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第4章 相交线和平行线 单元测试卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角 D．∠1与∠2是同位角
3．下列生活实例中，数学原理解释错误的是（　　）
A．测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短
B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线
C．测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．如图，AC⊥BC，AC=4，点D是线段BC上的动点，则A，D两点之间的距离不可能是（　　）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
5．如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
6．如图，与相交于点，，垂足为，若，则（　　）
A．44° B．46° C．134° D．136°
7．如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
8．如图，直线、相交于点，，，则的度数是（　　）．
A． B． C． D．
9．如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④∠B+∠BAD=180°，其中能推出 的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
10．把三角板 按如图所示的位置放置，已知 ， ，过三角板的顶点 、 分别作直线 、 ，且 ， .给出以下结论：
（1） ；（2） ；（3） 平分 .其中正确结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(共8题；共24分)
11．如图，如果∠1=40°，∠2=100°，∠3的同旁内角等于　 　．
12．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE是射线，若∠1=30°，∠2=60°，则OE与AB 的位置关系是　 　
13．如图，点在直线上，，若，则的大小为　 　
14．一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为　 　．
15．如图，内有一点，过点画，，，则的度数为　 　度．
16．如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=95°，∠2=32°，则∠BOE=　 　.
17．已知直线 与直线 相交于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的度数为　 　．(单位用度表示)
18．一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 （ ）.在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为　 　.
三、解答题(共8题；共66分)
19．（6分）如图，已知三个点A、B、C，按下列要求画图.
⑴画直线；
⑵画射线；
⑶过B点画直线的垂线段，垂足为F.（画图工具不限，不需写出结论，只需画出图形、标注字母）
20．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠1=35°，∠2=75°求∠EOB的度数．
21．（8分）如图，直线AB、CD相交于点O， ，过点O画 ，O为垂足，求 的度数.
22．（8分）如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
23．（9分）如图，直线AB、CD相交于O，射线OE把∠BOD分成两个角，若已知∠BOE= ∠AOC，∠EOD=36°，求∠AOC的度数．
24．（9分）如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠DOF、∠BOF的度数．
25．（10分）平面内有任意一点P和∠1，按要求解答下列问题：
（1）当点P在∠1外部时，如图1，过点P作PA⊥OM，PB_⊥ON，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系．
（2）当点P在∠1内部时，如图2，以点P为顶点作∠APB，使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达∠APB和∠1的数量关系．
（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角　 　
（4）若∠1=50°，∠P的两边和∠1的两边垂直，则∠P的度数为　 　
26．（10分）【感知】如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度；（直接写出答案）
（2）【探究】如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．
①点P在线段上；
②点P在射线上．
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（华师大版）七年级
上
单元复习
相交线和平行线
第4章
“—”
教学目标
01
知识结构
02
要点回顾
03
典例精析
04
目录
内容总览
学习目标
1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程将本章内容条理化、系统化,梳理本章的知识结构;
2.理解对顶角、垂线及同位角、内错角、同旁内角的相关概念，掌握对顶角和垂直的性质;
3.进一步理解平行线的定义、平行公理，掌握平行线的判定和性质;
4.培养学生对平行线的判定与性质的综合应用能力，提高推理与计算的能力.
知识结构
要点回顾
两个角具有相同的顶点，并且一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角．
1.对顶角的定义及性质：
如图，∠1和∠3是对顶角，
∠2和∠4也是对顶角．
要点回顾
对顶角相等.
应用格式：∵直线AB与CD相交于O点，
∴∠1=∠3，∠2=∠4.
1.对顶角的定义及性质：
要点回顾
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
2.垂线的概念，画法及基本事实：
提醒：1.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.
2.交点O叫做垂足.
3.垂直是相交的特殊情况.
