资源简介

培优课　导数中的函数构造问题
［学习目标］　1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题.
一、利用f（x）与x构造
例1　已知f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）<-xf'（x），则不等式f（x+1）>（x-1）f（x2-1）的解集是（　　）
A.（0，1） B.（2，+∞）
C.（1，2） D.（1，+∞）
答案　B
解析　构造函数y=xf（x），x∈（0，+∞），
则y'=f（x）+xf'（x）<0，
所以函数y=xf（x）在（0，+∞）上单调递减.
又因为f（x+1）>（x-1）f（x2-1），
所以（x+1）f（x+1）>（x2-1）f（x2-1），
所以x+10，x+1>0，
解得x>2，
所以不等式f（x+1）>（x-1）f（x2-1）的解集是（2，+∞）.
延伸探究　把本例中的条件“f（x）<-xf'（x）”换为“f（x）（2x+1）f（x2+1）.
解　设g（x）=，则g'（x）=，
∵f（x）∴g'（x）>0，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
由（x2+1）f（2x+1）>（2x+1）f（x2+1）得，
>，
即g（2x+1）>g（x2+1），
所以解得0即不等式（x2+1）f（2x+1）>（2x+1）f（x2+1）的解集为（0，2）.
反思感悟　用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有
（1）对于f'（x）>g'（x），构造h（x）=f（x）-g（x）.
（2）对于f'（x）+g'（x）>0，构造h（x）=f（x）+g（x）.
（3）对于f'（x）>a，构造h（x）=f（x）-ax.
（4）对于xf'（x）+f（x）>0，构造h（x）=xf（x）.
（5）对于xf'（x）-f（x）>0，构造h（x）=.
跟踪训练1　已知函数f（x）=xln x+x（x-a）2（a∈R）.若存在x∈，使得f（x）>xf'（x）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. B.
C.（，+∞） D.（3，+∞）
答案　C
解析　由f（x）>xf'（x），可得'=<0.
设g（x）==ln x+（x-a）2，则存在x∈，使得g'（x）=+2（x-a）<0成立，
即a>.又x+≥2=，
当且仅当x=，即x=时取等号，所以a>.
二、利用f（x）与ex构造
例2　已知f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且对于任意的x∈R，均有f（x）+f'（x）>0，则（　　）
A.f（-2 024）f（0）
B.f（-2 024）C.f（-2 024）>f（0），e2 024f（2 024）>f（0）
D.f（-2 024）>f（0），e2 024f（2 024）答案　A
解析　构造函数h（x）=exf（x），
则h'（x）=exf（x）+exf'（x）=ex［f（x）+f'（x）］>0，所以函数h（x）在R上单调递增，
故h（-2 024）同理，h（2 024）>h（0），即e2 024f（2 024）>f（0）.
延伸探究　把本例中的条件“f（x）+f'（x）>0”换为“f'（x）>f（x）”，比较e2 024f（-2 024）和f（0）的大小.
解　令g（x）=，则g'（x）=，因为对任意的x∈R，都有f'（x）>f（x），所以g'（x）>0，即g（x）在R上单调递增，所以g（-2 024）反思感悟　f（x）与ex构造常见的形式
（1）对于f'（x）+f（x）>0，构造h（x）=exf（x）.
（2）对于f'（x）>f（x），构造h（x）=.
跟踪训练2　（多选）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）A.f（ln 2）<2f（0） B.f（2）C.f（ln 2）>2f（0） D.f（2）>e2f（0）
答案　AB
解析　令g（x）=，则g'（x）=<0，所以g（x）在R上单调递减，又ln 2>0，2>0，
所以g（ln 2）三、利用f（x）与sin x，cos x构造
例3　（多选）已知定义在上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（0）=0，f'（x）cos x+f（x）sin x<0，则下列判断中正确的是（　　）
A.f0
C.f>f D.f>f
答案　CD
解析　令g（x）=，x∈，
则g'（x）=，
因为f'（x）cos x+f（x）sin x<0，所以g'（x）=<0在上恒成立，因此函数g（x）=在上单调递减，
又<，所以g>g，
即>，即f>f，故A错误；
又f（0）=0，所以g（0）==0，所以g（x）=≤0在上恒成立，
因为ln ∈，所以f<0，故B错误；
又<，所以g>g，
所以>，
即f>f，故C正确；
又<，所以g>g，
所以>，即f>f，故D正确.
反思感悟　f（x）与sin x，cos x构造常见的形式
（1）对于f'（x）sin x+f（x）cos x>0，构造函数h（x）=f（x）sin x.
（2）对于f'（x）sin x-f（x）cos x>0，构造函数h（x）=.
（3）对于f'（x）cos x-f（x）sin x>0，构造函数h（x）=f（x）cos x.
（4）对于f'（x）cos x+f（x）sin x>0，构造函数h（x）=.
跟踪训练3　已知函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，函数y=f（x）对于任意的x∈（0，π），满足f'（x）sin x>f（x）cos x（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）
A.f>-f
B.f<-f
C.f>2f
D.f答案　C
解析　由已知，得f（x）为奇函数，由函数y=f（x）对于任意的x∈（0，π），满足f'（x）sin x>f（x）cos x，得f'（x）sin x-f（x）cos x>0，令g（x）=，则g'（x）=，当x∈（0，π）时，g'（x）>0，
所以g（x）在（0，π）上单调递增.
对于A，>，
即f>f，
所以f=-f<-f，故A错误；
对于B，>，
即f>f=-f，故B错误；
对于C，<，即f>2f，故C正确；
对于D，>，即f>f，故D错误.
1.知识清单：
（1）几种常见的构造形式.
（2）掌握由导函数的结构形式构造原函数的方法.
2.方法归纳：构造法.
3.常见误区：不能正确构造出符合题意的函数.
1.已知f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足xf'（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若aA.bf（b）≤af（a） B.bf（a）≤af（b）
C.af（a）≤bf（b） D.af（b）≤bf（a）
答案　A
解析　设g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），则g'（x）=xf'（x）+f（x）≤0，∴g（x）在区间（0，+∞）上单调递减或g（x）为常函数.
