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第一章 1.2　空间向量基本定理
第一课时　空间向量基本定理
课标要求
1.理解空间向量基本定理及其意义.
2.掌握空间向量的正交分解.
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其实质就是平面内的任一向量都可以用两个不共线的向量来表示.那么对于空间向量，有没有类似的结论呢？
引入
课时精练
一、空间向量基本定理
二、空间向量的正交分解
三、用基底表示空间向量
课堂达标
内容索引
空间向量基本定理
一
提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，
使得p＝x′i＋y′j＋z′k，
则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，
则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k，
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.
所以x＝x′，同理y＝y′，z＝z′，
所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.
1.空间向量基本定理
知识梳理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得______________________.
p＝xa＋yb＋zc
2.基底的概念
(1)定义：如果三个向量a，b，c________，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个______，a，b，c都叫做基向量.
(2)性质：空间任意三个________的向量都可以构成空间的一个基底.
不共面
基底
不共面
温馨提示
(1)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
(3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
例1
判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面：
(1)首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面；
(2)如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面.
思维升华
训练1
√
②③④
同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间
的基底.
因为x＝a＋b，所以a，b，x共面，故不能作为基底.
空间向量的正交分解
二
探究2 回顾平面向量的正交分解过程，思考任意一个空间向量是否可以分解为两个相互垂直的向量？
提示　不可以.应该分解为三个两两垂直的向量.
知识梳理
1.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为____，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
2.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使_________________.像这样，把一个空间向量分解为三个__________的向量，叫做把空间向量正交分解.
两两垂直
1
a＝xi＋yj＋zk
两两垂直
用基底表示空间向量
三
例2
如图，连接AC，
思维升华
用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行.
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
训练2
【课堂达标】
√
√
如图所示，
【课时精练】
√
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p q，q?p，故p是q的必要不充分条件.
√
能与p，q构成基底，则与p，q不共面.
2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是
A.a B.b
C.a＋2b D.a＋2c
√
3.{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0, 则x，y，z的值分别为
A.0，0，1 B.0，0，0
C.1，0，1 D.0，1，0
√
4.(多选)给出下列命题，其中是真命题的是
√
√
A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，
∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，
∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，
∴d与a，b不共面，即A是真命题；
B中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，显然B是真命题；
所以A，B，M，N四点共面，即C是真命题；
D中，因为a，b，c共面，所以{a，b，c}不能构成基底，故D错误.
√
如图，
取PC的中点E，连接NE，
10.如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
√
12.(多选)设e1，e2，e3是不共面的三个单位向量，则下列选项中能作为空间的一个基底的是
√
√
√
(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值.
连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).第一课时　空间向量基本定理
课标要求　1.理解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解.
【引入】 回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其实质就是平面内的任一向量都可以用两个不共线的向量来表示.那么对于空间向量，有没有类似的结论呢？
一、空间向量基本定理
探究1 (1)如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
提示　如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝＋.
又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk.
在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj.
从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk.
(2)你能证明唯一性吗？
提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，
则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，
则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k，
两边同除以(x′－x)，得i＝j＋k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.
所以x＝x′，同理y＝y′，z＝z′，
所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.
【知识梳理】
1.空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2.基底的概念
(1)定义：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.
(2)性质：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
温馨提示　(1)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
(3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
例1 (链接教材P12练习3(1))已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底.
解　假设，，共面，则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.
∵e1，e2，e3不共面，∴
此方程组无解，
∴，，不共面，
∴{，，}可以作为空间的一个基底.
思维升华　判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面：
(1)首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面；
(2)如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面.
训练1 (1)已知A，B，C，D，E是空间五点且A，B，C不共线，若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则在下列各结论中，不正确的为(　　)
A.，，不构成空间的一个基底
B.，，不构成空间的一个基底
C.，，不构成空间的一个基底
D.，，构成空间的一个基底
(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底.给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.
其中可以作为空间的基底的向量组有________.(填序号)
答案　(1)D　(2)②③④
解析　(1)由，，与，，均不能构成空间的一个基底及A，B，C不共线，
可知，，，为共面向量，
即A，B，C，D，E五点共面，故D不正确.
