资源简介

2024 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨 2024 年全国高中数学联合竞赛
一试（A 卷）参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各
题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷
时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，
第 10、11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1. 若实数m 1满足 log9 (log8 m) 2024，则 log3(log2 m)的值为 ．
答案：4049．
解： log3(log2 m) log3(3log8 m) 1 2log9 (log8 m) 1 2 2024 4049．
2. 设无穷等比数列{an}的公比 q满足0 q 1．若{an}的各项和等于{an}各
项的平方和，则 a2的取值范围是 ．
1
答案： , 0 (0, 2)． 4
{a } a解：因为数列 n 的各项和为 1 ，注意到{an}各项的平方依次构成首项1 q
a2 a
2
为 1 、公比为 q
2 的等比数列，于是{a2n }的各项和为 1 2 ． 1 q
a a2
由条件知 1 1 2 ，化简得 a1 1 q ． 1 q 1 q
2
q ( 1, 0) (0,1) a (1 q)q q 1 1 1

当 时， 2 , 0
(0, 2)．
2 4 4
3. 设实数 a, b满足：集合 A {x R x2 10x a 0}与 B {x R bx b3}
的交集为[4, 9]，则 a b 的值为 ．
答案：7 ．
解：由于 x2 10x a (x 5)2 25 a ，故 A是一个包含[4, 9]且以 x 5
为中点的闭区间，而 B 是至多有一个端点的区间，所以必有 A [1, 9]，故a 9．
进一步可知 B 只能为[4, )，故b 0且 4b b3 ，得b 2．
于是 a b 7．
4. 在三棱锥 P ABC 中，若 PA 底面 ABC ，且棱 AB, BP, BC, CP 的长分
别为1, 2, 3, 4，则该三棱锥的体积为 ．
3
答案： ．
4
解：由条件知PA AB， PA AC．
因此 PA BP2 AB2 3，进而 AC CP2 PA2 13 ．
1
AB2 BC 2 AC 2ABC cos B 1 9 13 1在 中， ，故 sin B 3 ．
2AB BC 2 1 3 2 2
S 1 3 3所以 ABC AB BC sin B ． 2 4
又该三棱锥的高为 PA，故其体积为V 1 S 3 ABC PA ． 3 4
5. 一个不均匀的骰子，掷出1, 2, 3, 4, 5, 6 点的概率依次成等差数列．独立地
先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为 a, b．若事件“ a b 7”发生的概率
1
为 ，则事件“ a b ”发生的概率为 ．
7
4
答案： ．
21
解：设掷出1, 2, , 6点的概率分别为 p1, p2 , , p6 ．由于 p1, p2 , , p6 成等差
1
数列，且 p1 p2 p6 1，故 p1 p6 p2 p5 p3 p4 ． 3
事件“ a b 7”发生的概率为 P1 p1 p6 p2 p5 p6 p1 ．
事件“ a b ”发生的概率为 P p2 p22 1 2 p
2
6 ．
2
于是 P P 2 21 2 ( p1 p6 ) ( p2 p5 ) ( p3 p )
2 3 1 14 ． 3 3
1 1 1 4
由于 P1 ，所以 P7 2
．
3 7 21
6. 设 f (x)是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数 g(x) f (2x )在区
间[0, 5)上的零点个数为 25，则 g(x)在区间[1, 4)上的零点个数为 ．
答案：11．
解：记 2x t ，则当 x [0, 5) 时，t [1, 32)，且 t随 x增大而严格增大．因此，
g(x)在[0, 5)上的零点个数等于 f (t)在[1, 32)上的零点个数．
注意到 f (t)有最小正周期5，设 f (t)在一个最小正周期上有m 个零点，则
f (t)在[2, 32)上有6m 个零点，又设 f (t)在[1, 2)上有 n个零点，则6m n 25，
且0 n m ，因此m 4, n 1．
从而 g(x) 在 [1, 4)上的零点个数等于 f (t)在 [2,16) [1,16) \ [1, 2) 上的零点个
数，即3m n 11．
7. 设 F1, F2 为椭圆 的焦点，在 上取一点 P （异于长轴端点），记O 为

PF1F2 的外心，若 PO F1F2 2PF1 PF2 ，则 的离心率的最小值为 ．
6
答案： ．
4

解：取F1F2 的中点M ，有MO F1F2 ，故MO F1F2 0．
记 PF1 u, PF2 v, F1F2 d ，则
2 2
1 PO F F v u1 2 PM F1F2 MO F1F2 (PF1 PF2 ) (PF2 PF1) ， 2 2

