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5　弹性碰撞和非弹性碰撞
学习任务一　弹性碰撞和非弹性碰撞
[物理观念]
1.碰撞过程的特点
(1)碰撞相互作用时间极短.
(2)碰撞相互作用力极大,即内力远大于外力,满足系统动量守恒条件.
(3)可以认为物体在碰撞的瞬间位置不变.
2.填写碰撞从能量角度的分类与特点的相关知识
弹性碰撞 碰撞前后动能　　　
非弹性碰撞 碰撞后动能　　　
完全非弹性碰撞 碰撞后合为一体或碰后具有共同速度,这种碰撞动能损失　　　
[科学推理] 如图所示,质量分别为m1、m2的两个大小相同的球分别以速度v1、v2在光滑的水平面上沿同一直线运动,其中v2>v1,两球碰撞后粘在一起以速度v运动.
系统碰撞前、后动量守恒,有 　　　　　.
碰撞后系统动能损失ΔEk= 　　　　　　　　.
例1 质量分别为300 g和200 g的两个物体在光滑的水平面上相向运动,速度分别为50 cm/s和100 cm/s.
(1)如果两物体碰撞并粘合在一起,求它们共同的速度大小;
(2)如果两物体碰撞并粘合在一起,求碰撞后损失的动能;
(3)如果碰撞是弹性碰撞,求两物体碰撞后的速度大小.
[反思感悟]

变式1 [2020·全国卷Ⅲ] 甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动.甲追上乙,并与乙发生碰撞,碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示.已知甲的质量为1 kg.则碰撞过程两物块损失的机械能为 (　)
A.3 J B.4 J C.5 J D.6 J
学习任务二　弹性碰撞实例分析
[科学推理] 阅读教材,理解弹性碰撞
两质量分别为m1、m2的小球发生弹性正碰,入射球的初速度v1≠0,被碰球的初速度v2=0,则有
m1v1=m1v'1+m2v'2,
m1=m1v+m2v,
可得v'1=v1,v'2=v1.
分情况讨论:
(1)当m1=m2时,v1'=0,v2'=v1.(质量相等,速度交换)
(2)当m1>m2时,v1'>0,v2'>0,且v2'>v1'.(大碰小,一起跑)
(3)当m10.(小碰大,要反弹)
(4)当m1 m2时,v1'=v1,v2'=2v1.(极大碰极小,大不变,小加倍)
(5)当m1 m2时,v1'=-v1,v2'=0.(极小碰极大,小等速率反弹,大不变)
例2 [2022·杭州外国语学校月考] 质量相等的甲、乙、丙三个球沿同一直线放在光滑水平面上,如图所示,乙球与丙球靠在一起,且均静止,甲球以速度v向它们滚动.若它们在对心碰撞中无机械能损失,则碰撞后 (　)
A.甲球向左、乙球和丙球向右运动
B.乙球不动,甲球向左、丙球向右运动
C.甲球和乙球向左、丙球向右运动
D.甲球和乙球不动,丙球向右运动
变式2 如图所示,B、C、D、E、F五个小球并排放置在光滑的水平面上,B、C、D、E四个球质量相等,而F球的质量小于B球,A球的质量等于F球.若A球以速度v0向B球运动,所发生的碰撞均为弹性碰撞,则碰撞之后 (　)
A.5个小球静止,1个小球运动
B.4个小球静止,2个小球运动
C.3个小球静止,3个小球运动
D.6个小球都运动
学习任务三　碰撞的可行性
[物理观念] 弹性碰撞和完全非弹性碰撞是碰撞的两种极限情况,其余的碰撞结果应该是介于这两种极限情况之间.
正碰(即对心碰撞)既不是指弹性碰撞,也不是指完全非弹性碰撞,它是指一维碰撞,即碰撞前、后物体在同一条直线上运动,显然它既可能是弹性碰撞或完全非弹性碰撞,也可能是一般的非弹性碰撞.
