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第1课时　数列的概念及通项公式
［学习目标］　1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项，并能正确判断某数值是否为已知数列的项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
导语
有人说，大自然是懂数学的，不知道你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？通过本节课的学习，这些问题都会得到解决.
一、数列的概念与分类
问题1　观察以下几列数：
（1）古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807；
（2）战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…；
（3）从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 024，2 024，…，2 024；
（4）小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…；
（5）-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：-，，-，，…；
你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：（1）（3）项数有限，（2）（4）（5）项数无限；从项的变化上来看：（1）每一项在依次变大，（2）每一项在依次变小，（3）项没有发生变化，（4）项呈现周期性的变化，（5）项的大小交替变化.
知识梳理
1.一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
2. 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为｛an｝.
3.数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
周期数列 项呈现周期性变化
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
注意点：
（1）如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列.
（2）同一个数可以在数列中重复出现.
（3）｛an｝表示一个数列，an表示数列中的第n项.
例1　下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？
（1）1，0.84，0.842，0.843，…；
（2）2，4，6，8，10，…；
（3）7，7，7，7，…；
（4），，，，…；
（5）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
（6）0，-1，2，-3，4，-5，….
解　（5）是有穷数列；（1）（2）（3）（4）（6）是无穷数列；（2）是递增数列；（1）（4）（5）是递减数列；（3）是常数列；（6）是摆动数列.
反思感悟　（1）判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.
（2）判断数列的单调递增或递减时，一定要按照数列单调性的定义，即从第二项起，每一项均大于或小于它的前一项，不能有例外.
跟踪训练1　下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？
（1）2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2024；
（2）0，，，…，，…；
（3）1，，，…，，…；
（4）-，，-，，…；
（5）1，0，-1，…，sin ，…；
（6）9，9，9，9，9，9.
解　（1）（6）是有穷数列；（2）（3）（4）（5）是无穷数列；（1）（2）是递增数列；（3）是递减数列；（6）是常数列；（5）是周期数列.
二、数列的通项公式
问题2　我们发现问题1中的（1）（2）（3）（5），项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
提示　对于（1），a1=7，a2=7×7=72，a3=7×7×7=73，…，于是an=7n，n∈；
对于（2），an=，n∈N*；
对于（3），an=2 024，n∈｛x|x是本班学生的学号｝；
对于（5），an=，n∈N*.
知识梳理
1.如果数列｛an｝的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
2.通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为正整数的函数.
注意点：
（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*（或它的有限子集）为定义域的函数表达式.
（2）并不是所有的数列都有通项公式.
（3）有些数列的通项公式，表达形式不唯一.数列还可以用列表法、图象法表示.
例2　根据数列｛an｝的通项公式，写出数列｛an｝的前5项，并作出它们的图象.
（1）an=（-1）n+2；
（2）an=.
解　（1）数列｛an｝的前5项依次是1，3，1，3，1，图象如图① 所示.
（2）数列｛an｝的前5项依次是2，，，，，图象如图② 所示.
反思感悟　数列｛an｝的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列中相应的项.
例3　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）-1，，-，；
（2），2，，8；
（3）0，1，0，1；
（4）9，99，999，9 999.
解　（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an=，n∈N*.
（2）数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…，
所以它的一个通项公式为an=，n∈N*.
（3）这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an=由第（1）题也可以写成an=（n∈N*）或an=（n∈N*）.
（4）各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1，n∈N*.
延伸探究　
根据本例中的第（4）题，试解决以下2个问题：
1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式.
解　由本例的第（4）题可知，每一项除以9即可，即an=（10n-1），n∈N*.
2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式.
解　由本例的第（4）题可知，每一项乘即可，
即an=（10n-1），n∈N*.
反思感悟　根据数列的前几项求通项公式的解题思路
（1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式.
（3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（-1）n或（-1）n+1处理符号.有时也可用分段形式.
（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
跟踪训练2　写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：
（1）1，3，7，15，31，…；
（2），，，，，…；
（3）-，，-，，-，…；
（4）2×3，3×4，4×5，5×6，….
解　（1）由1=2-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，…
可得an=2n-1.
（2）由=，=，=，=，=，…
可得an=.
（3）由-，，-，，-，…可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得an=（-1）n×.