要点回顾
垂线的画法：
（1）一靠: 将三角尺的一条直角边靠在已知直线上，即一条直角边与已知直线重合．
（2）二过:移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点．
（3）三画:沿已知点所在的直角边画线，则这条直线就是经过已知点画的已知直线的垂线．
2.垂线的概念，画法及基本事实：
要点回顾
同一平面内, 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：（1）此基本事实的前提是在同一平面内，所过的点可以在直线上，也可以在直线外；
（2）一条直线的垂线有无数条，但过一点只能作一条.
2.垂线的概念，画法及基本事实：
要点回顾
我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 .
3.垂直平分线、垂线段及点到直线的距离：
如图所示的直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
垂直平分线又
可称为中垂线.
要点回顾
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
例如：
线段AB 叫做点 A 到直线 l 的垂线段
3.垂直平分线、垂线段及点到直线的距离：
要点回顾
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离.
例如, 线段 AB 的长度就是点 A 到直线 l
的距离.
3.垂直平分线、垂线段及点到直线的距离：
要点回顾
两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的同侧，被截直线的同一方，这样位置的两个角就是同位角.
4.同位角、内错角、同旁内角：
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
1
2
1
2
1
2
1
2
要点回顾
两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的两侧 ，被截直线之间，这样位置的两个角就是内错角.
图形特征：在形如“Z或N”的图形中有内错角.
1
2
1
2
1
2
1
2
4.同位角、内错角、同旁内角：
要点回顾
两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的同旁 ，被截直线之间，这样位置的两个角就是同旁内角.
图形特征：在形如“U或C”的图形中有同旁内角.　
2
1
1
2
2
1
1
2
4.同位角、内错角、同旁内角：
要点回顾
5.平行线的概念、表示及画法：
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
如图, 直线 a 与直线 b 互相平行, 记作 “a ∥ b” .
记作“AB∥CD”
C
B
A
D
要点回顾
(1) 放
(2) 靠
(3) 推
(4) 画
5.平行线的概念、表示及画法：
要点回顾
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.关于平行线的基本事实及平行线的传递性：
注意：
(1)平行公理中强调“直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线；
(2)“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的.
要点回顾
如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行.
几何语言表达：
c
b
a
∵a//c，c//b(已知)
∴a//b(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
6.关于平行线的基本事实及平行线的传递性：
要点回顾
两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等, 那么这两条直线平行.
7.平行线的判定定理：
简写成: 同位角相等, 两直线平行.
1
2
l2
l1
A
B
符号语言：∵∠1=∠2(已知)
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
要点回顾
两条直线被第三条直线所截, 如果内错角相等, 那么这两条直线平行.
简写成: 内错角相等, 两直线平行.
符号语言：∵∠3=∠2(已知)
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
7.平行线的判定定理：
要点回顾
两条直线被第三条直线所截, 如果同旁内角互补, 那么这两条直线平行.
简写成: 同旁内角互补, 两直线平行.
符号语言：∵∠2+∠4=180°(已知)
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
7.平行线的判定定理：
要点回顾
平行线的判定方法:
1.同位角相等, 两直线平行;
2.内错角相等, 两直线平行;
3.同旁内角互补, 两直线平行.
7.平行线的判定定理：
要点回顾
两条平行直线被第三条直线所截, 同位角相等.
8.平行线的性质定理：
简写成: 两直线平行, 同位角相等.
符号语言：
∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
要点回顾
两条平行直线被第三条直线所截, 内错角相等.
简写成: 两直线平行, 内错角相等.
符号语言：
∵a∥b（已知）
∴∠2=∠3
（两直线平行，内错角相等）
8.平行线的性质定理：
要点回顾
两条平行直线被第三条直线所截, 同旁内角互补.
简写成: 两直线平行, 同旁内角互补.
符号语言：
∵a∥b（已知）
∴∠2+∠4=180 °
（两直线平行，同旁内角互补）
8.平行线的性质定理：
要点回顾
平行线的性质:
1. 两直线平行, 同位角相等;
2.两直线平行, 内错角相等;
3. 两直线平行, 同旁内角互补.
