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4.2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的概念及通项公式
［学习目标］　1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一元一次函数的关系.4.掌握等差数列的判定与证明方法.
导语
在前面的学习中，我们已经了解了数列的定义、表示方法，与学习函数的定义、表示方法一样，这节课我们就来探讨一下一类特殊的数列.
一、等差数列的概念
问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
（1）近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022；
（2）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…；
（3）为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？
提示　对于（1），我们发现2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于（2）有44-45=-1，43-44=-1，….对于（3），10-10=0，有同样的取值规律.
知识梳理
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
注意点：
（1）概念的符号表示：an+1-an=d（n∈N*）.
（2）定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项.
（3）差必须是同一个常数.
（4）公差可以是正数、负数、零.
例1　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.
（1）1，3，5，7，9，…；
（2）9，6，3，0，-3，…；
（3）1，3，4，5，6，…；
（4）7，7，7，7，7，…；
（5）1，，，，，….
解　（1）是，a1=1，d=2；（2）是，a1=9，d=-3；（3）不是；（4）是，a1=7，d=0；（5）不是.
反思感悟　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
跟踪训练1　（多选）下列数列是等差数列的是（　　）
A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16
C.，，1，， D.-3，-2，-1，1，2
答案　ABC
解析　由等差数列的定义得，
A项d=0，故是等差数列；
B项d=3，故是等差数列；
C项d=，故是等差数列；
D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.
二、等差中项
问题2　由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
提示　由定义可知x-1=3-x，即2x=1+3，x=2.
知识梳理
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b.
注意点：
（1）任意两个实数都有等差中项，且唯一.
（2）等差中项的几何意义是两个实数的算术平均数，即A=.
例2　（1）若a=，b=，则a，b的等差中项为（　　）
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意知a，b的等差中项为
×=×（-++）=.
（2）在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
解　因为-1，a，b，c，7成等差数列，
所以b是-1与7的等差中项，
则b==3，
又a是-1与3的等差中项，
所以a==1.
又c是3与7的等差中项，
所以c==5.
所以该数列为-1，1，3，5，7.
反思感悟　若a，A，b成等差数列，则A=；反之，由A=也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项 A=.
跟踪训练2　已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m-n和2n-m的等差中项是（　　）
A.8 B.6
C.4.5 D.3
答案　D
解析　∵m+2n=8，2m+n=10，
∴3m+3n=18，∴m+n=6，
∴2m-n和2n-m的等差中项是
==3.
三、等差数列的通项公式
问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an-an-1=d（n≥2），
思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…
归纳可得，an=a1+（n-1）d（n≥2）.
思路二：a2-a1=d，
a3-a2=d，
a4-a3=d，
…
an-an-1=d，
左右两边分别相加可得，an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d（n≥2）.
问题4　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示　由于an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），故an是函数f（x）=dx+（a1-d）当x=n时的函数值，即an=f（n），点（n，an）则是函数f（x）=dx+（a1-d）图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f（x）=dx+（a1-d）的斜率，记为d=（n≥2），实际上，如果已知直线上任意两点（n，an），（m，am），由斜率的公式可知d=，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列｛an｝为递增数列，d=0时，数列｛an｝为常数列，d<0时，数列｛an｝为递减数列.
知识梳理
1.首项为a1，公差为d的等差数列｛an｝的通项公式为an=a1+（n-1）d.
2.若数列｛an｝是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an=f（n）=a1+（n-1）d=nd+（a1-d）.
（1）点（n，an）落在直线y=dx+（a1-d）上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1-d ；
（2）这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
注意点：
（1）已知首项a1和公差d，便可写出通项公式.
（2）等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一.
（3）当d>0时，是递增数列，当d=0时，是常数列，当d<0时，是递减数列.
例3　在等差数列｛an｝中，
（1）已知a5=-1，a8=2，求a1与d；
（2）已知a1+a6=12，a4=7，求an.
解　（1）由题意知
解得
（2）设等差数列｛an｝的公差为d，由题意知
解得
所以an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1，n∈N*.
延伸探究　若等差数列｛an｝的前三项和为24，第二项与第三项之积为40，求数列｛an｝的前三项，并写出通项公式.
解　设等差数列｛an｝的公差为d，
由题可得解得
∴a2=a1+d=8，a3=a1+2d=5.
数列｛an｝的通项公式为an=11+（n-1）×（-3）=-3n+14.
反思感悟　等差数列｛an｝的通项公式an=a1+（n-1）d中共含有四个量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个量，那么就可以求出第四个量，在这四个量中，a1和d是等差数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
跟踪训练3　在等差数列｛an｝中，求解下列各题：
（1）已知｛an｝的前3项依次为2，6，10，则a15=　　　　；
（2）已知公差d=-，a7=8，则a1=　　　　；
（3）已知a3=0，a7-2a4=-1，则公差d=　　　；
（4）等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是第　　　　项.
