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第一章 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算
第二课时　共线向量与共面向量
课标要求
1.理解向量共线、向量共面的定义.
2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面.
我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎样的呢？今天我们就来探究一下.
引入
课时精练
一、空间向量共线的充要条件
二、空间向量共面的充要条件
三、空间向量共面的充要条件的变形应用
课堂达标
内容索引
空间向量共线的充要条件
一
探究1 平面向量共线的充要条件是什么？该充要条件是否适用于空间向量？
提示　已知两个平面向量a，b(b≠0)，则a∥b?存在实数λ，使a＝λb.
由于空间向量共线与平面向量共线的定义相同，因此该充要条件也适用于空间向量.
1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__________.
知识梳理
a＝λb
2.直线的方向向量
方向向量
温馨提示
(1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上.
(2)因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.
因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线.
例1
法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
是
法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
1
所以m＝1－λ，n＝λ，
所以m＋n＝1.
思维升华
训练1
∵E，H分别是AB，AD的中点，
空间向量共面的充要条件
二
探究2 由于向量可以平移，所以任意两个向量共面，探究任意三个向量是否共面？
探究3 对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb
提示　向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使p＝xa＋yb.
知识梳理
平行于平面α
在平面α内
2.共面向量
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共 面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使________________
唯一
p＝xa＋yb
温馨提示
向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.
例2
思维升华
证明空间三向量或四点共面的方法(向量法)
设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.
(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.
训练2
空间向量共面的充要条件的变形应用
三
例3
(多选)对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是
√
√
思维升华
训练3
因为M，A，B，C四点共面，
√
【课堂达标】
√
由a与b共线，知存在实数k，使a＝kb，
√
由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量.
2.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是
A.共面向量 　　 B.共线向量
C.不共面向量 　　 D.既不共线也不共面的向量
－3
因为点P与A，B，C三点共面，
【课时精练】
一、基础巩固
√
1.下列命题中正确的是
A中，若b＝0，则a与c不一定共线，故A错误；
B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段
所在的直线不一定共面，故B错误；
√
√
3.在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是
√
4.(多选)在以下命题中，不正确的命题是
√
√
√
－8
设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)，
平行
8.有下列命题：
②③④
9.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面.
连接AC，如图.
∵N是BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，
∴N为AC的中点.
又M是AD1的中点，
√
二、综合运用
12.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋
λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.
∵a，b，c三向量共面，∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)
＝(2m－n)i＋(－m＋4n)j＋(3m－2n)k.
因为i，j，k是不共面向量，
三、创新拓展
(充分性)∵α＋β＋γ＋δ＝0，
∴δ＝－(α＋β＋γ)，
∴αa＋βb＋γc＋δd＝αa＋βb＋γc－(α＋β＋γ)d＝0，
即α(a－d)＋β(b－d)＋γ(c－d)＝0.
又α，β，γ是不全为零的实数，不妨设γ≠0，
∴(x＋y－1)a－xb－yc＋d＝0.
令α＝x＋y－1，β＝－x，γ＝－y，δ＝1，
则αa＋βb＋γc＋δd＝0，且α＋β＋γ＋δ＝0.第二课时　共线向量与共面向量
课标要求　1.理解向量共线、向量共面的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面.
【引入】 我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎样的呢？今天我们就来探究一下.
一、空间向量共线的充要条件
探究1 平面向量共线的充要条件是什么？该充要条件是否适用于空间向量？
提示　已知两个平面向量a，b(b≠0)，则a∥b 存在实数λ，使a＝λb.
由于空间向量共线与平面向量共线的定义相同，因此该充要条件也适用于空间向量.
【知识梳理】
1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2.直线的方向向量
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
温馨提示　(1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上.
(2)因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线.
例1 (1)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？________(填“是”或“否”).
(2)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________.
答案　(1)是　(2)1
解析　(1)法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋
＝＋＋.①
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，②
①＋②得2＝，
∴∥，即与共线.
法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝－＝(＋)－
＝(＋)－(＋)
＝(－)＝(－)＝.
∴∥，即与共线.
(2)由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，
所以＝(1－λ)＋λ，
所以m＝1－λ，n＝λ，
所以m＋n＝1.
思维升华　1.判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b.
2.证明三点共线的方法
(1)若＝λ，则P，A，B三点共线.
(2)对空间任意一点，若＝x＋y且x＋y＝1，则P，A，B三点共线.