8.平行线的性质定理：
要点回顾
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
9.平行线的判定与性质的关系：
要点回顾
“推理” 是数学的一种基本思想, 包括归纳推理和演绎推理.
归纳推理是一种从特殊到一般的推理, 我们通过一些探索、 操作, 得到某些猜想的过程就是在做这样的推理. 数与代数中由一些具体的结果, 归纳得到一般的结论, 也是这样的推理.
演绎推理是一种从一般到特殊的推理,它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论, 通过推断, 说明最后结论的正确. 例 1 采用的就是演绎推理.
10.数学基本思想：
注意事项
1.对顶角要具备的特点:
①两个角有公共顶点;
②两个角的两边互为反向延长线.
2.两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角.
3.垂直是相交的特殊情况.
4.两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
注意事项
5.平行线的定义包含三层意思：
(1)“在同一平面内”是前提条件；
(2)“不相交”就是说两条直线没有交点；
(3)平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段．
典例精讲
例1 如图，∠1与∠2是对顶角的是(　 　)
A
题型一：对顶角
典例精讲
例2 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，若∠ BOD ＝40°， OA 平分∠ COE ，则∠ AOE ＝ .
40°
题型一：对顶角
典例精讲
例3 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O.若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为(　　 )
A．40° B．50° C．60° D．140°
B
题型二：垂线
典例精讲
例4 下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是(　 　)
C
题型二：垂线
典例精讲
例5 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE ⊥ OF ， OC 平分∠ AOE ，且∠ BOF ＝2∠ BOE ，则∠ DOB 的度数为 .
75°
题型二：垂线
典例精讲
例6 如图，直线 AD ， BE 被直线 BF 和 AC 所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　）
A.∠4，∠2
B.∠2，∠6
C.∠5，∠4
D.∠2，∠4
B
题型三：同位角、内错角、同旁内角
典例精讲
例7 如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是(　 　)
A．∠1＝∠2 　B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 　D．∠2＝∠4
D
题型四：平行线的判定与性质
典例精讲
例8 如图,AB//CD,BC// EF.若∠1=60° ,则∠2的度数为( )
A.120°
B.122°
C.132°
D.148°
A
题型四：平行线的判定与性质
典例精讲
例9 一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点D在BC的延长线上,∠B=∠EDF=90°,∠A=30°,∠F=45°.若EF // BC,则∠CED的度数是( )
A.15° B.25°
C.45° D.60°
A
题型四：平行线的判定与性质
典例精讲
例10 如图,AB∥CD,∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F.求证：∠DEF＝∠F.
题型四：平行线的判定与性质
证明：∵AB∥CD (已知)，
∴∠DCF＝∠B (两直线平行，同位角相等).
∵∠B＝∠D (已知)，
∴∠DCF＝∠D (等量代换).
∴AD∥BC (内错角相等，两直线平行).
∴∠DEF＝∠F (两直线平行，内错角相等).
典例精讲
例11 如图，已知∠DAC=∠ACB，∠D+∠DFE=180°，
求证：EF//BC.
题型四：平行线的判定与性质
证明: ∵∠DAC= ∠ACB (已知)，
∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行).
∵ ∠D+∠DFE=180°(已知)，
∴ AD// EF(同旁内角互补，两直线平行).
∴ EF// BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行).
典例精讲
例12 先阅读，然后解答.
问题：两条不重合的直线将平面分成几部分？
解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分；如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分.
拓展提升
典例精讲
（1）上面问题的解题过程应用了 的数学思想（填“转化”“分类讨论”或“整体处理”）；
（2）三条两两不重合的直线将平面分成几部分？
分类讨论
拓展提升
解：（2）四或六或七部分.
Thanks!
2
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第4章 相交线和平行线 单元测试卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：根据对顶角的定义，一个角的两条边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角，
观察图形，只有图D中的∠1和∠2是对顶角，
故答案为：D.
