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第二课时　与椭圆有关的轨迹问题
课标要求　1.会用定义法求轨迹方程. 2.会用代入法求轨迹方程. 3.会用直接法求轨迹方程.
【引入】 上一节课我们学习了椭圆的定义、标准方程及椭圆中的焦点三角形问题，这节课我们继续学习轨迹方程的有关求法.
一、定义法求轨迹方程
探究1 回顾一下圆、椭圆的定义，并指出定义中的关键条件.
提示　圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹，关键要素是圆心、半径；椭圆的定义：到两定点的距离之和为定值的点的轨迹，关键是两定点是两焦点，并且注意定值要大于两定点间的距离.
例1 一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解　将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.
∴|BM|＋|CM|＝6，
又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆.
∴a＝3，c＝2，b＝＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.
思维升华　利用椭圆定义求标准方程本质上是求轨迹的问题，一般解题思路如下：
首先分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义，设出对应椭圆的标准方程，求出a，b的值，最后得到标准方程.
训练1 (链接教材P115复习巩固6)如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0).Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程.
解　如图所示，连接MA.
由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5>|AC|＝2.
又A(1，0)，C(－1，0)，
故点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，
且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.
二、代入法求动点的轨迹方程
例2 (链接教材P108例2)已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.
解　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
点F(2，0)为其右焦点，
则不妨令其左焦点为F′(－2，0)，
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，
∴b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
∵Q为PF的中点，
∴∴
又P是＋＝1上的动点，
∴＋＝1，
即Q点的轨迹方程是＋＝1.
思维升华　代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.
(4)化简得所求方程.
训练2 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是点P在x轴上的射影，M是线段PD上一点，且|MD|＝|PD|.当点P在圆上运动时，动点M的轨迹方程是________.
答案　＋＝1
解析　设M(x，y)，P(x1，y1)，
因为点D是P在x轴上的射影，M是线段PD上一点，且|MD|＝|PD|，
所以
因为P(x1，y1)在圆x2＋y2＝25上，
所以x2＋＝25，化简得＋＝1.
三、直接法求动点的轨迹方程
探究2 前面我们已经了解了坐标法在解析几何中的作用，比如已知A(－2，0)，B(2，0)，AC⊥BC时，我们如何找到动点C(x，y)所满足的关系？你有哪些方法建立这个关系？
提示　可用三边关系：()2＋()2＝42；
可用斜率关系：·＝－1；
可用向量关系：(x＋2，y)·(x－2，y)＝0.
它们化简后都能代表动点C(x，y)的轨迹方程.
例3 (链接教材P108例3)设A，B两点的坐标分别为(0，6)，(0，－6).直线AM，BM相交于M.
(1)若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程；
(2)若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程.
解　(1)设点M的坐标为(x，y)，那么直线AM，BM的斜率分别为和，其中x≠0.
由题意知·＝－，
化简得＋＝1(x≠0).
(2)由(1)知·＝－(x≠0)，
化简得＋＝1(x≠0).
思维升华　求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示.
训练3 (链接教材P109练习4原题)已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？
解　设点M的坐标为(x，y)，
由已知kAM＝(x≠－1)，
kBM＝(x≠1).
又由题意＝2，
所以＝2×(x≠±1，y≠0).
化简得x＝－3(y≠0)，
因此，点M的轨迹是直线x＝－3，并去掉点(－3，0).
【课堂达标】
1.平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　平面内一点M到两定点F1(0，－3)，
F2(0，3)的距离之和为10>6，
所以M的轨迹满足椭圆的定义，
且a＝5，c＝3，则b＝4，
椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的方程为＋＝1.
2.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.直线
答案　B
解析　设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知|PO|＝|MF2|，
|PF1|＝|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，
所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，
故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆.
3.已知点B(－4，0)，C(4，0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为________.
答案　＋＝1(y≠0)
解析　由已知得|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，
|BC|＝8，则|AB|＋|AC|＝10.
由椭圆的定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆的一部分，且2a＝10，2c＝8，
即a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，
所以椭圆方程为＋＝1.
当点A在直线BC上，即y＝0时，A，B，C三点共线，不满足题意，
所以动点A的轨迹方程是＋＝1(y≠0).
4.已知A(2，1)，B(2，－1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足＝m＋n，其中m，n∈R，且m2＋n2＝，则动点P的轨迹方程是________.
答案　＋y2＝1
解析　设动点P(x，y)，
∵点P满足＝m＋n，其中m，n∈R，
∴(x，y)＝(2m＋2n，m－n)，
∴x＝2m＋2n，y＝m－n，
∴m＝，n＝，
∵m2＋n2＝，
∴＋＝，即＋y2＝1.