训练1 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
证明　∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝
＝(－)＝
＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
二、空间向量共面的充要条件
探究2 由于向量可以平移，所以任意两个向量共面，探究任意三个向量是否共面？
提示　不一定，如图所示，，，三个向量不共面，但，，三个向量共面.
探究3 对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb
提示　向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【知识梳理】
1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
温馨提示　向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.
例2 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求证：向量，，共面.
证明　因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝(＋)＋＋(＋)
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面.
思维升华　证明空间三向量或四点共面的方法(向量法)
设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.
训练2 (链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.
证明　设＝ a，＝ b，＝ c，
则＝b－a，
∵M为线段DD1的中点，
∴＝c－a，
又∵AN∶NC＝2∶1，
∴＝＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－a
＝(b－a)＋(c－a)
＝＋，
∴，，为共面向量.
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面.
三、空间向量共面的充要条件的变形应用
探究4 对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
提示　x＋y＋z＝1.
证明如下：
(1)充分性
∵＝x＋y＋z
可变形为＝(1－y－z)＋y＋z，
∴－＝y(－)＋z(－)，
∴＝y＋z，
∴点P与A，B，C共面.
(2)必要性
∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，
∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n，－＝m(－)＋n(－)，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵点O在平面ABC外，
∴，，不共面，
又∵＝x＋y＋z，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
例3 (多选)对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝2－－
答案　BC
解析　法一　A中，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，所以A项不正确.
B中，∵＝＋＋，
∴3＝＋＋，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋，
∴＝－－，
∴P，A，B，C四点共面.故B项正确.
C中，＝＋＋
＝＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋.
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C正确.
D中，＝2－－，无法转化成＝x＋y的形式，所以D项不正确.故选BC.
法二　点P与点A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求，故选BC.
思维升华　向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明.
①＝x＋y；
②对于空间任意一点O，＝＋x＋y；
③对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
④∥(或∥或∥).
(2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.
训练3 在四面体OABC中，空间中的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为M，A，B，C四点共面，
所以＋＋λ＝1，
得λ＝，故选A.
【课堂达标】
1.设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝(　　)
A.－1 B.3 C.－ D.
答案　D
解析　由a与b共线，知存在实数k，使a＝kb，
∴e1＋λe2＝－e2－ke1，即k＝－1，λ＝.
2.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　)
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
答案　A
解析　由向量共面定理可知，三个向量a，b，
2a－b为共面向量.
3.设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________.
答案　－3
解析　因为＝－2a－b，＝a－2b.
所以＝＋＝－
＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，
因为A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得＝λ，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b).
因为a与b不共线，
所以
解得m＝λ＝－3.
4.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.
答案　
解析　因为点P与A，B，C三点共面，
所以＋＋λ＝1，解得λ＝.
一、基础巩固
1.下列命题中正确的是(　　)
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C.若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥
D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
答案　C
解析　A中，若b＝0，则a与c不一定共线，故A错误；
B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故B错误；
C中，∵＋＝0，∴＝－，
∴与共线，故∥，故C正确；
D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb，故D错误.
2.已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
答案　A
解析　∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三点共线.
3.在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是(　　)
A.＝3－2－
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＝0
D.＝－＋
答案　C
解析　∵＋＋＝0，
∴＝－－，
∴点M与点A，B，C必共面.
4.(多选)在以下命题中，不正确的命题是(　　)
A.已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0
B.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
C.若与共线，则AB与CD所在直线平行
D.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
答案　BCD
解析　＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，A正确；
若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故B不正确；
由向量平行知C不正确；
D中只有x＋y＋z＝1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确.故选BCD.
5.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　A
解析　＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－.
又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴－x－＝1，解得x＝.
6.设e1，e2是不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________.
答案　－8
解析　因为＝－＝e1－4e2，
＝2e1＋ke2，
又A，B，D三点共线，
由向量共线的充要条件得＝，
所以k＝－8.
7.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________(填“平行”“相等”或“相反”).
答案　平行
解析　设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)，则＝＋＝＋
＝(＋)，
所以2＝＋，
从而∥(＋).
8.有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________.(把所有真命题的序号都填上)
答案　②③④
解析　根据共线向量的定义，若∥，
则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；
因为∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4b，所以a∥b.
故③正确；易知④也正确.
9.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面.
(1)＋＝3－；
(2)＝4－－.
