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第一章 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算
第一课时　空间向量及其线性运算
课标要求
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.
3.掌握空间向量的线性运算.
国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，这个过程可以用平面向量来表示.如果游客还要登上东方明珠电视塔顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，那么游客的整个游览过程又该如何表示呢？这位游客实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
引入
课时精练
一、空间向量的概念
二、空间向量的加减运算
三、空间向量的数乘运算
课堂达标
内容索引
空间向量的概念
一
探究1 类比平面向量，给出空间向量的有关概念.
探究2 对比平面向量与空间向量的有关概念，探究二者的异同.
1.空间向量的概念与表示
(1)空间向量的定义：在空间，我们把具有______和______的量叫做空间向量.
(2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的______或____.
(3)表示法
①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；
知识梳理
大小
方向
长度
模
有向线段
|a|
2.特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做________，记为0
单位向量 的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量______，即对于任意向量a，都有0 a
相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量.在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量
零向量
模为1
相等
相反
互相平行或重合
∥
平行
相同
相等
同向
等长
温馨提示
(1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等.
(2)两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同.
(3)空间两向量不能比较大小.
例1
√
A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小，故选D.
√
A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
√
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以选BC.
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行(共线)向量、相反向量、零向量与单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
思维升华
(链接教材P9复习巩固1)如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
训练1
空间向量的加减运算
二
探究3 类比平面向量的加减运算，给出空间向量的加减运算及运算律.
知识梳理
加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾______相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边 形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
顺次
减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连______，方向指向______向量
图形叙述
加法运算 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
终点
被减
温馨提示
例2
√
√
法一(转化为加法运算)
0
思维升华
空间向量加、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是
BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
训练2
空间向量的数乘运算
三
探究4 类比平面向量的数乘运算，探究空间向量的数乘运算.
知识梳理
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义 λ＞0 λa与向量a的方向______ λa的长度是a的长度的____倍
λ＜0 λa与向量a的方向______
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律　 结合律 λ(μa)＝_______
分配律 (λ＋μ)a＝________，λ(a＋b)＝_________
相同
相反
|λ|
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
温馨提示
(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(2)向量λa与向量a一定是共线向量.
例3
∵P是C1D1的中点，
(2)∵N是BC的中点，
思维升华
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
训练3
－1
【课堂达标】
1.(多选)下列命题中，真命题是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
√
容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
√
√
√
【课时精练】
一、基础巩固
√
1.下列命题中为真命题的是
对于选项B，其终点构成一个球面；
对于选项C，空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；
对于选项D，向量a与向量b不相等，有可能它们的模相等，但方向不同，故选A.
√
√
√
√
√
4.某市119指挥中心接群众报警称：位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病，急需救援.指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警，3名消防员立即乘车到达B处，马上下车跑步到达C处，再攀爬到塔吊上D处救下发病工人，则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为
√
√
对于B，由向量的平行四边形法则和三角形法则，
b－a－c
1
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
∵F是正方形CDD1C1的中心，
基础巩固
√
11.(多选)空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式中成立的是
易知四边形EFGH为平行四边形，
二、综合运用
√
√
如图，
13.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.
如图，
取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，
14.如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心.
三、创新拓展1.1.1　空间向量及其线性运算
第一课时　空间向量及其线性运算
课标要求　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算.
【引入】 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，这个过程可以用平面向量来表示.如果游客还要登上东方明珠电视塔顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，那么游客的整个游览过程又该如何表示呢？这位游客实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
一、空间向量的概念
探究1 类比平面向量，给出空间向量的有关概念.
探究2 对比平面向量与空间向量的有关概念，探究二者的异同.
【知识梳理】
1.空间向量的概念与表示
(1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模.
(3)表示法
①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；
②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||.
2.特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
温馨提示　(1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等.
(2)两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同.
(3)空间两向量不能比较大小.
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)
A.若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量，满足||>||，则>
D.相等向量其方向必相同
(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.空间中任意两个单位向量必相等
答案　(1)D　(2)BC
解析　(1)A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小，故选D.
(2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以选BC.
思维升华　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行(共线)向量、相反向量、零向量与单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
训练1 (链接教材P9复习巩固1)如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模.