（4）由2×3=×，3×4=×，4×5=×，5×6=×，…
可得an=（n+1）（n+2）.
三、数列通项公式的简单应用
例4　已知数列｛an｝的通项公式是an=2n2-n，n∈N*.
（1）写出数列的前3项；
（2）判断45是否为数列｛an｝中的项，3是否为数列｛an｝中的项.
解　（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，可得｛an｝的前3项分别为1，6，15.
（2）令2n2-n=45，得2n2-n-45=0，解得n=5或n=-（舍去），故45是数列｛an｝中的第5项.
令2n2-n=3，得2n2-n-3=0，解得n=-1或n=，故3不是数列｛an｝中的项.
反思感悟　（1）利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
（2）判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则该数值是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是该数列的一项.
跟踪训练3　已知数列｛an｝的通项公式为an=qn，n∈N*，且a4-a2=72.
（1）求实数q的值；
（2）判断-81是否为此数列中的项.
解　（1）由题意知q4-q2=72，
则q2=9或q2=-8（舍去），
∴q=±3.
（2）当q=3时，an=3n.
显然-81不是此数列中的项；
当q=-3时，an=（-3）n.
令（-3）n=-81，无解，
∴-81不是此数列中的项.
1.知识清单：
（1）数列的概念与分类.
（2）数列的通项公式.
（3）数列通项公式的简单应用.
2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法.
3.常见误区：
（1）归纳法求数列的通项公式时归纳不全面.
（2）不注意用（-1）n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
1.下列说法正确的是（　　）
A.数列中不能重复出现同一个数
B.1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C.1，1，1，1不是数列
D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
答案　D
解析　由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A，C不正确；
B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确.
2.数列，-，，-，…的通项公式可能是（　　）
A.an=（-1）n B.an=（-1）n-1
C.an=（-1）n D.an=（-1）n-1
答案　D
解析　方法一　将n=1，2，3，4代入各选项验证易得答案.
方法二　将数列，-，，-，…变为，-，，-，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n+2，再结合正负的调节，可知其通项公式为an=（-1）n-1.
3.在数列｛an｝中，an=，则｛an｝（　　）
A.是常数列 B.不是单调数列
C.是递增数列 D.是递减数列
答案　D
解析　在数列｛an｝中，an==1+，
由反比例函数的性质得｛an｝是递减数列.
4.323是数列｛n（n+2）｝的第　　　　项.
答案　17
解析　由an=n2+2n=323，解得n=17（负值舍去）.∴323是数列｛n（n+2）｝的第17项.
课时对点练　［分值：100分］
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.数列可以用图象来表示
B.数列的通项公式不唯一
C.数列中的项不能相等
D.数列可以用一群孤立的点表示
答案　ABD
解析　数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确.
2.已知数列an=，则数列是（　　）
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
答案　C
解析　因为an=，所以该数列中的项为-，，-，，…，故该数列是摆动数列.
3.已知数列｛an｝的通项公式为an=（-1）n（n2-1），则a6等于（　　）
A.35 B.-11
C.-35 D.11
答案　A
4.数列-1，3，-7，15，…的一个通项公式可以是（　　）
A.an=（-1）n·（2n-1），n∈N*
B.an=（-1）n·（2n-1），n∈N*
C.an=（-1）n+1·（2n-1），n∈N*
D.an=（-1）n+1·（2n-1），n∈N*
答案　A
解析　数列各项正、负交替，故可用（-1）n来调节，又1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，所以通项公式为an=（-1）n·（2n-1），n∈N*.
5.数列，，，，…的第10项是（　　）
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意知数列的通项公式是an=（n∈N*），所以a10==.
6.删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2 020项是（　　）
A.2 072 B.2 073
C.2 074 D.2 075
答案　C
解析　因为452=2 025，462=2 116，2 020<2 025，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉45个平方数，因为123=1 728<2 025<133=2 197，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉12个立方数，又36<2 025<46，所以在数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中有3个数既是平方数，又是立方数，重复去掉了3个既是平方数，又是立方数的数，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉平方数和立方数后还有2 025-45-12+3=1 971（项），此时距第2 020项还差2 020-1 971=49（项），所以这个数列的第2 020项是2 025+49=2 074.