∵a2.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（2）=1，且f（x）的导函数f'（x）<1，则f（x）>x-1的解集为（　　）
A.｛x|-2C.｛x|x<-2或x>2｝ D.｛x|x>2｝
答案　B
解析　令g（x）=f（x）-（x-1），
则g'（x）=f'（x）-1<0，
所以g（x）在R上单调递减.
又f（2）=1，所以g（2）=f（2）-（2-1）=0.
由f（x）>x-1，得g（x）>0，解得x<2.
3.若函数y=f（x）的定义域为R，对于 x∈R，f'（x）A.（2，+∞） B.（0，+∞）
C.（-∞，0） D.（-∞，2）
答案　B
解析　设函数g（x）=，
则g'（x）==，
由f'（x）所以g'（x）<0，函数g（x）在R上单调递减，
由f（x+1）为偶函数，可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又f（2）=1，所以f（0）=1，
所以g（0）==1，
不等式f（x）即g（x）0，
即不等式f（x）4.函数f（x）定义在上，f=，其导函数是f'（x），且f（x）·cos x2sin x的解集为　　　　.
答案　
解析　∵f（x）cos x∴f'（x）sin x-f（x）cos x>0，
构造函数g（x）=，
则g'（x）=，
当x∈时，g'（x）>0，
∴g（x）在上单调递增，
∵不等式f（x）>2sin x，
∴>2==，
即g（x）>g，∴故不等式的解集为.
课时对点练　［分值：100分］
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f'（x）<，则f（x）<+的解集为（　　）
A.｛x|-1C.｛x|x<-1或x>1｝ D.｛x|x>1｝
答案　D
解析　构造函数h（x）=f（x）--，所以h'（x）=f'（x）-<0，故h（x）在R上单调递减，且h（1）=f（1）--=0，
故h（x）<0的解集为｛x|x>1｝.
2.设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（　　）
A.（-∞，-1）∪（0，1）
B.（-1，0）∪（1，+∞）
C.（-∞，-1）∪（-1，0）
D.（0，1）∪（1，+∞）
答案　A
解析　构造函数h（x）=，因为f（x）为奇函数，所以h（x）为偶函数，又因为h'（x）=，且当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，根据对称性知h（x）在（-∞，0）上单调递增，又f（-1）=0，所以f（1）=0，数形结合可知，使得f（x）>0成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）.
3.已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）+13ex的解集为（　　）
A.（1，+∞） B.（-∞，1）
C.（0，+∞） D.（-∞，0）
答案　C
解析　令g（x）=，因为f（x）+10，故g（x）在R上单调递增，且g（0）=3.由f（x）+1>3ex，可得>3，即g（x）>g（0），所以x>0.
4.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）<-f'（x），则下列式子成立的是（　　）
A.f（2 024）>ef（2 025）
B.f（2 024）C.ef（2 024）>f（2 025）
D.ef（2 024）答案　A
解析　依题意得f（x）+f'（x）<0，
令g（x）=exf（x），
则g'（x）=ex［f（x）+f'（x）］<0在R上恒成立，
所以函数g（x）=exf（x）在R上单调递减，
所以g（2 024）>g（2 025），
即e2 024f（2 024）>e2 025f（2 025）
f（2 024）>ef（2 025）.
5.定义域为的函数f（x）满足f（x）+f（-x）=0，其导函数为f'（x），当0≤x<时，有f'（x）cos x+f（x）sin x<0成立，则关于x的不等式f（x）A.∪
B.
C.∪
D.∪
答案　B
解析　∵f（x）+f（-x）=0且x∈，
∴f（x）是奇函数，
设g（x）=，则当0≤x<时，g'（x）=<0，
∴g（x）在上单调递减.
又f（x）是奇函数，∴g（x）=也是奇函数，
∴g（x）在上单调递减，
从而g（x）在上单调递减，
∵不等式f（x）∴<，即g（x）6.（多选）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f'（x）满足f'（x）>m>1，则下列式子成立的有（　　）
A.f> B.f<-1
C.f> D.f<0
答案　AC
解析　根据题意，设g（x）=f（x）-mx，则g'（x）=f'（x）-m，又f'（x）>m>1，则g（x）在R上为增函数，因为m>1，所以0<<1，g>g（0），即f-×m>f（0），即f-1>-1，变形可得f>0，又m>1，则<0，必有f>，所以A正确，B错误；因为m>1，所以>0，则有g>g（0），即f->f（0）=-1，变形可得f>-1=，故C正确，D错误.
7.（5分）已知f（x）是定义在上的函数，其导函数为f'（x），f=2，且当x∈时，f'（x）sin x+f（x）cos x>0，则不等式f（x）sin x<3的解集为　　　　.
答案　
解析　因为当x∈时，
f'（x）sin x+f（x）cos x>0，
所以［f（x）sin x］'>0，x∈，
令g（x）=f（x）sin x，
则当x∈时，g'（x）>0，g（x）在上单调递增，
因为f=2，所以g=fsin =3，
不等式f（x）sin x<3，即g（x）因为g（x）在上单调递增，
所以原不等式的解集为.
8.（5分）设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f'（x）cos x-f（x）sin x>0，若a=f，b=0，c=-f，则a，b，c的大小关系是　　　　　　　.
答案　a解析　设函数g（x）=f（x）cos x，
则g'（x）=f'（x）cos x-f（x）sin x，
因为f'（x）cos x-f（x）sin x>0，所以g'（x）>0，
所以g（x）在（0，π）上单调递增，
a=f=fcos =g，
b=0=fcos =g，
c=-f=fcos =g，
所以a9.（12分）已知函数f（x）=（x∈R）.
（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（5分）
（2）求证：当x∈［0，π］时，f（x）≤x.（7分）
（1）解　由题意知，f（0）=0，f'（x）=，
所以切点坐标为（0，0），斜率为f'（0）==1，所以所求切线方程为x-y=0.
（2）证明　f（x）≤x（x∈［0，π］），即xex-sin x≥0（x∈［0，π］），
令g（x）=xex-sin x，x∈［0，π］，则g'（x）=ex+xex-cos x，
令h（x）=ex+xex-cos x，x∈［0，π］，则h'（x）=2ex+xex+sin x>0在［0，π］上恒成立，
所以h（x）在［0，π］上单调递增，故h（x）≥h（0）=0，
所以g'（x）≥0在［0，π］上恒成立，即g（x）在［0，π］上单调递增，所以g（x）≥g（0）=0，
即xex-sin x≥0（x∈［0，π］），
综上，当x∈［0，π］时，f（x）≤x.