(2)如图，设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.
由A，B1，D1，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面.
同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底.
因为x＝a＋b，所以a，b，x共面，故不能作为基底.
二、空间向量的正交分解
探究2 回顾平面向量的正交分解过程，思考任意一个空间向量是否可以分解为两个相互垂直的向量？
提示　不可以.应该分解为三个两两垂直的向量.
【知识梳理】
1.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
2.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解.
三、用基底表示空间向量
例2 (链接教材P15复习巩固2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
解　(1)如图，连接AC，
＝＋
＝－＋－
＝a－b－c，
＝＋
＝＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－＝a－c.
(2)＝(＋)＝(－＋)
＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，
又＝xa＋yb＋zc，
所以x＝，y＝－，z＝－1.
思维升华　用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行.
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
训练2 如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
解　连接BO，
则＝＝(＋)
＝(－b－a＋c)
＝－a－b＋c，
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)＝－a－b＋c，
＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c，
＝＝＝a.
【课堂达标】
1.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　)
A. B.
C. D.或
答案　C
解析　∵＝a－b且a，b不共线，
∴a，b，共面，
∴与a，b不能构成一组空间基底.
2.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b－c D.－a－b＋c
答案　C
解析　＝－＝(＋)－(＋＋)＝－a－b－c.
3.在正四面体P－ABC中，M是PA上的点，且PM＝2MA，N是BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为________.
答案　
解析　如图所示，＝＋＝－＋＝－＋＋.
由空间向量基本定理得：x＝－，y＝，z＝.
故x＋y＋z＝.
4.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则等于__________(用向量，，表示).
答案　＋－
解析　∵＝－
＝－
＝＋－(＋＋)
＝＋－
＝＋－.
一、基础巩固
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.
因此p q，q p，故p是q的必要不充分条件.
2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)
A.a B.b
C.a＋2b D.a＋2c
答案　D
解析　能与p，q构成基底，则与p，q不共面.
∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q，
∴A，B，C都不合题意.
因为{a，b，c}为基底，
∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底.
3.{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0, 则x，y，z的值分别为(　　)
A.0，0，1 B.0，0，0 C.1，0，1 D.0，1，0
答案　B
解析　若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面，这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.
4.(多选)给出下列命题，其中是真命题的是(　　)
A.若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底
B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面
D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
答案　ABC
解析　A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，
∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，
∴d与a，b不共面，即A是真命题；
B中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，显然B是真命题；
C中，由，，有公共点B，所以A，B，M，N四点共面，即C是真命题；
D中，因为a，b，c共面，所以{a，b，c}不能构成基底，故D错误.
5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝ a，＝c，＝b，则下列向量与相等的是(　　)
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
答案　A
解析　＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)
＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
6.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________.
答案　(＋＋)
解析　∵2＝2＋2＋2
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴＝(＋＋).
7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为________.
答案　a－b＋c
解析　∵＝－2，
∴－＝－2(－)，
∴b－a＝－2(－c)，
∴＝a－b＋c.
8.点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别是________.
答案　－，－，
解析　如图，取PC的中点E，连接NE，
则＝－
＝－(－)＝－＝－
＝－－(－＋＋)
＝－－＋，
比较知x＝－，y＝－，z＝.
9.已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
解　(1)＝＋＝－＋
＝b－a＋c.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b).
10.如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z.
解　(1)∵＝＋＝＋＋
＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)∵＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
根据空间向量基本定理
∴x＝，y＝，z＝1.
二、综合运用
11.已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为(　　)
A.a＋b＋c 　 B.a＋b－c
C.－a＋b＋c 　 D.a－b＋c
答案　C
解析　因为空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，
所以＝＋＋
＝＋＋(－)
＝＋＋＝－a＋b＋c.
故选C.
12.(多选)设e1，e2，e3是不共面的三个单位向量，则下列选项中能作为空间的一个基底的是(　　)
A.
