球滑到最高点时的高度为h＝，C错误，D正确。
综合提升练
8.如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是(　　)
A.两物块的质量之比为m1∶m2＝2∶1
B.在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势能均达到最大值
C.t1～t2时间内，弹簧的长度大于原长
D.t2～t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小
答案　B
解析　以m1的初速度方向为正方向，对0～t1时间内的过程，由动量守恒定律得m1v1＝(m1＋m2)v共，将v1＝3 m/s，v共＝1 m/s代入解得m1∶m2＝1∶2，故A错误；根据系统能量守恒可知在t1时刻和t3时刻，系统的动能最小，弹簧的弹性势能达到最大值，故B正确；在t1时刻弹簧压缩至最短，所以t1～t2时间内，弹簧的长度小于原长，故C错误；t2～t3时间内，弹簧处于拉伸阶段，弹力逐渐增大，故D错误。
9.质量为3m的劈A，其右侧是光滑曲面，曲面下端与光滑的水平面相切，如图所示。一质量为m的物块B位于劈A的曲面上，距水平面的高度为h，物块从静止开始滑下，到达水平面上，跟右侧固定在墙壁上的弹簧发生作用后(作用过程无机械能损失)，又滑上劈A，求物块B在劈A上能够达到的最大高度。
答案　h
解析　设物块B滑到曲面底端时速率为v1，劈A的速率为v2，物块B和劈A组成的系统水平方向动量守恒，取水平向左为正方向，则有
3mv2－mv1＝0
由系统机械能守恒定律可得
mgh＝mv＋×3mv
联立可得v1＝，v2＝
与弹簧作用后，物块B速度方向变为向左，速度大小不变，v1′＝v1，当物块B在劈A上达到最大高度时二者速度相同，设为v3，系统水平方向动量守恒，则有
3mv2＋mv1′＝(3m＋m)v3
物块B和劈A组成的系统机械能守恒，可得
mgh′＝×3mv＋mv1′2－×(3m＋m)v
联立解得h′＝h。
培优加强练
10.(2024·广东广州高二期末)如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA＝6.0 kg和mB＝4.0 kg，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C从t＝0时以一定速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示。求：
(1)物块C的质量；
(2)B离开墙后，弹簧中的弹性势能最大时，B的速度多大？最大弹性势能多大？
答案　(1)2.0 kg　(2)2 m/s　12 J
解析　(1)由题图乙知，C与A碰前速度为v1＝12 m/s，碰后速度为v2＝3 m/s，C与A碰撞过程动量守恒，以C的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
mCv1＝v2
解得mC＝2.0 kg。
(2)12 s末B离开墙壁，v3＝3 m/s ，之后A、B、C及弹簧组成的系统满足动量守恒和机械能守恒，当A、C与B速度v4相等时弹簧的弹性势能最大。根据动量守恒定律，有
v3＝v4
根据能量守恒定律得
v＝v＋Ep
解得v4＝2 m/s，Ep＝12 J。专题提升三　类碰撞模型(一)——“弹簧—小球”模型和“滑块—曲(斜)面类”模型
学习目标　1.理解“弹簧—小球”模型和“滑块—曲(斜)面类”模型的特点。
2.会应用动量和能量的观点解决有关问题。
模型一　“弹簧—小球”模型
如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球，小球与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：
(1)弹簧的弹性势能什么情况下最大？
(2)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧的长度如何变化？
(3)小球m2的速度什么情况下最大？
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1.模型建构(如图所示)
2.模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量________。
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能________。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。
　　　　　　　　　　　　　
例1 (2024·山东临沂高二期末)如图所示，两滑块A、B位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝2 kg，B的质量mB＝3 kg。滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝5 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(整个过程弹簧没有超过弹性限度)，直至分开。求：
