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新人教版 选择性必修一
第二章 机械振动
第4节 单摆
新课引入
问题
生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内往复运动，它们摆动是否为简谐运动呢？
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆（simple pendulum）。
研究单摆时还有一个条件：与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。
为了更好的满足这个条件，实验时要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线
单摆是实际摆的理想化模型。
（1）忽略线的伸缩和质量；
（2）线长远大于球的直径；
（3）振动时空气阻力可以忽略；
新课引入
单摆的摆动是不是简谐运动呢？
方法二：如果回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，这种振动叫简谐振动。
方法一：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐振动（simple harmonic motion）;
学习任务一：单摆的回复力
单摆摆长为l、摆球质量为m。将摆球拉离平衡位置O后释放，摆球沿圆弧做往复运动。
对摆球在任意位置P点受力分析有：
l
m
O
G
P
F1
F2
T
重力G和摆线拉力T
将重力分解为：沿半径方向的分力F1=mgcosθ和沿圆弧切线方向的分力F2=mgsinθ ；
（1）沿半径方向： T – mgcosθ = m an
（2）沿切线方向： F2 = – mgsinθ = m at
向心力
回复力
规定向右为正方向
学习任务一：单摆的回复力
摆角θ 正弦值 弧度值
1° 0.01754 0.01745
2° 0.03490 0.03491
3° 0.05234 0.05236
4° 0.06976 0.06981
5° 0.08716 0.08727
6° 0.10453 0.10472
7° 0.12187 0.12217
8° 0.13917 0.13963
返回
在摆角小于5度的条件下：Sinθ≈θ（弧度值）
回复力F2与小球的位移x=OP并不成正比也不反向；
但是当摆角θ很小时， OP圆弧可近似为直线，认为F2指向平衡位置O，与位移x=OP反向；
回复力
l
m
O
G
P
F1
F2
T
规定向右为正方向
如果角θ很小，用弧度表示的θ有：
sinθ ≈ θ
结论：单摆在摆角很小的情况下是简谐运动。
（2）沿切线方向： F2 = – mgsinθ = m at
摆角很小：一般是10°以内，越小越准确。
学习任务一：单摆的回复力
二、光的折射
学习任务一：单摆的回复力
单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力？单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？
回复力不是合外力.单摆的运动可看做是变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力是使摆球沿圆弧振动的回复力.所以单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.
【深度思考】
学习任务一：单摆的回复力
光滑圆弧面上有一个小球，把它从最低点移开一小段距离，放手后，小球以最低点为平衡位置左右振动，请你证明小球的振动是简谐运动？
G
FN
G1
解析：小球在光滑圆弧面上摆动时，回复力由重力沿切线方向的分力提供
在偏角很小时，小球相对于最低点的位移为x与所对应的弧长近似相等；设圆半径为r ，
符合简谐运动的动力学特征，则小球做简谐运动
例题1
二、光的折射
学习任务二：单摆的周期
实验1：两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同
实验探究影响单摆周期的因素
结论：单摆的振动周期与摆球质量无关。
二、光的折射
学习任务二：单摆的周期
实验1：两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同
实验探究影响单摆周期的因素
结论：单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。
二、光的折射
学习任务二：单摆的周期
实验1：两摆的摆球质量、振幅相同，摆长不同
实验探究影响单摆周期的因素
结论：单摆的振动周期与摆长有关。
二、光的折射
学习任务二：单摆的周期
实验1：两摆的振幅、摆长相同，摆球质量不同
实验探究影响单摆周期的因素
结论：单摆的振动周期与摆球质量无关。
二、光的折射
学习任务二：单摆的周期
实验1：两摆的摆长、摆球质量相同，振幅不同
实验探究影响单摆周期的因素
结论：单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。
二、光的折射
学习任务二：单摆的周期
实验1：两摆的摆球质量、振幅相同，摆长不同
实验探究影响单摆周期的因素
结论：单摆的振动周期与摆长有关。
二、光的折射
学习任务二：单摆的周期
实验1：两摆的摆球质量、振幅相同，摆长不同
实验探究影响单摆周期的因素
结论：单摆的振动周期与摆长的平方根成正比。
为了找出定量的关系，荷兰物理学家惠更斯进行了详尽的研究，发现单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。
惠更斯确定了计算单摆周期的公式