答案　（1）58　（2）10　（3）-　（4）8
解析　（1）由题意得，d=6-2=4，
把a1=2，d=4代入an=a1+（n-1）d，
得an=2+（n-1）×4=4n-2，
∴a15=4×15-2=58.
（2）由a7=a1+6d，得8=a1+6×，
故a1=10.
（3）设首项为a1，公差为d，
则
解得
（4）∵a1=20，d=-3，
∴an=20+（n-1）×（-3）=23-3n，
∴a7=2>0，a8=-1<0.
∴数列中第一个负数项是第8项.
四、等差数列的判定与证明
问题5　如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？
提示　不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.
知识梳理
证明或判定等差数列的方法
（1）定义法：an+1-an=d（n∈N*）.
（2）等差中项法：2an=an-1+an+1（n≥2）.
（3）通项公式法：an=a1+（n-1）d=pn+q（p，q为常数）.
注意点：证明｛an｝是等差数列常用定义法.
例4　已知数列｛an｝满足a1=2，an+1=.
（1）数列是否为等差数列？说明理由；
（2）求an.
解　（1）数列是等差数列，理由如下：
∵a1=2，an+1=，
∴==+，
∴-=，
即数列是首项为=，公差为d=的等差数列.
（2）由（1）可知=+（n-1）d=，
∴an=，n∈N*.
延伸探究　将本例中的条件“a1=2，an+1=”换为“a1=4，an=4-（n>1），记bn=”.
（1）试证明数列｛bn｝为等差数列；
（2）求数列｛an｝的通项公式.
（1）证明　bn+1-bn=-
=-=-
==.
又b1==，
∴数列｛bn｝是首项为，公差为的等差数列.
（2）解　由（1）知bn=+（n-1）×=.
∵bn=，
∴an=+2=+2.
∴数列｛an｝的通项公式为an=+2，n∈N*.
反思感悟　（1）通项公式法不能作为证明方法.
（2）若an+1-an为常数，则该常数为等差数列｛an｝的公差；若an+1-an=an-an-1（n≥2，n∈N*）成立，则无法确定等差数列｛an｝的公差.
（3）若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
跟踪训练4　已知数列｛an｝满足（an+1-1）（an-1）=3（an-an+1），a1=2，令bn=.
（1）证明：数列｛bn｝是等差数列；
（2）求数列｛an｝的通项公式.
（1）证明　∵-
==，
∴bn+1-bn=，又b1==1，
∴｛bn｝是首项为1，公差为的等差数列.
（2）解　由（1）知bn=n+，
∴an-1=，
∴an=，n∈N*.
1.知识清单：
（1）等差数列的有关概念.
（2）等差数列的通项公式.
（3）等差数列通项公式与函数的关系.
（4）等差数列的判定与证明.
2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法、定义法.
3.常见误区：
（1）在具体应用问题中项数不清.
（2）忽略等差数列通项公式与函数关系中d=0的情况.
1.（多选）下列数列中，是等差数列的是（　　）
A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2
答案　ABD
解析　A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24-25≠23-24≠22-23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
2.已知等差数列｛an｝的前三项分别为a-1，a+1，2a+1，则该数列的通项公式为（　　）
A.an=2n-5 B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
答案　C
解析　设该等差数列的公差为d，
因为等差数列｛an｝的前三项分别为a-1，a+1，2a+1，
所以2（a+1）=a-1+2a+1，
解得a=2，所以a1=1，d=2，
所以an=a1+（n-1）d=2n-1.
3.若5，x，y，z，21成等差数列，则x+y+z的值为（　　）
A.26 B.29
C.39 D.52
答案　C
解析　∵5，x，y，z，21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.
∴5+21=2y，
∴y=13，x+z=2y=26，
∴x+y+z=39.
4.写出一个具有下列性质①②的数列｛an｝的通项公式an=　　　　（①am+n=am+an（m，n∈N*）；②｛an｝单调递增）.
答案　n（答案不唯一）
解析　假设数列为等差数列，设其公差为d，由性质①可得，
a1+（m+n-1）d=a1+（m-1）d+a1+（n-1）d a1=d，
再根据性质②可知，显然an=n满足题意.
课时对点练　［分值：100分］
单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分
1.数列｛an｝中，a1=5，an+1=an+3，那么这个数列的通项公式是（　　）
A.3n-1 B.3n+2
C.3n-2 D.3n+1
答案　B
解析　因为an+1-an=3，所以数列｛an｝是以5为首项，3为公差的等差数列，
则an=5+3=3n+2，n∈N*.
