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第二章 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系
第一课时　直线与圆的位置关系
课标要求
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题.
海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系.
引入
课时精练
一、直线与圆的位置关系的判断
二、圆的切线方程
三、圆的弦长问题
课堂达标
内容索引
直线与圆的位置关系的判断
一
探究1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片，结合初中平面几何知识，思考：直线与圆有哪些位置关系？
提示　相交、相切与相离.
探究2 在平面直角坐标系中，如何利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置关系？
提示　可以看直线方程和圆的方程组成方程组解的个数或者看圆心到直线的距离与半径的关系.
直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断
知识梳理
2
1
0
<
＝
>
>
＝
<
温馨提示
(1)代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法.
(2)判断直线与其他二次曲线的关系时，常用代数法.
例1
(链接教材P93练习1)已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题.
②代入①，
整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③
方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).
当－20，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；
当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离.
综上，当－22或b<－2时，直线与圆相离.
综上，当－2当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；
当b>2或b<－2时，直线与圆相离.
判断圆与直线的位置关系有以下两种方法：
(1)几何法：将圆心到直线的距离d和半径r的大小进行比较来讨论位置关系.
(2)代数法：用圆的方程和直线的方程联立成方程组进行消元，然后用判别式来判断，这种方法计算量较大，但具有较普遍的意义.
思维升华
当a(a>0)分别取何值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0相切、相离、相交？
训练1
法一　将已知圆的方程化为标准方程：(x－a)2＋(y＋1)2＝a.
Δ＝(－6a)2－4×2×(5a2－a)＝－4a2＋8a＝－4a(a－2)，
当a＝2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点，此时直线与圆相切，
当00，直线与圆有两个公共点，此时直线与圆相交，
当a>2时，Δ<0，直线与圆没有公共点，此时直线与圆相离.
圆的切线方程
二
探究3 从圆上一点引圆的切线有几条？从圆外呢？求切线方程的关键要素是什么？
提示　1条，2条，切线上的一点和切线斜率.
例2
思维升华
(链接教材P92例2)过点M(2，4)作圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝1的切线，求此切线的方程.
例3
由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，
故点M在圆外.
当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
训练2
A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
√
x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1，2)，
√
圆的弦长问题
三
探究4 当直线与圆相交时，你能推导用半径r与弦心距d表示弦长的方法吗？
提示　几何法：
探究5 当直线与圆相交时，你能推导用交点坐标表示弦长的方法吗？
提示　代数法：设直线斜率为k，方程y＝kx＋b，
例4
思维升华
训练3
√
【课堂达标】
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是
√
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0，0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.
√
3.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为_________________.
由圆的方程可得，圆心为P(－1，2)，
x－y＋5＝0
故直线l的斜率为k＝1，
所以直线方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.
4.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，
【课时精练】
√
√
2.若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是
A.(0，2] B.(1，2]
C.(0，2) D.(1，2)
√
由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.
√
√
4.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为
(1)法一　设圆心坐标为(a，－a)，
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
√
5.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为
A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0
C.2x－y＝0 D.x－1＝0
当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1，2)的直径垂直.
将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
6.已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则l与C的位置关系是________.
相交
∴点P(3，0)在圆内.
∴过点P的直线l必与圆C相交.
则C(0，1)，r＝1.
由直线AB与圆相切，可知圆心C(0，1)到直线AB的距离d＝r，
因为(4－2)2＋52＝29>4，
8.经过点P(4，5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相切的直线的方程为
__________________________.
21x－20y＋16＝0或x＝4
所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外.
若直线的斜率存在，依题意，设直线的方程为y－5＝k(x－4)，
即kx－y＋5－4k＝0.
又圆心为(2，0)，半径r＝2，且圆心到切线的距离等于半径，
所以直线的方程为21x－20y＋16＝0.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为x＝4，显然满足题意.
综上可知，满足题意的直线的方程为21x－20y＋16＝0或x＝4.
9.已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，
得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，
由5－m>0时，得m<5，
∴当m<5时，曲线C表示圆.
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值.
10.已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.
(1)求直线l的方程；
∴两直线交点为(2，1).
设直线l的斜率为kl，∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1，
∵直线l过点(2，1)，
∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
√
12.已知圆C的圆心与点(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为____________________.
设点(－2，1)关于直线y＝x＋1的对称点C的坐标为(a，b)，
x2＋(y＋1)2＝18
13.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
又l过点A(3，1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.2.5.1　直线与圆的位置关系
第一课时　直线与圆的位置关系
课标要求　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题.
