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1.3.2　空间向量运算的坐标表示
第一章 1.3　空间向量及其运算的坐标表示
课标要求
1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
2.掌握空间向量的数量积运算及其坐标表示.
3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题.
前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来，那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？
引入
课时精练
一、空间向量运算的坐标表示
二、空间向量平行、垂直的坐标表示
三、空间夹角、距离的计算
课堂达标
内容索引
空间向量运算的坐标表示
一
探究1 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？
提示　a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.
探究2 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
提示　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则
a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，
所以a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k).
利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，
得a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.
1.空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______________________.
知识梳理
终点坐标减去起点坐标
2.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝_________________________
减法 a－b＝_________________________
数乘 λa＝________________________
数量积 a·b＝___________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
a1b1＋a2b2＋a3b3
温馨提示
(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量.
例1
设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以点B的坐标为(6，－4，5).
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
思维升华
(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.
训练1
－4
易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
2
空间向量平行、垂直的坐标表示
二
探究3 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？那么对于空间向量是不是也有类似的结论？
提示　a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
对于空间向量也有类似的结论.
知识梳理
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有：
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b?a＝λb?________， ， (λ∈R).
(2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b?a·b＝0 ? a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
a1＝λb1
a2＝λb2
a3＝λb3
温馨提示
例2
已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
例3
如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，
思维升华
(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
训练2
设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
空间夹角、距离的计算
三
探究4 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
知识梳理
温馨提示
例4
(链接教材P21例3)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
如图，建立空间直角坐标系.
(1)求BP的长；
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，
AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0).
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，
∴∠PAD＝60°.
思维升华
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
训练3
已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
设侧棱长为b，
(1)求三棱柱的侧棱长；
因为M为BC1的中点，
【课堂达标】
1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于
√
4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)
＝(8，0，4).
A.(16，0，4) B.(8，－16，4)
C.(8，16，4) D.(8，0，4)
√
2.已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是
A.(－1，1，0) B.(1，－1，0)
C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)
3.已知向量a＝(－2，1，x)，b＝(－1，1，2)，a·b＝3，则x＝________.
a·b＝2＋1＋2x＝2x＋3＝3，
0
解得x＝0.
(－2，－1，4)
【课时精练】
√
1.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于
∵a－b＋2c＝(9，3，0)，
√
2.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是
√
3.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为
√
4.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
5.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n的值为
A.0 B.－1 C.1 D.－2
设点P(x，y，z)，
(－1，3，3)
由BP⊥平面ABC，
9.若a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4).
(1)若(ka＋b)∥(a－2b)，求实数k的值；
∵a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4)，
∴ka＋b＝(k－2，2k＋3，－k＋4)，a－2b＝(5，－4，－9).
∵(ka＋b)∥(a－2b)，
(2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值.
∵(ka＋b)⊥(a－2b)，
∴(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－4(2k＋3)－9(－k＋4)＝0，
10.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
(1)求证：EF⊥CF；
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为________，线段MN的长度为________.
90°
13.已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5).
(1)求△ABC的面积；
√
√1.3.2　空间向量运算的坐标表示
课标要求　1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 2.掌握空间向量的数量积运算及其坐标表示. 3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题.
【引入】 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来，那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？
一、空间向量运算的坐标表示
探究1 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？
提示　a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.
探究2 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
提示　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则
a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，
所以a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k).
利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，
得a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.
【知识梳理】
1.空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
温馨提示　(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量.
例1 在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5).
(1)求顶点B，C的坐标；
(2)求·；
(3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标.
解　(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以＝(x－2，y＋5，z－3)，
＝(x1－x，y1－y，z1－z).
因为＝(4，1，2)，
所以解得
所以点B的坐标为(6，－4，5).
因为＝(3，－2，5)，
所以解得
所以点C的坐标为(9，－6，10).
(2)因为＝(－7，1，－7)，
所以·＝－21－2－35＝－58.
(3)设P(x2，y2，z2)，
则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，
＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)
＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
所以解得
故点P的坐标为.
思维升华　关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
训练1 (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.
(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.
答案　(1)－4　(2)2
解析　(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，
2b＝(2，4，2)，
故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，
解得x＝2.