2．如图，下列说法错误的是（　　）
A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角 D．∠1与∠2是同位角
【答案】D
【解析】【解答】A、∠A与∠B是同旁内角，说法正确；B、∠3与∠1是同旁内角，说法正确；C、∠2与∠3是内错角，说法正确；D、∠1与∠2是邻补角，原题说法错误，故答案选：D
3．下列生活实例中，数学原理解释错误的是（　　）
A．测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短
B．用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线
C．测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】【解答】A、测量两棵树之间的距离，要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线最短，正确。故A不符合题意；
B、用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上，应用的数学原理是：两点确定一条直线，正确。故B不符合题意；
C、测量跳远成绩，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短正确。故C不符合题意；
D、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
故答案为：D.
4．如图，AC⊥BC，AC=4，点D是线段BC上的动点，则A，D两点之间的距离不可能是（　　）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】A
【解析】解：∵AC⊥CB，
∴AD≥AC，
即AD≥4.
故答案为：A.
5．如图，直线，的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若，，则的大小为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】A
【解析】【解答】根据题意可得：∠CAB=90°，
∵a//b，，，
∴∠ABC=180°-∠1-∠CAB-∠2=180°-15°-90°-25°=50°，
故答案为：A.
6．如图，与相交于点，，垂足为，若，则（　　）
A．44° B．46° C．134° D．136°
【答案】C
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°.
∴AOC=∠AOE－∠COE=90°-44°=46°.
∴∠AOD=180°－∠AOC=180°-46°=134°.
故答案为：C.
7．如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【解析】【解答】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可知D符合题意
故答案为：D
8．如图，直线、相交于点，，，则的度数是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
故答案为：C．
9．如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠DCE；④∠B+∠BAD=180°，其中能推出 的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】【解答】①∵∠1=∠2，
∴AB∥CD；
②∵∠3=∠4，
∴AD∥BC；
③∵∠B=∠DCE，
∴AB∥CD；
④∵∠B+∠BAD=180°，
∴AD∥BC；
∴能得到AB∥CD的条件是①③.
故答案为：B
10．把三角板 按如图所示的位置放置，已知 ， ，过三角板的顶点 、 分别作直线 、 ，且 ， .给出以下结论：
（1） ；（2） ；（3） 平分 .其中正确结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】解：∵ ，
∴ .
∵ .
∴ ，故（1）正确.
∵ ，
∵ ，
∴ .故（2）正确.
∵ ，
∴ 的大小随 的大小变化而变化，
∵ 固定，
∴CA不一定平分 .故（3）错误.
综上，正确的结论有两个.
故答案为：C.
二、填空题(共8题；共24分)
11．如图，如果∠1=40°，∠2=100°，∠3的同旁内角等于　 　．
【答案】100°
【解析】解：∵∠2=100°，
∴∠4=100°．
故答案为：100°．
12．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE是射线，若∠1=30°，∠2=60°，则OE与AB 的位置关系是　 　
【答案】垂直
【解析】解：∵∠1=30°，∠2=60°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠AOE=180°-（∠1+∠2）=90°，
∴AB⊥CD.
故答案为：垂直.
13．如图，点在直线上，，若，则的大小为　 　
【答案】150
【解析】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，即∠COB+∠BOD=90°.
∵∠COB=60°，
∴∠BOD=30°.
∵∠AOB是平角，
∴∠AOD=180°-∠BOD=150°.
故答案为：150.
14．一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为　 　．
【答案】15°
【解析】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°-30°=15°．
故答案为15°．
15．如图，内有一点，过点画，，，则的度数为　 　度．
【答案】60或120
【解析】解：如图，
∵，，
∴，
故答案为：60或120．
16．如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=95°，∠2=32°，则∠BOE=　 　.