例3 (多选)甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动,已知它们的动量分别是p1=4 kg·m/s,
p2=6 kg·m/s,甲从后面追上乙并发生碰撞,碰后乙球的动量变为8 kg·m/s,则两球质量m1与m2间的关系可能是(　)
A.3m1=m2
B.4m1=m2
C.5m1=m2
D.6m1=m2
变式3 (多选)质量为m、速度为v的A球跟质量为3m、静止的B球发生正碰,碰撞可能是弹性碰撞,也可能是非弹性碰撞,因此,碰撞后B球的速度可能有不同的值.碰撞后B球的速度可能为 (　)
A.0.6v B.0.4v
C.0.3v D.0.2v
【要点总结】
动碰动的弹性碰撞
情境:若在一光滑水平面上有两个质量分别为m1、m2的刚性小球A和B,以初速度v1、v2运动,若它们能发生碰撞(为一维弹性碰撞),碰撞后它们的速度v'1和v'2分别是多大
【列式】碰撞过程中系统动量守恒:m1v1+m2v2=m1v'1+m2v'2
弹性碰撞中没有机械能损失:m1+m2=m1v+m2v
【结论】
v'1=;
v'2=.
示例　(多选)[2022·效实中学期中] 如图所示,光滑水平面上有一质量mA=1 kg的A球和一质量mB=1.5 kg的B球同向运动.已知A球的初速度v1=10 m/s,B球的初速度v2=5 m/s,运动一段时间后,两球发生对心正碰.下列说法正确的是(　)
A.当两球发生的碰撞是弹性碰撞时,A球对B球的冲量为7.5 N·s
B.碰撞的过程中,系统损失的机械能可能为8 J
C.碰撞后,A球的速度可能为5 m/s
D.当两球发生的碰撞是完全非弹性碰撞时,A球对B球的冲量为3 N·s
[反思感悟]

变式4　[2022·温州中学期中] 如图所示为大球和小球叠放在一起、在同一竖直线上进行的超级碰撞实验,可以使小球弹起并上升到很大高度.将质量为M的大球(在下),质量为m的小球(在上)叠放在一起,从距地面高h处由静止释放,h远大于球的半径,不计空气阻力.假设大球和地面、大球与小球的碰撞均为弹性碰撞,且碰撞时间极短.下列说法正确的是 (　)
A.若大球的质量远大于小球的质量,则小球上升的最大高度为9h
B.若M=3m,则小球与大球碰撞后的速度大小为2
C.若M=3m,则大球与小球碰撞后,小球上升的高度为2h
D.若M=3m,则大球与小球碰撞后,大球上升的高度为0.25h
1.(碰撞的能量问题)[2022·北仑中学月考] 在光滑的水平面上,一质量为m的小球A以初动能Ek与质量为2m的静止小球B发生碰撞,碰撞后A球停下,则碰撞后B球的动能为 (　)
A.0 B.
C.Ek D.Ek
2.(完全非弹性碰撞)(多选)作为时尚青年热爱的运动,溜旱冰又炫又酷,备受追捧.如图甲所示,水平地面上有A、B两位同学,A的质量为50 kg,B静止在地面上,A以一定的初速度向B滑去,一段时间后抱住B一起向右运动.若以向右为正,A运动的位移—时间图像(x-t图像)如图乙所示,不计空气阻力以及地面对人的阻力,则下列说法正确的是 (　)
A.B的质量为60 kg
B.B的质量为75 kg
C.A抱住B的过程中损失的机械能为375 J
D.A抱住B的过程中损失的机械能为400 J
3.(弹性碰撞)[2022·富阳中学月考] 在光滑水平面上有两个相同的弹性小球A、B,质量都为m,B球静止,A球向B球运动,发生正碰.已知碰撞过程中机械能守恒,两球压缩最紧时弹性势能为Ep,则碰前A球的速度为 (　)