二、空间向量平行、垂直的坐标表示
探究3 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？那么对于空间向量是不是也有类似的结论？
提示　a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
对于空间向量也有类似的结论.
【知识梳理】
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有：
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R).
(2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
温馨提示　(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0).
(2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ＝＝.
例2 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b.
(1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解　(1)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以2a－b＝(3，2，－2)，
又c＝，
所以2a－b＝－2c，
所以(2a－b)∥c.
(2)因为a＝＝(1，1，0)，
b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或－.
例3 (链接教材P20例2)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明　(1)如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为，(0，0，1).
∴＝.
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，
∴＝.
∴＝.又NE与AM不共线，
∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0，0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)，
∴·＝0，
∴⊥，即AM⊥DF.
同理，⊥，即AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，且DF 平面BDF，BF 平面BDF，∴AM⊥平面BDF.
思维升华　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
训练2 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
证明　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
∴＝(1，0，1)，
＝(－1，1，0)，
设＝(a，b，c)，
则即
取＝(1，1，－1)，
易知＝(－1，－1，1)，
∴＝－，
∴∥，即PQ∥BD1.
三、空间夹角、距离的计算
探究4 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是||＝
＝，
所以P1P2＝||
＝，
因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则AB＝||＝.
【知识梳理】
1.若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
cos〈a，b〉＝＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x＋y＋z)\r(x＋y＋z)).
2.空间两点间距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则
P1P2＝||＝.
温馨提示　(1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos〈，〉|.
(2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式.
例4 (链接教材P21例3)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)求BP的长；
(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值.
解　(1)如图，建立空间直角坐标系.
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，
B(2，4，0).
由PD⊥平面ABCD，得
∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，
∴∠PAD＝60°.
在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2.
∴P(0，0，2).
∴BP＝＝4.
(2)由(1)得，＝(2，0，－2)，
＝(－2，－3，0)，
∴cos〈，〉＝
＝＝－，
∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为.
思维升华　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
训练3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)设M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量；
(3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
解　(1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，
B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝(，1，b)，＝(－，1，b).
因为AB1⊥BC1，
所以·＝(，1，b)·(－，1，b)
＝－()2＋12＋b2＝0，
解得b＝.故侧棱长为.
(2)因为M为BC1的中点，
所以＝(＋)
＝(＋＋).
(3)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，
因为||＝＝，
||＝＝2，
·＝(，1，)·(－，1，0)
＝－()2＋1×1＋×0＝－2，
所以|cos〈，〉|＝＝＝.
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
【课堂达标】
1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　)
A.(16，0，4) B.(8，－16，4)
C.(8，16，4) D.(8，0，4)
答案　D
解析　4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).
2.已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A.(－1，1，0) B.(1，－1，0)
C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)
答案　B
解析　设b＝(x，y，z)，各选项给出的向量的模都是，且|a|＝.
则cos〈a，b〉＝＝＝，
即x－z＝1，结合选项知B项满足.
3.已知向量a＝(－2，1，x)，b＝(－1，1，2)，a·b＝3，则x＝________.
答案　0
解析　a·b＝2＋1＋2x＝2x＋3＝3，
解得x＝0.
4.已知点A(2，3，－1)，B(0，2，3)，则＝________，||＝________.
答案　(－2，－1，4)　
解析　＝(－2，－1，4)，
||＝＝.
一、基础巩固
1.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A.3 B.2 C. D.5
答案　A
解析　∵a－b＋2c＝(9，3，0)，
∴|a－b＋2c|＝＝3.
2.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A.1 B. C. D.
答案　D
解析　ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，
解得k＝.
3.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得AB中点M，
又C(0，1，0)，所以＝，故M到C的距离为CM＝||＝＝.
4.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案　C
解析　因为＝(3，4，－8)，＝(2，－3，1)，＝(5，1，－7)，于是·＝10－3－7＝0，而||＝，||＝5，
所以△ABC是直角三角形.
5.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n的值为(　　)
A.0 B.－1 C.1 D.－2
答案　A
解析　因为＝(m－1，1，m－2n－3)，
＝(2，－2，6)，由题意得∥，
所以＝＝，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
6.已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，若＝2，则点P的坐标是________.
