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第2课时　数列的递推公式
［学习目标］　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.4.了解数列是一种特殊函数.
导语
同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1.
一、数列的单调性与最值
问题1　由上节课可知在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
提示　函数.
例1　已知数列｛an｝的通项公式是an=n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.
解　方法一　==·，
当n<2时，>1，即an+1>an；
当n=2时，=1，即an+1=an；
当n>2时，<1，即an+1则a1a4>a5>…，
故数列｛an｝有最大项，为第2项和第3项，
且a2=a3=2×=.
方法二　根据题意，令
即
解得2≤n≤3.
又n∈N*，则n=2或n=3.
故数列｛an｝有最大项，为第2项和第3项，
且a2=a3=2×=.
反思感悟　求数列最值的方法
（1）函数的单调性法：令an=f（n），通过研究f（n）的单调性来研究最大（小）项.
（2）不等式组法：先假设有最大（小）项.不妨设an最大，则满足（n≥2），解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组（n≥2）求得n的取值范围，从而确定n的值.
跟踪训练1　已知数列an=-n2+4n+2，则该数列中最大项的序号是（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
答案　A
解析　因为an=-（n-2）2+6，n∈N*，
所以当n=2时，an取得最大值.
二、数列的递推公式
问题2　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？
提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1=4，a2=5=4+1=a1+1，a3=6=5+1=a2+1.依此类推：an=an-1+1（2≤n≤7）.
知识梳理
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
注意点：
（1）通项公式反映的是an与n之间的关系.
（2）常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项.
例2　若数列｛an｝满足a1=2，=，n∈N*，求a6.
解　a2===-3，
a3===-，
a4===，
a5===2，
a6===-3.
延伸探究　在例2的条件下，求a2 024.
解　由例2知，a5=a1=2，a6=a2=-3，…，
∴｛an｝是周期为4的周期数列，
∴a2 024=a4×505+4=a4=.
反思感悟　递推公式反映的是相邻两项（或多项）之间的关系.要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性（周期性）.
跟踪训练2　已知数列｛an｝的首项a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第3项是（　　）
A.1 B.
C. D.
答案　C
解析　a1=1，a2=a1+=1，a3=a2+=.
三、由递推公式求通项公式
例3　（1）在数列｛an｝中，a1=1，an+1=an+-，则an等于（　　）
A. B.
C. D.
答案　B
解析　方法一　（归纳法）数列的前5项分别为
a1=1，a2=1+1-=2-=，
a3=+-=2-=，
a4=+-=2-=，
a5=+-=2-=，
又a1=1，
由此可得数列的一个通项公式为an=.
方法二　（迭代法）a2=a1+1-，
a3=a2+-，…，
an=an-1+-（n≥2），
则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=（n≥2）.
又a1=1也适合上式，
所以an=（n∈N*）.
方法三　（累加法）　an+1-an=-，
a1=1，
a2-a1=1-，
a3-a2=-，
a4-a3=-，
…
an-an-1=-（n≥2），
以上各项相加得
an=1+1-+-+…+-.
所以an=（n≥2）.
因为a1=1也适合上式，
所以an=（n∈N*）.
（2）已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an，则an等于（　　）
A.n+1 B.n
C. D.
答案　D
解析　由题意，因为数列｛an｝满足an+1=an，所以=，
所以当n≥2时，an=··…···a1=××…×××1=.
当n=1时，a1=1满足上式，所以an=（n∈N*）.
反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法
（1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.（只适用于选择题、填空题）
（2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an+1-an=常数，或an+1-an=f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法.
②an+1=pan（p为非零常数），或an+1=f（n）an（f（n）是可以求积的），使用累乘法或迭代法.
③an+1=pan+q（p，q为非零常数），适当变形后转化为第②类解决.
跟踪训练3　（1）已知数列｛an｝满足a1=1，an=an-1+-（n≥2），求an.
解　因为an=an-1+-（n≥2），
所以an-an-1=-（n≥2）.
所以当n≥2时，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=（-）+（-）+…+（-）+1=-+1.
又当n=1时，a1=1也符合上式，
所以an=-+1，n∈N*.
（2）已知数列｛an｝满足a1=1，ln an-ln an-1=1（n≥2），求an.