10.（13分）已知函数f（x）=x2-2aln x+（a-2）x.
（1）当a=1时，求函数f（x）在［1，e］上的最小值和最大值；（5分）
（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有>a？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.（8分）
解　（1）当a=1时，f（x）=x2-2ln x-x.
则f'（x）=x--1=
=，x∈［1，e］.
∴当x∈［1，2）时，f'（x）<0；
当x∈（2，e］时，f'（x）>0.
∴f（x）在［1，2）上单调递减，在（2，e］上单调递增.
∴当x=2时，f（x）取得最小值，其最小值为f（2）=-2ln 2.
又f（1）=-，f（e）=-e-2，f（e）-f（1）=-e-2+=<0，
∴f（e）（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有>a，
不妨设0∵>a，
∴f（x2）-ax2>f（x1）-ax1.
令g（x）=f（x）-ax，
则由此可知g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（x）=x2-2aln x+（a-2）x-ax
=x2-2aln x-2x，
则g'（x）=x--2=，
由此可得g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只需-1-2a≥0，解得a≤-.
即a的取值范围是.
11.设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f'（x）g（x）-f（x）g'（x）<0，则当aA.f（x）g（x）>f（b）g（b）
B.f（x）g（b）>f（b）g（x）
C.f（x）g（a）>f（a）g（x）
D.f（x）g（x）>f（a）g（a）
答案　B
解析　设F（x）=，
则F'（x）=，
由f'（x）g（x）-f（x）g'（x）<0，得F'（x）<0，所以F（x）在R上单调递减，因为af（b）g（x）.
12.设函数f（x）的定义域为R，f'（x）是其导函数，若3f（x）+f'（x）>0，f（0）=1，则不等式f（x）>e-3x的解集是（　　）
A.（0，+∞） B.（1，+∞）
C.（-∞，0） D.（0，1）
答案　A
解析　令g（x）=e3xf（x），
则g'（x）=3e3xf（x）+e3xf'（x），
因为3f（x）+f'（x）>0，所以3e3xf（x）+e3xf'（x）>0，所以g'（x）>0，
所以函数g（x）=e3xf（x）在R上是增函数，
又f（x）>e-3x可化为e3xf（x）>1，
且g（0）=e3×0f（0）=1，
所以g（x）>g（0），解得x>0，
所以不等式f（x）>e-3x的解集是（0，+∞）.
13.已知函数f（x）的定义域为，f'（x）是函数f（x）的导函数，f（x）-f（-x）=0，且对于任意的x∈有f'（x）cos x+f（x）sin x>0.则下列不等式一定成立的是（　　）
A.fB.f>f
C.f（-1）D.f>f
答案　A
解析　令g（x）=，当x∈时，则g'（x）=>0，
故g（x）在上单调递增，
而f（x）-f（-x）=0，故g（-x）===g（x），故g（x）是偶函数，
故g=g即<<=<<，故A正确，B，C，D错误.
14.（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x>0时，有>0，则不等式x2f（x）>0的解集是　　　　　　　　.
答案　（-1，0）∪（1，+∞）
解析　令g（x）=（x≠0），
则g'（x）=.
∵当x>0时，>0，
即g'（x）>0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增.
又f（1）=0，∴g（1）=f（1）=0，
∴在（0，+∞）上，g（x）>0的解集为（1，+∞），g（x）<0的解集为（0，1）.
∵f（x）为奇函数，∴g（x）为偶函数，
∴在（-∞，0）上，g（x）>0的解集为（-∞，-1），
g（x）<0的解集为（-1，0）.
由x2f（x）>0，得f（x）>0（x≠0）.
又f（x）>0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），
∴不等式x2f（x）>0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）.
15.（14分）已知函数f（x）=-ln x（a∈R）.
（1）讨论f（x）的单调性；（5分）
（2）若x1，x2是方程f（x）=2的两个不同实根，证明：x1+x2>.（9分）
（1）解　因为f（x）=-ln x，
所以f'（x）=--=-.
①当a≥0时，f'（x）<0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递减.
②当a<0时，由f'（x）>0，得0-a.
即f（x）在（0，-a）上单调递增，在（-a，+∞）上单调递减，
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a<0时，f（x）在（0，-a）上单调递增，在（-a，+∞）上单调递减.
（2）证明　因为f（x1）=f（x2）=2，
所以-ln x1-2=0，-ln x2-2=0，
即x1ln x1+2x1-a=0，x2ln x2+2x2-a=0.
设g（x）=xln x+2x-a，则g'（x）=ln x+3，
故g（x）在上单调递减，在上单调递增.
由题意设0欲证x1+x2>，只需证x2>-x1，
又x2，-x1∈，g（x）在上单调递增，故只需证g（x2）>g.
因为g（x1）=g（x2），所以只需证g（x1）>g对任意的x1∈恒成立即可，
即x1ln x1+2x1-a>ln+2-a.
整理得x1ln x1+2x1>ln+-2x1，
即x1ln x1-ln+4x1->0.
设h（x）=xln x-ln+4x-，x∈，
则h'（x）=ln x+ln+6=ln+6.
因为0所以h'（x）=ln+6<0，所以h（x）在上单调递减，则h（x）>h=0.
所以x1+x2>成立.(共79张PPT)
第五章
<<<
培优课
导数中的函数构造问题
学习目标
1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.
2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题.
一、利用f(x)与x构造
二、利用f(x)与ex构造
课时对点练
三、利用f(x)与sin x，cos x构造
随堂演练
内容索引
一
利用f(x)与x构造
已知f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<
-xf'(x)，则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是
A.(0，1) B.(2，+∞)
C.(1，2) D.(1，+∞)
例 1
√
构造函数y=xf(x)，x∈(0，+∞)，
则y'=f(x)+xf'(x)<0，
所以函数y=xf(x)在(0，+∞)上单调递减.