一、基础巩固
1.在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1(x≠±3) B.＋＝1(x≠±2)
C.＋＝1(x≠±3) D.＋＝1(x≠±2)
答案　A
解析　在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6>|BC|＝4，
则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，
a＝3，c＝2，b＝，
所以顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠±3).
2.化简方程＋＝10的结果是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，
故化简结果为＋＝1.
3.已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于－，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案　C
解析　设点C(x，y)，
则kAC·kBC＝×＝(y≠0)，
所以＝－(y≠0)，
化简得＋＝1(y≠0).
4.(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可以是(　　)
A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线
答案　BC
解析　∵F1(0，－3)，F2(0，3)，
∴|F1F2|＝6.
∵a>0，∴|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立.
当a＋＝6时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，
此时点P的轨迹是线段F1F2；
当a＋>6时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆.故选BC.
5.设A1，A2是椭圆＋＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　C
解析　设交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，
P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，
∵A1，P1，P共线，∴＝，
∵A2，P2，P共线，
∴＝.
两式相乘得eq \f(－y,x－9)＝，
∵P1(x0，y0)在椭圆＋＝1上，
∴eq \f(x,9)＋eq \f(y,4)＝1，∴y＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,9)))，
将y代入得＝－eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,9))),x－9)＝，
∴P的轨迹方程为－＝1.
6.到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是____________.
答案　x＋y－1＝0
解析　设所求点为M(x，y)，则|MA|＝|MB|，
即＝，
化简得x＋y－1＝0.
7.若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是________.
答案　＋＝1
解析　设点P的坐标为(x，y)，
则由题意得＝，
整理得2x2＋3y2＝6，即＋＝1，
所以动点P的轨迹方程是＋＝1.
8.P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是____________.
答案　＋＝1
解析　设Q(x，y)，
∵＝＋，
∴＝－＝(－，－)，
∵P是椭圆＋＝1上的任意一点，
∴＋＝1，∴＋＝1.
9.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，
半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2，0)除外)，
其方程为＋＝1(x≠－2).
10.如图，已知点B的坐标为(2，0)，P是以点O为圆心的单位圆上的动点(不与点C，D重合)，∠POB的角平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程.
解　由三角形的角平分线性质知＝＝2，∴＝2.
设点Q(x，y)，P(x0，y0)(y0≠0)，
则(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，
∴∴
∵y0≠0，∴y≠0.
又点P在圆O上，∴＋＝1，
即＋y2＝(y≠0)，
此即点Q的轨迹方程.
二、综合运用
11.(多选)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝81，动圆C与C1，C2都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　AB
解析　圆C1：(x＋3)2＋y2＝1的圆心C1(－3，0)，半径为1，
圆C2：(x－3)2＋y2＝81的圆心C2(3，0)，
半径为9，设动圆C的半径为r，
当圆C与圆C1外切时，可得|CC1|＝r＋1，当圆C与圆C2内切时，可得|CC2|＝9－r，
故|CC1|＋|CC2|＝10>|C1C2|，可得C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，且长轴长为10，焦距为6，短轴长为8，可得方程为＋＝1；
当圆C与圆C1内切时，可得|CC1|＝r－1，当圆C与圆C2内切时可得|CC2|＝9－r，
故|C1C|＋|CC2|＝8>|C1C2|，可得C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，且长轴长为8，焦距为6，短轴长为2，
可得方程为＋＝1.故选AB.
12.在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan∠CAB·tan∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为________.
答案　＋＝1，x≠±2
解析　设C(x，y)，则tan∠CAB＝，
tan∠CBA＝，
∴·＝2，x≠±2，
整理得＋＝1，x≠±2.
13.椭圆＋y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程.
解　设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，
∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1，
∴c＝＝2，
则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)，F2(2，0).
∵△PF1F2存在，∴y1≠0.
由三角形重心坐标公式有
即
∵y1≠0，∴y≠0.
∵点P在椭圆上，∴eq \f(x,9)＋y＝1，
∴＋(3y)2＝1(y≠0)，
故△PF1F2的重心M的轨迹方程为
x2＋＝1(y≠0).
三、创新拓展
14.如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是(　　)
A.圆 B.一条直线
C.椭圆 D.两条平行直线
答案　C
解析　因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且平面α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆.(共50张PPT)
第三章 3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆及其标准方程
第二课时　与椭圆有关的轨迹问题
课标要求
1.会用定义法求轨迹方程.