(1)滑块通过弹簧相互作用过程中弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块B的最大动能；
(3)滑块A的动能最小时，弹簧的弹性势能。
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模型二　“滑块—曲(斜)面类”模型
1.模型建构：
如图所示，光滑斜(曲)面静置放在光滑水平地面上，滑块以速度v0冲上斜(曲)面，滑块始终未脱离斜(曲)面。
2.模型特点
(1)在相互作用过程中，滑块和斜(曲)面轨道组成的系统机械能守恒，系统水平方向动量守恒，竖直方向上动量不守恒，故总动量不守恒。
(2)滑块上升到最大高度时，滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共，此时滑块的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。
(3)当滑块返回最低点时，滑块与斜(曲)面分离，水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(相当于完成了弹性碰撞)。
例2 如图所示，光滑水平面上质量为m1＝2 kg的物块以v0＝2 m/s的初速度冲向质量为m2＝6 kg静止的光滑圆弧面斜劈体，且未滑出。求：
(1)物块滑到最高点位置时，二者的速度大小；
(2)物块从圆弧面滑下后，二者速度大小；
(3)若m1＝m2，物块从圆弧面滑下后，二者速度大小。
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训练2 如图所示，在光滑水平面上停放质量为m装有弧形槽的小车，现有一质量为2m的光滑小球以水平速度v0沿切线水平的槽口向小车滑去，到达某一高度后，小球又返回小车右端，则下列说法正确的是(　　)
A.小球离开车后，对地将做自由落体运动
B.小球离开车后，对地将向右做平抛运动
C.小球在弧形槽上上升的最大高度为
D.此过程中小球对车做的功为mv专题提升三　类碰撞模型（一）——“弹簧—小球”模型和“滑块—曲(斜)面类”模型
选择题1～8题，每小题10分，共80分。
基础对点练
题组一　“弹簧类”模型
1.(多选)如图所示，与水平轻弹簧相连的物体A停放在光滑的水平面上，物体B沿水平方向向右运动，跟轻弹簧相碰。在B跟弹簧相碰后，对于A、B和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是 (　　)
弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同
弹簧压缩量最大时，A、B的动能之和最小
弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减少
物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零
2.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视作质点，Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生相互作用。在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(　　)
P的初动能 P的初动能的
P的初动能的 P的初动能的
3.(多选)如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧右端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x。现让弹簧右端连接另一质量为m的物体B(如图乙所示)，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则(　　)
物体A的质量为3m
物体A的质量为2m
弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv
弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv
题组二　“曲(斜)面类”模型
4.(多选)(2024·江西宜春高二月考)在光滑水平地面上放一个质量为M＝2 kg的内侧带有光滑弧形凹槽的滑块B，凹槽的底端切线水平，如图所示。质量为m＝1 kg的小物块A以v0＝6 m/s的水平速度从滑块B的底端沿槽上滑，恰好能到达滑块B的顶端。重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力。在小物块A沿滑块B滑行的整个过程中，下列说法正确的是(　　)
小物块A沿滑块B上滑的最大高度为1.2 m
小物块A沿滑块B上滑的最大高度为0.6 m
合力对滑块B的冲量大小为8 N·s
合力对滑块B的冲量大小为16 N·s