解　(1)∵＋＝3－，
∴＝＋(－)＋(－)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋，
∴，，为共面向量，
又，，过同一点P，
∴P与A，B，M共面.
(2)∵＝4－－，
∴＝2＋(－)＋(－)
＝2＋＋，
根据空间向量共面的充要条件可知，点P位于平面ABM内的充要条件是＝＋x＋y，
∴P与A，B，M不共面.
10.如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M是AD1的中点，N是BD的中点，判断与是否共线.
解　连接AC，如图.
∵N是BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，
∴N为AC的中点.
又M是AD1的中点，
∴＝－
＝－
＝(－)＝，
∴与共线.
二、综合运用
11.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必(　　)
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
答案　C
解析　＝＋7＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋6(－)－4(－)
＝11－6－4，
因为11＋(－6)＋(－4)＝1，
于是M，B，A1，D1四点共面.
12.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.
答案　
解析　∵a，b，c三向量共面，
∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)
＝(2m－n)i＋(－m＋4n)j＋(3m－2n)k.
因为i，j，k是不共面向量，
∴
∴λ＝.
13.如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面.
证明　因为＝＝＝＝k，
所以＝k，＝k，＝k，
＝k.
由于四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋.
因此＝－＝k－k＝k
＝k(＋)＝k(－＋－)
＝－＋－＝＋.
由向量共面的充要条件知，，共面，
又，，过同一点E，
从而E，F，G，H四点共面.
三、创新拓展
14.对于空间某一点O，空间四个点A，B，C，D(无三点共线)分别对应着向量a＝，b＝，c＝，d＝.求证：A，B，C，D四点共面的充要条件是存在四个不全为零的实数α，β，γ，δ，使αa＋βb＋γc＋δd＝0，且α＋β＋γ＋δ＝0.
证明　(充分性)∵α＋β＋γ＋δ＝0，
∴δ＝－(α＋β＋γ)，
∴αa＋βb＋γc＋δd
＝αa＋βb＋γc－(α＋β＋γ)d＝0，
即α(a－d)＋β(b－d)＋γ(c－d)＝0.
∵a－d＝，b－d＝，c－d＝，
∴α＋β＋γ＝0.
又α，β，γ是不全为零的实数，不妨设γ≠0，
则＝－－.
∴与，共面，即A，B，C，D四点共面.
(必要性)∵A，B，C，D四点共面，且A，B，C三点不共线，
∴与不共线，
因而存在实数x，y，使＝x＋y，
即d－a＝x(b－a)＋y(c－a)，
∴(x＋y－1)a－xb－yc＋d＝0.
令α＝x＋y－1，β＝－x，γ＝－y，δ＝1，
则αa＋βb＋γc＋δd＝0，且α＋β＋γ＋δ＝0.第二课时　共线向量与共面向量
课标要求　1.理解向量共线、向量共面的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面.
【引入】 我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反，就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎样的呢？今天我们就来探究一下.
一、空间向量共线的充要条件
探究1 平面向量共线的充要条件是什么？该充要条件是否适用于空间向量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________.
2.直线的方向向量
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的____________.直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
温馨提示　(1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上.
(2)因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线.
例1 (1)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？________(填“是”或“否”).
(2)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________.
思维升华　1.判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b.
2.证明三点共线的方法
(1)若＝λ，则P，A，B三点共线.
(2)对空间任意一点，若＝x＋y且x＋y＝1，则P，A，B三点共线.
训练1 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空间向量共面的充要条件
探究2 由于向量可以平移，所以任意两个向量共面，探究任意三个向量是否共面？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA____________或________，那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
定义 平行于同一个________的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在________的有序实数对(x，y)，使________
温馨提示　向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.
例2 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求证：向量，，共面.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　证明空间三向量或四点共面的方法(向量法)
设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.
训练2 (链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、空间向量共面的充要条件的变形应用
探究4 对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (多选)对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝2－－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下几个条件进行证明.
①＝x＋y；
②对于空间任意一点O，＝＋x＋y；
③对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
④∥(或∥或∥).
(2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.
训练3 在四面体OABC中，空间中的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ＝(　　)
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝(　　)
A.－1 B.3
C.－ D.
2.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　)
A.共面向量 　　 B.共线向量
C.不共面向量 　　 D.既不共线也不共面的向量
3.设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________.
4.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.
：完成课时精练2

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