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第二课时　用空间向量研究夹角问题
第一章 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
课标要求
1.会用向量法求线线角、线面角、面面角.
2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.
3.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
在必修课程中，我们学习过异面直线的夹角、直线与平面的夹角，以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
引入
课时精练
一、异面直线所成的角
二、直线与平面所成的角
三、平面与平面的夹角
课堂达标
内容索引
异面直线所成的角
一
探究1 两个向量a，b的夹角的余弦值是什么？
探究2 能不能借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角？
提示　可以.可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决.
知识梳理
温馨提示
例1
(链接教材P36例7)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，求直线PB和AC所成角的余弦值.
法一　如图，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC均为等边三角形，
所以AO⊥BC，PO⊥BC，
所以BC⊥平面PAO，
从而平面PAO⊥平面ABC，且∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，
即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.
法二　如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC均为等边三角形，
所以AO⊥BC，PO⊥BC，
所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角.
用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成的角的范围求出异面直线所成的角.
思维升华
训练1
√
因为∠AOD＝2∠BOD，
且∠AOD＋∠BOD＝π，
连接CO，则CO⊥平面ABD，
以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设圆O的半径为2，
直线与平面所成的角
二
探究3 直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？
提示　不是.
知识梳理
直线与平面所成的角
温馨提示
例2
如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，求直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值.
根据题意，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，
可取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1).
设直线C1C与平面ACD1所成的角为θ，
思维升华
训练2
如图，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，
OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OC，则直线CD与平面PAC的夹角是
A.45° B.90°
C.30° D.60
√
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a(a＞0)，
平面与平面的夹角
三
探究4 如图，图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？
提示　图中有四个二面角，夹角与二面角相等或互补.
探究5 平面与平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？
提示　两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.
知识梳理
1.两平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中______________的二面角称为平面α与平面 β的夹角.
不大于90°
温馨提示
例3
(链接教材P37例8)如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，
思维升华
利用坐标法求两个平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两个面所在平面的法向量的坐标；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)确定两平面夹角的大小.
训练3
如图所示，在三棱锥S－ABC中，O为BC的中点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，求平面ASC与平面BSC夹角的余弦值.
因为△SAB与△SAC均为等边三角形，
所以AB＝AC.
连接OA，则OA⊥BC.
以O为坐标原点，OB，OA，OS所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
【课堂达标】
1.设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为
√
设直线a与b所成的角为θ，
√
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为
A.45° B.60° C.90° D.135°
3.设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则
直线a与平面α所成角的正弦值为________.
由题意设直线a与平面α所成的角为θ，
如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，
4.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为________.
45°
【课时精练】
√
1.直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则
A.α＝θ B.α＝π－θ
C.cos θ＝|cos α| D.cos α＝|cos θ|
√
√
√
4.在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为
√
5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，
B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1P＝x(0≤x≤2)，
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角的大小为________.
7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________.
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.
设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，
C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
平面xOy的一个法向量为n＝(0，0，1).
8.在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，
取BD的中点O，连接OA，OC，
10.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB.以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
√
取BD的中点O，连接AO，CO.
设二面角A－BD－C的平面角为θ，
12.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面BDC1的一个法向量是___________(答案不唯一，写出一个坐标即可)，直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于________.
不妨设AB＝1，则AA1＝2，
(－2，2，1)
假设存在点E，设AE＝a(0≤a≤4).
设平面DEC1的法向量为n＝(x，y，z)，
又易知平面DEC的一个法向量为m＝(0，0，1)，
取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，
(1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB；
则A(0，－1，0)，B(2，－1，0)，C(0，1，0)，
D(－1，0，0)，P(0，－1，2).
∵点N为PC的中点，第二课时　用空间向量研究夹角问题
课标要求　1.会用向量法求线线角、线面角、面面角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 3.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
【引入】 在必修课程中，我们学习过异面直线的夹角、直线与平面的夹角，以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
一、异面直线所成的角
探究1 两个向量a，b的夹角的余弦值是什么？
提示　cos〈a，b〉＝.
探究2 能不能借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角？
提示　可以.可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决.
【知识梳理】
两条异面直线所成的角
设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
温馨提示　两异面直线所成角的范围是(0，]，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
例1 (链接教材P36例7)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，求直线PB和AC所成角的余弦值.
解　法一　如图，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC均为等边三角形，
所以AO⊥BC，PO⊥BC，
所以BC⊥平面PAO，
从而平面PAO⊥平面ABC，且∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，
即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.
设AB＝2，则A(，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P，
所以＝(－，－1，0)，＝，
cos〈，〉＝＝－，
所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
法二　如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC均为等边三角形，
所以AO⊥BC，PO⊥BC，
所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角.