7.（5分）已知数列｛an｝的通项公式为an=，则a10=　　　　，若an=，则n=　　　　.
答案　　12
解析　∵an=，∴a10==.
由an==，得n2+2n-168=0，
解得n=12或n=-14（舍去）.
8.（5分）在数列｛an｝中，若an=则a4+a5的值为　　　　　.
答案　17
解析　依题意，a4+a5=23+（2×5-1）=17.
9.（10分）写出下列各数列的一个通项公式：
（1）4，6，8，10，…；（2分）
（2），，，，…；（2分）
（3）0.3，0.33，0.333，0.333 3，…；（3分）
（4）-1，，-，，….（3分）
解　（1）各项是从4开始的偶数，
所以an=2n+2，n∈N*.
（2）每一项分母可写成21，22，23，24，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an=，n∈N*.
（3）因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1-，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，
所以an=，n∈N*.
（4）通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择（-1）n.又第1项可改写成分数-，则每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成（2n+1）的形式.分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，…，可写成n（n+2）的形式.所以此数列的一个通项公式为an=（-1）n·，n∈N*.
10.（12分）已知数列｛an｝中，a1=3，a10=21，an是关于项数n的一次函数.
（1）求｛an｝的通项公式，并求a2 024；（6分）
（2）若｛bn｝是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试归纳｛bn｝的一个通项公式.（6分）
解　（1）设an=kn+b（k≠0），
则解得
∴an=2n+1（n∈N*），∴a2 024=4 049.
（2）∵a2，a4，a6，a8，…为5，9，13，17，…，
∴bn=4n+1.
11.设an=++++…+（n∈N*），则a2等于（　　）
A. B.+
C.++ D.+++
答案　C
解析　∵an=++++…+（n∈N*），∴a2=++.
12.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为（　　）
A.6 B.7
C.64 D.65
答案　B
解析　由按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1是1个，2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个，
因为1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28，所以该数列的第22项为7.
13.已知数列｛an｝的通项公式为an=3n+1，数列｛bn｝的通项公式为bn=n2，若将数列｛an｝，｛bn｝中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列｛cn｝，则484是数列｛cn｝中的第（　　）
A.12项 B.13项
C.14项 D.15项
答案　C
解析　设am=bk，则3m+1=k2，可得m=，
则k+1为3的倍数或k-1为3的倍数，
设k+1=3t或k-1=3r，则k=3t-1或k=3r+1，
故｛cn｝的奇数项项数为t，偶数项项数为r，
又484=222，由3t-1=22，解得t=（舍去），
由3r+1=22，解得r=7，所以484是数列｛cn｝中的第14项.
14.（5分）已知数列｛an｝为递增数列，an=n2-λn+3，则λ的取值范围是　　　　.
答案　（-∞，3）
解析　因为数列｛an｝是递增数列，所以an+1>an，所以（n+1）2-λ（n+1）+3>n2-λn+3，化为λ<2n+1恒成立，因为n≥1且n∈Z，则2n+1≥3，所以λ<3.
15.（5分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1），（2），（3），（4）为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（6）=　　　　.
答案　61
解析　f（1）=1=2×1×0+1，
f（2）=1+3+1=2×2×1+1，
f（3）=1+3+5+3+1=2×3×2+1，
f（4）=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1，
故f（n）=2n（n-1）+1.
当n=6时，f（6）=2×6×5+1=61.
16.（12分）已知数列｛an｝的通项公式an=，n∈N*.
（1）写出它的第10项；（3分）
（2）判断是不是该数列中的项；（4分）
（3）求an+1及a2n.（5分）
解　（1）a10===.
（2）令an==，
当n为偶数时，=，整理得8n2-33n-35=0，
解得n=-或n=5，因为n∈N*且n为偶数，所以原方程无解；
当n为奇数时，∵n∈N*，∴an<0，
∴不是该数列中的项.
综上所述，不是该数列中的项.
（3）an+1=
=；
a2n==.(共72张PPT)
第1课时
第四章
<<<
数列的概念及通项公式
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.
3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项，并能正确判断某数值是否为已知数列的项.
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
学习目标
有人说，大自然是懂数学的，不知道你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？通过本节课的学习，这些问题都会得到解决.