又因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1)，
所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1)，
所以x+10，x+1>0，
解得x>2，
所以不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(2，+∞).
把本例中的条件“f(x)<-xf'(x)”换为“f(x)(2x+1)f(x2+1).
延伸探究
设g(x)=，则g'(x)=，
∵f(x)∴g'(x)>0，故g(x)在(0，+∞)上单调递增，
由(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)得，
>，
即g(2x+1)>g(x2+1)，
所以解得0即不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)的解集为(0，2).
反
思
感
悟
用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有
(1)对于f'(x)>g'(x)，构造h(x)=f(x)-g(x).
(2)对于f'(x)+g'(x)>0，构造h(x)=f(x)+g(x).
(3)对于f'(x)>a，构造h(x)=f(x)-ax.
(4)对于xf'(x)+f(x)>0，构造h(x)=xf(x).
(5)对于xf'(x)-f(x)>0，构造h(x)=.
已知函数f(x)=xln x+x(x-a)2(a∈R).若存在x∈，使得f(x)>xf'(x)成立，则实数a的取值范围是
A. B.
C.(，+∞) D.(3，+∞)
跟踪训练 1
√
由f(x)>xf'(x)，可得'=<0.
设g(x)==ln x+(x-a)2，则存在x∈，使得g'(x)=+2(x-a)<0成立，
即a>.又x+≥2=，
当且仅当x=，即x=时取等号，所以a>.
二
利用f(x)与ex构造
已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f'(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)+f'(x)>0，则
A.f(-2 024)f(0)
B.f(-2 024)C.f(-2 024)>f(0)，e2 024f(2 024)>f(0)
D.f(-2 024)>f(0)，e2 024f(2 024)例 2
√
构造函数h(x)=exf(x)，
则h'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，所以函数h(x)在R上单调递增，
故h(-2 024)同理，h(2 024)>h(0)，即e2 024f(2 024)>f(0).
把本例中的条件“f(x)+f'(x)>0”换为“f'(x)>f(x)”，比较
e2 024f(-2 024)和f(0)的大小.
延伸探究
令g(x)=，则g'(x)=，因为对任意的x∈R，都有f'(x)>f(x)，所以g'(x)>0，即g(x)在R上单调递增，所以g(-2 024)反
思
感
悟
f(x)与ex构造常见的形式
(1)对于f'(x)+f(x)>0，构造h(x)=exf(x).
(2)对于f'(x)>f(x)，构造h(x)=.
(多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)
跟踪训练 2
√
√
令g(x)=，则g'(x)=<0，所以g(x)在R上单调递减，又ln 2>0，2>0，
所以g(ln 2)所以f(ln 2)<2f(0)，f(2)三
利用f(x)与sin x，cos x构造
(多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(0)=0，f'(x)cos x+f(x)sin x<0，则下列判断中正确的是
A.f0
C.f>f D.f>f
例 3
√
√
令g(x)=，x∈，
则g'(x)=，
因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0，所以g'(x)=<0在上恒成立，因此函数g(x)=上单调递减，
又<，所以g>g，
即>，即f>f，故A错误；
又f(0)=0，所以g(0)==0，所以g(x)=≤0在上恒成立，
因为ln ，所以f<0，故B错误；
又<，所以g>g，
所以>，
即f>f，故C正确；
又<，所以g>g，
所以>，即f>f，故D正确.
反
思
感
悟
f(x)与sin x，cos x构造常见的形式
(1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0，构造函数h(x)=f(x)sin x.
(2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0，构造函数h(x)=.
(3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0，构造函数h(x)=f(x)cos x.
(4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0，构造函数h(x)=.
已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，函数y=f(x)对于任意的x∈(0，π)，满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是
A.f>-f
B.f<-f
C.f>2f
D.f跟踪训练 3
√
由已知，得f(x)为奇函数，由函数y=f(x)对于任意的x∈(0，π)，满足f'(x)sin x>f(x)cos x，得f'(x)sin x-f(x)cos x>0，令g(x)=，则g'(x)=，当x∈(0，π)时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0，π)上单调递增.
对于A，>，
即f>f，所以f=-f<-f，故A错误；
对于B，>，
即f>f=-f，故B错误；
对于C，2f，故C正确；
对于D，>f>f，故D错误.
1.知识清单：
(1)几种常见的构造形式.
(2)掌握由导函数的结构形式构造原函数的方法.
2.方法归纳：构造法.
3.常见误区：不能正确构造出符合题意的函数.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的可导函数，且满足xf'(x)+f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a)
设g(x)=xf(x)，x∈(0，+∞)，则g'(x)=xf'(x)+f(x)≤0，
∴g(x)在区间(0，+∞)上单调递减或g(x)为常函数.
∵a√
2.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f'(x)<1，则f(x)>x-1的解集为
A.{x|-2C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x>2}
1
2
3
4
√
1
2
3
4
令g(x)=f(x)-(x-1)，
则g'(x)=f'(x)-1<0，
所以g(x)在R上单调递减.
又f(2)=1，所以g(2)=f(2)-(2-1)=0.
由f(x)>x-1，得g(x)>0，解得x<2.
3.若函数y=f(x)的定义域为R，对于 x∈R，f'(x)A.(2，+∞) B.(0，+∞)
C.(-∞，0) D.(-∞，2)
1
2
3
4
√
1
2
3
4
设函数g(x)=，
则g'(x)==，
由f'(x)所以g'(x)<0，函数g(x)在R上单调递减，
由f(x+1)为偶函数，可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(2)=1，所以f(0)=1，
所以g(0)==1，
1
2
3
4
不等式f(x)即g(x)0，
即不等式f(x)4.函数f(x)定义在上，f=，其导函数是f'(x)，且f(x)·cos x<
f'(x)·sin x恒成立，则不等式f(x)>2sin x的解集为　　　　.
1
2
3
4
1
2
3
4
∵f(x)cos x∴f'(x)sin x-f(x)cos x>0，
构造函数g(x)=，
则g'(x)=，
当x∈时，g'(x)>0，
∴g(x)在上单调递增，
1
2
3
4
∵不等式f(x)>2sin x，
∴>2==，
即g(x)>g，∴故不等式的解集为.