2.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x（b≠0，x≠0），则等于（　　）
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵b是x，2x的等差中项，
∴b==，
又∵x是a，b的等差中项，
∴2x=a+b，
∴a=，∴=.
3.已知数列｛an｝为等差数列，则下列不一定成立的是（　　）
A.若a2>a1，则a3>a1
B.若a2>a1，则a3>a2
C.若a3>a1，则a2>a1
D.若a2>a1，则a1+a2>a1
答案　D
解析　利用等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以等差数列｛an｝是递增数列，
所以a3-a1=2d>0，a3-a2=d>0成立，所以A，B正确；
若a3>a1，则a3-a1=2d>0，所以a2-a1=d>0成立，所以C正确；
a1+a2>a1不一定成立，例如a14.用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（　　）
A.199 B.201
C.203 D.205
答案　B
解析　由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第n个图形所需要的火柴棒数量为an，则an=3+2（n-1）=2n+1，则第100个图形所用火柴棒数量为2×100+1=201.
5.在数列｛an｝中，若=+，a1=8，则数列｛an｝的通项公式为（　　）
A.an=2（n+1）2 B.an=4（n+1）
C.an=8n2 D.an=4n（n+1）
答案　A
解析　由题意得-=，故数列｛｝是首项为=2，公差为的等差数列，
所以=2+（n-1）=n+，
故an=2（n+1）2.
6.（多选）若数列｛an｝是等差数列，公差d>0，则下列对数列｛bn｝的判断正确的是（　　）
A.若bn=-an，则数列｛bn｝是递减数列
B.若bn=，则数列｛bn｝是递增数列
C.若bn=an+an+1，则数列｛bn｝是公差为d的等差数列
D.若bn=an+n，则数列｛bn｝是公差为d+1的等差数列
答案　AD
解析　由an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）且d>0，
得bn=-an=-dn+（d-a1），即数列｛bn｝是递减数列，故A对；
由bn==，当d>a1时，如d=1，a1=-2，数列｛bn｝不单调，故B错；
由bn=an+an+1=2dn+（2a1-d），则数列｛bn｝是公差为2d的等差数列，故C错；
由bn=an+n=（d+1）n+（a1-d），则数列｛bn｝是公差为d+1的等差数列，故D对.
7.（5分）在-3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为　　　　.
答案　3
解析　设该等差数列为｛an｝，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1=-3，a4=6，
即解得d=3.
8.（5分）设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a+b=　　　　.
答案　2
解析　∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，
∴2ln 3=ln 9a+ln 3b，
∴ln 32=ln（9a·3b）=ln 32a+b，
∴32=32a+b，
∴2a+b=2.
9.（10分）在等差数列｛an｝中，
（1）已知a5-a3=12，a12=20，求a1和d；（3分）
（2）已知a1=9，公差d=-2，an=-15，求n；（3分）
（3）已知a3=9，a9=3，求｛an｝的通项公式.（4分）
解　（1）因为a5-a3=12，
所以公差d=6.
由a12=a1+11d=20，所以a1=-46，故a1=-46，d=6.
（2）由an=a1+（n-1）d，得-15=9-2（n-1），解得n=13.
（3）由已知可得解得
所以an=a1+（n-1）d=11-（n-1）=-n+12.
10.（12分）已知数列｛an｝满足2an+（n-1）an-1=nan+a1（n∈N*，且n≥2），证明：数列｛an｝为等差数列.
证明　将2an+（n-1）=nan+a1（n≥2）中的n替换为n+1得2an+1+nan=（n+1）an+1+a1.
两式相减并整理得（n-1）an+1=（2n-2）an-（n-1）an-1（n≥2），
即（n-1）an+1-（n-1）an=（n-1）an-（n-1）an-1，
由n≥2得an+1-an=an-an-1，
即2an=an+1+an-1（n≥2）.
故数列｛an｝为等差数列.
11.“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2=xz”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　lg x，lg y，lg z成等差数列 2lg y=lg x+lg z lg=lg y2 y2=xz，
但y2=xz不能保证x，y，z均为正数，
故选A.
12.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设an=-24+（n-1）d，n∈N*，
由解得13.正数a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，则α+β的最小值是（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
答案　C
解析　由题意可知，a+b=1，
α+β=a++b+=1++=3++≥3+2=5，
当且仅当a=b=时，取等号.
14.（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为　　　　.
答案　等边三角形
解析　由a，b，c成等差数列得a+c=2b， ①
由，，成等差数列得+=2， ②
由②2-①得2=2b，即b2=ac，
由①平方得a2+2ac+c2=4b2，
将b2=ac代入得a2+2ac+c2=4ac，
即（a-c）2=0，得a=c.