A. B.
C.2 D.2
4.(碰撞的可行性)(多选)两个小球A、B在光滑水平面上相向运动,已知它们的质量分别是m1=4 kg和m2=2 kg,A的速度v1=3 m/s(设为正),B的速度v2=-3 m/s,则它们发生正碰后,其速度可能分别是　 (　)
A.1 m/s和1 m/s
B.4 m/s和-5 m/s
C.2 m/s和-1 m/s
D.-1 m/s和5 m/s
5.(动碰动的弹性碰撞)(多选)如图,质量为m1的小球以速度v1向右在光滑的地面上运动,质量为m2的小球以速度v2也向右运动,且v1>v2,两球发生弹性碰撞,碰撞后的m1的速度为v1',m2的速度为v2',则　 (　)
A.v1'=v2+v1,v2'=v1+v2
B.v1'=v1+v2,v2'=v2+v1
C.若m1=m2,则v1'=v1,v2'=v2
D.若m1=m2,则v1'=v2,v2'=v1
答案
[物理观念] 不变　减少　最大
[科学推理] m1v1+m2v2=(m1+m2)v　m1+m2-(m1+m2)v2
例1　(1)0.1 m/s　(2)0.135 J　(3)0.7 m/s　0.8 m/s
[解析] (1)取300 g物体的初速度方向为正方向,令m1=300 g=0.3 kg,m2=200 g=0.2 kg,v1=50 cm/s=0.5 m/s,v2=-100 cm/s=-1 m/s
设两物体碰撞后粘合在一起的共同速度为v
由动量守恒定律得m1v1+m2v2=(m1+m2)v
代入数据解得v=-0.1 m/s,负号表示方向与v1的方向相反.
(2)在(1)的情况下,碰撞后两物体损失的动能为
ΔEk=m1+m2-(m1+m2)v2
代入数据解得ΔEk=0.135 J.
(3)如果碰撞是弹性碰撞,设碰后两物体的速度分别为v1',v2',
由动量守恒定律得m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2',
由机械能守恒定律得
m1+m2=m1v1'2+m2v2'2,
代入数据得v1'=-0.7 m/s,v2'=0.8 m/s,负号表示方向与v1方向相反.
变式1　A　[解析] 甲、乙相碰过程系统动量守恒,有m甲v甲+m乙v乙=m甲v'甲+m乙v'乙,由图像可知,v甲=5 m/s,v乙=1 m/s,v'甲=-1 m/s,v'乙=2 m/s,又知m甲=1 kg,解得m乙=6 kg,碰撞过程中两物块损失的机械能为ΔE=m甲+m乙-m甲v-m乙v=3 J,故A正确.
例2　D　[解析] 由于球甲与球乙发生碰撞时间极短,球乙的位置来不及发生变化,这样球乙对球丙也就无法产生力的作用,即球丙不会参与此次碰撞过程.而球甲与球乙发生的是弹性碰撞,质量又相等,故它们在碰撞中实现速度交换,碰后球甲立即停止,球乙速度立即变为v;此后球乙与球丙碰撞,再一次实现速度交换,所以碰后球甲、球乙的速度为零,球丙的速度为v.
变式2　C　[解析] A与B相碰时,由于A的质量小于B,故A被弹回,B获得速度与C碰撞,由于发生的碰撞为弹性碰撞且两球质量相等,故B静止,C获得速度,同理,C和D的碰撞及D与E的碰撞都是如此,E获得速度后与F碰撞的过程中,由于E的质量大于F,故碰后E、F都向右运动,所以碰撞之后,A、E、F三球运动,B、C、D三球静止.
例3　AB　[解析] 碰前甲的速度大于乙的,有>,代入数据解得<,根据动量守恒定律得p1+p2=p'1+p'2,解得p'1=2 kg·m/s,碰撞过程系统的总动能不增加,有+≤+,代入数据解得≤,碰撞后甲的速度不大于乙的速度,有≤,代入数据解得≥,所以≤≤,故A、B正确,C、D错误.
