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新人教版 选择性必修一
第二章 机械振动
第2节 简谐运动的描述
新课引入
简谐运动的物体的位移x与运动时间t之间满足正弦函数关系，因此，位移x的一般函数表达式可写为：x＝Asin（ωt＋φ）
有些物体的振动可以近似为简谐运动,做简谐运动的物体在一个位置附近不断地重复同样的运动.如何描述简谐运动的这种独特性呢？
二、光的折射
学习任务一：振幅
sin（ωt+φ）≤1
x=Asin（ωt+φ）≤A
说明A是物体离开平衡位置的最大距离。
1. 振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅的两倍表示振动物体运动范围的大小。
(2)意义：表示振动的强弱。
(3)单位：米；常用A表示。
用M点和M ′点表示水平弹簧振子在平衡位置O点右端及左端最远位置；
t
x
o
A
-A
M′
M
O
x
振幅和位移的区别：
①振幅等于最大位移的数值。
②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
③位移是矢量，振幅是标量。
学习任务一：振幅
2.深入理解
学习任务二：周期和频率
做简谐振动的振子，如果从A点开始运动，经过O点运动到Aˊ点再经过O点回到A点，这样振子完成了一个完整的振动过程。
从M点开始，一次全振动的完整过程为M→O→M →O→M
从M 点开始，一次全振动的完整过程为M →O→M→O→M
从P0点开始，一次全振动的完整过程为P0→M→O→M →O→P0
即:振动物体在振动过程中，从经过某一点开始计时，振动后再次回到该点，且接下来要完全重复上一次的振动过程.。
2.全振动：
振动物体从某一初始状态开始，再次回到该状态（即位置、速度均与初态完全相同）所经历的过程,称为一次全振动
3.周期和频率
(1).周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示，单位：秒，符号：s
(2).频率：做简谐运动的物体单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位：赫兹，符号：Hz
(3).关系：T＝1/f或f＝1/T
(4).物理意义：周期和频率是描述物体振动快慢的物理量。周期越短，频率越大，物体振动的就越快，反之物体振动的就越慢。
学习任务二：周期和频率
(5).圆频率：根据正弦函数规律，（ωt＋φ）在每增加2π的过程中，函数值循环变化一次。这一变化过程所需要的时间便是简谐运动的周期T。
于是有[ω(t＋T)＋φ]－(ωt＋φ)＝2π
由此解出：ω＝2π/T
根据周期与频率间的关系，则：ω＝2πf
可见，ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”。它也表示简谐运动的快慢。
注意：简谐运动的规律与匀速圆周运动的投影规律相同，故简谐运动的“圆频率”与匀速圆周运动的“角速度”也相等，都满足同样的规律：ω＝ 2π/T ＝2πf
学习任务二：周期和频率
问题：简谐运动一个周期经过的路程是多少？
答：一个周期经过的路程一定是4A
问题：简谐运动半个周期经过的路程是多少？
答：半个周期经过的路程一定是2A
问题：简谐运动1/4个周期经过的路程是多少？
答：1/4个周期经过的路程可能大于A 、等于A 或者小于A，要看具体情况。
学习任务二：周期和频率
4.周期与振幅的关系
如图所示，为一个竖直方向振动的弹簧振子，O为静止时的位置，当把振子拉到下方的B位置后，从静止释放，振子将在AB之间做简谐运动，给你一个秒表，怎样测出振子的振动周期T？
为了减小测量误差，采用累积法测振子的振动周期T，即用秒表测出发生n次全振动所用的总时间t，可得周期为
再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振动的周期。
通过这个实验会发现，弹簧振子的振动周期与其振幅无关。
不仅弹簧振子的简谐运动，所有简谐运动的周期均与其振幅无关。
做一做
如图所示，为一个竖直方向振动的弹簧振子，O为静止时的位置，当把振子拉到下方的B位置后，从静止释放，振子将在AB之间做简谐运动，给你一个秒表，怎样测出振子的振动周期T？
为了减小测量误差，采用累积法测振子的振动周期T，即用秒表测出发生n次全振动所用的总时间t，可得周期为
再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振动的周期。
通过这个实验会发现，弹簧振子的振动周期与其振幅无关。
不仅弹簧振子的简谐运动，所有简谐运动的周期均与其振幅无关。
做一做
1.相位：物理学中把（ωt＋φ）叫作相位，其中φ叫初相位，也叫初相。