又a+c=2b，
∴2a=2b，
∴a=b，
∴a=b=c.
∴△ABC 是等边三角形.
15.已知数列｛an｝中，a1=1，a2=4，a3=9，且｛an+1-an｝是等差数列，则a6等于（　　）
A.36 B.37
C.38 D.39
答案　A
解析　因为a2-a1=3，a3-a2=5，所以（a3-a2）-（a2-a1）=2，
又｛an+1-an｝是等差数列，故首项为3，公差为2，
所以an+1-an=3+2（n-1）=2n+1，
所以a6=（a6-a5）+（a5-a4）+…+（a2-a1）+a1=2（5+4+3+2+1）+5+1=36.
16.（12分）记Sn为数列｛an｝的前n项和，bn为数列｛Sn｝的前n项积，已知+=2.
（1）证明：数列｛bn｝是等差数列；（6分）
（2）求｛an｝的通项公式.（6分）
（1）证明　由已知+=2得Sn=，且bn≠0，bn≠，
取n=1，由S1=b1得b1=，
由于bn为数列｛Sn｝的前n项积，
所以··…·=bn，
故··…·=bn+1，
所以=，
由于bn+1≠0，
所以=，即bn+1-bn=，其中n∈N*，
所以｛bn｝是以为首项，为公差的等差数列.
（2）解　由（1）可得，数列｛bn｝是以为首项，为公差的等差数列，
所以bn=+（n-1）×=1+，
Sn==，
当n=1时，a1=S1=，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-，显然对于n=1不成立，
所以an=(共84张PPT)
第1课时
第四章
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等差数列的概念及通项公式
1.理解等差数列、等差中项的概念.
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.
3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
4.掌握等差数列的判定与证明方法.
学习目标
在前面的学习中，我们已经了解了数列的定义、表示方法，与学习函数的定义、表示方法一样，这节课我们就来探讨一下一类特殊的数列.
导 语
一、等差数列的概念
二、等差中项
课时对点练
三、等差数列的通项公式
随堂演练
内容索引
四、等差数列的判定与证明
一
等差数列的概念
观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
(1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022；
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…；
(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？
问题1
提示　对于(1)，我们发现2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
对于(2)有44-45=-1，43-44=-1，….
对于(3)，10-10=0，有同样的取值规律.
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 表示.
2
差
同一个常数
公差
d
(1)概念的符号表示：an+1-an=d(n∈N*).
(2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项.
(3)差必须是同一个常数.
(4)公差可以是正数、负数、零.
注 意 点
<<<
判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.
(1)1，3，5，7，9，…；
例 1
是，a1=1，d=2；
(2)9，6，3，0，-3，…；
是，a1=9，d=-3；
(3)1，3，4，5，6，…；
不是；
(4)7，7，7，7，7，…；
是，a1=7，d=0；
(5)1，，，，，….
不是.
利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
反
思
感
悟
(多选)下列数列是等差数列的是
A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16
C.，，1，， D.-3，-2，-1，1，2
跟踪训练 1
√
由等差数列的定义得，
A项d=0，故是等差数列；
B项d=3，故是等差数列；
C项d=，故是等差数列；
D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.
√
√
二
等差中项
由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
问题2
提示　由定义可知x-1=3-x，即2x=1+3，x=2.
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的 ，且2A= .
等差中项
a+b
(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一.
(2)等差中项的几何意义是两个实数的算术平均数，即A=.
注 意 点
<<<
(1)若a=，b=，则a，b的等差中项为
A. B.
C. D.
例 2
√
由题意知a，b的等差中项为×=×(-++)
=.
(2)在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
因为-1，a，b，c，7成等差数列，
所以b是-1与7的等差中项，则b==3，
又a是-1与3的等差中项，所以a==1.
又c是3与7的等差中项，所以c==5.
所以该数列为-1，1，3，5，7.
反
思
感
悟
若a，A，b成等差数列，则A=；反之，由A=也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项 A=.
已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m-n和2n-m的等差中项是
A.8　　　B.6　　　C.4.5　　　D.3
跟踪训练 2
√
∵m+2n=8，2m+n=10，
∴3m+3n=18，∴m+n=6，
∴2m-n和2n-m的等差中项是==3.
三
等差数列的通项公式
你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
问题3
提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an-an-1=d(n≥2)，
思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…
归纳可得，an=a1+(n-1)d(n≥2).
思路二：a2-a1=d，
a3-a2=d，
a4-a3=d，
…
an-an-1=d，
左右两边分别相加可得，an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d(n≥2).