B.{e1－e3，e2＋e3，e1＋e2}
C.{e1－e2，e2－2e3，e3－3e1}
D.{e1＋e3，e2＋e3，e1＋e2}
答案　ACD
解析　对于A，设e1＋e2，e1＋e3，e2＋2e3三个向量共面，则存在唯一一对实数λ，μ，
使得e1＋e2＝λ＋μ(e2＋2e3)，
即e1＋e2＝λe1＋μe2＋(λ＋2μ)e3，
又e1，e2，e3是不共面的三个单位向量，
所以方程组无解，
所以e1＋e2，e1＋e3，e2＋2e3三个向量不共面，能作为一个基底；
对于B，因为(e1－e3)＋(e2＋e3)＝e1＋e2，
所以e1－e3，e2＋e3，e1＋e2三个向量共面，故不能作为一个基底；
对于C，设e1－e2，e2－2e3，e3－3e1三个向量共面，则存在唯一一对实数λ，μ，
使得e1－e2＝λ(e2－2e3)＋μ(e3－3e1)，
即e1－e2＝－3μe1＋λe2＋(μ－2λ)e3，
又e1，e2，e3是不共面的三个单位向量，
所以方程组无解，
所以e1－e2，e2－2e3，e3－3e1三个向量不共面，能作为一个基底；
对于D，设e1＋e3，e2＋e3，e1＋e2三个向量共面，
则存在唯一一对实数λ，μ，
使得e1＋e3＝λ(e2＋e3)＋μ(e1＋e2)，
即e1＋e3＝μe1＋(λ＋μ)e2＋λe3，
又e1，e2，e3是不共面的三个单位向量，
所以
所以e1＋e3，e2＋e3，e1＋e2三个向量不共面，能作为一个基底.
13.如图，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c分别表示向量，；
(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值.
解　(1)＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝[(a－c)＋(b－c)]＝(a＋b－2c)(或＝－＝(＋)－
＝(a＋b－2c))；
＝(＋)＝[(－)－]
＝[(a－b)－b]＝(a－2b).
(2)设正四面体的棱长为1，即|a|＝|b|＝|c|＝1且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝，
则a·b＝a·c＝b·c＝，
||＝||＝.
又·＝(a＋b－2c)·(a－2b)
＝(a2＋a·b－2a·c－2a·b－2b2＋4b·c)＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－，∴异面直线DM与CN所成角的余弦值为.
三、创新拓展
14.如图，在三棱锥P ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值.
解　连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).
由题意，可令{，，}为空间的一个基底，
＝＝(＋)
＝＋×
＝＋×
＝＋(－)＋(－)
＝＋＋.
∵点D，E，F，M共面，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即－＝λ(－)＋μ(－)，
∴＝(1－λ－μ)＋λ＋μ
＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，
由空间向量基本定理，
知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
∴＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值.第一课时　空间向量基本定理
课标要求　1.理解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解.
【引入】 回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其实质就是平面内的任一向量都可以用两个不共线的向量来表示.那么对于空间向量，有没有类似的结论呢？
一、空间向量基本定理
探究1 (1)如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
(2)你能证明唯一性吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得____________.
2.基底的概念
(1)定义：如果三个向量a，b，c______________，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做基向量.
(2)性质：空间任意三个________的向量都可以构成空间的一个基底.
温馨提示　(1)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
(3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
例1 (链接教材P12练习3(1))已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面：
(1)首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面；
(2)如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面.
训练1 (1)已知A，B，C，D，E是空间五点且A，B，C不共线，若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则在下列各结论中，不正确的为(　　)
A.，，不构成空间的一个基底
B.，，不构成空间的一个基底
C.，，不构成空间的一个基底
D.，，构成空间的一个基底
(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底.给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.
其中可以作为空间的基底的向量组有________.(填序号)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空间向量的正交分解
探究2 回顾平面向量的正交分解过程，思考任意一个空间向量是否可以分解为两个相互垂直的向量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量____________，且长度都为________，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
2.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使________.像这样，把一个空间向量分解为三个____________的向量，叫做把空间向量正交分解.
三、用基底表示空间向量
例2 (链接教材P15复习巩固2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行.
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
训练2 如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　)
A. B.
C. D.或
2.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b－c D.－a－b＋c
3.在正四面体P－ABC中，M是PA上的点，且PM＝2MA，N是BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为________.
4.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则等于__________(用向量，，表示).
：完成课时精练4

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