由简谐运动的表达式x＝Asin（ωt＋φ）可以知道，一旦相位确定，简谐运动的状态也就确定了。
2.相位差：两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值。
如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2此时我们常说1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。
学习任务三：相位
演 示
观察两个小球的振动情况
（1）把小球向下拉同样的距离后同时放开。观察两球的振幅、周期、振动的步调。
（2）再次把两个小球拉到相同的位置，先把第一个小球放开，再放开第二个，观察两球的振幅、周期、振动的步调。
学习任务三：相位
同时放开的两个小球振动步调总是一致,我们说它们的相位是相同的
对于不同时放开的两个小球,如自开始释放,当第一个小球到达平衡位置时再释放第二个小球,我们说第二个小球的相位落后于第一个小球的相位
二、光的折射
学习任务三：相位
（1）同相：相位差为零， =2n (n=0,1,2,……)。
振动步调完全相同。
（2）反相：相位差为 ， =(2n+1) (n=0,1,2,……)。
振动步调完全相反。
3.同相与反相
根据一个简谐运动的振幅、周期、初相位，可以知道做简谐运动的物体在任意时刻的位移，故振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
学习任务三：相位
振幅
角速度
（圆频率）
相位
初相位
（平衡位置处开始计时）
（最大位移处开始计时）
做一做
用计算机呈现声音的振动图像
绝大多数计算机都有录音、放音的功能，并能匝放音时显示声音的振动图像。
解：（1）B、C 相距 20 cm，知小球的振幅为 10 cm；经过 B 点时开始计时，经过 0.5 s 首次到达 C 点，知周期为1 s ；
由ω＝2πf 知，ω＝2π；小球的初相位为 ;
综上知小球的振动表达式为
如图，弹簧振子的平衡位置为 O 点，在 B、C两点之间做简谐运动。B、C 相距 20 cm。小球经过 B 点时开始计时，经过 0.5 s 首次到达 C 点。
（1）画出小球在第一个周期内的 x-t 图像。
例题1
（2）由于振动的周期 T ＝ 1s，所以在时间 t ＝ 5s 内，小球一共做了 5 次全振动。振动物体在一个周期内的路程一定为4A= 0.4 m，
所以小球运动的路程为 s ＝ 5×0.4 m ＝ 2 m ；
经过 5 次全振动后，小球正好回到 B 点，所以小球的位移为 0.1 m。
如图，弹簧振子的平衡位置为 O 点，在 B、C两点之间做简谐运动。B、C 相距 20 cm。小球经过 B 点时开始计时，经过 0.5 s 首次到达 C 点。
（2）求 5 s 内小球通过的路程及 5 s 末小球的位移。
例题1
有两个简谐运动： ， ， 它们的振幅之比是多少？它们的频率各是多少？它们的相位差是多少？
解：振幅之比
因为w1=8πb，w2=8πb，
且w=2πf，
所以频率都是4b。
相位差：
例题2
1．一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；求该小球做简谐运动的可能周期。
解析：（1）若小球开始运动的方向先向左，再向M运动，运动图线如图，则运动过程中由O到a到M用时3s，由M到b到M用时2S，故由M到b用时1S，故由O到a到M到b用时4S，即 ，所以
（2）若小球开始运动的方向向右，经过M继续向右运动，运动图线如图，则运动过程中由O到M用时3s，由M到b到M用时2S，故由M到b用时1S，由O到b用时4S，即 .
当堂达标检测
2．如图是两个简谐运动的振动图像，它们的相位差是多少？
解析： 时，对甲振动 ，对乙振动 ；
时，对甲振动 ，对乙振动 ；
根据振动方程 知 ，
所以两振动的相位差
说明甲振动比乙振动相位超前
当堂达标检测
3．有甲、乙两个简谐运动：甲的振幅为2cm，乙的振幅为3cm，它们的周期都是4s，当t＝0时甲的位移为2cm，乙的相位比甲落后。请在同一坐标系中画出这两个简谐运动的位移—时间图像。
解析：由题意可知，甲的圆频率 ，当 ，甲处于最大位移处，所以甲的振动方程
为
由题意可知，乙的圆频率 ，乙的相位比甲落后，所以乙的振动方程为
当堂达标检测
4.如图为甲、乙两个简谐运动的振动图像。请根据图像写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
解析：对于甲，振幅 周期 ，圆频率 ， 时，甲已振动了 周期，故甲的振动方程为
对于乙，振幅 周期 圆频率
时，乙已振动了 周期，故甲的振动方程为
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