【答案】53°
【解析】解：∵∠2和∠COE为对顶角
∴∠2=∠COE=32°
∵∠1+∠COE+∠BOE=180°
即95°+32°+∠BOE=180°
∴∠BOE=53°
故答案为：53°。
17．已知直线 与直线 相交于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的度数为　 　．(单位用度表示)
【答案】64.8°
【解析】解：由题意可得∠BOD=
∵
∴∠EOD=90°
∴.
故答案为：64.8°．
18．一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 （ ）.在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为　 　.
【答案】30°或45°或120°或135°或165°
【解析】解：①当CD∥OB时，∠α=∠D=30°
②当OC∥AB时，∠OEB=∠COD=90°，此时∠α=90°-∠B=90°-45°=45°
③当DC∥OA时，∠DOA=∠D=30°，此时∠α=∠AOB+∠AOD=90°+30°=120°
④当OD∥AB时，∠AOD=∠A=45°，此时∠α=∠A+∠AOD=90°+45°=135°
⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，则∠CEO=∠B=45°
∴∠DEO=180°-∠CEO=135°
∴∠DOE=180°-∠DEO-∠D=15°
此时∠α=180°-∠DOE=180°-15°=165°
综上，在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为30°或45°或120°或135°或165°.
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°.
三、解答题(共8题；共66分)
19．（6分）如图，已知三个点A、B、C，按下列要求画图.
⑴画直线；
⑵画射线；
⑶过B点画直线的垂线段，垂足为F.（画图工具不限，不需写出结论，只需画出图形、标注字母）
【答案】解：⑴如图，直线为所求作的直线；
⑵如图，射线为所求作的射线；
⑶如图，线段为所求作的垂线段.
20．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠1=35°，∠2=75°求∠EOB的度数．
【答案】解：∵∠1=35°，
∴∠BOD=∠1=35°，
∴∠EOB=∠2+∠BOD=75°+35°=110°.
21．（8分）如图，直线AB、CD相交于点O， ，过点O画 ，O为垂足，求 的度数.
【答案】解：如图：
∵∠AOC=70°，
∴∠BOC=180°-70°=110°，
∵EO⊥CD，
∴∠BOE=∠BOC-∠COE=20°；
如图，
∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=70°，
∵EO⊥CD，
∴∠BOE=∠BOD+∠DOE=160°；
综上：∠BOE的度数为20°或160°.
22．（8分）如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
【答案】解：∠AED=∠ACB．理由：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．∴∠2=∠4．∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．∵∠3=∠B（已知），∴∠B=∠ADE（等量代换）．∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
23．（9分）如图，直线AB、CD相交于O，射线OE把∠BOD分成两个角，若已知∠BOE= ∠AOC，∠EOD=36°，求∠AOC的度数．
【答案】解：∵∠AOC=∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC，
∵∠BOE=∠AOC，∠EOD=36 ，
∴∠EOD=2∠BOE=36 ，
∴∠EOD=18 ，
∴∠AOC=∠BOE=18 +36 =54 .
24．（9分）如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠DOF、∠BOF的度数．
【答案】解：如图，∵∠COE=35°，
∴∠DOF=∠COE=35°，
∵AB⊥CD，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOF=∠BOD+∠DOF，
=90°+35°
=125°．
25．（10分）平面内有任意一点P和∠1，按要求解答下列问题：
（1）当点P在∠1外部时，如图1，过点P作PA⊥OM，PB_⊥ON，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系．
（2）当点P在∠1内部时，如图2，以点P为顶点作∠APB，使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达∠APB和∠1的数量关系．
（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角　 　
（4）若∠1=50°，∠P的两边和∠1的两边垂直，则∠P的度数为　 　
【答案】（1）∠APB=∠1
（2）∠APB+∠1=180°
（3）相等或互补
（4）50°或130°
【解析】解：（1）如图，∠APB=∠1，
故答案为：∠APB=∠1；
（2）如图，∠APB+∠1=180°，
故答案为：∠APB+∠1=180°；
（3） 结合（1）和（2）的结论得：
如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（4）结合（3）的结论得： ∠P=∠1=50°或 ∠P=180°-∠1=130°，
故答案为：50°或130°.