设AB＝2，则＝－，＝－，
故·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·
＝－1－0－0＋××＝－，
所以cos〈，〉＝＝－，
即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
思维升华　用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成的角的范围求出异面直线所成的角.
训练1 如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为∠AOD＝2∠BOD，
且∠AOD＋∠BOD＝π，
所以∠BOD＝.
连接CO，则CO⊥平面ABD，
以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设圆O的半径为2，
则A(0，－2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，D(，1，0)，＝(，3，0)，＝(0，－2，2)，
设异面直线AD与BC所成的角为θ.
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，
所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为.
二、直线与平面所成的角
探究3 直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？
提示　不是.
【知识梳理】
直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
温馨提示　(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决.
(2)线面角的范围为[0，].
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
例2 如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，求直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值.
解　根据题意，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，
所以＝(1，1，－1)，＝(2，2，0)，＝(0，1，1).
设n＝(x，y，z)为平面ACD1的法向量.
则所以
可取x＝1，则y＝－1，z＝1，
所以n＝(1，－1，1).
设直线C1C与平面ACD1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值为.
思维升华　用坐标法求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出直线的方向向量u和平面的法向量n的坐标；
(3)设线面角为θ，则sin θ＝；
(4)由θ∈[0，]，求θ.
训练2 如图，在正四棱锥S ABCD中，O为顶点S在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OC，则直线CD与平面PAC的夹角是(　　)
A.45° B.90° C.30° D.60
答案　C
解析　如图，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a(a＞0)，
则A(0，－a，0)，C(0，a，0)，D(－a，0，0)，S(0，0，a)，
P，则＝(0，－2a，0)，
＝，＝(－a，－a，0).
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
∴可取n＝(1，0，1).
设直线CD与平面PAC的夹角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故选C.
三、平面与平面的夹角
探究4 如图，图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？
提示　图中有四个二面角，夹角与二面角相等或互补.
探究5 平面与平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？
提示　两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.
【知识梳理】
1.两平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角.
2.两平面夹角的计算
设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
温馨提示　(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题.
(2)两平面的夹角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π].
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念.
例3 (链接教材P37例8)如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
解　设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，
则M，N，A(1，0，0)，B(0，0，0).
法一　取MN的中点G，连接BG，AG，
则G.
因为△AMN，△BMN为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB(或其补角)为两平面夹角.
又因为＝，
＝，
所以cos〈，〉＝＝＝－，
故所求两平面夹角的余弦值为.
法二　设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z).
由于＝，＝，
则即
令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是n1＝(1，1，1).
同理可求得平面BMN的一个法向量n2＝(1，－1，－1)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，
故所求两平面夹角的余弦值为.
思维升华　利用坐标法求两个平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两个面所在平面的法向量的坐标；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)确定两平面夹角的大小.
训练3 如图所示，在三棱锥S ABC中，O为BC的中点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，求平面ASC与平面BSC夹角的余弦值.
解　因为△SAB与△SAC均为等边三角形，
所以AB＝AC.
连接OA，则OA⊥BC.
以O为坐标原点，OB，OA，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设B(1，0，0)，
则C(－1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1).
设SC的中点为M，连接OM，AM，
则M，
故＝，＝，＝(－1，0，－1)，
所以·＝0，·＝0，
所以MO⊥SC，MA⊥SC，
故〈，〉为二面角A SC B的平面角.
因为cos〈，〉＝＝，
所以平面ASC与平面BSC夹角的余弦值为.
【课堂达标】
1.设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设直线a与b所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝，
又θ∈，故θ＝.
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为(　　)
A.45° B.60° C.90° D.135°
答案　A
解析　∵cos〈m，n〉＝＝＝，
∴两平面的夹角的大小为45°.
3.设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________.
答案　
解析　由题意设直线a与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝.
4.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为________.
答案　45°
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，
则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，
于是＝(0，1，0).
取PD的中点E，连接AE，则E，
∴＝，易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，
∴cos〈，〉＝＝，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
一、基础巩固
1.直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　)
A.α＝θ B.α＝π－θ
C.cos θ＝|cos α| D.cos α＝|cos θ|
答案　D
解析　α＝θ或α＝π－θ，且α∈，
因而cos α＝|cos θ|.
2.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵〈a，n〉＝，
∴l与法向量所在直线所成的角为，
∴l与α所成的角为.
3.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝，则AC与BD1所成角的余弦值是(　　)
A.0 B.