课时对点练
五
基础巩固
1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1，且f'(x)<，则f(x)<+的解集为
A.{x|-1C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x>1}
构造函数h(x)=f(x)--，所以h'(x)=f'(x)-<0，故h(x)在R上单调递减，且h(1)=f(1)--=0，
故h(x)<0的解集为{x|x>1}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是
A.(-∞，-1)∪(0，1)
B.(-1，0)∪(1，+∞)
C.(-∞，-1)∪(-1，0)
D.(0，1)∪(1，+∞)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
构造函数h(x)=，因为f(x)为奇函数，所以h(x)为偶函数，又因为h'(x)=，且当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，所以h(x)在(0，+∞)上单调递减，根据对称性知h(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(-1)=0，所以f(1)=0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞，-1)∪(0，1).
3.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)+13ex的解集为
A.(1，+∞) B.(-∞，1)
C.(0，+∞) D.(-∞，0)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
令g(x)=，因为f(x)+10，故g(x)在R上单调递增，且g(0)=3.由f(x)+1>3ex，可得>3，即g(x)>g(0)，所以x>0.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<-f'(x)，则下列式子成立的是
A.f(2 024)>ef(2 025)
B.f(2 024)C.ef(2 024)>f(2 025)
D.ef(2 024)√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
依题意得f(x)+f'(x)<0，
令g(x)=exf(x)，
则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0在R上恒成立，
所以函数g(x)=exf(x)在R上单调递减，
所以g(2 024)>g(2 025)，
即e2 024f(2 024)>e2 025f(2 025)
f(2 024)>ef(2 025).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.定义域为的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0，其导函数为f'(x)，当0≤x<时，有f'(x)cos x+f(x)sin x<0成立，则关于x的不等式f(x)A.
B.
C.
D.
√
∵f(x)+f(-x)=0且x∈，
∴f(x)是奇函数，
设g(x)=，则当0≤x<时，g'(x)=<0，
∴g(x)在上单调递减.
又f(x)是奇函数，∴g(x)=也是奇函数，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
∴g(x)在上单调递减，
从而g(x)在上单调递减，
∵不等式f(x)∴<，即g(x)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6.(多选)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1，其导函数f'(x)满足f'(x)>m>1，则下列式子成立的有
A.f> B.f<-1
C.f> D.f<0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
√
根据题意，设g(x)=f(x)-mx，则g'(x)=f'(x)-m，又f'(x)>m>1，则g(x)在R上为增函数，因为m>1，所以0<<1，g>g(0)，即f-×m>f(0)，即f-1>-1，变形可得f>0，又m>1，则<0，必有f>，所以A正确，B错误；
因为m>1，所以>0，则有g>g(0)，即f->f(0)=-1，变形可得f>-1=，故C正确，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7.已知f(x)是定义在上的函数，其导函数为f'(x)，f=2，且当x∈时，f'(x)sin x+f(x)cos x>0，则不等式f(x)sin x<3的解集为
　　　　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
因为当x∈时，
f'(x)sin x+f(x)cos x>0，
所以[f(x)sin x]'>0，x∈，
令g(x)=f(x)sin x，
则当x∈时，g'(x)>0，g(x)在上单调递增，
因为f=2，所以g=fsin =3，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
不等式f(x)sin x<3，即g(x)因为g(x)在上单调递增，
所以原不等式的解集为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8.设函数f'(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f'(x)cos x-f(x)sin x
>0，若a=f，b=0，c=-f，则a，b，c的大小关系是　　　　.
a1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
设函数g(x)=f(x)cos x，
则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x，
因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0，所以g'(x)>0，
所以g(x)在(0，π)上单调递增，
a=f=fcos =g，
b=0=fcos =g，
c=-f=fcos =g，
所以a9.已知函数f(x)=(x∈R).
(1)求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由题意知，f(0)=0，f'(x)=，
所以切点坐标为(0，0)，斜率为f'(0)==1，所以所求切线方程为x-y=0.
(2)求证：当x∈[0，π]时，f(x)≤x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
f(x)≤x(x∈[0，π])，即xex-sin x≥0(x∈[0，π])，
令g(x)=xex-sin x，x∈[0，π]，则g'(x)=ex+xex-cos x，
令h(x)=ex+xex-cos x，x∈[0，π]，则h'(x)=2ex+xex+sin x>0在[0，π]上恒成立，
所以h(x)在[0，π]上单调递增，故h(x)≥h(0)=0，
所以g'(x)≥0在[0，π]上恒成立，即g(x)在[0，π]上单调递增，所以g(x)≥g(0)=0，
即xex-sin x≥0(x∈[0，π])，
综上，当x∈[0，π]时，f(x)≤x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10.已知函数f(x)=x2-2aln x+(a-2)x.
(1)当a=1时，求函数f(x)在[1，e]上的最小值和最大值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
当a=1时，f(x)=x2-2ln x-x.
则f'(x)=x--1=
=，x∈[1，e].
∴当x∈[1，2)时，f'(x)<0；
当x∈(2，e]时，f'(x)>0.
∴f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，e]上单调递增.
∴当x=2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)=-2ln 2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
又f(1)=-，f(e)=-e-2，f(e)-f(1)=-e-2+=<0，
∴f(e)1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>a？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
假设存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>a，
不妨设0∵>a，
∴f(x2)-ax2>f(x1)-ax1.
令g(x)=f(x)-ax，
则由此可知g(x)在(0，+∞)上单调递增，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
又g(x)=x2-2aln x+(a-2)x-ax
=x2-2aln x-2x，
则g'(x)=x--2=，
由此可得g'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，
只需-1-2a≥0，解得a≤-.
即a的取值范围是.
