资源简介

(共60张PPT)
第一章 1.1　空间向量及其运算
1.1.2　空间向量的数量积运算
课标要求
1.掌握空间向量的数量积.
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义了.
引入
课时精练
一、空间向量的夹角
二、空间向量的数量积运算
三、空间向量的数量积在几何中的应用
课堂达标
内容索引
空间向量的夹角
一
探究1 类比平面向量夹角的相关概念，探究空间向量夹角的概念.
知识梳理
∠AOB
∠AOB
0≤〈a，b〉≤π
⊥
温馨提示
两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或π?a∥b(a，b为非零向量).
例1
连接BD(图略)，
则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
1.求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错.
2.对空间任意两个非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
思维升华
训练1
√
√
(2)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
显然〈a，b〉＝0?a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b 〈a，b〉＝0.
故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.
空间向量的数量积运算
二
探究2 回忆平面向量数量积的定义.
探究3 类比平面向量数量积的性质与运算律，探究空间向量数量积的性质与运算律.
知识梳理
1.空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝_________________.
(2)性质：①零向量与任意向量的数量积为____；
②当a≠0，b≠0时，a⊥b?a·b＝____；
③a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
(3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
|a||b|cos 〈a，b〉
0
0
2.向量的投影
(2)向量a向直线l投影如图(2).
温馨提示
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.
(3)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c b＝c，
(a·b)·c a·(b·c).
例2
(链接教材P9复习巩固4)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
思维升华
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
(1)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.
训练2
－13
∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
－1
空间向量的数量积在几何中的应用
三
例3
(1) (链接教材P9练习3)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为________.
(2)已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________.
(3)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
思维升华
思维升华
训练3
(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为________.
因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB.
【课堂达标】
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
√
选项A，D中的向量的夹角为45°，选项B，C中的向量的夹角为135°.
√
√
2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a=
√
∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
4.已知|a|＝1，且a－b与a垂直，a与b的夹角为45°，则|b|＝________.
【课时精练】
一、基础巩固
√
√
A，B，C正确；D不正确，因为等式左边表示与b共线的向量，右边表示与a共线的向量，两者方向不一定相同.
2.(多选)下列式子中，正确的有
√
√
√
根据a与2b－a互相垂直，得a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，
解得a·b＝2，
√
4.(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是
√
√
因为PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，可得PA⊥AD，
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，
√
5.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是
∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，
10
∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＋2|a||c|·cos〈a，c〉＋2|b||c|·cos〈b，c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，
∴|a＋b＋c|＝10.故答案为10.
a2
9.如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
如图所示，连接ON.
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
10.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
√
11.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的是
二、综合运用
√
如图所示，
锐角
13.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
三、创新拓展
14.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：CC1⊥BD；
若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥BD，A1C⊥DC1.
＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－|c|2＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ
＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0，
得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1.1.1.2　空间向量的数量积运算
课标要求　1.掌握空间向量的数量积. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
【引入】 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义了.
一、空间向量的夹角
探究1 类比平面向量夹角的相关概念，探究空间向量夹角的概念.
【知识梳理】
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
温馨提示　两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b为非零向量).
例1 如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角.
解　连接BD(图略)，
则在正方体ABCD A′B′C′D′中，
AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以〈，〉＝〈，〉＝45°，
〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，
〈，〉＝∠D′AC＝60°，
〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°
＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°.
思维升华　1.求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错.
2.对空间任意两个非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
训练1 (1)在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
(2)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.
(2)显然〈a，b〉＝0 a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b / 〈a，b〉＝0.
故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.
二、空间向量的数量积运算
探究2 回忆平面向量数量积的定义.
探究3 类比平面向量数量积的性质与运算律，探究空间向量数量积的性质与运算律.
【知识梳理】
1.空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉.
(2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0；
②当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝0；
③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2.
(3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2.向量的投影
(1)在空间，向量a向向量b投影：
如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
(2)向量a向直线l投影如图(2).
(3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.
