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2025届高三数学一模暨春考数学试卷1
时间：120分钟 满分：150
一 填空题：
1.已知集合，集合，则__________.
2.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________.
3.现从甲 乙 丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为__________.
4.若一组样本数据的平均数为5，则该组数据的方差__________.
5.在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为__________.
6.设函数，若成等差数列（公差不为零），则__________.
7.已知下列两个命题：，不等式恒成立；有最小值.若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________.
8.设中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是__________.
9.已知，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围__________.
10.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.
11.如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最小值是__________.
12.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域为，值域为；
②函数的图象关于直线对称；
③函数是周期函数，最小正周期为1；
④函数在上是增函数.
其中正确的命题的序号是__________.
二 选择题：
13.设都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
14.关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②的最大值为2；③在有4个零点；④在区间单调递减.其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③
15.如图，平面为的中点，为内的动点，且到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
16.已知数列满足：.若正整数使得成立，则（ ）
A.16 B.17 C.18 D.19
三 解答题：
17.在平面直角坐标系中，已知点，其中.
（1）若，求证：.
（2）若，求的值.
18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
20.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，以椭圆左顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆的方程；
（3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值.
21.已知函数
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值.
参考答案及逐题解析：
一 填空题：
1.【答案】
解：由题意可知集合表示四个实数，而集合表示非负实数，所以两个集合交集为.
2.【答案】
解：先由复数乘法化为，再由纯虚数的概念得即.
3.【答案】
解：从甲 乙 丙3人中随机选派2人，共有甲乙 甲丙 乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙 甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为.
4.【答案】
解：.
.
5.【答案】
解：因为抛物线的焦点为，所以.又，所以.而双曲线的渐近线方程为，即.
6.【答案】2
【详解】因为成等差数列，
所以，
.
7.【答案】或.
解：，不等式恒成立；
即恒成立；
由于的最小值为2，
故为真命题时，
有最小值.
表示以为底的对数函数为增函数，且恒成立
即，解得
故为真命题时，
两个命题中有且只有一个是真命题，
当真假时，或或，
当假真时，这样的值不存在
故实数的取值范围是或
8.【答案】
【详解】：椭圆中中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，
双曲线中椭圆的离心率为，椭圆与双曲线的离心率互为倒
数.双曲线的离心率为，
双曲线中双曲线的方程为.
9.【答案】且
【详解】，
，即，
又不共线，，
且.
10.【答案】
【详解】当时，在上单调递减，
所以，即，，
当时，，
所以，可得在单调递增，
所以，即，
所以的值域为，
因为且，
所以，即，
因为，所以，所以
所以的值域为，
因为存在，使得成立，所以，
若，则或，此时或，
所以当时，的取值范围是：.
所以实数的取值范围是.
11.【答案】
【详解】设，因为，可得且，
所以梯形的面积为，
则，所以，
令，可得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
即.
12.【答案】①②③
【详解】①由定义知：，所以，即的值域为；故①对；
②因为，所以函数的图象关于直线对称；故②对；
③因为，所以函数是周期函数，最小正周期为1；故③对；
④当时，；
当时，，此时，故④错.
故答案为：①②③
二 选择题：
13.【答案】C
【解析】由“”，得，得或或
，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选C.
14.【答案】A
【解析】的定义域为，
因为，
故为偶函数，结论①正确，当，
当
故当时，
根据函数为偶函数，作出大致图像，如图所示
故函数的最大值为2，结论②正确，
根据图像可得，在
有3个零点，故结论③错误，由图象可以
看出，在区间单调递减，结论④正确.故选：A.
15.【答案】B
【解析】空间中到直线的距离为的点构成一个圆
柱面，它和面相交得一椭圆，所以在内的轨迹为
一个椭圆，为椭圆的中心，，
则，于是为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角，在短轴的端点取得最大，
故为.故选B.
16.【答案】B
【解析】，即，
，
时，，两式相除可得，则，
由，可得
，且，
正整数时，要使得成立，则，则，
故选：B.
三 解答题：
17.【详解】（1）由题设知.
所以
因为，所以.故.
（2）因为，所以，即，
解得.
因为，所以.因此，
.
从而.
18.【详解】
（1）连接与交于点，连接；
因为为的中点，为的中点.
所以，
又平面平面.
所以平面.
（2）由于点到平面的距离为1，
故三棱锥的体积.
19.【详解】（1）由题意可知，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，
所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，
由基本不等式可得（元），
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；
（2）令
，函数在区间上单调递减，
当时，函数取得最大值，即.
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损.
20.【详解】（1）依题意，得，
，
故椭圆的方程为.
（2）点与点关于轴对称，设，设，
由于点在椭圆上，所以，
由，则，
.
由于
故当时，的最小值为，所以，故，
又点在圆上，代入圆的方程得到.
故圆的方程为：
（3）设，则直线的方程为：，
令，得，同理：.
故
又点与点在椭圆上，
故，代入上式得：
，
所以
21.解：（1）
因为为的极值点，所以，即，解得.
又当时，，从而为的极值点成立.
（2）因为函数在上为增函数，
所以在上恒成立.
①当时，在上恒成立，
所以在上为增函数，故符合题意.
②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，
故只能，所以在上恒成立.
令函数，其对称轴为，
因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，
即，所以.
因为，所以.
综上所述，的取值范围为.
③当时，方程可化为.
问题转化为在上有解，
即求函数的值域.
因为函数，令函数，
则，
所以当时，，从而函数在上为增函数，
当时，，从而函数在上为减函数，
因此.
而，所以，因此当时，取得最大值0.

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