导 语
一、数列的概念与分类
二、数列的通项公式
课时对点练
三、数列通项公式的简单应用
随堂演练
内容索引
一
数列的概念与分类
观察以下几列数：
(1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：
7，49，343，2 401，16 807；
(2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…；
(3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 024，2 024，…，2 024；
问题1
(4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…；
(5)-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：-，，-，，…；
你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
问题1
提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化.
1.一般地，我们把按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第
项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 表示.其中第1项也叫做 .
2. 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为 .
确定的顺序
项
1
2
an
首项
{an}
3.数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
按项的变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
常数列 各项都 的数列
周期数列 项呈现周期性变化
摆动数列 从第2项起，有些项 它的前一项，有些项
它的前一项
有限
无限
大于
小于
相等
大于
小于
(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列.
(2)同一个数可以在数列中重复出现.
(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项.
注 意 点
<<<
下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？
(1)1，0.84，0.842，0.843，…；
(2)2，4，6，8，10，…；
(3)7，7，7，7，…；
(4)，，，，…；
(5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
(6)0，-1，2，-3，4，-5，….
例 1
(5)是有穷数列；
(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；
(2)是递增数列；
(1)(4)(5)是递减数列；
(3)是常数列；
(6)是摆动数列.
反
思
感
悟
(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.
(2)判断数列的单调递增或递减时，一定要按照数列单调性的定义，即从第二项起，每一项均大于或小于它的前一项，不能有例外.
下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？
(1)2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2024；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)-，，-，，…；
(5)1，0，-1，…，sin ，…；
(6)9，9，9，9，9，9.
跟踪训练 1
(1)(6)是有穷数列；
(2)(3)(4)(5)是无穷数列；
(1)(2)是递增数列；
(3)是递减数列；
(6)是常数列；
(5)是周期数列.
二
数列的通项公式
提示　对于(1)，a1=7，a2=7×7=72，a3=7×7×7=73，…，于是an=7n，n∈；
对于(2)，an=，n∈N*；
对于(3)，an=2 024，n∈{x|x是本班学生的学号}；
对于(5)，an=，n∈N*.
我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
问题2
1.如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 .
2.通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为正整数的函数.
序号n
通项公式
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数表达式.
(2)并不是所有的数列都有通项公式.
(3)有些数列的通项公式，表达形式不唯一.数列还可以用列表法、图象法表示.
注 意 点
<<<
根据数列{an}的通项公式，写出数列{an}的前5项，并作出它们的图象.
(1)an=(-1)n+2；
例 2
数列{an}的前5项依次是1，3，1，3，1，图象如图①所示.
(2)an=.
数列{an}的前5项依次是2，，图象如图②所示.
反
思
感
悟
数列{an}的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列中相应的项.
写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)-1，，-，；
例 3
这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an=，n∈N*.
(2)，2，，8；
数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…，
所以它的一个通项公式为an=，n∈N*.
(3)0，1，0，1；
这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，
所以通项公式可以写成an=
由第(1)题也可以写成an=(n∈N*)或an=(n∈N*).
(4)9，99，999，9 999.
各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1，n∈N*.
根据本例中的第(4)题，试解决以下2个问题：
1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式.
延伸探究
由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，即an=(10n-1)，n∈N*.
2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式.
由本例的第(4)题可知，每一项乘即可，
即an=(10n-1)，n∈N*.
反
思
感
悟
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式.
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)n或(-1)n+1处理符号.有时也可用分段形式.
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：
(1)1，3，7，15，31，…；
跟踪训练 2
由1=2-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，…
可得an=2n-1.
(2)，，，，，…；
由=====，…
可得an=.
(3)-，，-，，-，…；
由-，-，-，…可知奇数项为负数，偶数项为正数，可得an=(-1)n×.
(4)2×3，3×4，4×5，5×6，….
由2×3=×，3×4=×，4×5=×
，5×6=×，…
可得an=(n+1)(n+2).
三
数列通项公式的简单应用
已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，n∈N*.
(1)写出数列的前3项；
例 4
在通项公式中依次取n=1，2，3，可得{an}的前3项分别为1，6，15.
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项.
令2n2-n=45，得2n2-n-45=0，解得n=5或n=-(舍去)，故45是数列{an}中的第5项.