解　因为ln an-ln an-1=1，
所以ln =1，即=e（n≥2）.
所以an=··…··a1
=·1=en-1（n≥2），
又a1=1也符合上式，所以an=en-1，n∈N*.
四、an与Sn的关系
问题3　如果已知数列｛an｝的前n项和，如何求a4呢？
提示　用｛an｝的前4项和减去前3项和.
知识梳理　
1.把数列｛an｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛an｝的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an.
2.an= .
注意点：
（1）注意等式成立的条件.
（2）一定要检验n=1时，S1是否满足首项.
（3）若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn-1，然后作差求得.
例4　已知Sn为数列｛an｝的前n项和，根据条件求｛an｝的通项公式.
（1）Sn=3n-1；
（2）Sn=2n2-30n.
解　（1）当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-（3n-1-1）
=2×3n-1，显然a1=2适合上式，
所以an=2×3n-1（n∈N*）.
（2）因为Sn=2n2-30n，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n-［2（n-1）2-30（n-1）］=4n-32.
显然a1=-28适合上式，
所以an=4n-32，n∈N*.
延伸探究　将本例（2）的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an.
解　因为Sn=2n2-30n+1，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n+1-［2（n-1）2-30（n-1）+1］
=4n-32.
当n=1时不适合上式.
所以an=
反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤
（1）当n=1时，a1=S1.
（2）当n≥2时，an=Sn-Sn-1.
（3）验证a1与an的关系.
①若a1适合an（n≥2），则an=Sn-Sn-1.
②若a1不适合an（n≥2），则an=
跟踪训练4　（1）已知数列｛an｝的前n项和Sn满足Sn=2n2+3n+2，求an.
解　当n=1时，a1=S1=7，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2+3n+2-［2（n-1）2+3（n-1）+2］=4n+1，
又a1=7不适合上式，所以an=
（2）已知数列｛an｝满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，求an.
解　当n=1时，由已知可得a1=21=2.
由a1+2a2+3a3+…+nan=2n， ①
可得当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=2n-1， ②
由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1（n≥2），
∴an=（n≥2）.显然a1=2不适合上式，
∴an=
1.知识清单：
（1）数列的单调性与最值.
（2）数列的递推公式.
（3）由递推公式求通项公式.
（4）数列的前n项和Sn与an的关系.
2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：
（1）累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式.
（2）由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.
1.已知在数列｛an｝中，a1=2，an+1=an+n（n∈N*），则a4的值为（　　）
A.5 B.6
C.7 D.8
答案　D
解析　因为a1=2，an+1=an+n，
所以a2=a1+1=2+1=3，
a3=a2+2=3+2=5，
a4=a3+3=5+3=8.
2.设数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2n-1（n∈N*），则a5等于（　　）
A.32 B.31
C.16 D.15
答案　C
解析　当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2n-1，
当n=5时，a5=24=16.
3.已知数列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，n∈N*，则a2 024等于（　　）
A.-2 B.-1
C.1 D.2
答案　D
解析　∵a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，
∴a3=1-a1-a2=1-1-2=-2，
a4=1-a3-a2=1-（-2）-2=1，
a5=1-a4-a3=1-1-（-2）=2，
…
依此类推，可得数列｛an｝是一个周期为3的周期数列，∴a2 024=a2=2.
4.在数列｛an｝中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（　　）
A.105 B.106
C.107 D.108
答案　D
解析　an=-2n2+29n+3对应的抛物线开口向下，对称轴为n=-==7，
∵n是整数，
∴当n=7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7=-2×72+29×7+3=108.
课时对点练　［分值：100分］
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分
1.已知数列｛an｝满足an=4an-1+3（n≥2，n∈N*），且a1=0，则此数列的第5项是（　　）
A.15 B.255
C.16 D.63
答案　B
解析　由递推公式，得a2=3，a3=15，a4=63，a5=255.
2.数列，-，，-，…的第n项an与第n+1项an+1的关系是（　　）
A.an+1=2an B.an+1=-2an
C.an+1=an D.an+1=-an
答案　D
3.已知数列｛an｝满足an=+1（n≥2，n∈N*），若a4=，则a1等于（　　）
A.1 B.