5.如图所示在足够长的光滑水平面上有一静止的质量为M的斜面，斜面表面光滑、高度为h、倾角为θ。一质量为m(m＜M)的小物块以一定的初速度沿水平面向右运动，不计冲上斜面过程中的机械能损失。如果斜面固定，则小物块恰能冲到斜面的顶端。如果斜面不固定，则小物块冲上斜面后能达到的最大高度为(　　)
h 　
6.(2024·河北唐山高二期中)质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一的光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，则m∶M的值为(　　)
1∶3 1∶4 3∶5 2∶3
7.(2024·四川绵阳高二期中)如图所示，质量为M的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与水平面相切，一质量为m的小球以速度v0向滑块滚来，设小球不能越过滑块，则(　　)
小球滑到最高点的过程中，小球和弧面组成的系统动量守恒
小球滑到最高点时滑块的速度大小为0
小球滑到最高点时的高度为
小球滑到最高点时的高度为
综合提升练
8.如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是(　　)
两物块的质量之比为m1∶m2＝2∶1
在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势能均达到最大值
t1～t2时间内，弹簧的长度大于原长
t2～t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小
9.(10分)质量为3m的劈A，其右侧是光滑曲面，曲面下端与光滑的水平面相切，如图所示。一质量为m的物块B位于劈A的曲面上，距水平面的高度为h，物块从静止开始滑下，到达水平面上，跟右侧固定在墙壁上的弹簧发生作用后(作用过程无机械能损失)，又滑上劈A，求物块B在劈A上能够达到的最大高度。
培优加强练
10.(10分)(2024·广东广州高二期末)如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA＝
6.0 kg和mB＝4.0 kg，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C从t＝0时以一定速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示。求：
(1)(4分)物块C的质量；
(2)(6分)B离开墙后，弹簧中的弹性势能最大时，B的速度多大？最大弹性势能多大？
专题提升三　类碰撞模型(一)——
“弹簧—小球”模型和“滑块—曲(斜)面类”模型
1.ABD　[物体B与弹簧接触时，弹簧发生形变，产生弹力，可知B做减速运动，A做加速运动，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，故A正确；A、B和弹簧组成的系统能量守恒，弹簧压缩量最大时，弹性势能最大，此时A、B的动能之和最小，故B正确；弹簧在压缩的过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，故C错误；当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，然后A继续加速，B继续减速，弹簧逐渐恢复原长，当弹簧恢复原长时，A的速度最大，此时弹簧的弹性势能为零，故D正确。]
2.B　[把小滑块P和Q以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒，在整个过程中，当小滑块P和Q的速度相等时，弹簧的弹性势能最大。以P的初速度方向为正方向，设小滑块P的初速度为v0，两滑块的质量均为m，则mv0＝2mv，解得v＝，P的初动能Ek0＝mv，弹簧具有的最大弹性势能Ep＝mv－×2mv2＝mv＝
Ek0，故选项B正确。]
3.AC　[对题图甲，设物体A的质量为M，由机械能守恒定律可得，弹簧压缩x时弹性势能Ep＝Mv；对题图乙，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，A、B组成的系统动量守恒，弹簧达到最大压缩量时，A、B速度相等，由动量守恒定律有M·2v0＝(M＋m)v，由能量守恒定律有Ep＝M(2v0)2－(M＋m)v2，联立解得M＝3m，Ep＝mv，选项A、C正确，B、D错误。]
4.AC　[当二者速度相等时，小物块A沿滑块B上滑的高度最大，设最大高度为h，系统水平方向动量守恒，以v0的方向为正方向，有mv0＝(m＋M)v，根据机械能守恒定律有mv＝(m＋M)v2＋mgh，解得 h＝1.2 m，A正确，B错误；设小物块返回滑块的底端时，小物块与滑块的速度分别为v1、v2，系统水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2，根据机械能守恒定律有mv＝mv＋Mv，解得v1＝
－v0＝－2 m/s，v2＝v0＝4 m/s，根据动量定理可知，合力对滑块的冲量大小为I＝Mv2－0＝8 N·s，C正确，D错误。]