令2n2-n=3，得2n2-n-3=0，解得n=-1或n=，故3不是数列{an}中的项.
反
思
感
悟
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则该数值是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是该数列的一项.
已知数列{an}的通项公式为an=qn，n∈N*，且a4-a2=72.
(1)求实数q的值；
跟踪训练 3
由题意知q4-q2=72，
则q2=9或q2=-8(舍去)，
∴q=±3.
(2)判断-81是否为此数列中的项.
当q=3时，an=3n.
显然-81不是此数列中的项；
当q=-3时，an=(-3)n.
令(-3)n=-81，无解，
∴-81不是此数列中的项.
1.知识清单：
(1)数列的概念与分类.
(2)数列的通项公式.
(3)数列通项公式的简单应用.
2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法.
3.常见误区：
(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面.
(2)不注意用(-1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
随堂演练
四
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1.下列说法正确的是
A.数列中不能重复出现同一个数
B.1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C.1，1，1，1不是数列
D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
√
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由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A，C不正确；
B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；
由数列的定义可知，D正确.
2.数列，-，，-，…的通项公式可能是
A.an=(-1)n B.an=(-1)n-1
C.an=(-1)n D.an=(-1)n-1
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√
方法一　将n=1，2，3，4代入各选项验证易得答案.
方法二　将数列，-，-，…变为，-，-，…，从而可知分子的规律为n，分母的规律为n+2，再结合正负的调节，可知其通项公式为an=(-1)n-1.
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3.在数列{an}中，an=，则{an}
A.是常数列 B.不是单调数列
C.是递增数列 D.是递减数列
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√
在数列{an}中，an==1+，
由反比例函数的性质得{an}是递减数列.
4.323是数列{n(n+2)}的第　　　项.
由an=n2+2n=323，解得n=17(负值舍去).
∴323是数列{n(n+2)}的第17项.
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课时对点练
五
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基础巩固
1.(多选)下列说法正确的是
A.数列可以用图象来表示
B.数列的通项公式不唯一
C.数列中的项不能相等
D.数列可以用一群孤立的点表示
√
√
数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确.
√
2.已知数列an=，则数列是
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
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√
因为an=，所以该数列中的项为-，-，…，故该数列是摆动数列.
3.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(n2-1)，则a6等于
A.35 B.-11
C.-35 D.11
√
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4.数列-1，3，-7，15，…的一个通项公式可以是
A.an=(-1)n·(2n-1)，n∈N*
B.an=(-1)n·(2n-1)，n∈N*
C.an=(-1)n+1·(2n-1)，n∈N*
D.an=(-1)n+1·(2n-1)，n∈N*
√
数列各项正、负交替，故可用(-1)n来调节，又1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，所以通项公式为an=(-1)n·(2n-1)，n∈N*.
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5.数列，，，，…的第10项是
A. B.
C. D.
√
由题意知数列的通项公式是an=(n∈N*)，所以a10==.
6.删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数(如4，8)，得到一个新数列，则这个数列的第2 020项是
A.2 072 B.2 073
C.2 074 D.2 075
√
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因为452=2 025，462=2 116，2 020<2 025，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉45个平方数，因为123=1 728<2 025<133=2 197，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉12个立方数，又36<2 025<46，所以在数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中有3个数既是平方数，又是立方数，重复去掉了3个既是平方数，又是立方数的数，所以从数列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉平方数和立方数后还有2 025-45-12+3=1 971(项)，此时距第2 020项还差2 020-1 971=49(项)，所以这个数列的第2 020项是2 025+49=2 074.
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7.已知数列{an}的通项公式为an=，则a10=　　　，若an=，则n=　　　.
∵an=，∴a10==.
由an==，得n2+2n-168=0，
解得n=12或n=-14(舍去).
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8.在数列{an}中，若an= 则a4+a5的值为　　　.
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依题意，a4+a5=23+(2×5-1)=17.
9.写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4，6，8，10，…；
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各项是从4开始的偶数，
所以an=2n+2，n∈N*.
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(2)，，，，…；
每一项分母可写成21，22，23，24，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an=，n∈N*.
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(3)0.3，0.33，0.333，0.333 3，…；
因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1-，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，
所以an=，n∈N*.
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(4)-1，，-，，….
通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(-1)n.