解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个.
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)AC＝AC2＋CC＝AB2＋BC2＋CC＝9，
故||＝AC1＝3.
二、空间向量的加减运算
探究3 类比平面向量的加减运算，给出空间向量的加减运算及运算律.
【知识梳理】
加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法运算 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
温馨提示　(1)求向量的和时，可以首尾相接(三角形法则)，也可以共起点(平行四边形法则)；求向量的差时，可以共起点或共终点(三角形法则).
(2)空间向量加减运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同.
(3)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＋＋…＋An－1An＝或＋＋…＋＝0.
例2 (1)(链接教材P5练习2)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
A.－－ 　　　 B.＋－
C.－－ 　　　 D.－＋
(2)化简(－)－(－)＝______.
答案　(1)AB　(2)0
解析　(1)A中，－－＝－＝；
B中，＋－＝＋＝；
C中，－－＝－＝－＝≠；
D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故选AB.
(2)法一(转化为加法运算)
(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
法二(转化为减法运算)
(－)－(－)＝(－)＋(－)＝＋＝0.
思维升华　空间向量加、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
训练2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
(1)＋－；
(2)－－.
解　(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
(2)－－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
三、空间向量的数乘运算
探究4 类比平面向量的数乘运算，探究空间向量的数乘运算.
【知识梳理】
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ＜0 λa与向量a的方向相反
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律　 结合律 λ(μa)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
温馨提示　(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(2)向量λa与向量a一定是共线向量.
例3 (链接教材P5练习4)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
解　(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
思维升华　利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
训练3 如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＋y＝________.
答案　－1
解析　∵＝－＋＝－＋(＋)＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)
＝－＋＋，
又＝＋x＋y，
∴x＝，y＝－，故x＋y＝－1.
【课堂达标】
1.(多选)下列命题中，真命题是(　　)
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
答案　ABC
解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a＋b－c D.a－b－c
答案　A
解析　＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
3.化简：＋－＝________.
答案　
解析　＋－＝－＋＝(＋)＋＝＋＝.
4.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示).
答案　a－b＋c
解析　＝(＋)
＝(－b＋＋)
＝－b＋(－＋－)
＝－b＋(a＋c－2b)
＝a－b＋c.
一、基础巩固
1.下列命题中为真命题的是(　　)
A.向量与的长度相等
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
答案　A
解析　对于选项B，其终点构成一个球面；
对于选项C，空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；
对于选项D，向量a与向量b不相等，有可能它们的模相等，但方向不同，故选A.
2.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的是(　　)
A.(＋)＋
B.(＋)＋
C.(－)－
D.(＋)＋
答案　ABD
解析　根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，(－)－＝－＝，故选ABD.
3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
答案　D
解析　∵＝，
∴||＝||，AB∥DC，
即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，＝.故应选D.
4.某市119指挥中心接群众报警称：位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病，急需救援.指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警，3名消防员立即乘车到达B处，马上下车跑步到达C处，再攀爬到塔吊上D处救下发病工人，则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由消防员的运动过程知＋＋＝.
5.(多选)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)
A.＝b－c
B.＝b＋c－a
C.＝b－c－a
D.＝a＋b＋c
答案　BD
解析　由已知分析各选项：对于A，由向量的平行四边形法则，得＝＋＝b＋c，故A错误；
对于B，由向量的平行四边形法则和三角形法则，
得＝－＝－
＝－＝＋－＝b＋c－a，故B正确；
对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，
所以＝＝b＋c－a，
所以＝＝b＋c－a，故C错误；
对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，故D正确.故选BD.
6.设A，B，C，D为空间任意四点，则－＋＝________.
答案　
解析　－＋＝＋＋＝.
7.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于________(用a，b，c表示).
答案　b－a－c
解析　∵＝－＝(－)－，＝＝c，
∴＝b－a－c.
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________.
答案　1　
解析　因为＝＋＝＋＝＋(＋)，
且＝x＋y(＋)，
所以x＝1，y＝.
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－－.
解　(1)＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，
所以＝.
又＝，
所以＋＋
＝＋＝.
(3)－－＝－＝.
向量，，如图所示.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝＋x＋y，求x，y的值.