C.2 D.
答案　A
解析　∵a4=，a4=+1，∴a3=，
又∵a3=+1，∴a2=2，
又∵a2=+1，∴a1=1.
4.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（　　）
A.an+1=an+n，n∈N*
B.an=an-1+n，n∈N*，n≥2
C.an+1=an+，n∈N*，n≥2
D.an=an-1+，n∈N*，n≥2
答案　B
解析　结合图象易知，a1=1，a2=3=a1+2，a3=6=a2+3，a4=10=a3+4，
∴an=an-1+n，n∈N*，n≥2.
5.已知数列｛an｝满足a1=2，an+1-an+1=0（n∈N*），则此数列的通项公式an等于（　　）
A.n2+1 B.n+1
C.1-n D.3-n
答案　D
解析　∵an+1-an=-1.
∴当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=2+
=2+（-1）×（n-1）=3-n.
当n=1时，a1=2也符合上式.
故数列的通项公式an=3-n（n∈N*）.
6.（多选）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a2=1，am+n=aman，则下列结论正确的是（　　）
A.a2 024=1
B.a2 023=1
C.若S2 024=2 024，则a1=1
D.若S2 023=-1，则a1=-1
答案　ACD
解析　在数列｛an｝中，a2=1，am+n=aman，令m=n=1，得=a2=1，解得a1=±1，令m=2，则an+2=ana2=an，因此a2 024=a2=1，a2 023=a1=±1，A正确，B错误；
显然a2n=1，a2n-1=a1，则S2 024=1 012a1+1 012a2=1 012a1+1 012=2 024，解得a1=1，C正确；
S2 023=1 012a1+1 011a2=1 012a1+1 011=-1，解得a1=-1，D正确.
7.（5分）在数列｛an｝中，an+1=an+2-an，a1=2，a2=5，则a5=　　　　.
答案　19
解析　a3=a2+a1=5+2=7，
a4=a3+a2=7+5=12，a5=a4+a3=12+7=19.
8.（5分）已知数列｛an｝中，a1a2…an=n2（n∈N*），则a9=　　　　.
答案　
解析　a1a2…a8=82， ①
a1a2…a9=92， ②
②÷①得，a9==.
9.（10分）已知数列｛an｝的前n项和Sn=2n2-n+2.
（1）求数列｛an｝的通项公式；（4分）
（2）若bn=an+100n-2n，求数列｛bn｝的最大项是该数列的第几项.（6分）
解　（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2-n+2）-（2n2-5n+5）=4n-3，
当n=1时，a1=S1=3，不满足上式，故数列｛an｝的通项公式为an=
（2）由已知得b1=3+100-2=101，
当n≥2时，bn=an+100n-2n=4n-3+100n-2n=104n-3-2n，令n∈N*，
即n∈N*，
得n∈N*，即n=7，
所以当n≥2时，｛bn｝的最大项为第7项，
又b7=104×7-3-27=597>b1，
所以数列｛bn｝的最大项是该数列的第7项.
10.（12分）（1）在数列｛an｝中，a1=2，且an+1=an+ln，求数列｛an｝的通项公式；（5分）
（2）已知数列｛an｝中，a1=，an=an-1（n≥2），求数列｛an｝的通项公式.（7分）
解　（1）由题设an+1-an=ln ，
所以an=（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1=ln +…+ln +2=2+ln n，且n≥2，
显然a1=ln 1+2=2满足上式，
所以an=2+ln n，n∈N*.
（2）因为an=an-1（n≥2），
所以当n≥2时，=，
所以=，=，…，=，=，
以上n-1个式子左右两边分别相乘，得
··…··
=××…××，
即=××2×1，
所以an=（n≥2）.
当n=1时，a1=，符合上式.
所以数列｛an｝的通项公式为an=，n∈N*.
11.设an=+++…+（n∈N*），那么an+1-an等于（　　）
A. B.
C.+ D.-
答案　D
解析　∵an=+++…+，
∴an+1=++…+++，
∴an+1-an=+-
=-.