温馨提示　(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.
(3)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c b＝c，
(a·b)·c a·(b·c).
例2 (链接教材P9复习巩固4)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
解　(1)·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝×1×1·cos 60°＝，
所以·＝.
(2)·＝·＝||·
||·cos〈，〉＝×1×1·cos 0°＝，
所以·＝.
(3)·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝×1×1·cos 120°＝－，
所以·＝－.
(4)·＝(＋)·(＋)
＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝[－·－·＋(－)·＋·]
＝×＝－，
所以，·＝－.
思维升华　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
训练2 (1)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.
(2)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝________.
答案　(1)－13　(2)－1
解析　(1)∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－
＝－13.
(2)由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos＝，则·＝2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c)＝2×＝－1.
三、空间向量的数量积在几何中的应用
例3 (1)(链接教材P9练习3)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为________.
(2)已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________.
答案　(1)　(2)－
解析　(1)设＝a，＝b，＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝，即EF＝.
(2)由已知得＝(＋)，
＝－＝－，
因此||＝|＋|
＝＝，
||＝＝＝.
又因为·＝(＋)·＝×2－×2＋×2－2＝－2，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
故异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
(3)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明　设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋＝＋(＋)
＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b－c，
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG 平面GBD，BD 平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
思维升华　1.求线段长度的步骤如下：
(1)将线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝得所求长度.
2.利用数量积求异面直线所成角的方法步骤：
(1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量；
(2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题；
(3)利用数量积求角的大小.
3.证明线面位置关系：
(1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据直线的方向向量的数量积为0，证明线线垂直；
(2)证明直线与平面垂直则要利用直线和平面垂直的判定定理转化为直线和直线垂直证明.
训练3 (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为______.
答案　
解析　因为＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋＋2(·＋·＋·).
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×2·cos 90°＋1×3·cos 60°＋2×3·cos 60°)＝23.
因为＝||2，
所以||2＝23，
则||＝，
即AC1＝.
(2)(链接教材P10拓广探索9)如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
证明　因为OB＝OC，
AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)＝·－·＝||·||cos∠AOC－||·||cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
【课堂达标】
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
答案　AD
解析　选项A，D中的向量的夹角为45°，选项B，C中的向量的夹角为135°.
2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝(　　)
A.12 B.8＋
C.4 D.13
答案　D
解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×＝13.
3.已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A. B. C.－ D.0
答案　D
解析　·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－||||＝0，
所以⊥，所以cos〈，〉＝0.
4.已知|a|＝1，且a－b与a垂直，a与b的夹角为45°，则|b|＝________.
答案　
解析　∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∴1－|b|×＝0，解得|b|＝.
一、基础巩固
1.在正四面体A BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案　C
解析　由题意，可得＝，
所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉
＝180°－60°＝120°.
2.(多选)下列式子中，正确的有(　　)
A.＝|a|
B.m(λa)·b＝(mλ)a·b
C.a·(b＋c)＝(b＋c)·a
D.a2b＝b2a
答案　ABC
解析　A，B，C正确；D不正确，因为等式左边表示与b共线的向量，右边表示与a共线的向量，两者方向不一定相同.
3.已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　B
解析　根据a与2b－a互相垂直，
得a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，
解得a·b＝2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
又0°≤〈a，b〉≤180°，
∴〈a，b〉＝45°，故选B.
4.(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是(　　)
A.与　　　　 B.与
C.与 D.与
答案　BCD
解析　因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0；
因为PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
可得PA⊥AD，
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，
所以AD⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，所以AD⊥PB，
故·＝0；
同理·＝0.所以选BCD.
5.如图，在大小为45°的二面角A EF D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)
A. B.
C.1 D.
答案　D
解析　∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－.
故||＝.
6.已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，且m⊥n，则实数λ等于________.
答案　－
解析　∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)
＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18＋λ·3×4·cos 135°＋3×4·cos 135°＋λ·16
＝18－12λ－12＋16λ＝6＋4λ，
又m⊥n，∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－.