观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
问题4
提示　由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，故an是函数f(x)=dx+(a1-d)当x=n时的函数值，即an=f(n)，点(n，an)则是函数f(x)=dx+(a1-d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)=dx+(a1-d)的斜率，记为d=(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d=，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d=0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列.
1.首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an= .
2.若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).
(1)点(n，an)落在直线y=dx+(a1-d)上，这条直线的斜率为 ，在y轴上的截距为 ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 .
a1+(n-1)d
d
a1-d
d
(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式.
(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一.
(3)当d>0时，是递增数列，当d=0时，是常数列，当d<0时，是递减数列.
注 意 点
<<<
在等差数列{an}中，
(1)已知a5=-1，a8=2，求a1与d；
例 3
由题意知
解得
(2)已知a1+a6=12，a4=7，求an.
设等差数列{an}的公差为d，
由题意知
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1，n∈N*.
若等差数列{an}的前三项和为24，第二项与第三项之积为40，求数列{an}的前三项，并写出通项公式.
延伸探究
设等差数列{an}的公差为d，
由题可得
∴a2=a1+d=8，a3=a1+2d=5.
数列{an}的通项公式为an=11+(n-1)×(-3)=-3n+14.
反
思
感
悟
等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个量，那么就可以求出第四个量，在这四个量中，a1和d是等差数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15=　　　；
跟踪训练 3
58
由题意得，d=6-2=4，
把a1=2，d=4代入an=a1+(n-1)d，
得an=2+(n-1)×4=4n-2，
∴a15=4×15-2=58.
(2)已知公差d=-，a7=8，则a1=　　　　；
10
由a7=a1+6d，得8=a1+6×，
故a1=10.
(3)已知a3=0，a7-2a4=-1，则公差d=　　　；
-
设首项为a1，公差为d，
则
解得
(4)等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是第　　　项.
8
∵a1=20，d=-3，
∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n，
∴a7=2>0，a8=-1<0.
∴数列中第一个负数项是第8项.
四
等差数列的判定与证明
如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？
问题5
提示　不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.
证明或判定等差数列的方法
(1)定义法：an+1-an=d(n∈N*).
(2)等差中项法：2an=an-1+an+1(n≥2).
(3)通项公式法：an=a1+(n-1)d=pn+q(p，q为常数).
证明{an}是等差数列常用定义法.
注 意 点
<<<
已知数列{an}满足a1=2，an+1=.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
例 4
数列是等差数列，理由如下：
∵a1=2，an+1=，
∴==+，
∴-=，
即数列=，公差为d=的等差数列.
(2)求an.
由(1)可知=+(n-1)d=，
∴an=，n∈N*.
将本例中的条件“a1=2，an+1=”换为“a1=4，an=4-(n>1)，记bn=”.
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
延伸探究
bn+1-bn=-
=-=-
==.
又b1==，
∴数列{bn}是首项为的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
由(1)知bn=+(n-1)×=.
∵bn=，
∴an=+2=+2.
∴数列{an}的通项公式为an=+2，n∈N*.
反
思
感
悟
(1)通项公式法不能作为证明方法.
(2)若an+1-an为常数，则该常数为等差数列{an}的公差；若an+1-an=an-an-1(n≥2，n∈N*)成立，则无法确定等差数列{an}的公差.
(3)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1)，a1=2，令bn=.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
跟踪训练 4
∵-==，
∴bn+1-bn=，又b1==1，
∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
由(1)知bn=n+，
∴an-1=，
∴an=，n∈N*.
1.知识清单：
(1)等差数列的有关概念.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差数列通项公式与函数的关系.
(4)等差数列的判定与证明.
2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法、定义法.
3.常见误区：
(1)在具体应用问题中项数不清.
(2)忽略等差数列通项公式与函数关系中d=0的情况.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.(多选)下列数列中，是等差数列的是
A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2
√
A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；
C中，因为24-25≠23-24≠22-23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
√
√
2.已知等差数列{an}的前三项分别为a-1，a+1，2a+1，则该数列的通项公式为
A.an=2n-5 B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
1
2
3
4
√
1
2
3
4
设该等差数列的公差为d，
因为等差数列{an}的前三项分别为a-1，a+1，2a+1，
所以2(a+1)=a-1+2a+1，
解得a=2，所以a1=1，d=2，
所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
3.若5，x，y，z，21成等差数列，则x+y+z的值为
A.26　　　B.29　　　C.39　　　D.52
√
∵5，x，y，z，21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.
∴5+21=2y，
∴y=13，x+z=2y=26，
∴x+y+z=39.
1
2
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4
1
2
3
4
4.写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an=_______________
(①am+n=am+an(m，n∈N*)；②{an}单调递增).