12.在数列｛an｝中，a1=，an+1=1-，则a2 024等于（　　）
A. B.-1
C.2 D.3
答案　B
解析　由题意得，a2=1-=-1，
a3=1-=2，
a4=1-==a1，a5=1-=-1=a2，a6=2=a3，…
所以数列｛an｝是一个周期为3的周期数列，
故a2 024=a3×674+2=a2=-1.
13.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an+2=an+1+an（n≥1），那么1+a2+a4+a6+…+a2 022等于（　　）
A.a2 021 B.a2 022
C.a2 023 D.a2 024
答案　C
解析　由于an+2=an+1+an（n≥1），
则1+a2+a4+a6+…+a2 022=a1+a2+a4+a6+…+a2 022=a3+a4+a6+…+a2 022=a5+a6+…+a2 022=a2 021+a2 022=a2 023.
14.（5分）已知数列｛an｝的通项公式为an=，其最大项为　　　　，最小项为　　　　.
答案　1　-
解析　因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an=<0，且单调递减；
当n≥4时，an=>0，且单调递减，
所以最小项为a3==-，最大项为a4==1.
15.（5分）在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan+1an+2=k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列｛an｝是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+a3+…+a12=　　　　.
答案　28
解析　依题意得数列｛an｝是周期为3的数列，
且a1=1，a2=2，a3=4，
因此a1+a2+a3+…+a12=4（a1+a2+a3）=4×（1+2+4）=28.
16.（12分）已知数列｛an｝满足：a1=m（m为正整数），an+1=若a4=4，求m所有可能的取值.
解　若a3为奇数，则3a3+1=4，a3=1.
若a2为奇数，则3a2+1=1，a2=0（舍去），
若a2为偶数，则=1，a2=2.
若a1为奇数，则3a1+1=2，a1=（舍去），
若a1为偶数，=2，a1=4.
若a3为偶数，则=4，a3=8.
若a2为奇数，则3a2+1=8，a2=（舍去），
若a2为偶数，则=8，a2=16.
若a1为奇数，则3a1+1=16，a1=5，
若a1为偶数，则=16，a1=32.
故m所有可能的取值为4，5，32.(共76张PPT)
第2课时
第四章
<<<
数列的递推公式
1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
2.了解用累加法、累乘法求通项公式.
3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.
4.了解数列是一种特殊函数.
学习目标
同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1.
导 语
一、数列的单调性与最值
二、数列的递推公式
课时对点练
三、由递推公式求通项公式
随堂演练
内容索引
四、an与Sn的关系
一
数列的单调性与最值
由上节课可知在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
问题1
提示　函数.
已知数列{an}的通项公式是an=n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.
例 1
方法一　==·，
当n<2时，>1，即an+1>an；
当n=2时，=1，即an+1=an；
当n>2时，<1，即an+1则a1a4>a5>…，故数列{an}有最大项，为第2项和第3项，
且a2=a3=2×=.
方法二　根据题意，令
即解得2≤n≤3.
又n∈N*，则n=2或n=3.
故数列{an}有最大项，为第2项和第3项，
且a2=a3=2×=.
反
思
感
悟
求数列最值的方法
(1)函数的单调性法：令an=f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项.
(2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值.
已知数列an=-n2+4n+2，则该数列中最大项的序号是
A.2 B.3
C.4 D.5
跟踪训练 1
√
因为an=-(n-2)2+6，n∈N*，
所以当n=2时，an取得最大值.
二
数列的递推公式
观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？
问题2
提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1=4，a2=5=4+1=a1+1，a3=6=5+1=a2+1.依此类推：an=an-1+1(2≤n≤7).
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用 来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
一个式子
(1)通项公式反映的是an与n之间的关系.
(2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项.
注 意 点
<<<
若数列{an}满足a1=2，=，n∈N*，求a6.
例 2
a2===-3，
a3===-，
a4===，
a5===2，
a6===-3.
在例2的条件下，求a2 024.
延伸探究
由例2知，a5=a1=2，a6=a2=-3，…，
∴{an}是周期为4的周期数列，
∴a2 024=a4×505+4=a4=.
反
思
感
悟
递推公式反映的是相邻两项(或多项)之间的关系.要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性).
已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第3项是
A.1 B.
C. D.
跟踪训练 2
√
a1=1，a2=a1+=1，a3=a2+=.