答案　(－1，3，3)
解析　设点P(x，y，z)，
则由＝2，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，
则解得
即P(－1，3，3).
7.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为________.
答案　
解析　∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.
8.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.
答案　
解析　由BP⊥平面ABC，
可得BP⊥AB，BP⊥BC，又⊥，
∴即
解得x＝，y＝－，z＝4，
∴x＋y＝－＝.
9.若a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4).
(1)若(ka＋b)∥(a－2b)，求实数k的值；
(2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值.
解　∵a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4)，
∴ka＋b＝(k－2，2k＋3，－k＋4)，
a－2b＝(5，－4，－9).
(1)∵(ka＋b)∥(a－2b)，
∴＝＝，解得k＝－.
(2)∵(ka＋b)⊥(a－2b)，∴(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－4(2k＋3)－9(－k＋4)＝0，
解得k＝.
10.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长.
解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G.
所以＝，
＝，＝，
＝.
(1)证明　因为·＝×＋×＋×0＝0，
所以⊥，即EF⊥CF.
(2)因为·＝×1＋×0＋×＝，||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)CE＝||＝＝.
二、综合运用
11.已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________.
答案　∪
解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，
即3t－<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，
使a＝λb(λ<0)，
即(5，3，1)＝λ，
所以
所以t＝－，
故t的取值范围是∪.
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为________，线段MN的长度为________.
答案　90°　
解析　以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
设正方体的棱长为1，
则A(0，0，0)，M，O，N.
∴＝，＝，
·＝·＝0，
∴异面直线ON与AM所成角的大小为90°.
又＝，
∴MN＝||＝＝.
13.已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5).
(1)求△ABC的面积；
(2)求△ABC中AB边上的高.
解　(1)由已知，得＝(1，－3，2)，＝(2，0，－8)，
∴||＝＝，
||＝＝2，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)
＝－14，
∴cos〈，〉＝
＝＝，
∴sin〈，〉＝＝.
∴S△ABC＝||||sin〈，〉
＝××2×＝3.
(2)设AB边上的高为CD，则||＝||·sin〈，〉＝3，即△ABC中AB边上的高为3.
三、创新拓展
14.(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的为(　　)
A.已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0
B.已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值
C.已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
D.已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，则三棱锥O ABC的表面积S＝
答案　BC
解析　a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，
因为0<θ<π，且θ≠，
所以a·b≠0，故A错误；
如图所示，设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，
由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；
根据“仿射”坐标的定义可得，
a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；
由已知可得三棱锥O ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×＝，故D错误.故选BC.1.3.2　空间向量运算的坐标表示
课标要求　1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 2.掌握空间向量的数量积运算及其坐标表示. 3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题.
【引入】 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来，那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？
一、空间向量运算的坐标表示
探究1 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________________.
2.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝__________________
减法 a－b＝________________
数乘 λa＝____________________
数量积 a·b＝__________________
温馨提示　(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量.
例1 在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5).
(1)求顶点B，C的坐标；
(2)求·；
(3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
训练1 (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.
(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空间向量平行、垂直的坐标表示
探究3 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？那么对于空间向量是不是也有类似的结论？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有：
(1)平行关系：当b≠0时，a∥b a＝λb ________，________，________(λ∈R).
(2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
温馨提示　(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0).
(2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ＝＝.
例2 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b.
(1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (链接教材P20例2)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
训练2 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、空间夹角、距离的计算
探究4 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝＝________________.
2.空间两点间距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2＝||＝________________.
温馨提示　(1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos〈，〉|.
(2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式.
例4 (链接教材P21例3)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)求BP的长；
(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
训练3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)设M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量；
(3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　)
A.(16，0，4) B.(8，－16，4)
C.(8，16，4) D.(8，0，4)
2.已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A.(－1，1，0) B.(1，－1，0)
C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)
3.已知向量a＝(－2，1，x)，b＝(－1，1，2)，a·b＝3，则x＝________.
4.已知点A(2，3，－1)，B(0，2，3)，则＝________，||＝________.
：完成课时精练7
《测评卷》周测卷1

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