【引入】 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系.
一、直线与圆的位置关系的判断
探究1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片，结合初中平面几何知识，思考：直线与圆有哪些位置关系？
提示　相交、相切与相离.
探究2 在平面直角坐标系中，如何利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置关系？
提示　可以看直线方程和圆的方程组成方程组解的个数或者看圆心到直线的距离与半径的关系.
【知识梳理】
直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ dr
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
图形
温馨提示　(1)代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法.
(2)判断直线与其他二次曲线的关系时，常用代数法.
例1 (链接教材P93练习1)已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
解　法一　直线与圆的位置关系问题可转化为方程组
有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题.
②代入①，
整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③
方程③的根的判别式
Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).
当－20，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；
当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离.
综上，当－22或b<－2时，直线与圆相离.
法二　圆心(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝.
当d∴－2当d＝r，即＝时，直线与圆相切，
∴b＝±2.
当d>r，即>时，直线与圆相离，
∴b>2或b<－2.
综上，当－2当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；
当b>2或b<－2时，直线与圆相离.
思维升华　判断圆与直线的位置关系有以下两种方法：
(1)几何法：将圆心到直线的距离d和半径r的大小进行比较来讨论位置关系.
(2)代数法：用圆的方程和直线的方程联立成方程组进行消元，然后用判别式来判断，这种方法计算量较大，但具有较普遍的意义.
训练1 当a(a>0)分别取何值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0相切、相离、相交？
解　法一　将已知圆的方程化为标准方程：
(x－a)2＋(y＋1)2＝a.
圆心为(a，－1)，半径为，则圆的圆心(a，－1)到直线x＋y－2a＋1＝0的距离为
d＝＝＝.
当＝，即a＝2时，直线和圆相切；
当>，即a>2时，直线和圆相离；
当<，即0法二　将直线方程与圆的方程联立成方程组得
将①代入②，得2x2－6ax＋5a2－a＝0.
Δ＝(－6a)2－4×2×(5a2－a)＝－4a2＋8a＝－4a(a－2)，
当a＝2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点，此时直线与圆相切，
当00，直线与圆有两个公共点，此时直线与圆相交，
当a>2时，Δ<0，直线与圆没有公共点，此时直线与圆相离.
二、圆的切线方程
探究3 从圆上一点引圆的切线有几条？从圆外呢？求切线方程的关键要素是什么？
提示　1条，2条，切线上的一点和切线斜率.
例2 已知圆的方程是x2＋y2＝4，求经过圆上一点M(，)的圆的切线方程.
解　法一　∵点M(，)在圆x2＋y2＝4上，
∴过点M的圆的切线方程为x＋y＝4，
整理，得x＋y－2＝0.
法二　如图.
∵kOM＝＝1，
∴过点M的圆的切线斜率为－1.
∴所求圆的切线方程为y－＝－1·(x－).
化简，得y＝2－x，
即x＋y－2＝0.
思维升华　求过圆上一点P(x0，y0)的切线方程的常用方法
(1)先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.
(2)如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
例3 (链接教材P92例2)过点M(2，4)作圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝1的切线，求此切线的方程.
解　由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，
故点M在圆外.
当切线斜率存在时，设切线方程是
y－4＝k(x－2)，
即kx－y＋4－2k＝0，由于直线与圆相切，
故＝1，
解得k＝.
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
思维升华　过圆外一点(x0，y0)求圆的切线方程
(1)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.
(2)当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.
(3)过圆外一点的切线有两条.
训练2 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为(　　)
A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)
A.1 B.2 C. D.3
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1，2)，
kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，
即2x＋y－9＝0.
(2)圆心C(3，0)到直线y＝x＋1的距离
d＝＝2.
所以切线长的最小值为l＝＝.
三、圆的弦长问题
探究4 当直线与圆相交时，你能推导用半径r与弦心距d表示弦长的方法吗？
提示　几何法：
如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，
则有＋d2＝r2，即|AB|＝2.
探究5 当直线与圆相交时，你能推导用交点坐标表示弦长的方法吗？
提示　代数法：设直线斜率为k，方程y＝kx＋b，
|AB|＝
＝＝|x1－x2|
＝，
同理|AB|＝.
例4 (链接教材P98复习巩固3)求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长.
解　法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组
的解.