11.设f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，则当aA.f(x)g(x)>f(b)g(b)
B.f(x)g(b)>f(b)g(x)
C.f(x)g(a)>f(a)g(x)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
综合运用
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
设F(x)=，
则F'(x)=，
由f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，得F'(x)<0，所以F(x)在R上单调递减，因为af(b)g(x).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12.设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3f(x)+f'(x)>0，f(0)=1，则不等式f(x)>e-3x的解集是
A.(0，+∞) B.(1，+∞)
C.(-∞，0) D.(0，1)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
令g(x)=e3xf(x)，
则g'(x)=3e3xf(x)+e3xf'(x)，
因为3f(x)+f'(x)>0，所以3e3xf(x)+e3xf'(x)>0，所以g'(x)>0，
所以函数g(x)=e3xf(x)在R上是增函数，
又f(x)>e-3x可化为e3xf(x)>1，
且g(0)=e3×0f(0)=1，
所以g(x)>g(0)，解得x>0，
所以不等式f(x)>e-3x的解集是(0，+∞).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13.已知函数f(x)的定义域为，f'(x)是函数f(x)的导函数，f(x)-f(-x)
=0，且对于任意的x∈有f'(x)cos x+f(x)sin x>0.则下列不等式一定成立的是
A.ff
C.f(-1)f
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
令g(x)=，当x∈时，则g'(x)=>0，
故g(x)在上单调递增，
而f(x)-f(-x)=0，故g(-x)===g(x)，故g(x)是偶函数，
故g=g即<<=<<，故A正确，B，C，D错误.
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是　　　　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(-1，0)∪(1，+∞)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
令g(x)=(x≠0)，
则g'(x)=.
∵当x>0时，>0，
即g'(x)>0，∴g(x)在(0，+∞)上单调递增.
又f(1)=0，∴g(1)=f(1)=0，
∴在(0，+∞)上，g(x)>0的解集为(1，+∞)，g(x)<0的解集为(0，1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴在(-∞，0)上，g(x)>0的解集为(-∞，-1)，
g(x)<0的解集为(-1，0).
由x2f(x)>0，得f(x)>0(x≠0).
又f(x)>0的解集为(-1，0)∪(1，+∞)，
∴不等式x2f(x)>0的解集为(-1，0)∪(1，+∞).
15.已知函数f(x)=-ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
因为f(x)=-ln x，
所以f'(x)=--=-.
①当a≥0时，f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立，故f(x)在(0，+∞)上单调递减.
②当a<0时，由f'(x)>0，得0-a.
即f(x)在(0，-a)上单调递增，在(-a，+∞)上单调递减，
综上，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(0，-a)上单调递增，在(-a，+∞)上单调递减.
(2)若x1，x2是方程f(x)=2的两个不同实根，证明：x1+x2>.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
因为f(x1)=f(x2)=2，
所以-ln x1-2=0，-ln x2-2=0，
即x1ln x1+2x1-a=0，x2ln x2+2x2-a=0.
设g(x)=xln x+2x-a，则g'(x)=ln x+3，
故g(x)在上单调递增.
由题意设0欲证x1+x2>，只需证x2>-x1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
又x2，-x1∈，g(x)在上单调递增，故只需证g(x2)>g.
因为g(x1)=g(x2)，所以只需证g(x1)>g对任意的x1∈恒成立即可，
即x1ln x1+2x1-a>ln+2-a.
整理得x1ln x1+2x1>ln+-2x1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
即x1ln x1-ln+4x1->0.
设h(x)=xln x-ln+4x-，x∈，
则h'(x)=ln x+ln+6=ln+6.
因为0所以h'(x)=ln+6<0，所以h(x)在上单调递减，则h(x)>h=0.
所以x1+x2>成立.培优课　导数中的函数构造问题
［学习目标］　1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题.
一、利用f(x)与x构造
例1　已知f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<-xf'(x)，则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(　　)
A.(0，1) B.(2，+∞)
C.(1，2) D.(1，+∞)
延伸探究　把本例中的条件“f(x)<-xf'(x)”换为“f(x)(2x+1)f(x2+1).
反思感悟　用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有
(1)对于f'(x)>g'(x)，构造h(x)=f(x)-g(x).
(2)对于f'(x)+g'(x)>0，构造h(x)=f(x)+g(x).
(3)对于f'(x)>a，构造h(x)=f(x)-ax.
(4)对于xf'(x)+f(x)>0，构造h(x)=xf(x).
(5)对于xf'(x)-f(x)>0，构造h(x)=.
跟踪训练1　已知函数f(x)=xln x+x(x-a)2(a∈R).若存在x∈，使得f(x)>xf'(x)成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.(，+∞) D.(3，+∞)
二、利用f(x)与ex构造
例2　已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f'(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)+f'(x)>0，则(　　)
A.f(-2 024)f(0)
B.f(-2 024)C.f(-2 024)>f(0)，e2 024f(2 024)>f(0)
D.f(-2 024)>f(0)，e2 024f(2 024)延伸探究　把本例中的条件“f(x)+f'(x)>0”换为“f'(x)>f(x)”，比较e2 024f(-2 024)和f(0)的大小.
反思感悟　f(x)与ex构造常见的形式
(1)对于f'(x)+f(x)>0，构造h(x)=exf(x).
(2)对于f'(x)>f(x)，构造h(x)=.
跟踪训练2　(多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)
三、利用f(x)与sin x，cos x构造
例3　(多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(0)=0，f'(x)cos x+f(x)sin x<0，则下列判断中正确的是(　　)
A.f0
C.f>f D.f>f
反思感悟　f(x)与sin x，cos x构造常见的形式
(1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0，构造函数h(x)=f(x)sin x.
(2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0，构造函数h(x)=.
(3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0，构造函数h(x)=f(x)cos x.
(4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0，构造函数h(x)=.
跟踪训练3　已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，函数y=f(x)对于任意的x∈(0，π)，满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)
A.f>-f
B.f<-f
C.f>2f
D.f1.知识清单：
(1)几种常见的构造形式.
(2)掌握由导函数的结构形式构造原函数的方法.
2.方法归纳：构造法.
3.常见误区：不能正确构造出符合题意的函数.
1.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的可导函数，且满足xf'(x)+f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a)
2.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f'(x)<1，则f(x)>x-1的解集为(　　)
A.｛x|-2B.｛x|x<2｝
C.｛x|x<-2或x>2｝
D.｛x|x>2｝
3.若函数y=f(x)的定义域为R，对于 x∈R，f'(x)A.(2，+∞) B.(0，+∞)
C.(-∞，0) D.(-∞，2)
4.函数f(x)定义在上，f=，其导函数是f'(x)，且f(x)·cos x2sin x的解集为　　　　　　　　　　.