假设数列为等差数列，设其公差为d，由性质①可得，
a1+(m+n-1)d=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d a1=d，
再根据性质②可知，显然an=n满足题意.
n(答案不唯一)
课时对点练
六
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基础巩固
1.数列{an}中，a1=5，an+1=an+3，那么这个数列的通项公式是
A.3n-1 B.3n+2
C.3n-2 D.3n+1
√
因为an+1-an=3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列，
则an=5+3=3n+2，n∈N*.
2.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则等于
A. B.
C. D.
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∵b是x，2x的等差中项，
∴b==，
又∵x是a，b的等差中项，
∴2x=a+b，
∴a=，∴=.
3.已知数列{an}为等差数列，则下列不一定成立的是
A.若a2>a1，则a3>a1
B.若a2>a1，则a3>a2
C.若a3>a1，则a2>a1
D.若a2>a1，则a1+a2>a1
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利用等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列，
所以a3-a1=2d>0，a3-a2=d>0成立，所以A，B正确；
若a3>a1，则a3-a1=2d>0，所以a2-a1=d>0成立，所以C正确；
a1+a2>a1不一定成立，例如a11
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4.用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为
A.199 B.201
C.203 D.205
√
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由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第n个图形所需要的火柴棒数量为an，则an=3+2(n-1)=2n+1，则第100个图形所用火柴棒数量为2×100+1=201.
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5.在数列{an}中，若=+，a1=8，则数列{an}的通项公式为
A.an=2(n+1)2 B.an=4(n+1)
C.an=8n2 D.an=4n(n+1)
√
由题意得-==2的等差数列，
所以=2+(n-1)=n+，
故an=2(n+1)2.
6.(多选)若数列{an}是等差数列，公差d>0，则下列对数列{bn}的判断正确的是
A.若bn=-an，则数列{bn}是递减数列
B.若bn=，则数列{bn}是递增数列
C.若bn=an+an+1，则数列{bn}是公差为d的等差数列
D.若bn=an+n，则数列{bn}是公差为d+1的等差数列
√
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√
由an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)且d>0，
得bn=-an=-dn+(d-a1)，即数列{bn}是递减数列，故A对；
由bn==，当d>a1时，如d=1，a1=-2，数列{bn}不单调，故B错；
由bn=an+an+1=2dn+(2a1-d)，则数列{bn}是公差为2d的等差数列，故C错；
由bn=an+n=(d+1)n+(a1-d)，则数列{bn}是公差为d+1的等差数列，故D对.
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7.在-3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为　　.
设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，
由题意知，a1=-3，a4=6，
即解得d=3.
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8.设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a+b=　　　.
2
∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，
∴2ln 3=ln 9a+ln 3b，
∴ln 32=ln(9a·3b)=ln 32a+b，
∴32=32a+b，
∴2a+b=2.
9.在等差数列{an}中，
(1)已知a5-a3=12，a12=20，求a1和d；
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因为a5-a3=12，
所以公差d=6.
由a12=a1+11d=20，所以a1=-46，故a1=-46，d=6.
(2)已知a1=9，公差d=-2，an=-15，求n；
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由an=a1+(n-1)d，得-15=9-2(n-1)，解得n=13.
(3)已知a3=9，a9=3，求{an}的通项公式.
由已知可得
所以an=a1+(n-1)d=11-(n-1)=-n+12.
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10.已知数列{an}满足2an+(n-1)an-1=nan+a1(n∈N*，且n≥2)，证明：数列{an}为等差数列.
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将2an+(n-1)=nan+a1(n≥2)中的n替换为n+1得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1.
两式相减并整理得(n-1)an+1=(2n-2)an-(n-1)an-1(n≥2)，
即(n-1)an+1-(n-1)an=(n-1)an-(n-1)an-1，
由n≥2得an+1-an=an-an-1，
即2an=an+1+an-1(n≥2).
故数列{an}为等差数列.
11.“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2=xz”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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综合运用
√
lg x，lg y，lg z成等差数列 2lg y=lg x+lg z lg=lg y2 y2=xz，
但y2=xz不能保证x，y，z均为正数，故选A.
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12.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是
A. B.
C. D.
√
设an=-24+(n-1)d，n∈N*，
由1
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13.正数a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，则α+β的最小值是
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
√
由题意可知，a+b=1，
α+β=a++b+=1++=3++≥3+2=5，
当且仅当a=b=时，取等号.
14.已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为　　　　　　　.
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等边三角形
由a，b，c成等差数列得a+c=2b， ①
由+=2， ②
由②2-①得2=2b，即b2=ac，
由①平方得a2+2ac+c2=4b2，
将b2=ac代入得a2+2ac+c2=4ac，
即(a-c)2=0，得a=c.