2PF PF 2uv cos F PF u2 v2 d 21 2 1 2 ，
2
v2 u2 3u2 v2
故由条件知 u2 v2 d 2 ，即 d 2 ．
2 2
8 2 2 2 1 由柯西不等式知 d (3u v ) 1

(u v)
2（当 v 3u时等号成立）．
3 3
所以 的离心率 e d 3 6 ．
u v 8 4
6
当u : v : d 1:3: 6 时， 的离心率 e取到最小值 ．
4
8. 若三个正整数 a, b, c的位数之和为8，且组成 a, b, c 的8个数码能排列为
2, 0, 2, 4, 0, 9, 0, 8，则称 (a, b, c)为“幸运数组”，例如 (9, 8, 202400)是一个幸运
数组．满足10 a b c的幸运数组 (a, b, c)的个数为 ．
答案：591．
解：对于幸运数组 (a, b, c)，当10 a b c时，分两类情形讨论．
情形 1： a是两位数，b, c是三位数．
暂不考虑b, c的大小关系，先在 a, b, c的非最高位（五个位置）中选三个位
置填0 ，剩下五个位置还未填，任选其中两个填 2 ，最后三个位置填写 4, 8, 9，
这样的填法数为C35 C
2
5 3! 600 ．再考虑其中 b, c的大小关系，由于不可能有
b c ，因此b c与b c的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．
情形 2： a, b是两位数， c是四位数．
暂不考虑 a, b的大小关系，类似于情形 1，先在 a, b, c的非最高位（五个位
置）中选三个位置填0 ，剩下五个位置填 2, 2, 4, 8, 9，这样的填法数为600 ．再
考虑其中 a, b的大小关系．若 a b ，则必有 a b 20，c的四个数字是0, 4, 8, 9
的排列，且0 不在首位，有3 3! 18种填法，除这些填法外，a b与 a b的填
600 18
法各占一半，故有 291个满足要求的幸运数组．
2
综上，所求幸运数组的个数为300 291 591．
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9. （本题满分 16 ABC cosC sin A cos A sin B cos B分）在 中，已知 ，
2 2
求 cosC 的值．