三
由递推公式求通项公式
(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-，则an等于
A. B.
C. D.
例 3
√
方法一　(归纳法)数列的前5项分别为
a1=1，a2=1+1-=2-=，
a3=+-=2-=，
a4=+-=2-=，
a5=+-=2-=，
又a1=1，
由此可得数列的一个通项公式为an=.
方法二　(迭代法)a2=a1+1-，
a3=a2+-，…，
an=an-1+-(n≥2)，
则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).
又a1=1也适合上式，
所以an=(n∈N*).
方法三　(累加法)　an+1-an=-，
a1=1，
a2-a1=1-，
a3-a2=-，
a4-a3=-，
…
an-an-1=-(n≥2)，
以上各项相加得
an=1+1-+-+…+-.
所以an=(n≥2).
因为a1=1也适合上式，
所以an=(n∈N*).
(2)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an，则an等于
A.n+1　　B.n　　　C.D.
√
由题意，因为数列{an}满足an+1=an=，
所以当n≥2时，an=··…···a1=××…×××1=.
当n=1时，a1=1满足上式，所以an=(n∈N*).
反
思
感
悟
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an+1-an=常数，或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法.
②an+1=pan(p为非零常数)，或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法.
③an+1=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
(1)已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+-(n≥2)，求an.
跟踪训练 3
因为an=an-1+-(n≥2)，
所以an-an-1=-(n≥2).
所以当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(-)+(-)+…+(-)+1=-+1.
又当n=1时，a1=1也符合上式，
所以an=-+1，n∈N*.
(2)已知数列{an}满足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an.
因为ln an-ln an-1=1，
所以ln =1，即=e(n≥2).
所以an=··…··a1
=·1=en-1(n≥2)，
又a1=1也符合上式，所以an=en-1，n∈N*.
四
an与Sn的关系
如果已知数列{an}的前n项和，如何求a4呢？
问题3
提示　用{an}的前4项和减去前3项和.
1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn= .
2.an= .
a1+a2+…+an
(1)注意等式成立的条件.
(2)一定要检验n=1时，S1是否满足首项.
(3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn-1，然后作差求得.
注 意 点
<<<
已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式.
(1)Sn=3n-1；
例 4
当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)
=2×3n-1，显然a1=2适合上式，
所以an=2×3n-1(n∈N*).
(2)Sn=2n2-30n.
因为Sn=2n2-30n，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.
显然a1=-28适合上式，
所以an=4n-32，n∈N*.
将本例(2)的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an.
延伸探究
因为Sn=2n2-30n+1，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32.
当n=1时不适合上式.
所以an=
反
思
感
悟
由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n=1时，a1=S1.
(2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1.
(3)验证a1与an的关系.
①若a1适合an(n≥2)，则an=Sn-Sn-1.
②若a1不适合an(n≥2)，则an=
(1)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2+3n+2，求an.
跟踪训练 4
当n=1时，a1=S1=7，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2+3n+2-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1，
又a1=7不适合上式，所以an=
(2)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，求an.
当n=1时，由已知可得a1=21=2.
由a1+2a2+3a3+…+nan=2n， ①
可得当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1， ②
由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1(n≥2)，
∴an=(n≥2).
显然a1=2不适合上式，∴an=
1.知识清单：
(1)数列的单调性与最值.
(2)数列的递推公式.
(3)由递推公式求通项公式.
(4)数列的前n项和Sn与an的关系.
2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：
(1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式.
(2)由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.已知在数列{an}中，a1=2，an+1=an+n(n∈N*)，则a4的值为
A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8
√
因为a1=2，an+1=an+n，
所以a2=a1+1=2+1=3，
a3=a2+2=3+2=5，
a4=a3+3=5+3=8.
2.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1(n∈N*)，则a5等于
A.32 B.31
C.16 D.15
1
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4
√
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，
当n=5时，a5=24=16.
3.已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，n∈N*，则a2 024等于
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
√
∵a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，
∴a3=1-a1-a2=1-1-2=-2，
a4=1-a3-a2=1-(-2)-2=1，
a5=1-a4-a3=1-1-(-2)=2，
…
依此类推，可得数列{an}是一个周期为3的周期数列，∴a2 024=a2=2.