26．（10分）【感知】如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度；（直接写出答案）
（2）【探究】如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．
①点P在线段上；
②点P在射线上．
【答案】（1）110
（2）解：，理由如下：
如图1，过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：①如图2，，理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
②如图3，，理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【解析】【解答】（1）解：过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：110
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第四章 相交线和平行线
第4章 相交线和平行线 单元复习
学习目标与重难点
学习目标：
1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程将本章内容条理化、系统化,梳理本章的知识结构;
2.理解对顶角、垂线及同位角、内错角、同旁内角的相关概念，掌握对顶角和垂直的性质;
3.进一步理解平行线的定义、平行公理，掌握平行线的判定和性质;
4.培养学生对平行线的判定与性质的综合应用能力，提高推理与计算的能力.
学习重点：平行线的性质和判定.
学习难点：平行线的性质和判定的综合应用.
教学过程
一、知识结构
二、要点回顾
1.对顶角的定义及性质：
2. 垂线的概念，画法及基本事实：
3. 垂直平分线、垂线段及点到直线的距离：
4. 同位角、内错角、同旁内角：
5. 平行线的概念、表示及画法：
6. 关于平行线的基本事实及平行线的传递性：
平行线的判定定理：
8.平行线的性质定理：
9.平行线的判定与性质的关系：
10.数学基本思想：
“推理” 是数学的一种基本思想, 包括归纳推理和演绎推理.
归纳推理是一种从特殊到一般的推理, 我们通过一些探索、 操作, 得到某些猜想的过程就是在做这样的推理. 数与代数中由一些具体的结果, 归纳得到一般的结论, 也是这样的推理.
演绎推理是一种从一般到特殊的推理,它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论, 通过推断, 说明最后结论的正确. 例 1 采用的就是演绎推理.
三、注意事项
1.对顶角要具备的特点:
①两个角有公共顶点;
②两个角的两边互为反向延长线.
2.两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角.
3.垂直是相交的特殊情况.
4.两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
5.平行线的定义包含三层意思：
(1)“在同一平面内”是前提条件；
(2)“不相交”就是说两条直线没有交点；
(3)平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段．
典例精讲
题型一：对顶角
例1 如图，∠1与∠2是对顶角的是(　 　)
例2 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，若∠ BOD ＝40°， OA 平分∠ COE ，则∠ AOE ＝
.
题型二：垂线
例3 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O.若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为(　　 )
A．40° B．50° C．60° D．140°
例4 下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是(　 　)
例5 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE ⊥ OF ， OC 平分∠ AOE ，且∠ BOF ＝2∠ BOE ，则∠ DOB 的度数为 .
题型三：同位角、内错角、同旁内角
例6 如图，直线 AD ， BE 被直线 BF 和 AC 所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ 　　）
A.∠4，∠2 B.∠2，∠6 C.∠5，∠4 D.∠2，∠4
题型四：平行线的判定与性质
例7 如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是(　 　)
A．∠1＝∠2 　 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 　 D．∠2＝∠4
例8 如图,AB//CD,BC// EF.若∠1=60° ,则∠2的度数为( )
A.120° B.122° C.132° D.148°
例9 一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点D在BC的延长线上,∠B=∠EDF=90°,
∠A=30°,∠F=45°.若EF // BC,则∠CED的度数是( )
A.15° B.25° C.45° D.60°
例10 如图,AB∥CD,∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F.求证：∠DEF＝∠F.
例11 如图，已知∠DAC=∠ACB，∠D+∠DFE=180°，求证：EF//BC.
拓展提升
例12 先阅读，然后解答.
问题：两条不重合的直线将平面分成几部分？
解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分；如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分.
（1）上面问题的解题过程应用了 的数学思想（填“转化”“分类讨论”或“整体处理”）；
（2）三条两两不重合的直线将平面分成几部分？
【作业布置】
完成本单元测试卷
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