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3.1.1　椭圆及其标准方程
第一课时　椭圆及其标准方程
课标要求　1.掌握椭圆的定义，能用文字语言与符号语言描述椭圆的定义. 2.能根据建立的坐标系推导椭圆标准方程，会求椭圆的标准方程. 3.能灵活应用椭圆的定义、标准方程解决焦点三角形问题.
【引入】 哈雷彗星每隔76年绕太阳公转一圈，它的运行轨迹是椭圆形：橄榄球运动盛行于英国、美国、加拿大、澳大利亚等国家，球的形状是椭圆形；夏天的时候，吃一口西瓜，沁人心脾，西瓜也是椭圆形；听见音乐就会翩翩起舞的“跳舞草”，
它那椭圆形的身躯是那么优美……，其实生活中还有许许多多椭圆形的例子，你能再举一些例子吗？椭圆有着怎样的几何特征？它是否也像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？
一、椭圆的定义
探究1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示　椭圆.笔尖到两个定点的距离的和等于常数，即绳长.
探究2 在上述活动中，如果把细绳拉直后固定住两端点(|F1F2|等于绳长)，那么动点M的轨迹是什么？
提示　线段(绳子上的任一点)
【知识梳理】
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
温馨提示　(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.且定值必须大于两定点间的距离.
(2)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(3)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
例1 (1)平面内到A(0，－3)和B(3，1)距离的和为6的动点轨迹为(　　)
A.椭圆 B.圆 C.线段 D.射线
(2)到(0，－4)和(0，4)距离之和为8的点的轨迹为________.
答案　(1)A　(2)线段
解析　(1)设动点为M，
则|MA|＋|MB|＝6，AB＝＝5，
∵6>5，∴动点M的轨迹为椭圆.
(2)因为动点到两定点距离的和为定值8，等于两定点间的距离，故为线段.
思维升华　1.判定点的轨迹是否为椭圆，关键是看是否符合椭圆的定义；
2.作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数).
训练1 已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值.
解　由题意|QF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＝4＋8＝12，
由基本不等式|QF1|·|QF2|≤＝＝36，
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝6时，等号成立，
故|QF1|·|QF2|的最大值为36.
二、椭圆的标准方程
探究3 考虑到椭圆的对称性，我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立图示平面直角坐标系，试利用椭圆定义推导椭圆方程.
提示　根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.
因为|MF1|＝，
|MF2|＝，
所以＋＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
令b＝，
那么方程⑤就是＋＝1(a>b>0).
探究4 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示　＋＝1(a>b>0).
【知识梳理】
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2
温馨提示　(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴.
(2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同.
(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
例2 (链接教材P107例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点.
解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以解得
所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
思维升华　求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程一般设为＋＝1(λ＜b2).
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.
训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)；
(2)经过点P，Q.
解　(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(λ＞－9).
又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，
解得λ＝11或λ＝－21(舍去).
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
依题意，有
解得
由a>b>0知不符合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
依题意，有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
则
解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
三、椭圆定义的应用
例3 (1)(链接教材P109练习3)如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.若|F1A|＋|F1B|＝14，则弦AB的长为________.
(2)已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积为________.
答案　(1)6　(2)8－4
解析　(1)由椭圆方程＋＝1可得a＝5，
故由椭圆定义有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以|AB|＝(|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋
|BF2|)－(|F1A|＋|F1B|)＝20－14＝6.
(2)由椭圆方程＋＝1可得a＝，
b＝2，c＝＝1.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·
|PF2|·cos∠F1PF2
＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|
－2|PF1|·|PF2|·cos 30°，
∴4＝(2)2－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－).
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4.
思维升华　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan.
训练3 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
【课堂达标】
1.已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝4，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4，则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
答案　D
解析　2a＝2c，则M为线段F1F2上的点.
2.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于(　　)
A.9 B.10
C.11 D.12
答案　C
解析　根据椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，
所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
3.若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为________________.
答案　(5，6)∪(6，7)
解析　由解得54.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________.
答案　120°
解析　由题意，得a2＝9，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝，∴|F1F2|＝2.
∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2.
∴cos ∠F1PF2＝
＝＝－，
又∵0°≤F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝120°.
一、基础巩固
1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　)
A.当a＝2时，点P的轨迹不存在
B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
答案　AC
解析　当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
2.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m的值为(　　)
A.9 B.4 C.3 D.2
答案　C
解析　由题意可知25－m2＝16，
解得m＝3(负值舍去).
3.“2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若方程＋＝1表示椭圆，
则解得2所以“24.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，
所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，
又2b＝4，所以b2＝20，a2＝25，
所以所求椭圆方程为＋＝1.
5.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案　B
解析　由椭圆方程知a＝4，b＝3，c＝，
所以|PF1|＋|PF2|＝8，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝
＝＝.
又因为0°≤∠F1PF2<180°，
所以∠F1PF2＝60°.
6.椭圆＋＝1的焦距是________，焦点坐标是________.
答案　16　(－8，0)，(8，0)
解析　由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，
且a2＝100，b2＝36，
所以c2＝a2－b2＝64，
解得c＝8，所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8，0)，(8，0).
7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________.
答案　＋x2＝1
解析　由已知2a＝8，2c＝2，
所以a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
8.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
答案　3
解析　由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
又PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1||PF2|＝2b2，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9.
∴b＝3.
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点；
(2)求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.
解　(1)设所求椭圆方程为＋＝1(k<1)，
将点代入，可得＋＝1，
解得k＝－2或k＝(舍去)，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一　①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二　设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10.已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.
解　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，
则
化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，
则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，
解得y0＝±.
又eq \f(x,5)＋y＝1，
所以x＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为
，，，.
二、综合运用
11.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)
A.± B.±
C.± D.±
答案　D
解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，
∴y＝±.
∴点M的纵坐标为±.
12.已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，2)，则△APF的周长的最大值为(　　)
A.6 B.8 C.12 D.14
答案　D
解析　由椭圆方程＋＝1，得a＝3，
b＝，c＝＝2.
设椭圆的左焦点为F′，
则△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′|＝4＋6＋|AP|－|PF′|≤10＋|AF′|，
当且仅当A，P，F′三点共线，且P在AF′的延长线上时取等号.
∵A(0，2)，F′(－2，0)，
∴|AF′|＝4，
∴△APF的周长最大值为14.
13.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定渔群处的位置(即点P的坐标)
解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
∴曲线C的方程＋＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，
因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，
即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，
设P(x，y)，B(2，0)，
由|PB|＝3，得＝3，
∴
解得或
∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3).
三、创新拓展
14.F1是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值是(　　)
A.9－ B.6－
C.3＋ D.6＋
答案　B
解析　如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，连接F2A并延长交椭圆于点P′，连接P′F1，PF2.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|＝6－|PF2|，
∴|PA|＋|PF1|＝|PA|＋6－|PF2|
＝6＋(|PA|－|PF2|).
根据三角形两边之差小于第三边，当点P位于P′时，|PA|－|PF2|最小，其值为－|AF2|＝－，此时|PA|＋|PF1|的最小值为6－.(共62张PPT)
第三章 3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆及其标准方程
第一课时　椭圆及其标准方程
课标要求
1.掌握椭圆的定义，能用文字语言与符号语言描述椭圆的定义.
2.能根据建立的坐标系推导椭圆标准方程，会求椭圆的标准方程.
3.能灵活应用椭圆的定义、标准方程解决焦点三角形问题.
哈雷彗星每隔76年绕太阳公转一圈，它的运行轨迹是椭圆形：橄榄球运动盛行于英国、美国、加拿大、澳大利亚等国家，球的形状是椭圆形；夏天的时候，吃一口西瓜，沁人心脾，西瓜也是椭圆形；听见音乐就会翩翩起舞的“跳舞草”，它那椭圆形的身躯是那么优美……，其实生活中还有许许多多椭圆形的例子，你能再举一些例子吗？椭圆有着怎样的几何特征？它是否也像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？
引入
课时精练
一、椭圆的定义
二、椭圆的标准方程
三、椭圆定义的应用
课堂达标
内容索引
椭圆的定义
一
探究1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示　椭圆.笔尖到两个定点的距离的和等于常数，即绳长.