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3
4
4.在数列{an}中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是
A.105　　　B.106　　　C.107　　　D.108
√
an=-2n2+29n+3对应的抛物线开口向下，对称轴为n=-==7，
∵n是整数，
∴当n=7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7=-2×72+29×7+3
=108.
课时对点练
六
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基础巩固
1.已知数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2，n∈N*)，且a1=0，则此数列的第5项是
A.15 B.255
C.16 D.63
√
由递推公式，得a2=3，a3=15，a4=63，a5=255.
2.数列，-，，-，…的第n项an与第n+1项an+1的关系是
A.an+1=2an B.an+1=-2an
C.an+1=an D.an+1=-an
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√
3.已知数列{an}满足an=+1(n≥2，n∈N*)，若a4=，则a1等于
A.1　　　B.　　　C.2　　　D.
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√
∵a4=，a4=+1，∴a3=，
又∵a3=+1，∴a2=2，
又∵a2=+1，∴a1=1.
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4.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是
A.an+1=an+n，n∈N*
B.an=an-1+n，n∈N*，n≥2
C.an+1=an+，n∈N*，n≥2
D.an=an-1+，n∈N*，n≥2
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结合图象易知，a1=1，a2=3=a1+2，a3=6=a2+3，a4=10=a3+4，
∴an=an-1+n，n∈N*，n≥2.
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5.已知数列{an}满足a1=2，an+1-an+1=0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于
A.n2+1 B.n+1
C.1-n D.3-n
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∵an+1-an=-1.
∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+
=2+(-1)×(n-1)=3-n.
当n=1时，a1=2也符合上式.
故数列的通项公式an=3-n(n∈N*).
6.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=1，am+n=aman，则下列结论正确的是
A.a2 024=1
B.a2 023=1
C.若S2 024=2 024，则a1=1
D.若S2 023=-1，则a1=-1
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√
在数列{an}中，a2=1，am+n=aman，令m=n=1，得=a2=1，
解得a1=±1，令m=2，则an+2=ana2=an，
因此a2 024=a2=1，a2 023=a1=±1，A正确，B错误；
显然a2n=1，a2n-1=a1，则S2 024=1 012a1+1 012a2=1 012a1+1 012=2 024，解得a1=1，C正确；
S2 023=1 012a1+1 011a2=1 012a1+1 011=-1，解得a1=-1，D正确.
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7.在数列{an}中，an+1=an+2-an，a1=2，a2=5，则a5=　　　.
a3=a2+a1=5+2=7，
a4=a3+a2=7+5=12，a5=a4+a3=12+7=19.
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8.已知数列{an}中，a1a2…an=n2(n∈N*)，则a9=　　　.
a1a2…a8=82， ①
a1a2…a9=92， ②
②÷①得，a9==.
9.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n+2.
(1)求数列{an}的通项公式；
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当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-n+2)-(2n2-5n+5)=4n-3，
当n=1时，a1=S1=3，不满足上式，
故数列{an}的通项公式为an=
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(2)若bn=an+100n-2n，求数列{bn}的最大项是该数列的第几项.
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由已知得b1=3+100-2=101，
当n≥2时，bn=an+100n-2n=4n-3+100n-2n=104n-3-2n，
令n∈N*，
即n∈N*，
得n∈N*，即n=7，
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所以当n≥2时，{bn}的最大项为第7项，
又b7=104×7-3-27=597>b1，
所以数列{bn}的最大项是该数列的第7项.
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10.(1)在数列{an}中，a1=2，且an+1=an+ln，求数列{an}的通项公式；
由题设an+1-an=ln ，
所以an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=ln +…+ln +2=2+ln n，且n≥2，
显然a1=ln 1+2=2满足上式，
所以an=2+ln n，n∈N*.
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(2)已知数列{an}中，a1=，an=an-1(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
因为an=an-1(n≥2)，
所以当n≥2时，=，
所以==，…，==，
以上n-1个式子左右两边分别相乘，得
··…··
=××…××，
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即=××2×1，
所以an=(n≥2).
当n=1时，a1=，符合上式.
所以数列{an}的通项公式为an=，n∈N*.