解这个方程组，得
所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)，
所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为
＝2.
法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，
又|OM|＝＝，
所以|AB|＝2|AM|＝2
＝2＝2.
法三　同法一消去x，
得y2－3y＋2＝0，
∴y1＋y2＝3，y1y2＝2，
∴|AB|＝
＝2＝2.
思维升华　求弦长常用的三种方法
(1)几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系(l)2＋d2＝r2解题.
(2)交点坐标法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长.
(3)公式法：设直线y＝kx＋b，与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝·|x1－x2|＝
训练3 (1)直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　)
A. B.±
C. D.±
(2)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1，2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
答案　(1)D　(2)
解析　(1)因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，
所以圆心C(2，3)到直线的距离d＝＝1，
所以＝＝1，
解得k＝±.
(2)由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝，
则有|AB|＝2＝2＝.
【课堂达标】
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
答案　B
解析　∵圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离
d＝＝<1，
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0，0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.
2.圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　)
A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0
C.x－y－4＝0 D.x－y＋2＝0
答案　C
解析　∵()2＋(－1)2＝4，
∴点P在圆上.∴P为切点.
∵切点与圆心连线的斜率为－，
∴切线的斜率为，
∴切线方程为y＋1＝(x－)，
即x－y－4＝0.
3.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为________.
答案　x－y＋5＝0
解析　由圆的方程可得，圆心为P(－1，2)，
所以kPC＝＝－1，故直线l的斜率为k＝1，
所以直线方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.
4.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
答案　2
解析　设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.
当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，
∵|CA|＝＝，
∴半弦长为＝＝.
∴最短弦的长为2.
一、基础巩固
1.已知a∈R，|a|≥3是直线l：x－2y＝0与圆C：x2＋＝5相离的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由题意知，圆心C到直线l的距离
d＝>，
解得|a|>5.故选A.
2.若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.(1，2]
C.(0，2) D.(1，2)
答案　C
解析　由题意得，圆心到直线的距离为
d＝>，
∴m<2，∵m>0，∴03.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A.0 B.4 C.－2 D.
答案　AB
解析　由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.
又直线被圆截得的弦长为2，
所以圆心到直线的距离d＝＝.
又d＝，所以|a－2|＝2，
解得a＝4或a＝0.
4.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝3
B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案　B
解析　(1)法一　设圆心坐标为(a，－a)，
由圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切可得＝，解得a＝1，
所以半径r＝，
故该圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二　圆心在x＋y＝0上，可排除选项C，D，再结合图象，或者根据圆心到两直线的距离等于半径排除选项A，选B.
5.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　)
A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0
C.2x－y＝0 D.x－1＝0
答案　B
解析　当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1，2)的直径垂直.
已知圆心O(0，0)，所以过点P(1，2)的直径所在直线的斜率k＝＝2，
故所求直线的斜率为－，
所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
6.已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则l与C的位置关系是________.
答案　相交
解析　将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3，0)在圆内.
∴过点P的直线l必与圆C相交.
7.若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝________.
答案　
解析　设直线AB的方程为y＝x＋b，圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为C，半径为r，
则C(0，1)，r＝1.
由直线AB与圆相切，可知圆心C(0，1)到直线AB的距离d＝r，
即＝1，所以|b－1|＝2.
连接BC，在Rt△ABC中，|AC|＝|b－1|＝2，|BC|＝1，
所以|AB|＝＝＝.
8.经过点P(4，5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相切的直线的方程为________.
答案　21x－20y＋16＝0或x＝4
解析　因为(4－2)2＋52＝29>4，
所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外.
若直线的斜率存在，依题意，设直线的方程为
y－5＝k(x－4)，
即kx－y＋5－4k＝0.
又圆心为(2，0)，半径r＝2，且圆心到切线的距离等于半径，所以＝2，
解得k＝，
所以直线的方程为21x－20y＋16＝0.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为x＝4，显然满足题意.
综上可知，满足题意的直线的方程为21x－20y＋16＝0或x＝4.
9.已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值.
解　(1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，
得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，
由5－m>0时，得m<5，
∴当m<5时，曲线C表示圆.
(2)由(1)知圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为.
∵直线l：y＝x－m与圆C相切，
∴＝，
解得：m＝±3，满足m<5.
∴m＝±3.
10.已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C的圆心为点(3，0)，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程.
解　(1)由已知得
解得
∴两直线交点为(2，1).