单摆周期公式的发现，为人类利用简谐运动定量计时提供了可能，并以此为基础发明了真正可持续运转的时钟。
学习任务二：单摆的周期
单摆周期的公式
惠更斯（荷兰）
在人类文明进步和科学技术发展的历史长河中，人类活动与时间测量的精度是密不可分的。很久很久以前，我们的祖先记录时间是利用天体的周期性运动。例如利用太阳和月亮相对自己的位置等来模糊地定义时间。
后来，人们从观察自然现象到逐渐发明了日晷、水钟、沙漏等人造计时装置，这标志着人造时钟开始出现（图 1）
当钟摆等可长时间周期性运动的振荡器出现后，人们把能产生确定的振荡频率的装置，作为时间频率标准，并以此为基础发明了真正可持续运转的时钟。
从 20 世纪 30 年代开始，随着晶体振荡器的发明，小型化、低能耗的石英晶体钟表代替了机械钟，广泛应用在电子计时器和其他各种计时领域。
科学漫步
从日晷到原子钟
20 世纪 40 年代开始，科学家们利用原子超精细结构跃迁能级具有非常稳定的跃迁频率这一特点，发展出比晶体钟更高精度的原子钟。
随着激光冷却原子技术的发展，利用激光冷却的原子制造的冷原子钟（图 2）使时间测量的精度进一步提高。到目前为止，地面上精度最高的冷原子喷泉钟已经达到每 3 亿年只有 1 s 的误差，更高精度的冷原子光钟也在快速发展中。
近年来，科学家们将激光冷却原子技术与空间微重力环境相结合，有望在空间轨道上获得比地面上的线宽要窄一个数量级的原子钟谱线，从而进一步提高原子钟的精度，这将是原子钟发展史上又一个重大突破。
从日晷到原子钟
科学漫步
从日晷到原子钟
我国制造的空间冷原子钟
日晷
科学漫步
1. 周期是2s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已知月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，它在月球上做50次全振动要用多少时间？
例题1
解析：根据单摆的周期公式 ，可得 的秒摆的摆长为
秒摆在月球上的周期为
做50次全振动的时间为
将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的 (　　)
A．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsin θsin α
B．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsin θ
C．摆球经过平衡位置时合力为零
D．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F′＝mgsin α
例题2
【解析】摆球做简谐运动的回复力由重力沿斜面的分力沿圆弧切线方向的分力来提供，则回复力为F＝mgsinθsin α，故A正确，B错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，故C错误；设摆球在平衡位置时速度为v，由动能定理得mgsin α(l－lcos θ)＝mv2，由牛顿第二定律得F′－mgsin α＝m，由以上两式可得线的拉力为F′＝3mgsin α－2mgsin αcos θ，故D错误．
例题2
1. 探究单摆周期与摆长之间的一个理想单摆，已知其周期为T。如果由于某种原因（如转移到其他星球）自由落体加速度变为原来的1/2 ,它的周期变为多少？
解析：由单摆周期公式 ，可以看出周期与振幅及摆球质量无关
将 打入可得，
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2. 如图是两个单摆的振动图像。
（1）甲、乙两个摆的摆长之比是多少？
（2）以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t=0起，乙第一次到达右方最大位移时，甲摆动到了什么位置？向什么方向运动？
解析：由图可知， ，
由 得
由题意可知，乙第一次到达右方做大位移处时，对应乙的位移正的最大，此时 ，再有甲的图像知，甲在 时刚好到达平衡位置，且此时向左运动。
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3. 一条细线下面挂着一个小球，让它自由摆动，画出它的振动图像如图所示。
（1）请根据图中的数据计算出它的摆长。
（2）请根据图中的数据估算出它摆动的最大偏角。
解析：有图可知单摆的周期
由单摆周期公式 ，可求出摆长
其摆角最大时 ，由几何关系可得，最大摆角的正弦值为 ，最大摆角约为
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4如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉力F，F的大小随时间t变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小v＝55 m/s，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求：
(1)单摆的摆长l；
(2)摆球的质量m；
(3)摆线拉力的最小值。
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解析　(1)由题图乙可知单摆周期为T＝2 s
根据单摆周期公式T＝2π
解得l＝1 m。
(2)当拉力最大时，即F＝1.02 N，
摆球处在最低点由牛顿第二定律F－mg＝m
解得m＝0.1 kg。
(3)从最低点到最高点，由动能定理得－mgl(1－cos θ)＝0－mv2
解得cos θ＝0.99
在最高点摆线的拉力最小，最小值为F′＝mgcos θ＝0.99 N。
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