答案精析
例1　B　［构造函数y=xf(x)，
x∈(0，+∞)，
则y'=f(x)+xf'(x)<0，
所以函数y=xf(x)在(0，+∞)上单调递减.
又因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1)，
所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1)，
所以x+1且x2-1>0，x+1>0，
解得x>2，
所以不等式f(x+1)>(x-1)·f(x2-1)的解集是(2，+∞).］
延伸探究　解　设g(x)=，
则g'(x)=，
∵f(x)∴g'(x)>0，故g(x)在(0，+∞)上单调递增，
由(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)·f(x2+1)得，>，
即g(2x+1)>g(x2+1)，
所以解得0即不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)·f(x2+1)的解集为(0，2).
跟踪训练1　C　［由f(x)>xf'(x)，可得'=<0.
设g(x)==ln x+(x-a)2，
则存在x∈，
使得g'(x)=+2(x-a)<0成立，
即a>.
又x+≥2=，
当且仅当x=，即x=时取等号，所以a>.］
例2　A　［构造函数h(x)=exf(x)，
则h'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex［f(x)+f'(x)］>0，
所以函数h(x)在R上单调递增，
故h(-2 024)即f(-2 024)即f(-2 024)同理，h(2 024)>h(0)，
即e2 024f(2 024)>f(0).］
延伸探究　解　令g(x)=，
则g'(x)=，
因为对任意的x∈R，都有f'(x)>f(x)，
所以g'(x)>0，即g(x)在R上单调递增，所以g(-2 024)即<，
所以e2 024f(-2 024)跟踪训练2　AB　［令g(x)=，则g'(x)=<0，
所以g(x)在R上单调递减，
又ln 2>0，2>0，
所以g(ln 2)即<，<，
所以f(ln 2)<2f(0)，
f(2)例3　CD　［令g(x)=，
x∈，
则g'(x)=，
因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0，所以g'(x)=<0在上恒成立，因此函数g(x)=在上单调递减，
又<，所以g>g，
即>，
即f>f，故A错误；
又f(0)=0，所以g(0)==0，
所以g(x)=≤0在上恒成立，
因为ln∈，
所以f<0，故B错误；
又<，所以g>g，
所以>，
即f>f，故C正确；
又<，所以g>g，
所以>，
即f>f，故D正确.］
跟踪训练3　C　［由已知，得f(x)为奇函数，由函数y=f(x)对于任意的x∈(0，π)，满足f'(x)sin x>f(x)cos x，得f'(x)sin x-f(x)cos x>0，令g(x)=，
则g'(x)=，
当x∈(0，π)时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0，π)上单调递增.
对于A，>，
即f>f，
所以f=-f<-f，故A错误；
对于B，>，
即f>f=-f，故B错误；
对于C，<，
即f>2f，故C正确；
对于D，>，
即f>f，故D错误.］
随堂演练
1.A　2.B　3.B　4.同步练习30　导数中的函数构造问题
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f'（x）<，则f（x）<+的解集为（　　）
A.｛x|-1C.｛x|x<-1或x>1｝ D.｛x|x>1｝
2.设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（　　）
A.（-∞，-1）∪（0，1）
B.（-1，0）∪（1，+∞）
C.（-∞，-1）∪（-1，0）
D.（0，1）∪（1，+∞）
3.已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）+13ex的解集为（　　）
A.（1，+∞） B.（-∞，1）
C.（0，+∞） D.（-∞，0）
4.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）<-f'（x），则下列式子成立的是（　　）
A.f（2 024）>ef（2 025）
B.f（2 024）C.ef（2 024）>f（2 025）
D.ef（2 024）5.定义域为的函数f（x）满足f（x）+f（-x）=0，其导函数为f'（x），当0≤x<时，有f'（x）cos x+f（x）sin x<0成立，则关于x的不等式f（x）A.∪
B.
C.∪
D.∪
6.（多选）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f'（x）满足f'（x）>m>1，则下列式子成立的有（　　）
A.f> B.f<-1
C.f> D.f<0
7.（5分）已知f（x）是定义在上的函数，其导函数为f'（x），f=2，且当x∈时，f'（x）sin x+f（x）cos x>0，则不等式f（x）sin x<3的解集为　　　　.
8.（5分）设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f'（x）cos x-f（x）sin x>0，若a=f，b=0，c=-f，则a，b，c的大小关系是　　　　　　　.
9.（12分）已知函数f（x）=（x∈R）.
（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（5分）
（2）求证：当x∈［0，π］时，f（x）≤x.（7分）
10.（13分）已知函数f（x）=x2-2aln x+（a-2）x.
（1）当a=1时，求函数f（x）在［1，e］上的最小值和最大值；（5分）
（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有>a？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.（8分）
11.设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f'（x）g（x）-f（x）g'（x）<0，则当aA.f（x）g（x）>f（b）g（b）
B.f（x）g（b）>f（b）g（x）
C.f（x）g（a）>f（a）g（x）
D.f（x）g（x）>f（a）g（a）
12.设函数f（x）的定义域为R，f'（x）是其导函数，若3f（x）+f'（x）>0，f（0）=1，则不等式f（x）>e-3x的解集是（　　）
A.（0，+∞） B.（1，+∞）
C.（-∞，0） D.（0，1）
13.已知函数f（x）的定义域为，f'（x）是函数f（x）的导函数，f（x）-f（-x）=0，且对于任意的x∈有f'（x）cos x+f（x）sin x>0.则下列不等式一定成立的是（　　）
A.fB.f>f
C.f（-1）D.f>f
14.（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x>0时，有>0，则不等式x2f（x）>0的解集是　　　　　　　　.
15.（14分）已知函数f（x）=-ln x（a∈R）.
（1）讨论f（x）的单调性；（5分）
（2）若x1，x2是方程f（x）=2的两个不同实根，证明：x1+x2>.（9分）
答案精析
1.D　2.A　3.C　4.A
5.B　［∵f(x)+f(-x)=0
且x∈，
∴f(x)是奇函数，
设g(x)=，则当0≤x<时，g'(x)=<0，
∴g(x)在上单调递减.