设直线l的斜率为kl，
∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1，
∵直线l过点(2，1)，
∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
(2)设圆的半径为r，依题意，得圆心(3，0)到直线x－y－1＝0的距离为＝，
则由垂径定理得r2＝()2＋()2＝4，∴r＝2，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
二、综合运用
11.直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　　)
A.|b|＝ 　　　 B.－1＜b≤1或b＝－
C.－1≤b＜1 　　　 D.非以上答案
答案　B
解析　曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.
相切时，b＝－，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.
12.已知圆C的圆心与点(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________.
答案　x2＋(y＋1)2＝18
解析　设点(－2，1)关于直线y＝x＋1的对称点C的坐标为(a，b)，
则解得
即圆心C(0，－1).
又圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离为
＝3，
从而圆的半径为＝3.
故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.
13.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
(1)证明　l的方程可化为
(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，
由
解得
即l恒过定点A(3，1).
因为圆心为C(1，2)，|AC|＝<5(半径)，
所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点.
(2)解　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3，1)，
所以l的方程为2x－y－5＝0.
三、创新拓展
14.已知圆x2＋y2＝4内一定点P(1，0)，过P作直线l交圆于A，B两点，若l的倾斜角为45°，则|AB|的值为________；若＝2，则直线l的斜率为________.
答案　　±
解析　由题可得直线l的方程为y＝x－1，
圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，
则圆心到直线的距离d＝＝，
则|AB|＝2＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵＝2，
∴(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，
∴x1＋2x2＝3，y1＝－2y2，
设直线l的方程为x＝my＋1，代入x2＋y2＝4，
整理得(m2＋1)y2＋2my－3＝0，
y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴－y2＝－，－2y＝－，
则可解得m＝±，
则可得直线的斜率为±.2.5.1　直线与圆的位置关系
第一课时　直线与圆的位置关系
课标要求　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题.
【引入】 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系.
一、直线与圆的位置关系的判断
探究1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片，结合初中平面几何知识，思考：直线与圆有哪些位置关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 在平面直角坐标系中，如何利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ____ ____ ____
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d__r d__r d__r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0
图形
温馨提示　(1)代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法.
(2)判断直线与其他二次曲线的关系时，常用代数法.
例1 (链接教材P93练习1)已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　判断圆与直线的位置关系有以下两种方法：
(1)几何法：将圆心到直线的距离d和半径r的大小进行比较来讨论位置关系.
(2)代数法：用圆的方程和直线的方程联立成方程组进行消元，然后用判别式来判断，这种方法计算量较大，但具有较普遍的意义.
训练1 当a(a>0)分别取何值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0相切、相离、相交？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、圆的切线方程
探究3 从圆上一点引圆的切线有几条？从圆外呢？求切线方程的关键要素是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 已知圆的方程是x2＋y2＝4，求经过圆上一点M(，)的圆的切线方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求过圆上一点P(x0，y0)的切线方程的常用方法
(1)先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.
(2)如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
例3 (链接教材P92例2)过点M(2，4)作圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝1的切线，求此切线的方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　过圆外一点(x0，y0)求圆的切线方程
(1)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.
(2)当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.
(3)过圆外一点的切线有两条.
训练2 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为(　　)
A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)
A.1 B.2
C. D.3
三、圆的弦长问题
探究4 当直线与圆相交时，你能推导用半径r与弦心距d表示弦长的方法吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究5 当直线与圆相交时，你能推导用交点坐标表示弦长的方法吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4 (链接教材P98复习巩固3)求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求弦长常用的三种方法
(1)几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系(l)2＋d2＝r2解题.
(2)交点坐标法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长.
(3)公式法：设直线y＝kx＋b，与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝
训练3 (1)直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　)
A. B.±
C. D.±
(2)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1，2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　)
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
2.圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　)
A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0
C.x－y－4＝0 D.x－y＋2＝0
3.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为________.
4.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
：完成课时精练26第二章　课时精练26　直线与圆的位置关系
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.已知a∈R，|a|≥3是直线l：x－2y＝0与圆C：x2＋＝5相离的(　　)
必要不充分条件
充分不必要条件
充要条件
既不充分也不必要条件
2.若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　)
(0，2] (1，2]
(0，2) (1，2)
3.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
0 4
－2
4.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
(x＋1)2＋(y－1)2＝3
(x－1)2＋(y＋1)2＝2
(x－1)2＋(y－1)2＝2
(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
5.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　)
y－2＝0 x＋2y－5＝0
2x－y＝0 x－1＝0
6.已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则l与C的位置关系是________.