又a+c=2b，
∴2a=2b，
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16
∴a=b，
∴a=b=c.
∴△ABC 是等边三角形.
15.已知数列{an}中，a1=1，a2=4，a3=9，且{an+1-an}是等差数列，则a6等于
A.36　　　B.37　　　C.38　　　D.39
拓广探究
1
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因为a2-a1=3，a3-a2=5，所以(a3-a2)-(a2-a1)=2，
又{an+1-an}是等差数列，故首项为3，公差为2，
所以an+1-an=3+2(n-1)=2n+1，
所以a6=(a6-a5)+(a5-a4)+…+(a2-a1)+a1=2(5+4+3+2+1)+5+1=36.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知+=2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由已知+=2得Sn=，且bn≠0，bn≠，
取n=1，由S1=b1得b1=，
由于bn为数列{Sn}的前n项积，
所以··…·=bn，
故··…·=bn+1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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16
所以=，
由于bn+1≠0，
所以=，即bn+1-bn=，其中n∈N*，
所以{bn}是以为公差的等差数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求{an}的通项公式.
由(1)可得，数列{bn}是以为公差的等差数列，
所以bn=+(n-1)×=1+，Sn==，
当n=1时，a1=S1=，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-，显然对于n=1不成立，
所以an=
1
2
3
4
5
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15
164.2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的概念及通项公式
［学习目标］　1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一元一次函数的关系.4.掌握等差数列的判定与证明方法.
一、等差数列的概念
问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
(1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022；
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…；
(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？
知识梳理
一般地，如果一个数列从第　　　　项起，每一项与它的前一项的　　　　都等于　　　　　　，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的　　　　，公差通常用字母　　　　表示.
例1　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.
(1)1，3，5，7，9，…；
(2)9，6，3，0，-3，…；
(3)1，3，4，5，6，…；
(4)7，7，7，7，7，…；
(5)1，，，，，….
反思感悟　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是(　　)
A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16
C.，，1，， D.-3，-2，-1，1，2
二、等差中项
问题2　由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
知识梳理
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的　　　　　　，且2A=　　　　　　.
例2　(1)若a=，b=，则a，b的等差中项为(　　)
A. B. C. D.
(2)在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
反思感悟　若a，A，b成等差数列，则A=；反之，由A=也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项 A=.
跟踪训练2　已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m-n和2n-m的等差中项是(　　)
A.8 B.6 C.4.5 D.3
三、等差数列的通项公式
问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
问题4　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
知识梳理
1.首项为a1，公差为d的等差数列｛an｝的通项公式为an=　　　　　　　　.
2.若数列｛an｝是等差数列，首项为a1，公差为d，则an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).
(1)点(n，an)落在直线y=dx+(a1-d)上，这条直线的斜率为　　　　，在y轴上的截距为　　　　　；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加　　　　.
例3　在等差数列｛an｝中，
(1)已知a5=-1，a8=2，求a1与d；
(2)已知a1+a6=12，a4=7，求an.
延伸探究　若等差数列｛an｝的前三项和为24，第二项与第三项之积为40，求数列｛an｝的前三项，并写出通项公式.
反思感悟　等差数列｛an｝的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个量，那么就可以求出第四个量，在这四个量中，a1和d是等差数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
跟踪训练3　在等差数列｛an｝中，求解下列各题：
(1)已知｛an｝的前3项依次为2，6，10，则a15=　　　　；
(2)已知公差d=-，a7=8，则a1=　　　　；
(3)已知a3=0，a7-2a4=-1，则公差d=　　　　　　　；
(4)等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是第　　　　项.
四、等差数列的判定与证明
问题5　如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？
知识梳理
证明或判定等差数列的方法
(1)定义法：an+1-an=d(n∈N*).
(2)等差中项法：2an=an-1+an+1(n≥2).
(3)通项公式法：an=a1+(n-1)d=pn+q(p，q为常数).
例4　已知数列｛an｝满足a1=2，an+1=.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
延伸探究　将本例中的条件“a1=2，an+1=”换为“a1=4，an=4-(n>1)，记bn=”.
(1)试证明数列｛bn｝为等差数列；
(2)求数列｛an｝的通项公式.
反思感悟　(1)通项公式法不能作为证明方法.
(2)若an+1-an为常数，则该常数为等差数列｛an｝的公差；若an+1-an=an-an-1(n≥2，n∈N*)成立，则无法确定等差数列｛an｝的公差.
(3)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
跟踪训练4　已知数列｛an｝满足(an+1-1)·(an-1)=3(an-an+1)，a1=2，令bn=.