C. D.
答案　A
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，
所以＝，＝(－2，2，0)，
所以|cos〈，〉|＝＝0，
即AC与BD1所成角的余弦值为0.
4.在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由＝＝，知这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为.
5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，
∴＝(－2，0，1).
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴平面BB1D1D的一个法向量为
a＝＝(－2，2，0).
∴所求角的正弦值为|cos〈a，〉|
＝＝＝.
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角的大小为________.
答案　
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1P＝x(0≤x≤2)，
则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，＝(1，x－1，2)，＝(－2，0，1)，
所以·＝0，
所以直线BM与OP所成的角为.
7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________.
答案　
解析　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.
设AA1＝2AB＝2，
则D(0，0，0)，C(0，1，0)，
B(1，1，0)，C1(0，1，2)，
则＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，
＝(0，1，2).
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
所以有
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
8.在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
答案　
解析　平面xOy的一个法向量为n＝(0，0，1).
设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，
又＝(－3，4，0)，＝(－3，0，a)，
则即
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.
而cos〈n，u〉＝＝，
又∵a>0，∴a＝.
9.如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
解　取BD的中点O，连接OA，OC，
由题意知OA⊥BD，OC⊥BD，且OA＝＝1，OC＝＝，
∵CA＝2，∴OA2＋OC2＝CA2，得OA⊥OC，故OA，OC，BD两两垂直.
以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
如图所示，
则B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)，
∴＝(－1，0，1)，
＝(－1，－，0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
10.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
解　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB.以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2).
(1)因为P为A1B1的中点，
所以P，
从而＝，
又＝(0，2，2)，
故cos〈，〉＝
＝＝.
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.
(2)因为Q为BC的中点，所以Q，
因此＝，
＝(0，2，2)，＝(0，0，2).
设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取n＝(，－1，1).
设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.
二、综合运用
11.如图，在四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝4，BC＝CD＝2，现将△ABD沿BD折起，当二面角A BD C的大小在时，直线AB和CD所成的角为α，则cos α的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　取BD的中点O，连接AO，CO.
∵AB＝BD＝DA＝4，
BC＝CD＝2，
∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO＝2，
∴∠AOC是二面角A BD C的平面角，以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0，－2，0)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，
设二面角A BD C的平面角为θ，
则θ∈，
∠AOC＝θ，A(2cos θ，0，2sin θ)，
∴＝(2cos θ，2，2sin θ)，
＝(－2，2，0)，
则cos α＝＝.
∵θ∈，∴cos θ∈，
∴|1－cos θ|∈，
∴cos α的最大值为.故选C.
12.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面BDC1的一个法向量是________(答案不唯一，写出一个坐标即可)，直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于________.
答案　(－2，2，1)　
解析　不妨设AB＝1，则AA1＝2，
由题图可知D(0，0，2)，C1(0，1，0)，B(1，1，2)，C(0，1，2)，B1(1，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，－2)，＝(1，0，－2).
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令z＝1，则y＝2，x＝－2.
故平面BDC1的一个法向量为n＝(－2，2，1)，
设CB1与平面BDC1所成角为θ，
则sin θ＝＝.
13.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，在线段AB上是否存在一点E，使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由.
解　假设存在点E，设AE＝a(0≤a≤4).
如图，以D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，
则有E(3，a，0)，C1(0，4，2)，D(0，0，0).
设平面DEC1的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝(0，4，2)，＝(3，a，0)，
故
所以
即
令y＝1，得x＝－，z＝－2，
即n＝，
又易知平面DEC的一个法向量为m＝(0，0，1)，
∴|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得a＝3，
所以在线段AB上存在点E，使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为，此时AE＝3.
三、创新拓展
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2.
(1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB；
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由.
(1)证明　取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(2，－1，0)，C(0，1，0)，D(－1，0，0)，P(0，－1，2).
∵点N为PC的中点，
∴N(0，0，1)，∴＝(1，0，1).
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由＝(0，0，2)，＝(2，0，0)，
可得n＝(0，1，0)，∴·n＝0.
又∵DN 平面PAB，
∴DN∥平面PAB.
(2)解　由(1)知＝(0，2，0)，
＝(－1，1，－2).
设直线AC与PD所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝.
∴直线AC与PD所成角的余弦值为.
(3)解　存在.
设M(x，y，z)，且＝λ，0≤λ≤1，
∴∴M(－λ，λ－1，2－2λ).
设平面ACM的法向量为m＝(x，y，z)，
由＝(0，2，0)，＝(－λ，λ，2－2λ)，
利用
即
可得平面ACM的一个法向量为m＝(2－2λ，0，λ)，由图知平面ACD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
∴|cos〈m，n〉|＝＝，
解得λ＝或λ＝2(舍去)，
∴M，
∴＝，
所以平面ACD的一个法向量为m＝.