又f(x)是奇函数，
∴g(x)=也是奇函数，
∴g(x)在上单调递减，
从而g(x)在上单调递减，
∵不等式f(x)∴<，
即g(x)6.AC　［根据题意，设g(x)=f(x)-mx，则g'(x)=f'(x)-m，又f'(x)>m>1，则g(x)在R上为增函数，因为m>1，所以0<<1，g>g(0)，即f-×m>f(0)，即f-1>-1，变形可得f>0，又m>1，则<0，必有f>，所以A正确，B错误；因为m>1，所以>0，则有g>g(0)，即f->f(0)=-1，变形可得f>-1=，故C正确，D错误.］
7.
解析　因为当x∈时，
f'(x)sin x+f(x)cos x>0，
所以［f(x)sin x］'>0，x∈，
令g(x)=f(x)sin x，
则当x∈时，g'(x)>0，
g(x)在上单调递增，
因为f=2，
所以g=fsin=3，
不等式f(x)sin x<3，
即g(x)因为g(x)在上单调递增，
所以原不等式的解集为
.
8.a解析　设函数g(x)=f(x)cos x，
则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x，
因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0，所以g'(x)>0，
所以g(x)在(0，π)上单调递增，
a=f=fcos
=g，
b=0=fcos=g，
c=-f=fcos
=g，
所以a9.(1)解　由题意知，f(0)=0，
f'(x)=，
所以切点坐标为(0，0)，
斜率为f'(0)==1，
所以所求切线方程为x-y=0.
(2)证明　f(x)≤x(x∈［0，π］)，
即xex-sin x≥0(x∈［0，π］)，
令g(x)=xex-sin x，x∈［0，π］，
则g'(x)=ex+xex-cos x，
令h(x)=ex+xex-cos x，x∈［0，π］，则h'(x)=2ex+xex+sin x>0在［0，π］上恒成立，
所以h(x)在［0，π］上单调递增，故h(x)≥h(0)=0，
所以g'(x)≥0在［0，π］上恒成立，即g(x)在［0，π］上单调递增，
所以g(x)≥g(0)=0，
即xex-sin x≥0(x∈［0，π］)，
综上，当x∈［0，π］时，f(x)≤x.
10.解　(1)当a=1时，
f(x)=x2-2ln x-x.
则f'(x)=x--1=
=，x∈［1，e］.
∴当x∈［1，2)时，f'(x)<0；
当x∈(2，e］时，f'(x)>0.
∴f(x)在［1，2)上单调递减，在(2，e］上单调递增.
∴当x=2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)=-2ln 2.
又f(1)=-，f(e)=-e-2，
f(e)-f(1)=-e-2+=<0，
∴f(e)∴f(x)max=f(1)=-.
(2)假设存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，
都有>a，
不妨设0∵>a，
∴f(x2)-ax2>f(x1)-ax1.
令g(x)=f(x)-ax，
则由此可知g(x)在(0，+∞)上单调递增，
又g(x)=x2-2aln x+(a-2)x-ax
=x2-2aln x-2x，
则g'(x)=x--2
=，
由此可得g'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，
只需-1-2a≥0，解得a≤-.
即a的取值范围是.
11.B　［设F(x)=，
则F'(x)=，
由f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，得F'(x)<0，所以F(x)在R上单调递减，因为af(b)g(x).］
12.A　［令g(x)=e3xf(x)，
则g'(x)=3e3xf(x)+e3xf'(x)，
因为3f(x)+f'(x)>0，
所以3e3xf(x)+e3xf'(x)>0，
所以g'(x)>0，
所以函数g(x)=e3xf(x)在R上是增函数，
又f(x)>e-3x可化为e3xf(x)>1，
且g(0)=e3×0f(0)=1，
所以g(x)>g(0)，解得x>0，
所以不等式f(x)>e-3x的解集是(0，+∞).］
13.A　［令g(x)=，
当x∈时，
则g'(x)=>0，
故g(x)在上单调递增，
而f(x)-f(-x)=0，故g(-x)===g(x)，故g(x)是偶函数，
故g=g即<<=<<，故A正确，B，C，D错误.］
14.(-1，0)∪(1，+∞)
解析　令g(x)=(x≠0)，
则g'(x)=.
∵当x>0时，>0，
即g'(x)>0，
∴g(x)在(0，+∞)上单调递增.
又f(1)=0，∴g(1)=f(1)=0，
∴在(0，+∞)上，g(x)>0的解集为(1，+∞)，g(x)<0的解集为(0，1).
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴在(-∞，0)上，g(x)>0的解集为(-∞，-1)，
g(x)<0的解集为(-1，0).
由x2f(x)>0，得f(x)>0(x≠0).
又f(x)>0的解集为
(-1，0)∪(1，+∞)，
∴不等式x2f(x)>0的解集为(-1，0)∪(1，+∞).
15.(1)解　因为f(x)=-ln x，
所以f'(x)=--=-.
①当a≥0时，f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立，故f(x)在(0，+∞)上单调递减.
②当a<0时，由f'(x)>0，得0-a.
即f(x)在(0，-a)上单调递增，在(-a，+∞)上单调递减，
综上，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(0，-a)上单调递增，在(-a，+∞)上单调递减.
(2)证明　因为f(x1)=f(x2)=2，
所以-ln x1-2=0，-ln x2-2=0，
即x1ln x1+2x1-a=0，x2ln x2+2x2-a=0.
设g(x)=xln x+2x-a，则g'(x)=ln x+3，
故g(x)在上单调递减，在上单调递增.
由题意设0欲证x1+x2>，
只需证x2>-x1，
又x2，-x1∈，g(x)在上单调递增，故只需证g(x2)>g.
因为g(x1)=g(x2)，所以只需证g(x1)>g对任意的x1∈恒成立即可，
即x1ln x1+2x1-a>
ln+2-a.
整理得x1ln x1+2x1>
ln+-2x1，
即x1ln x1-ln+4x1->0.
设h(x)=xln x-ln+4x-，x∈，
则h'(x)=ln x+ln+6
=ln+6.
因为0所以0<-x2<，
所以h'(x)=ln+6<0，
所以h(x)在上单调递减，
则h(x)>h=0.
所以x1+x2>成立.

展开更多......

收起↑