5.D　[斜面固定时，小物块恰能冲到斜面的顶端，由动能定理得－mgh＝0－mv，所以v0＝；斜面不固定时，设小物块冲上斜面后能达到的最大高度为h′，小物块达到最高点时的速度为v，由水平方向动量守恒得mv0＝(M＋m)v，由机械能守恒定律得mv＝(M＋m)v2＋mgh′，解得h′＝h，故D正确。]
6.C　[设小球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律可知
mv0＝Mv1－mv2，＝
对整体由机械能守恒定律可得
mv＝Mv＋mv
联立解得＝，故C正确。]
7.D　[小球滑到最高点的过程中，小球和弧面组成的系统动量不守恒，系统水平方向动量守恒，A错误；水平方向，根据动量守恒定律得mv0＝(m＋M)v，小球滑到最高点时滑块的速度大小为v＝，B错误；根据机械能守恒定律得mv＝(M＋m)v2＋mgh，小球滑到最高点时的高度为h＝，C错误，D正确。]
8.B　[以m1的初速度方向为正方向，对0～t1时间内的过程，由动量守恒定律得m1v1＝(m1＋m2)v共，将v1＝3 m/s，v共＝1 m/s代入解得m1∶m2＝1∶2，故A错误；根据系统能量守恒可知在t1时刻和t3时刻，系统的动能最小，弹簧的弹性势能达到最大值，故B正确；在t1时刻弹簧压缩至最短，所以t1～t2时间内，弹簧的长度小于原长，故C错误；t2～t3时间内，弹簧处于拉伸阶段，弹力逐渐增大，故D错误。]
9.h
解析　设物块B滑到曲面底端时速率为v1，劈A的速率为v2，物块B和劈A组成的系统水平方向动量守恒，取水平向左为正方向，则有
3mv2－mv1＝0
由系统机械能守恒定律可得
mgh＝mv＋×3mv
联立可得v1＝，v2＝
与弹簧作用后，物块B速度方向变为向左，速度大小不变，v1′＝v1，当物块B在劈A上达到最大高度时二者速度相同，设为v3，系统水平方向动量守恒，则有
3mv2＋mv1′＝(3m＋m)v3
物块B和劈A组成的系统机械能守恒，可得
mgh′＝×3mv＋mv1′2－×(3m＋m)v
联立解得h′＝h。
10.(1)2.0 kg　(2)2 m/s　12 J
解析　(1)由题图乙知，C与A碰前速度为v1＝12 m/s，碰后速度为v2＝3 m/s，C与A碰撞过程动量守恒，以C的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
mCv1＝v2
解得mC＝2.0 kg。
(2)12 s末B离开墙壁，v3＝3 m/s ，之后A、B、C及弹簧组成的系统满足动量守恒和机械能守恒，当A、C与B速度v4相等时弹簧的弹性势能最大。根据动量守恒定律，有
v3＝v4
根据能量守恒定律得
v＝v＋Ep
解得v4＝2 m/s，Ep＝12 J。(共41张PPT)
专题提升三　类碰撞模型(一)——“弹簧—小球”
模型和“滑块—曲(斜)面类”模型
第一章　动量守恒定律
1.理解“弹簧—小球”模型和“滑块—曲(斜)面类”模型的特点。2.会应用动量和能量的观点解决有关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
02
提升
1
模型二　“滑块—曲(斜)面类”模型
模型一　“弹簧—小球”模型
模型一　“弹簧—小球”模型
如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m2的刚性小球，小球与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m1的刚性小球以速度v0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：
(1)弹簧的弹性势能什么情况下最大？
(2)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧的长度如何变化？
(3)小球m2的速度什么情况下最大？
提示　(1)当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。
(2)如图所示，两球共速后，A减速，B加速，A、B间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。
(3)当弹簧第一次恢复原长时，小球m2的速度最大。
1.模型建构(如图所示)
2.模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量______。
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能______。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。
守恒
守恒
例1 (2024·山东临沂高二期末)如图所示，两滑块A、B位于光滑水平面上，已知A的质量mA＝2 kg，B的质量mB＝3 kg。滑块B的左端连有轻质弹簧，弹簧开始处于自由伸长状态。现使滑块A以v0＝5 m/s的速度水平向右运动，通过弹簧与静止的滑块B相互作用(整个过程弹簧没有超过弹性限度)，直至分开。求：
(1)滑块通过弹簧相互作用过程中弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块B的最大动能；