2.会用代入法求轨迹方程.
3.会用直接法求轨迹方程.
上一节课我们学习了椭圆的定义、标准方程及椭圆中的焦点三角形问题，这节课我们继续学习轨迹方程的有关求法.
引入
课时精练
一、定义法求轨迹方程
二、代入法求动点的轨迹方程
三、直接法求动点的轨迹方程
课堂达标
内容索引
定义法求轨迹方程
一
探究1 回顾一下圆、椭圆的定义，并指出定义中的关键条件.
提示　圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹，关键要素是圆心、半径；椭圆的定义：到两定点的距离之和为定值的点的轨迹，关键是两定点是两焦点，并且注意定值要大于两定点间的距离.
例1
一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.
∴|BM|＋|CM|＝6，
又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆.
利用椭圆定义求标准方程本质上是求轨迹的问题，一般解题思路如下：
首先分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义，设出对应椭圆的标准方程，求出a，b的值，最后得到标准方程.
思维升华
(链接教材P115复习巩固6)如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0).Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程.
训练1
如图所示，连接MA.
由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5>|AC|＝2.
又A(1，0)，C(－1，0)，故点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，
代入法求动点的轨迹方程
二
例2
(链接教材P108例2)已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
又a2＝b2＋c2，
∴b2＝12，
设P(x0，y0)，Q(x，y)，
∵Q为PF的中点，
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.
思维升华
代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.
(4)化简得所求方程.
训练2
设M(x，y)，P(x1，y1)，
直接法求动点的轨迹方程
三
探究2 前面我们已经了解了坐标法在解析几何中的作用，比如已知A(－2，0)，B(2，0)，AC⊥BC时，我们如何找到动点C(x，y)所满足的关系？你有哪些方法建立这个关系？
例3
(链接教材P108例3)设A，B两点的坐标分别为(0，6)，(0，－6).直线AM，BM相交于M.
思维升华
求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示.
训练3
(链接教材P109练习4原题)已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？
设点M的坐标为(x，y)，
化简得x＝－3(y≠0)，因此，点M的轨迹是直线x＝－3，并去掉点(－3，0).
【课堂达标】
1.平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是
√
平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10>6，
√
设椭圆的右焦点为F2，
3.已知点B(－4，0)，C(4，0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程
为____________________.
由已知得|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，
则|AB|＋|AC|＝10.
由椭圆的定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆的一部分，
且2a＝10，2c＝8，
即a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，
设动点P(x，y)，
【课时精练】
√
1.在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是
在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6>|BC|＝4，
√
由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，
√
√
∵F1(0，－3)，F2(0，3)，∴|F1F2|＝6.
√
此时点P的轨迹是线段F1F2；
√
设交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，
设所求点为M(x，y)，则|MA|＝|MB|，
6.到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是__________________.
x＋y－1＝0
设点P的坐标为(x，y)，
设Q(x，y)，
9.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.
10.如图，已知点B的坐标为(2，0)，P是以点O为圆心的单位圆上的动点(不与点C，D重合)，∠POB的角平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程.
∵y0≠0，∴y≠0.
√
11.(多选)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝81，动圆C与C1，C2都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为
圆C1：(x＋3)2＋y2＝1的圆心C1(－3，0)，半径为1，
√
圆C2：(x－3)2＋y2＝81的圆心C2(3，0)，
半径为9，设动圆C的半径为r，
当圆C与圆C1外切时，可得|CC1|＝r＋1，当圆C与圆C2内切时，
可得|CC2|＝9－r，
12.在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan∠CAB·tan∠CBA＝2，则点C
的轨迹方程为__________________.
设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，
14.如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是
A.圆 B.一条直线
C.椭圆 D.两条平行直线
因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且平面α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆.
√第二课时　与椭圆有关的轨迹问题
课标要求　1.会用定义法求轨迹方程. 2.会用代入法求轨迹方程. 3.会用直接法求轨迹方程.
【引入】 上一节课我们学习了椭圆的定义、标准方程及椭圆中的焦点三角形问题，这节课我们继续学习轨迹方程的有关求法.
一、定义法求轨迹方程
探究1 回顾一下圆、椭圆的定义，并指出定义中的关键条件.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用椭圆定义求标准方程本质上是求轨迹的问题，一般解题思路如下：
首先分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义，设出对应椭圆的标准方程，求出a，b的值，最后得到标准方程.
训练1 (链接教材P115复习巩固6)如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0).Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、代入法求动点的轨迹方程
例2 (链接教材P108例2)已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.