变式3　BC　[解析] 两球相碰时若发生弹性碰撞,则碰后B球的速度为v2==0.5v;若发生完全非弹性碰撞,则碰后B球的速度为v2==0.25v,故B球的速度v2的范围为0.25v≤v2≤0.5v,故B、C正确.
素养提升
示例　CD　[解析] 发生弹性碰撞时,根据动量守恒及机械能守恒有mAv1+mBv2=mAvA+mBvB,mA+mB=mA+mB,得vA=4m/s ,vB=9m/s,A球对B球的冲量为I=mBvB-mBv2=6 N·s,A错误;若发生完全非弹性碰撞,则mAv1+mBv2=(mA+mB)v,得v=7 m/s,则碰撞后A球的速度在4 m/s到7 m/s之间,完全非弹性碰撞的机械能损失最大ΔE=mA+mB-(mA+mB)v2=7.5 J,B错误,C正确;当两球发生的碰撞是完全非弹性碰撞时,A球对B球的冲量为I'=mBv-mBv2=3 N·s,D正确.
变式4　A　[解析] 两球做自由落体运动v2=2gh,两球落地时速度大小为v=.大球与地面碰撞后,速度瞬间反向,大小不变,两球发生弹性碰撞,两球碰撞过程系统内力远大于外力,系统动量守恒、机械能守恒,设碰撞后小球速度大小为v1,大球速度大小为v2,选向上为正方向,由动量守恒和机械能守恒得Mv-mv=mv1+Mv2,(m+M)v2=m+M,解得v1=.当M m时,不考虑m影响,则v1=3,小球上升高度为H==9h,故A正确;若M=3m,则碰撞后小球的速度大小为v1==2,小球上升高度为H'==4h,故B、C错误;若M=3m,则碰撞后大球的速度大小为v2=0,大球不上升,故D错误.
随堂巩固
1.B　[解析] 小球A与静止小球B发生正碰,规定小球A的初速度方向为正方向,设撞后B球的速度大小为v2,根据碰撞过程中动量守恒可得mv0=mv1+2mv2,碰后A球停下,即v1=0,解得v2=v0,又Ek=m,所以碰后B球的动能为EkB=×2m=m=,A、C、D错误,B正确.
2.BC　[解析] 根据题图乙,A抱住B前A的速度大小vA== m/s=5 m/s,A抱住B后他们的共同速度大小v== m/s=2 m/s,根据动量守恒定律有mAvA=(mA+mB)v,解得mB=75 kg,A错误,B正确;A抱住B的过程中损失的机械能ΔE=mA-(mA+mB)v2,解得ΔE=375 J,C正确,D错误.
3.C　[解析] 设碰前A球的速度为v0,根据动量守恒定律有mv0=2mv,则压缩最紧(A、B有相同速度)时的速度v=,由系统机械能守恒得m=×2m×+Ep,解得v0=2.
4.AD　[解析] 碰撞前后动量守恒,可验证四个选项都满足要求,再看动能情况,碰撞前系统总动能Ek=m1+m2=×4×32 J+×2×32 J=27 J,碰撞后系统总动能E'k=m1v+m2v,由于碰撞过程中动能不可能增加,故应有Ek≥E'k,可排除选项B选项.C虽满足Ek≥E'k,但A、B沿同一直线相向运动,发生碰撞后各自仍能保持原来的速度方向(v'A>0,v'B<0),这显然是不符合实际的,选项C错误.选项A、D均满足Ek≥E'k,且速度合理,故选项A、D正确.
5.BD　[解析] 两球发生弹性碰撞,满足系统的动量守恒,能量守恒,取向右方向为正方向,根据动量守恒有m1v1+ m2v2=m1 v1'+m2 v2',由能量守恒可知m1+m2=m1v+m2v,联立解得v'1=v1+v2,v'2= v2+v1,若满足m1=m2,则有v'1=v2,v'2= v1,故B、D正确,A、C错误.

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