11.设an=+++…+(n∈N*)，那么an+1-an等于
A. B.
C.+ D.-
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综合运用
√
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∵an=+++…+，
∴an+1=++…+++，
∴an+1-an=+-
=-.
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12.在数列{an}中，a1=，an+1=1-，则a2 024等于
A. B.-1
C.2 D.3
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由题意得，a2=1-=-1，
a3=1-=2，
a4=1-==a1，a5=1-=-1=a2，a6=2=a3，…
所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，
故a2 024=a3×674+2=a2=-1.
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13.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an+2=an+1+
an(n≥1)，那么1+a2+a4+a6+…+a2 022等于
A.a2 021　　　　B.a2 022　　　　C.a2 023　　　　D.a2 024
√
由于an+2=an+1+an(n≥1)，
则1+a2+a4+a6+…+a2 022=a1+a2+a4+a6+…+a2 022=a3+a4+a6+…+a2 022=a5+
a6+…+a2 022=a2 021+a2 022=a2 023.
14.已知数列{an}的通项公式为an=，其最大项为　　　，最小项为
　　　.
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因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an=<0，且单调递减；
当n≥4时，an=>0，且单调递减，
所以最小项为a3==-，最大项为a4==1.
15.在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan+1an+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+a3+…+a12=　　　　.
拓广探究
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依题意得数列{an}是周期为3的数列，
且a1=1，a2=2，a3=4，
因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28.
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16.已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=
若a4=4，求m所有可能的取值.
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若a3为奇数，则3a3+1=4，a3=1.
若a2为奇数，则3a2+1=1，a2=0(舍去)，
若a2为偶数，则=1，a2=2.
若a1为奇数，则3a1+1=2，a1=(舍去)，
若a1为偶数，=2，a1=4.
若a3为偶数，则=4，a3=8.
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若a2为奇数，则3a2+1=8，a2=(舍去)，
若a2为偶数，则=8，a2=16.
若a1为奇数，则3a1+1=16，a1=5，
若a1为偶数，则=16，a1=32.
故m所有可能的取值为4，5，32.第2课时　数列的递推公式
［学习目标］　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.4.了解数列是一种特殊函数.
一、数列的单调性与最值
问题1　由上节课可知在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
例1　已知数列｛an｝的通项公式是an=n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.
反思感悟　求数列最值的方法
(1)函数的单调性法：令an=f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项.
(2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值.
跟踪训练1　已知数列an=-n2+4n+2，则该数列中最大项的序号是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
二、数列的递推公式
问题2　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？
知识梳理
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用　　　　　　来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
例2　若数列｛an｝满足a1=2，=，n∈N*，求a6.
延伸探究　在例2的条件下，求a2 024.
反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或多项)之间的关系.要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性).
跟踪训练2　已知数列｛an｝的首项a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第3项是(　　)
A.1 B. C. D.
三、由递推公式求通项公式
例3　(1)在数列｛an｝中，a1=1，an+1=an+-，则an等于(　　)
A. B. C. D.
(2)已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=an，则an等于(　　)
A.n+1 B.n
C. D.
反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an+1-an=常数，或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法.
②an+1=pan(p为非零常数)，或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法.
③an+1=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
跟踪训练3　(1)已知数列｛an｝满足a1=1，an=an-1+-(n≥2)，求an.
(2)已知数列｛an｝满足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an.
四、an与Sn的关系
问题3　如果已知数列｛an｝的前n项和，如何求a4呢？
知识梳理　
1.把数列｛an｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛an｝的前n项和，记作Sn，即Sn=　　　　　　　　.
2.an=　　　　　　　　.
例4　已知Sn为数列｛an｝的前n项和，根据条件求｛an｝的通项公式.
(1)Sn=3n-1；
(2)Sn=2n2-30n.
延伸探究　将本例(2)的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an.
反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n=1时，a1=S1.
(2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1.
(3)验证a1与an的关系.
①若a1适合an(n≥2)，则an=Sn-Sn-1.
②若a1不适合an(n≥2)，则an=
跟踪训练4　(1)已知数列｛an｝的前n项和Sn满足Sn=2n2+3n+2，求an.
(2)已知数列｛an｝满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，求an.
1.知识清单：
(1)数列的单调性与最值.
(2)数列的递推公式.