探究2 在上述活动中，如果把细绳拉直后固定住两端点(|F1F2|等于绳长)，那么动点M的轨迹是什么？
提示　线段(绳子上的任一点)
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______，焦距的一半称为________.
知识梳理
焦点
焦距
半焦距
温馨提示
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.且定值必须大于两定点间的距离.
(2)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(3)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
例1
√
设动点为M，
(1)平面内到A(0，－3)和B(3，1)距离的和为6的动点轨迹为
A.椭圆 B.圆 C.线段 D.射线
(2)到(0，－4)和(0，4)距离之和为8的点的轨迹为________.
线段
因为动点到两定点距离的和为定值8，等于两定点间的距离，故为线段.
1.判定点的轨迹是否为椭圆，关键是看是否符合椭圆的定义；
2.作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数).
思维升华
已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值.
训练1
由题意|QF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＝4＋8＝12，
椭圆的标准方程
二
探究3 考虑到椭圆的对称性，我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立图示平面直角坐标系，试利用椭圆定义推导椭圆方程.
提示　根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
知识梳理
椭圆的标准方程
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a2－b2
a2－b2
温馨提示
例2
(链接教材P107例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
因为椭圆的焦点在y轴上，
因为椭圆的焦点在y轴上，
思维升华
思维升华
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
训练2
椭圆定义的应用
三
例3
6
思维升华
训练3
【课堂达标】
1.已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝4，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4，则动点M的轨迹是
√
2a＝2c，则M为线段F1F2上的点.
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
√
根据椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，
所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
(5，6)∪(6，7)
120°
【课时精练】
√
1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是
A.当a＝2时，点P的轨迹不存在
B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
√
当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，
C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
√
由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(负值舍去).
√
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
√
又因为0°≤∠F1PF2<180°，
所以∠F1PF2＝60°.
由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，
16
(－8，0)，(8，0)
且a2＝100，b2＝36，
所以c2＝a2－b2＝64，
解得c＝8，所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8，0)，(8，0).
3
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，又PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1||PF2|＝2b2，
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
法一　①当焦点在x轴上时，
由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
√
∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
A.6 B.8 C.12 D.14
√
当且仅当A，P，F′三点共线，且P在AF′的延长线上时取等号.
13.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定渔群处的位置(即点P的坐标)
由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，
√3.1.1　椭圆及其标准方程
第一课时　椭圆及其标准方程
课标要求　1.掌握椭圆的定义，能用文字语言与符号语言描述椭圆的定义. 2.能根据建立的坐标系推导椭圆标准方程，会求椭圆的标准方程. 3.能灵活应用椭圆的定义、标准方程解决焦点三角形问题.
【引入】 哈雷彗星每隔76年绕太阳公转一圈，它的运行轨迹是椭圆形：橄榄球运动盛行于英国、美国、加拿大、澳大利亚等国家，球的形状是椭圆形；夏天的时候，吃一口西瓜，沁人心脾，西瓜也是椭圆形；听见音乐就会翩翩起舞的“跳舞草”，它那椭圆形的身躯
是那么优美……，其实生活中还有许许多多椭圆形的例子，你能再举一些例子吗？椭圆有着怎样的几何特征？它是否也像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？
一、椭圆的定义
探究1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 在上述活动中，如果把细绳拉直后固定住两端点(|F1F2|等于绳长)，那么动点M的轨迹是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的__________，焦距的一半称为________.
温馨提示　(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.且定值必须大于两定点间的距离.
(2)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(3)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
例1 (1)平面内到A(0，－3)和B(3，1)距离的和为6的动点轨迹为(　　)
A.椭圆 B.圆
C.线段 D.射线
(2)到(0，－4)和(0，4)距离之和为8的点的轨迹为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.判定点的轨迹是否为椭圆，关键是看是否符合椭圆的定义；
2.作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数).