解：由条件知cosC 2 sin 2 A sin

2 4
B ． …………4 分
2 4
A
假如 B

，则C ，cosC 0，但 sin A


4 4 2 4
0，矛盾．


所以只可能 A B ．此时 A B
0, ，C 2A． 4 4 2
…………8 分

注意到 cosC 2 sin A
0，故C ，所以 A B ,
，结合条
2 4 2 4 2
3
件得
cosC cos 2A sin

2A
2sin

2
A cos
4
A 4
2 2 cosC 1 ( 2 cosC)2 ，
又 cosC 0 7，化简得8(1 2cos2 C) 1，解得 cosC ． …………16 分
4
10.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系中，双曲线 : x2 y2 1的右顶点
为 A．将圆心在 y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若
d
两个好圆外切于点 P ，圆心距为 d ，求 的所有可能的值．
PA
解：考虑以 (0, y0 )为圆心的好圆 : x
2 (y y 2 20 0 ) r0 (r0 0)．
由 0与 的方程消去 x，得关于 y 的二次方程
2y2 2y0 y y
2
0 1 r
2
0 0 ．
根据条件，该方程的判别式 4y2 8(y20 0 1 r
2 ) 0，因此 y2 2r 20 0 0 2．
…………5 分
对于外切于点 P 的两个好圆 1, 2，显然 P 在 y 轴上．设 P (0, h) ， 1, 2的
半径分别为 r1, r2，不妨设 1, 2的圆心分别为 (0, h r1), (0, h r2 )，则有
(h r )21 2r
2
1 2，
(h r2 )
2 2r 22 2．
两式相减得 2h(r1 r ) r
2
2 1 r
2
2 ，而 r1 r2 0 h
r1 r，故化简得 2 ．
2
…………10 分
r r 2
进而 1 2 r 2r 2 1 1 2，整理得 2
r 2 21 6r1r2 r2 8 0． ①
d r r A(1, 0) PA 2 h2 1 (r1 r )
2
由于 1 2 ， ，
2 1，而①可等价地写为
4
2(r1 r
2
2 ) 8 (r1 r )
2 2 d
2 ，即8 PA d
2 ，所以 2 2 ． …………20 分
PA
11.（本题满分 20 分）设复数 z, w满足 z w 2，求 S z2 2w w2 2z
的最小可能值．
解法 1：设 z a b i (a, b R) ，则w 2 a b i，故
S a2 2a 4 b2 2b(a 1) i a2 6a 4 b2 2b(a 3) i ，
a2 2a 4 b2 a2 6a 4 b2
(a 1)2 5 b2 (a 3)2 5 b2 ． ①
…………5 分
记 t a 1．对固定的b ，记 B 5 b2 5，求 f (t) t 2 B (t 4)2 B
的最小值．
4
由 f (t) f (4 t) ，不妨设 t 2．我们证明 f (t) f (t0 )，其中 t0 B ．
当 t [2, t0 ]时， t 4 [ 2, t0 4]，
f (t) f (t0 ) (B t
2 ) (B (t 4)2 ) (B (t0 4)
2 )
t 2 (t 4)2 (t 2 (t 4)2 ) (2t 20 0 0 8t0 ) (2t
2 8t)
0（用到 2 t t0 及 y 2x
2 8x在[2, )上单调增）．
…………10 分
当 t [t0 , ) 时，
f (t) f (t0 ) t
2 B (t 4)2 B (t0 4)
2 B
t 2 t 20 (t 4)
2 (t 20 4) (t t0 ) t t0 t t0 8
0（用到 t t0 4）． …………15 分
所以 S f (t ) B (t 4)20 0 8 B 16 8 5 16．
当b 0（①取到等号）， a t0 1 5 1时， S 取到最小值8 5 16．
…………20 分
解法 2：设 z 1 x y i, w 1 x y i (x, y R)，不妨设其中 x 0．
计算得
z2 2w (x2 4x 1 y2 ) (2x 4)y i，
w2 2z (x2 4x 1 y2 ) (2x 4)y i ．
所以
S Re(z2 2w) Re(w2 2z) x2 4x 1 y2 x2 4x 1 y2 ．
…………5 分
利用 a b a b ，可得
S 8x， ①
亦有
S 2 x2 1 y2 2(1 x2 y2 ) 2(1 x2 )． ②
…………10 分
注意到方程8x 2(1 x2 ) 的正根为 5 2．
当 x 5 2 时，由①得 S 8x 8 5 16．
当0 x 5 2时，由②得 S 2(1 x2 ) 2(1 ( 5 2)2 ) 8 5 16．
因此当 x 5 2, y 0时， S 取到最小值8 5 16． …………20 分
解法 3：因为w = 2 z ，所以我们有
z2 2(2 z) z2 2z 4 z 1 5 z 1 5 ；
(2 z)2 2z z2 6z 4 z 1 5 z 1 5 .
从而上两式最右边各项分别是 z 到复平面中实轴上的点 1 5 ， 1+ 5 ，
3 5 ，3+ 5 的距离，所以把 z = x + iy换成其实部 x时，都不会增大.因此只需
考虑函数 f (x) = x2 + 2x 4 + x2 6x + 4 在 R 上的最小值.
…………10 分
因为 1 5 < 3 5 < 1+ 5 < 3+ 5 ，因此我们有以下几种情况：
5
1. 若 x ≤ 1 5 , 则 f (x) = 2x2 4x , 在 这 一 区 间 上 的 最 小 值 为
f ( 1 5) =16+8 5 ；
2.若 x∈( 1 5, 3 5 ，则 f (x) = 8x +8 ，在这一区间上的最小值为
f (3 5) = 16+8 5 ；
…………15 分
3.若 x∈ 3 5, 1+ 5 ，则 f (x) = 2x2 + 4x ，在这一区间上的最小值为
f (3 5 ) = f ( 1+ 5 ) = 16+8 5 ；
4.若 x∈ 1+ 5, 3+ 5 ，则 f (x) = 8x 8 ，在这一区间上的最小值为
f ( 1+ 5 ) = 16+8 5 ；
5. 若 x ≥ 3+ 5 ， 则 f (x) = 2x2 4x ， 在 这 一 区 间 上 的 最 小 值 为
f (3+ 5 ) =16+8 5 .
综上所述，所求最小值为 f (3 5 ) = f ( 1+ 5 ) = 8 5 16.
…………20 分
6

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