解　∵F是正方形CDD1C1的中心，
∴＝＝(＋)
＝(＋)，
∴＝＋＝＋＋.
又∵＝＋x＋y，
∴x＝，y＝.
二、综合运用
11.(多选)空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式中成立的是(　　)
A.＋＋＋＝0
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＋＝2
D.－＋＋＝
答案　BCD
解析　易知四边形EFGH为平行四边形，
所以＋＋＋＝＋＋＝＋＝，故A不成立；
＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0，故B成立；
＋＋＋＝＋＋＝＋＝2，故C成立；
－＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，故D成立.
12.在正方体ABCD A1B1C1D1中，已知＝a，＝b，＝c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则＝________(用a，b，c表示).
答案　b＋c－a
解析　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
＝a，＝b，＝c，
O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，
∴＝＋＝(＋)＋(＋)＝(b＋c)＋[(＋)＋(＋)]＝(b＋c)＋
＝(b＋c)＋(－b＋c)－a＋(b＋c)－a＝b＋c－a.
13.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上靠近C′的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值.
解　(1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，
则＝＋＋＝＋＋.
(2)因为＝＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋，
且＝α＋β＋γ，
所以α＝，β＝，γ＝.
三、创新拓展
14.如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心.
(1)求证：＋＋＝0；
(2)化简：＋－－.
(1)证明　＝－(＋)，①
＝－(＋)，②
＝－(＋)，③
由①＋②＋③得＋＋＝0.
(2)解　因为＝×(＋)
＝(＋)，
所以＋－－
＝(－)＋(－)－×(＋)＝＋(－)－(＋)＝0.1.1.1　空间向量及其线性运算
第一课时　空间向量及其线性运算
课标要求　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算.
【引入】 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，这个过程可以用平面向量来表示.如果游客还要登上东方明珠电视塔顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，那么游客的整个游览过程又该如何表示呢？这位游客实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
一、空间向量的概念
探究1 类比平面向量，给出空间向量的有关概念.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 对比平面向量与空间向量的有关概念，探究二者的异同.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.空间向量的概念与表示
(1)空间向量的定义：在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量.
(2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的________或________.
(3)表示法
①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；
②几何表示法：空间向量用____________表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作________，其模记为________或________.
2.特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做________，记为0
单位向量 ________的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度________而方向________的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量________，即对于任意向量a，都有0________a
相等向量 方向________且模________的向量称为相等向量.在空间，________且________的有向线段表示同一向量或相等向量
温馨提示　(1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等.
(2)两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同.
(3)空间两向量不能比较大小.
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)
A.若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量，满足||>||，则>
D.相等向量其方向必相同
(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.空间中任意两个单位向量必相等
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行(共线)向量、相反向量、零向量与单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
训练1 (链接教材P9复习巩固1)如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空间向量的加减运算
探究3 类比平面向量的加减运算，给出空间向量的加减运算及运算律.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾________相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连________，方向指向________向量
图形叙述
加法 交换律 a＋b＝b＋a
运算 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
温馨提示　(1)求向量的和时，可以首尾相接(三角形法则)，也可以共起点(平行四边形法则)；求向量的差时，可以共起点或共终点(三角形法则).
(2)空间向量加减运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同.
(3)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则＋＋…＋＝或＋＋…＋＝0.
例2 (1)(链接教材P5练习2)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
A.－－ B.＋－
C.－－ D.－＋
(2)化简(－)－(－)＝______.
思维升华　空间向量加、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
训练2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
(1)＋－；(2)－－.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、空间向量的数乘运算
探究4 类比平面向量的数乘运算，探究空间向量的数乘运算.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义 λ＞0 λa与向量a的方向____ λa的长度是a的长度的______倍
λ＜0 λa与向量a的方向____
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)＝________
分配律 (λ＋μ)a＝________，λ(a＋b)＝________
温馨提示　(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(2)向量λa与向量a一定是共线向量.
例3 (链接教材P5练习4)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
训练3 如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＋y＝________.
【课堂达标】
1.(多选)下列命题中，真命题是(　　)
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a＋b－c D.a－b－c
3.化简：＋－＝________.
4.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示).
：完成课时精练1

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