训练1 已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、椭圆的标准方程
探究3 考虑到椭圆的对称性，我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立图示平面直角坐标系，试利用椭圆定义推导椭圆方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
焦点 ________ ________
a，b，c的关系 c2＝________ c2＝________
温馨提示　(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴.
(2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同.
(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
例2 (链接教材P107例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程一般设为＋＝1(λ＜b2).
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.
训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)；
(2)经过点P，Q.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、椭圆定义的应用
例3 (1)(链接教材P109练习3)如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.若|F1A|＋|F1B|＝14，则弦AB的长为________.
(2)已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan.
训练3 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝4，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4，则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
2.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于(　　)
A.9 B.10
C.11 D.12
3.若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为________________.
4.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________.
：完成课时精练30第三章　课时精练30　椭圆及其标准方程
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　)
当a＝2时，点P的轨迹不存在
当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
2.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m的值为(　　)
9 4
3 2
3.“2充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
4.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是(　　)
＋＝1 ＋＝1
＋＝1 ＋＝1
5.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　)
30° 60°
120° 150°
6.椭圆＋＝1的焦距是________，焦点坐标是________.
7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________.
8.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
9.(15分)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点；
(2)求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.
10.(15分)已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.
二、综合运用
选择题每小题5分，共10分
11.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)
± ±
± ±
12.已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，2)，则△APF的周长的最大值为(　　)
6 8
12 14
13.(15分)某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定渔群处的位置(即点P的坐标)
三、创新拓展
选择题每小题5分，共5分
14.F1是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值是(　　)
9－ 6－
3＋ 6＋
课时精练30　椭圆及其标准方程
1.AC　[当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.]
2.C　[由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(负值舍去).]
3.B　[若方程＋＝1表示椭圆，
则解得2所以“24.B　[由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，
所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，
又2b＝4，所以b2＝20，a2＝25，
所以所求椭圆方程为＋＝1.]
5.B　[由椭圆方程知a＝4，b＝3，c＝，
所以|PF1|＋|PF2|＝8，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝
＝＝.
又因为0°≤∠F1PF2<180°，
所以∠F1PF2＝60°.]
6.16　(－8，0)，(8，0)　[由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，
所以c2＝a2－b2＝64，
解得c＝8，所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8，0)，(8，0).]
7.＋x2＝1　[由已知2a＝8，2c＝2，
所以a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.]
8.3　[由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
又PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1||PF2|＝2b2，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9.
∴b＝3.]
9.解　(1)设所求椭圆方程为＋＝1(k<1)，将点代入，可得＋＝1，解得k＝－2或k＝(舍去)，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一　①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二　设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1
(A>0，B>0且A≠B)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10.解　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，
则
化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，
则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，
解得y0＝±.
又eq \f(x,5)＋y＝1，所以x＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.
11.D　[∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
∵点P在椭圆上，∴＋＝1，
即y2＝，∴y＝±.
∴点M的纵坐标为±.]
12.D　[由椭圆方程＋＝1，得a＝3，b＝，c＝＝2.
设椭圆的左焦点为F′，
则△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′|＝4＋6＋|AP|－|PF′|≤10＋|AF′|，
当且仅当A，P，F′三点共线，且P在AF′的延长线上时取等号.
∵A(0，2)，F′(－2，0)，∴|AF′|＝4，
∴△APF的周长最大值为14.]
13.解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，
则c＝2，a＝4，故b＝2，
∴曲线C的方程＋＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，
设P(x，y)，B(2，0)，
由|PB|＝3，得＝3，
∴
解得或
∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3).
14.B　[如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，连接F2A并延长交椭圆于点P′，连接P′F1，PF2.
INCLUDEPICTURE"R96.TIF" INCLUDEPICTURE "R96.TIF" \* MERGEFORMAT
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|＝6－|PF2|，
∴|PA|＋|PF1|＝|PA|＋6－|PF2|
＝6＋(|PA|－|PF2|).
根据三角形两边之差小于第三边，当点P位于P′时，|PA|－|PF2|最小，其值为－|AF2|＝－，此时|PA|＋|PF1|的最小值为6－.]

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