(3)滑块A的动能最小时，弹簧的弹性势能。
解析　(1)当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时滑块A和B的速度相同。选取向右为正方向，根据动量守恒定律有
mAv0＝(mA＋mB)v，解得v＝2 m/s。
解得Ep＝15 J。
(2)当A、B分离时，弹簧恢复原长，滑块B的速度最大，动能最大，由动量守恒定律和能量守恒定律得
mAv0＝mAvA＋mBvB
解得vA＝－1 m/s，vB＝4 m/s
(3)当A的速度为零时，滑块A的动能最小，根据动量守恒定律得
mAv0＝mAvA′＋mBvB′(vA′＝0)
训练1 如图所示，A、B两滑块的质量均为m，分别穿在光滑的足够长的水平固定导杆上，两导杆平行，间距为d。用自然长度也为d的轻弹簧连接两滑块。开始时两滑块均处于静止状态，今给滑块B一个向右的瞬时冲量I，求滑块A的最大速度。
解析　弹簧第一次恢复原长时A的速度最大，设速度为vm，此时B的速度为vB′。
模型二　“滑块—曲(斜)面类”模型
1.模型建构：如图所示，光滑斜(曲)面静置放在光滑水平地面上，滑块以速度v0冲上斜(曲)面，滑块始终未脱离斜(曲)面。
例2 如图所示，光滑水平面上质量为m1＝2 kg的物块以v0＝2 m/s的初速度冲向质量为m2＝6 kg静止的光滑圆弧面斜劈体，且未滑出。求：
(1)物块滑到最高点位置时，二者的速度大小；
(2)物块从圆弧面滑下后，二者速度大小；
(3)若m1＝m2，物块从圆弧面滑下后，二者速度大小。
解析　(1)物块与圆弧面作用过程中水平方向上动量守恒，且到达最高点时系统水平速度相同。以v0方向为正方向，由水平方向上动量守恒得
m1v0＝(m1＋m2)v，解得v＝0.5 m/s。
(2)物块从圆弧面滑下过程，在水平方向上动量守恒，有m1v0＝m1v1＋m2v2
(3)若m1＝m2，根据上述分析，物块m1从圆弧面滑下后，交换速度，即v1′＝0，v2′＝2 m/s。
答案　(1)均为0.5 m/s　(2)1 m/s　1 m/s　(3)0　2 m/s
训练2 如图所示，在光滑水平面上停放质量为m装有弧形槽的小车，现有一质量为2m的光滑小球以水平速度v0沿切线水平的槽口向小车滑去，到达某一高度后，小球又返回小车右端，则下列说法正确的是(　　)
C
课后巩固训练
3
ABD
题组一　“弹簧类”模型
1.(多选)如图所示，与水平轻弹簧相连的物体A停放在光滑的水平面上，物体B沿水平方向向右运动，跟轻弹簧相碰。在B跟弹簧相碰后，对于A、B和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是 (　　 )
基础对点练
A.弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同
B.弹簧压缩量最大时，A、B的动能之和最小
C.弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减少
D.物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零
解析　物体B与弹簧接触时，弹簧发生形变，产生弹力，可知B做减速运动，A做加速运动，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，故A正确；A、B和弹簧组成的系统能量守恒，弹簧压缩量最大时，弹性势能最大，此时A、B的动能之和最小，故B正确；弹簧在压缩的过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，故C错误；当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，然后A继续加速，B继续减速，弹簧逐渐恢复原长，当弹簧恢复原长时，A的速度最大，此时弹簧的弹性势能为零，故D正确。
B
2.如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视作质点，Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生相互作用。在整个过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于(　　)
AC
3.(多选)如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧右端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x。现让弹簧右端连接另一质量为m的物体B(如图乙所示)，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则(　　)
AC
题组二　“曲(斜)面类”模型