设BM与平面MAC所成的角为φ，
则sin φ＝|cos〈，m〉|＝＝，∴φ＝30°.
故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°.第二课时　用空间向量研究夹角问题
课标要求　1.会用向量法求线线角、线面角、面面角. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 3.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
【引入】 在必修课程中，我们学习过异面直线的夹角、直线与平面的夹角，以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
一、异面直线所成的角
探究1 两个向量a，b的夹角的余弦值是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 能不能借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
两条异面直线所成的角
设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝____________＝____________.
温馨提示　两异面直线所成角的范围是(0，]，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
例1 (链接教材P36例7)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，求直线PB和AC所成角的余弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成的角的范围求出异面直线所成的角.
训练1 如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
二、直线与平面所成的角
探究3 直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝____________＝____________.
温馨提示　(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决.
(2)线面角的范围为[0，].
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
例2 如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，求直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　用坐标法求直线与平面所成角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出直线的方向向量u和平面的法向量n的坐标；
(3)设线面角为θ，则sin θ＝；
(4)由θ∈[0，]，求θ.
训练2 如图，在正四棱锥S ABCD中，O为顶点S在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OC，则直线CD与平面PAC的夹角是(　　)
A.45° B.90°
C.30° D.60
三、平面与平面的夹角
探究4 如图，图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究5 平面与平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.两平面的夹角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中________的二面角称为平面α与平面 β的夹角.
2.两平面夹角的计算
设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝____________＝____________.
温馨提示　(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题.
(2)两平面的夹角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π].
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念.
例3 (链接教材P37例8)如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用坐标法求两个平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两个面所在平面的法向量的坐标；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)确定两平面夹角的大小.
训练3 如图所示，在三棱锥S ABC中，O为BC的中点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，求平面ASC与平面BSC夹角的余弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为(　　)
A.45° B.60°
C.90° D.135°
3.设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________.
4.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为________.
：完成课时精练12第一章　课时精练12　用空间向量研究夹角问题
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　)
α＝θ α＝π－θ
cos θ＝|cos α| cos α＝|cos θ|
2.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)
3.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝，则AC与BD1所成角的余弦值是(　　)
0
4.在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为(　　)
5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角的大小为________.
7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________.
8.在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
9.(10分)如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
10.(10分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.如图，在四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝4，BC＝CD＝2，现将△ABD沿BD折起，当二面角A BD C的大小在时，直线AB和CD所成的角为α，则cos α的最大值为(　　)
12.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面BDC1的一个法向量是________(答案不唯一，写出一个坐标即可)，直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于________.
13.(15分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，在线段AB上是否存在一点E，使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由.
三、创新拓展
14.(15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2.
(1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB；
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由.
课时精练12　用空间向量研究夹角问题
1.D　[α＝θ或α＝π－θ，且α∈，
因而cos α＝|cos θ|.]
2.C　[∵〈a，n〉＝，
∴l与法向量所在直线所成的角为，
∴l与α所成的角为.]
3.A　[建立如图所示的空间直角坐标系，
INCLUDEPICTURE"W225.TIF" INCLUDEPICTURE "W225.TIF" \* MERGEFORMAT
则D1，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，
所以＝，＝(－2，2，0)，
所以|cos〈，〉|＝＝0，
即AC与BD1所成角的余弦值为0.]
4.A　[由＝＝，知这个锐二面角的两个半平面的夹角的余弦值为.]
5.D　[如图所示，建立空间直角坐标系，
INCLUDEPICTURE"W227.TIF" INCLUDEPICTURE "W227.TIF" \* MERGEFORMAT
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，
∴＝(－2，0，1).
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，∴平面BB1D1D的一个法向量为
a＝＝(－2，2，0).
∴所求角的正弦值为
|cos〈a，〉|＝＝＝.]
6.　[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1P＝x(0≤x≤2)，
INCLUDEPICTURE"W229.TIF" INCLUDEPICTURE "W229.TIF" \* MERGEFORMAT
则O(1，1，0)，P(2，x，2)，
B(2，2，0)，M(0，2，1)，＝(1，x－1，2)，＝(－2，0，1)，所以·＝0，
所以直线BM与OP所成的角为.]
7.　[以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.
INCLUDEPICTURE"W230.TIF" INCLUDEPICTURE "W230.TIF" \* MERGEFORMAT
设AA1＝2AB＝2，
则D(0，0，0)，C(0，1，0)，
B(1，1，0)，C1(0，1，2)，
则＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，
＝(0，1，2).