(3)由递推公式求通项公式.
(4)数列的前n项和Sn与an的关系.
2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：
(1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式.
(2)由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.
1.已知在数列｛an｝中，a1=2，an+1=an+n(n∈N*)，则a4的值为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
2.设数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=2n-1(n∈N*)，则a5等于(　　)
A.32 B.31 C.16 D.15
3.已知数列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，n∈N*，则a2 024等于(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.在数列｛an｝中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是(　　)
A.105 B.106 C.107 D.108
答案精析
问题1　函数.
例1　解　方法一　=
=·，
当n<2时，>1，即an+1>an；
当n=2时，=1，即an+1=an；
当n>2时，<1，即an+1则a1a4>a5>…，
故数列｛an｝有最大项，为第2项和第3项，且a2=a3=2×=.
方法二　根据题意，令
即
解得2≤n≤3.
又n∈N*，则n=2或n=3.
故数列｛an｝有最大项，为第2项和第3项，且a2=a3=2×=.
跟踪训练1　A
问题2　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1=4，a2=5=4+1=a1+1，a3=6=5+1=a2+1.依此类推：an=an-1+1(2≤n≤7).
知识梳理
一个式子
例2　解　a2===-3，
a3===-，
a4===，
a5===2，
a6===-3.
延伸探究　解　由例2知，a5=a1=2，a6=a2=-3，…，
∴｛an｝是周期为4的周期数列，
∴a2 024=a4×505+4=a4=.
跟踪训练2　C　［a1=1，a2=a1+=1，a3=a2+=.］
例3　(1)B　［方法一　(归纳法)
数列的前5项分别为
a1=1，a2=1+1-=2-=，
a3=+-=2-=，
a4=+-=2-=，
a5=+-=2-=，
又a1=1，
由此可得数列的一个通项公式为
an=.
方法二　(迭代法)　a2=a1+1-，
a3=a2+-，…，
an=an-1+-(n≥2)，
则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).
又a1=1也适合上式，
所以an=(n∈N*).
方法三　(累加法)　an+1-an=-，
a1=1，
a2-a1=1-，
a3-a2=-，
a4-a3=-，
…
an-an-1=-(n≥2)，
以上各项相加得
an=1+1-+-+…+-.所以an=(n≥2).
因为a1=1也适合上式，
所以an=(n∈N*).］
(2)D　［由题意，因为数列｛an｝满足an+1=an，
所以=，
所以当n≥2时，an=··…···a1=××…×××1=.
当n=1时，a1=1满足上式，
所以an=(n∈N*).］
跟踪训练3　(1)解　因为an=an-1+-(n≥2)，
所以an-an-1=-(n≥2).
所以当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(-)+(-)+…+(-)+1=-+1.
又当n=1时，a1=1也符合上式，
所以an=-+1，n∈N*.
(2)解　因为ln an-ln an-1=1，
所以ln=1，即=e(n≥2).
所以an=··…··a1
=·1=en-1(n≥2)，
又a1=1也符合上式，
所以an=en-1，n∈N*.
问题3　用｛an｝的前4项和减去前3项和.
知识梳理
1.a1+a2+…+an
2.
例4　解　(1)当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2×3n-1，
显然a1=2适合上式，
所以an=2×3n-1(n∈N*).
(2)因为Sn=2n2-30n，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n-［2(n-1)2-30(n-1)］
=4n-32.
显然a1=-28适合上式，
所以an=4n-32，n∈N*.
延伸探究　解　因为Sn=2n2-30n+1，
所以当n=1时，
a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n+1-［2(n-1)2-30(n-1)+1］=4n-32.
当n=1时不适合上式.
所以an=
跟踪训练4　(1)解　当n=1时，
a1=S1=7，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=2n2+3n+2-［2(n-1)2+3(n-1)+2］=4n+1，
又a1=7不适合上式，
所以an=
(2)解　当n=1时，由已知可得
a1=21=2.
由a1+2a2+3a3+…+nan=2n， ①
可得当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1， ②
由①-②得
nan=2n-2n-1=2n-1(n≥2)，
∴an=(n≥2).显然a1=2不适合上式，
∴an=
随堂演练
1.D　2.C　3.D　4.D

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