7.若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝________.
8.经过点P(4，5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相切的直线的方程为________.
9.(15分)已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值.
10.(15分)已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直.
(1)求直线l的方程；
(2)若圆C的圆心为点(3，0)，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　　)
|b|＝ 　－1＜b≤1或b＝－
－1≤b＜1 　非以上答案
12.已知圆C的圆心与点(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________.
13.(15分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
三、创新拓展
14.已知圆x2＋y2＝4内一定点P(1，0)，过P作直线l交圆于A，B两点，若l的倾斜角为45°，则|AB|的值为________；若＝2，则直线l的斜率为________.
课时精练26　直线与圆的位置关系
1.A　[由题意知，圆心C到直线l的距离d＝>，解得|a|>5.故选A.]
2.C　[由题意得，圆心到直线的距离为
d＝>，
∴m<2，∵m>0，∴03.AB　[由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.
又直线被圆截得的弦长为2，
所以圆心到直线的距离d＝＝.
又d＝，所以|a－2|＝2，
解得a＝4或a＝0.]
4.B　[(1)法一　设圆心坐标为(a，－a)，
由圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切可得＝，解得a＝1，
所以半径r＝，
故该圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二　圆心在x＋y＝0上，可排除选项C，D，再结合图象，或者根据圆心到两直线的距离等于半径排除选项A，选B.]
5.B　[当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1，2)的直径垂直.
已知圆心O(0，0)，所以过点P(1，2)的直径所在直线的斜率k＝＝2，
故所求直线的斜率为－，
所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.]
6.相交　[将点P(3，0)代入圆的方程，
得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3，0)在圆内.
∴过点P的直线l必与圆C相交.]
7.　[设直线AB的方程为y＝x＋b，圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为C，半径为r，
则C(0，1)，r＝1.
由直线AB与圆相切，可知圆心C(0，1)到直线AB的距离d＝r，即＝1，所以|b－1|＝2.
连接BC，在Rt△ABC中，|AC|＝|b－1|＝2，
|BC|＝1，所以|AB|＝＝＝.]
8.21x－20y＋16＝0或x＝4　[因为(4－2)2＋52＝29>4，所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外.
若直线的斜率存在，依题意，设直线的方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0.
又圆心为(2，0)，半径r＝2，且圆心到切线的距离等于半径，所以＝2，
解得k＝，
所以直线的方程为21x－20y＋16＝0.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为x＝4，显然满足题意.
综上可知，满足题意的直线的方程为21x－20y＋16＝0或x＝4.]
9.解　(1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，
得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，
由5－m>0时，得m<5，
∴当m<5时，曲线C表示圆.
(2)由(1)知圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为.
∵直线l：y＝x－m与圆C相切，
∴＝，
解得：m＝±3，满足m<5.∴m＝±3.
10.解　(1)由已知得
解得
∴两直线交点为(2，1).
设直线l的斜率为kl，
∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1，
∵直线l过点(2，1)，∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
(2)设圆的半径为r，依题意，得圆心(3，0)到直线x－y－1＝0的距离为＝，
则由垂径定理得r2＝()2＋()2＝4，∴r＝2，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
11.B　[曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.]
INCLUDEPICTURE"RJ4-11.TIF" INCLUDEPICTURE "RJ4-11.TIF" \* MERGEFORMAT
12.x2＋(y＋1)2＝18　[设点(－2，1)关于直线y＝x＋1的对称点C的坐标为(a，b)，
则解得
即圆心C(0，－1).
又圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离为
＝3，
从而圆的半径为＝3.
故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.]
13.(1)证明　l的方程可化为
(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，
由解得
即l恒过定点A(3，1).
因为圆心为C(1，2)，|AC|＝<5(半径)，
所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点.
(2)解　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3，1)，
所以l的方程为2x－y－5＝0.
14.　±　[由题可得直线l的方程为y＝x－1，圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝＝，
则|AB|＝2＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵＝2，
∴(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，
∴x1＋2x2＝3，y1＝－2y2，
设直线l的方程为x＝my＋1，代入x2＋y2＝4，
整理得(m2＋1)y2＋2my－3＝0，
y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴－y2＝－，－2y＝－，
则可解得m＝±，
则可得直线的斜率为±.]

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