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
所以有
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.]
8.　[平面xOy的一个法向量为n＝(0，0，1).
设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，
又＝(－3，4，0)，＝(－3，0，a)，
则即
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.
而cos〈n，u〉＝＝，
又∵a>0，∴a＝.]
9.解　取BD的中点O，连接OA，OC，
由题意知OA⊥BD，OC⊥BD，且OA＝＝1，OC＝＝，
∵CA＝2，∴OA2＋OC2＝CA2，得OA⊥OC，故OA，OC，BD两两垂直.
以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
如图所示，
INCLUDEPICTURE"W232.TIF" INCLUDEPICTURE "W232.TIF" \* MERGEFORMAT
则B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)，
∴＝(－1，0，1)，＝(－1，－，0)，
∴cos〈，〉
＝＝，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
10.解　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB.以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
INCLUDEPICTURE"W234.TIF" INCLUDEPICTURE "W234.TIF" \* MERGEFORMAT
因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，
B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，
B1(，0，2)，C1(0，1，2).
(1)因为P为A1B1的中点，所以P，
从而＝，
又＝(0，2，2)，
故cos〈，〉＝
＝＝.
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.
(2)因为Q为BC的中点，所以Q，
因此＝，
＝(0，2，2)，＝(0，0，2).
设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取n＝(，－1，1).
设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.
11.C　[取BD的中点O，连接AO，CO.
INCLUDEPICTURE"补11A.TIF" INCLUDEPICTURE "补11A.TIF" \* MERGEFORMAT
∵AB＝BD＝DA＝4，BC＝CD＝2，
∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO＝2，
∴∠AOC是二面角A BD C的平面角，以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0，－2，0)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，
设二面角A BD C的平面角为θ，
则θ∈，∠AOC＝θ，
A(2cos θ，0，2sin θ)，
∴＝(2cos θ，2，2sin θ)，＝(－2，2，0)，
则cos α＝＝.
∵θ∈，∴cos θ∈，
∴|1－cos θ|∈，
∴cos α的最大值为.故选C.]
12.(－2，2，1)　　[不妨设AB＝1，则AA1＝2，
由题图可知D(0，0，2)，C1(0，1，0)，B(1，1，2)，C(0，1，2)，B1(1，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，－2)，＝(1，0，－2).
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则y＝2，x＝－2.
故平面BDC1的一个法向量为n＝(－2，2，1)，
设CB1与平面BDC1所成角为θ，
则sin θ＝＝.]
13.解　假设存在点E，设AE＝a(0≤a≤4).
INCLUDEPICTURE"W237.TIF" INCLUDEPICTURE "W237.TIF" \* MERGEFORMAT
如图，以D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则有E(3，a，0)，
C1(0，4，2)，D(0，0，0).
设平面DEC1的法向量为n＝(x，y，z)，
又＝(0，4，2)，＝(3，a，0)，
故
所以即
令y＝1，得x＝－，z＝－2，
即n＝，
又易知平面DEC的一个法向量为m＝(0，0，1)，∴|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得a＝3，
所以在线段AB上存在点E，使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为，此时AE＝3.
14.(1)证明　取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，
INCLUDEPICTURE"R42.TIF" INCLUDEPICTURE "R42.TIF" \* MERGEFORMAT
则A(0，－1，0)，B(2，－1，0)，C(0，1，0)，D(－1，0，0)，P(0，－1，2).
∵点N为PC的中点，
∴N(0，0，1)，∴＝(1，0，1).
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由＝(0，0，2)，＝(2，0，0)，
可得n＝(0，1，0)，∴·n＝0.
又∵DN 平面PAB，∴DN∥平面PAB.
(2)解　由(1)知＝(0，2，0)，
＝(－1，1，－2).
设直线AC与PD所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝.
∴直线AC与PD所成角的余弦值为.
(3)解　存在.
设M(x，y，z)，且＝λ，0≤λ≤1，
∴∴M(－λ，λ－1，2－2λ).
设平面ACM的法向量为m＝(x，y，z)，
由＝(0，2，0)，＝(－λ，λ，2－2λ)，
利用
即
可得平面ACM的一个法向量为m＝(2－2λ，0，λ)，由图知平面ACD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
∴|cos〈m，n〉|＝＝，
解得λ＝或λ＝2(舍去)，
∴M，
∴＝，所以平面ACD的一个法向量为m＝.
设BM与平面MAC所成的角为φ，
则sin φ＝|cos〈，m〉|＝＝，∴φ＝30°.
故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°.

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