(1)证明：数列｛bn｝是等差数列；
(2)求数列｛an｝的通项公式.
1.知识清单：
(1)等差数列的有关概念.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差数列通项公式与函数的关系.
(4)等差数列的判定与证明.
2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法、定义法.
3.常见误区：
(1)在具体应用问题中项数不清.
(2)忽略等差数列通项公式与函数关系中d=0的情况.
1.(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　)
A.1，4，7，10
B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22
D.10，8，6，4，2
2.已知等差数列｛an｝的前三项分别为a-1，a+1，2a+1，则该数列的通项公式为(　　)
A.an=2n-5 B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
3.若5，x，y，z，21成等差数列，则x+y+z的值为(　　)
A.26 B.29
C.39 D.52
4.写出一个具有下列性质①②的数列｛an｝的通项公式an=　　　　(①am+n=am+an(m，n∈N*)；②｛an｝单调递增).
答案精析
问题1　对于(1)，我们发现2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于(2)有44-45=-1，43-44=-1，….对于(3)，10-10=0，有同样的取值规律.
知识梳理
2　差　同一个常数　公差　d
例1　解　(1)是，a1=1，d=2；(2)是，a1=9，d=-3；(3)不是；(4)是，a1=7，d=0；(5)不是.
跟踪训练1　ABC
问题2　由定义可知x-1=3-x，
即2x=1+3，x=2.
知识梳理
等差中项　a+b
例2　(1)A　［由题意知a，b的等差中项为×
=×(-++)=.］
(2)解　因为-1，a，b，c，7成等差数列，
所以b是-1与7的等差中项，
则b==3，
又a是-1与3的等差中项，
所以a==1.
又c是3与7的等差中项，
所以c==5.
所以该数列为-1，1，3，5，7.
跟踪训练2　D　［∵m+2n=8，
2m+n=10，
∴3m+3n=18，∴m+n=6，
∴2m-n和2n-m的等差中项是
==3.］
问题3　设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，
an-an-1=d(n≥2)，
思路一：an=an-1+d，
故有a2=a1+d，
a3=a2+d=a1+2d，
a4=a3+d=a1+3d，
…
归纳可得，an=a1+(n-1)d(n≥2).
思路二：a2-a1=d，
a3-a2=d，
a4-a3=d，
…
an-an-1=d，
左右两边分别相加可得，an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d(n≥2).
问题4　由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，故an是函数f(x)=dx+(a1-d)当x=n时的函数值，即an=f(n)，点(n，an)则是函数f(x)=dx+(a1-d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)=dx+(a1-d)的斜率，记为d=(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d=，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列｛an｝为递增数列，d=0时，数列｛an｝为常数列，d<0时，数列｛an｝为递减数列.
知识梳理
1.a1+(n-1)d
2.(1)d　a1-d 　(2)d
例3　解　(1)由题意知
解得
(2)设等差数列｛an｝的公差为d，由题意知
解得
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1，n∈N*.
延伸探究　解　设等差数列｛an｝的公差为d，
由题可得
解得
∴a2=a1+d=8，a3=a1+2d=5.
数列｛an｝的通项公式为
an=11+(n-1)×(-3)=-3n+14.
跟踪训练3　(1)58　(2)10
(3)-　(4)8
解析　(1)由题意得，d=6-2=4，
把a1=2，d=4代入an=a1+(n-1)d，
得an=2+(n-1)×4=4n-2，
∴a15=4×15-2=58.
(2)由a7=a1+6d，得
8=a1+6×，
故a1=10.
(3)设首项为a1，公差为d，
则
解得
(4)∵a1=20，d=-3，
∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n，
∴a7=2>0，a8=-1<0.
∴数列中第一个负数项是第8项.
问题5　不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.
例4　解　(1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1=2，an+1=，
∴==+，
∴-=，
即数列是首项为=，公差为d=的等差数列.
(2)由(1)可知=+(n-1)d=，
∴an=，n∈N*.
延伸探究　(1)证明　bn+1-bn
=-
=-
=-=
=.
又b1==，
∴数列｛bn｝是首项为，公差为的等差数列.
(2)解　由(1)知
bn=+(n-1)×=.
∵bn=，
∴an=+2=+2.
∴数列｛an｝的通项公式为
an=+2，n∈N*.
跟踪训练4　(1)证明　∵-==，
∴bn+1-bn=，又b1==1，
∴｛bn｝是首项为1，公差为的等差数列.
(2)解　由(1)知bn=n+，
∴an-1=，
∴an=，n∈N*.
随堂演练
1.ABD　2.C　3.C　4.n(答案不唯一)

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