4.(多选)(2024·江西宜春高二月考)在光滑水平地面上放一个质量为M＝2 kg的内侧带有光滑弧形凹槽的滑块B，凹槽的底端切线水平，如图所示。质量为m＝1 kg的小物块A以v0＝6 m/s的水平速度从滑块B的底端沿槽上滑，恰好能到达滑块B的顶端。重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力。在小物块A沿滑块B滑行的整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A.小物块A沿滑块B上滑的最大高度为1.2 m
B.小物块A沿滑块B上滑的最大高度为0.6 m
C.合力对滑块B的冲量大小为8 N·s
D.合力对滑块B的冲量大小为16 N·s
D
5.如图所示在足够长的光滑水平面上有一静止的质量为M的斜面，斜面表面光滑、高度为h、倾角为θ。一质量为m(m＜M)的小物块以一定的初速度沿水平面向右运动，不计冲上斜面过程中的机械能损失。如果斜面固定，则小物块恰能冲到斜面的顶端。如果斜面不固定，则小物块冲上斜面后能达到的最大高度为(　　)
C
6.(2024·河北唐山高二期中)质量为M的小车静止在光滑水平面上，车上是一个四分之一的光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平。质量为m的小球沿水平方向从轨道下端以初速度v0滑上小车，重力加速度为g，如图所示。已知小球不从小车上端离开小车，小球滑上小车又滑下，与小车分离时，小球与小车速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，则m∶M的值为(　　)
A.1∶3 B.1∶4
C.3∶5 D.2∶3
解析　设小球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律可知mv0＝Mv1－mv2
对整体由机械能守恒定律可得
D
7.(2024·四川绵阳高二期中)如图所示，质量为M的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与水平面相切，一质量为m的小球以速度v0向滑块滚来，设小球不能越过滑块，则(　　)
B
8.如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是(　　)
综合提升练
A.两物块的质量之比为m1∶m2＝2∶1
B.在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势
能均达到最大值
C.t1～t2时间内，弹簧的长度大于原长
D.t2～t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小
解析　以m1的初速度方向为正方向，对0～t1时间内的过程，由动量守恒定律得m1v1＝(m1＋m2)v共，将v1＝3 m/s，v共＝1 m/s代入解得m1∶m2＝1∶2，故A错误；根据系统能量守恒可知在t1时刻和t3时刻，系统的动能最小，弹簧的弹性势能达到最大值，故B正确；在t1时刻弹簧压缩至最短，所以t1～t2时间内，弹簧的长度小于原长，故C错误；t2～t3时间内，弹簧处于拉伸阶段，弹力逐渐增大，故D错误。
9.质量为3m的劈A，其右侧是光滑曲面，曲面下端与光滑的水平面相切，如图所示。一质量为m的物块B位于劈A的曲面上，距水平面的高度为h，物块从静止开始滑下，到达水平面上，跟右侧固定在墙壁上的弹簧发生作用后(作用过程无机械能损失)，又滑上劈A，求物块B在劈A上能够达到的最大高度。
解析　设物块B滑到曲面底端时速率为v1，劈A的速率为v2，物块B和劈A组成的系统水平方向动量守恒，取水平向左为正方向，则有
3mv2－mv1＝0
由系统机械能守恒定律可得
与弹簧作用后，物块B速度方向变为向左，速度大小不变，v1′＝v1，当物块B在劈A上达到最大高度时二者速度相同，设为v3，系统水平方向动量守恒，则有
3mv2＋mv1′＝(3m＋m)v3
物块B和劈A组成的系统机械能守恒，可得
10.(2024·广东广州高二期末)如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA＝6.0 kg和mB＝4.0 kg，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C从t＝0时以一定速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示。求：
培优加强练
(1)物块C的质量；
(2)B离开墙后，弹簧中的弹性势能最大时，B的速度多大？最大弹性势能多大？
答案　(1)2.0 kg　(2)2 m/s　12 J
解析　(1)由题图乙知，C与A碰前速度为
v1＝12 m/s，碰后速度为v2＝3 m/s，C与A碰撞过程动量守恒，以C的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
解得mC＝2.0 kg。
(2)12 s末B离开墙壁，v3＝3 m/s ，之后A、B、C及弹簧组成的系统满足动量守恒和机械能守恒，当A、C与B速度v4相等时弹簧的弹性势能最大。根据动量守恒定律，有
根据能量守恒定律得
解得v4＝2 m/s，Ep＝12 J。
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