7.已知空间向量a，b，c中两两夹角都是，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，则|a＋b＋c|＝________.
答案　10
解析　∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，
且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝，
∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＋
2|a||c|·cos〈a，c〉＋2|b||c|·cos〈b，c〉
＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，
∴|a＋b＋c|＝10.故答案为10.
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
答案　a2
解析　如图，＝－，＝－＝－，
∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2
＝0－0－0＋a2＝a2.
9.如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
证明　如图所示，连接ON.
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
且＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|.
∵＝(＋)＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
10.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
解　∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴〈，〉＝120°.
∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，
∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||·
cos〈，〉＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68，∴||＝2，故CD的长为2.
二、综合运用
11.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的是(　　)
A.(＋＋)2＝32
B.·(－)＝0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为|··|
答案　AB
解析　如图所示，
(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；
·(－)＝(＋)·＝·＋·＝0；
与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，
故与的夹角为120°；
正方体的体积为||||||.
综上可知，AB正确.
12.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是______三角形.
答案　锐角
解析　·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0，同理，·＞0，·＞0，∴△BCD的三个内角均为锐角.
∴△BCD为锐角三角形.
13.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
(1)证明　设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝·
＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)解　∵＝－a＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|，
∵·＝(－a＋c)·
＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
三、创新拓展
14.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：CC1⊥BD；
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
(1)证明　设＝a，＝b，＝c.
依题意有|a|＝|b|，＝－＝a－b.
设，，的两两夹角均为θ，于是·＝c·(a－b)
＝c·a－c·b
＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，
∴CC1⊥BD.
(2)解　若A1C⊥平面C1BD，
则A1C⊥BD，A1C⊥DC1.
由·＝(＋)·(－)
＝(a＋b＋c)·(a－c)
＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－|c|2
＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ
＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0，
得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1.
同理可证，当|a|＝|b|时，A1C⊥BD.
∴当＝1时，A1C⊥平面C1BD.1.1.2　空间向量的数量积运算
课标要求　1.掌握空间向量的数量积. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
【引入】 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义了.
一、空间向量的夹角
探究1 类比平面向量夹角的相关概念，探究空间向量夹角的概念.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a，b的夹角，记作________
范围 ________
向量垂直 如果〈a，b〉＝________，那么向量a，b互相垂直，记作a________b
温馨提示　两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b为非零向量).
例1 如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错.
2.对空间任意两个非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
训练1 (1)在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
(2)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空间向量的数量积运算
探究2 回忆平面向量数量积的定义.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 类比平面向量数量积的性质与运算律，探究空间向量数量积的性质与运算律.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝________.
(2)性质：①零向量与任意向量的数量积为______；
②当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝________；
③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2.
(3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2.向量的投影
(1)在空间，向量a向向量b投影：
如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
(2)向量a向直线l投影如图(2).
(3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量________称为向量a在平面β上的投影向量.
温馨提示　(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.
(3)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·cb＝c，(a·b)·ca·(b·c).
例2 (链接教材P9复习巩固4)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
训练2 (1)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.
(2)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、空间向量的数量积在几何中的应用
例3 (1)(链接教材P9练习3)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为________.
(2)已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________.
(3)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求线段长度的步骤如下：
(1)将线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝得所求长度.
2.利用数量积求异面直线所成角的方法步骤：
(1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量；
(2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题；
(3)利用数量积求角的大小.
3.证明线面位置关系：
(1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据直线的方向向量的数量积为0，证明线线垂直；
(2)证明直线与平面垂直则要利用直线和平面垂直的判定定理转化为直线和直线垂直证明.
训练3 (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为________.
(2)(链接教材P10拓广探索9)如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝(　　)
A.12 B.8＋
C.4 D.13
3.已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A. B.
C.－ D.0
4.已知|a|＝1，且a－b与a垂直，a与b的夹角为45°，则|b|＝________.
：完成课时精练3

展开更多......

收起↑