又第1项可改写成分数-，则每一项的分母依次为3，5，7，9，…，
可写成(2n+1)的形式.分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，…，可写成n(n+2)的形式.
所以此数列的一个通项公式为an=(-1)n·，n∈N*.
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10.已知数列{an}中，a1=3，a10=21，an是关于项数n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式，并求a2 024；
设an=kn+b(k≠0)，
则
∴an=2n+1(n∈N*)，∴a2 024=4 049.
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(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试归纳{bn}的一个通项公式.
∵a2，a4，a6，a8，…为5，9，13，17，…，
∴bn=4n+1.
11.设an=++++…+(n∈N*)，则a2等于
A. B.+
C.++ D.+++
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综合运用
√
∵an=++++…+(n∈N*)，∴a2=++.
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12.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为
A.6　　B.7　　　C.64　　　D.65
√
由按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1是1个，2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个，
因为1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28，
所以该数列的第22项为7.
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13.已知数列{an}的通项公式为an=3n+1，数列{bn}的通项公式为bn=n2，若将数列{an}，{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn}，则484是数列{cn}中的第
A.12项 B.13项
C.14项 D.15项
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设am=bk，则3m+1=k2，可得m=，
则k+1为3的倍数或k-1为3的倍数，
设k+1=3t或k-1=3r，则k=3t-1或k=3r+1，
故{cn}的奇数项项数为t，偶数项项数为r，
又484=222，由3t-1=22，解得t=(舍去)，
由3r+1=22，解得r=7，所以484是数列{cn}中的第14项.
14.已知数列{an}为递增数列，an=n2-λn+3，则λ的取值范围是　　　　.
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(-∞，3)
因为数列{an}是递增数列，所以an+1>an，
所以(n+1)2-λ(n+1)+3>n2-λn+3，化为λ<2n+1恒成立，
因为n≥1且n∈Z，则2n+1≥3，所以λ<3.
15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)=　　　　.
拓广探究
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f(1)=1=2×1×0+1，
f(2)=1+3+1=2×2×1+1，
f(3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1，
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1，
故f(n)=2n(n-1)+1.
当n=6时，f(6)=2×6×5+1=61.
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16.已知数列{an}的通项公式an=，n∈N*.
(1)写出它的第10项；
a10===.
(2)判断是不是该数列中的项；
令an==，
当n为偶数时，=，整理得8n2-33n-35=0，
解得n=-或n=5，因为n∈N*且n为偶数，所以原方程无解；
当n为奇数时，∵n∈N*，∴an<0，∴不是该数列中的项.
综上所述，不是该数列中的项.
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(3)求an+1及a2n.
an+1==；
a2n==.第1课时　数列的概念及通项公式
［学习目标］　1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项，并能正确判断某数值是否为已知数列的项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
一、数列的概念与分类
问题1　观察以下几列数：
(1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807；
(2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…；
(3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 024，2 024，…，2 024；
(4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…；
(5)-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：-，，-，，…；
你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
知识梳理
1.一般地，我们把按照　　　　　　　　排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的　　　　.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第　　　　项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第　　　　项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用　　　　表示.其中第1项也叫做　　　　.
2. 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为　　　　　　　　　.
3.数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的 个数 有穷数列 项数　　　　的数列
无穷数列 项数　　　　的数列
按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都　　　　它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都　　　　它的前一项的数列
常数列 各项都　　　　的数列
周期数列 项呈现周期性变化
摆动数列 从第2项起，有些项　　　　它的前一项，有些项　　　它的前一项
例1　下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？
(1)1，0.84，0.842，0.843，…；
(2)2，4，6，8，10，…；
(3)7，7，7，7，…；
(4)，，，，…；
(5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
(6)0，-1，2，-3，4，-5，….
反思感悟　(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.
(2)判断数列的单调递增或递减时，一定要按照数列单调性的定义，即从第二项起，每一项均大于或小于它的前一项，不能有例外.
跟踪训练1　下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？
(1)2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2024；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)-，，-，，…；
(5)1，0，-1，…，sin ，…；
(6)9，9，9，9，9，9.
二、数列的通项公式
问题2　我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
知识梳理
1.如果数列｛an｝的第n项an与它的　　　　之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的　　　　　　.
2.通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为正整数的函数.
例2　根据数列｛an｝的通项公式，写出数列｛an｝的前5项，并作出它们的图象.
(1)an=(-1)n+2；
(2)an=.
例3　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)-1，，-，；
(2)，2，，8；
(3)0，1，0，1；
(4)9，99，999，9 999.
延伸探究　
根据本例中的第(4)题，试解决以下2个问题：
1.试写出前4项为1，11，111，1 111的一个通项公式.
2.试写出前4项为7，77，777，7 777的一个通项公式.
反思感悟　根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.有时也可以通过探求各部分间的关系来归纳通项公式.
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)n或(-1)n+1处理符号.有时也可用分段形式.
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
跟踪训练2　写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)，，，，，…；
(3)-，，-，，-，…；
(4)2×3，3×4，4×5，5×6，….
三、数列通项公式的简单应用
例4　已知数列｛an｝的通项公式是an=2n2-n，n∈N*.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为数列｛an｝中的项，3是否为数列｛an｝中的项.
反思感悟　(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则该数值是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是该数列的一项.
跟踪训练3　已知数列｛an｝的通项公式为an=qn，n∈N*，且a4-a2=72.
(1)求实数q的值；
(2)判断-81是否为此数列中的项.
1.知识清单：
(1)数列的概念与分类.
(2)数列的通项公式.
(3)数列通项公式的简单应用.
2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法.
3.常见误区：
(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面.
(2)不注意用(-1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
1.下列说法正确的是(　　)
A.数列中不能重复出现同一个数
B.1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C.1，1，1，1不是数列
D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
2.数列，-，，-，…的通项公式可能是(　　)
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n-1
C.an=(-1)n
D.an=(-1)n-1
3.在数列｛an｝中，an=，则｛an｝(　　)
A.是常数列 B.不是单调数列
C.是递增数列 D.是递减数列
4.323是数列｛n(n+2)｝的第　　　　项.
答案精析
问题1　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化.
知识梳理
1.确定的顺序　项　1　2　an　首项
2. ｛an｝
3.有限　无限　大于　小于　相等
大于　小于
例1　解　(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列.
跟踪训练1　解　(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列.
问题2　对于(1)，a1=7，a2=7×7=72，a3=7×7×7=73，…，
于是an=7n，n∈；
对于(2)，an=，n∈N*；
对于(3)，an=2 024，n∈｛x|x是本班学生的学号｝；
对于(5)，an=，n∈N*.
知识梳理
1.序号n　通项公式　
例2　解　(1)数列｛an｝的前5项依次是1，3，1，3，1，图象如图①所示.
(2)数列｛an｝的前5项依次是2，，，，，图象如图②所示.
例3　解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为
an=，n∈N*.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…，
所以它的一个通项公式为
an=，n∈N*.
(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成
an=由第(1)题也可以写成an=(n∈N*)或
an=(n∈N*).
(4)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为
an=10n-1，n∈N*.
延伸探究
1.解　由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，
即an=(10n-1)，n∈N*.
2.解　由本例的第(4)题可知，每一项乘即可，
即an=(10n-1)，n∈N*.
跟踪训练2　解　(1)由1=2-1，
3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，…
可得an=2n-1.
(2)由=，=，
=，=，
=，…
可得an=.
(3)由-，，-，，-，…可知奇数项为负数，偶数项为正数，
可得an=(-1)n×.
(4)由2×3=×，3×4=×，4×5=×，5×6=×，…
可得an=(n+1)(n+2).
例4　解　(1)在通项公式中依次取n=1，2，3，可得｛an｝的前3项分别为1，6，15.
(2)令2n2-n=45，得2n2-n-45=0，解得n=5或n=-(舍去)，故45是数列｛an｝中的第5项.
令2n2-n=3，得2n2-n-3=0，解得n=-1或n=，故3不是数列｛an｝中的项.
跟踪训练3　解　(1)由题意知
q4-q2=72，
则q2=9或q2=-8(舍去)，
∴q=±3.
(2)当q=3时，an=3n.
显然-81不是此数列中的项；
当q=-3时，an=(-3)n.
令(-3)n=-81，无解，
∴-81不是此数列中的项.
随堂演练
1.D　2.D　3.D　 4.17

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