(4)化简得所求方程.
训练2 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是点P在x轴上的射影，M是线段PD上一点，且|MD|＝|PD|.当点P在圆上运动时，动点M的轨迹方程是________.
三、直接法求动点的轨迹方程
探究2 前面我们已经了解了坐标法在解析几何中的作用，比如已知A(－2，0)，B(2，0)，AC⊥BC时，我们如何找到动点C(x，y)所满足的关系？你有哪些方法建立这个关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (链接教材P108例3)设A，B两点的坐标分别为(0，6)，(0，－6).直线AM，BM相交于M.
(1)若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程；
(2)若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示.
训练3 (链接教材P109练习4原题)已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.直线
3.已知点B(－4，0)，C(4，0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为________.
4.已知A(2，1)，B(2，－1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足＝m＋n，其中m，n∈R，且m2＋n2＝，则动点P的轨迹方程是________.
：完成课时精练31第三章　课时精练31　与椭圆有关的轨迹问题
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是(　　)
＋＝1(x≠±3) 　＋＝1(x≠±2)
＋＝1(x≠±3) 　＋＝1(x≠±2)
2.化简方程＋＝10的结果是(　　)
＋＝1 ＋＝1
＋＝1 ＋＝1
3.已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于－，则顶点C的轨迹方程为(　　)
＋＝1 ＋＝1
＋＝1(y≠0) ＋＝1(y≠0)
4.(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可以是(　　)
圆 线段
椭圆 直线
5.设A1，A2是椭圆＋＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　)
＋＝1 ＋＝1
－＝1 －＝1
6.到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是____________.
7.若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是______.
8.P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是________.
9.(15分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
10.(15分)如图，已知点B的坐标为(2，0)，P是以点O为圆心的单位圆上的动点(不与点C，D重合)，∠POB的角平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.(多选)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝81，动圆C与C1，C2都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为(　　)
＋＝1 ＋＝1
＋＝1 ＋＝1
12.在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan∠CAB·tan∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为________.
13.(15分)椭圆＋y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程.
三、创新拓展
选择题每小题5分，共5分
14.如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是(　　)
圆 一条直线
椭圆 两条平行直线
课时精练31　与椭圆有关的轨迹问题
1.A　[在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6>|BC|＝4，则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a＝3，c＝2，b＝，所以顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠±3).]
2.C　[由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5，所以b2＝a2－c2＝9，
故化简结果为＋＝1.]
3.C　[设点C(x，y)，
则kAC·kBC＝×＝(y≠0)，
所以＝－(y≠0)，
化简得＋＝1(y≠0).]
4.BC　[∵F1(0，－3)，F2(0，3)，∴|F1F2|＝6.
∵a>0，∴|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6，当且仅当a＝，
即a＝3时等号成立.
当a＋＝6时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，
此时点P的轨迹是线段F1F2；
当a＋>6时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆.故选BC.]
5.C　[设交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，
∵A1，P1，P共线，∴＝，
∵A2，P2，P共线，∴＝.
两式相乘得eq \f(－y,x－9)＝，
∵P1(x0，y0)在椭圆＋＝1上，
∴eq \f(x,9)＋eq \f(y,4)＝1，∴y＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,9)))，
将y代入得＝－eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,9))),x－9)＝，
∴P的轨迹方程为－＝1.]
6.x＋y－1＝0　[设所求点为M(x，y)，
则|MA|＝|MB|，
即＝，
化简得x＋y－1＝0.]
7.＋＝1　[设点P的坐标为(x，y)，
则由题意得＝，
整理得2x2＋3y2＝6，即＋＝1，
所以动点P的轨迹方程是＋＝1.]
8.＋＝1　[设Q(x，y)，
∵＝＋，
∴＝－＝(－，－)，
∵P是椭圆＋＝1上的任意一点，
∴＋＝1，∴＋＝1.]
9.解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2，0)除外)，
其方程为＋＝1(x≠－2).
10.解　由三角形的角平分线性质知＝＝2，∴＝2.
设点Q(x，y)，P(x0，y0)(y0≠0)，
则(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，
∴∴
∵y0≠0，∴y≠0.
又点P在圆O上，∴＋＝1，
即＋y2＝(y≠0)，
此即点Q的轨迹方程.
11.AB　[圆C1：(x＋3)2＋y2＝1的圆心C1(－3，0)，半径为1，
圆C2：(x－3)2＋y2＝81的圆心C2(3，0)，
半径为9，设动圆C的半径为r，
当圆C与圆C1外切时，可得|CC1|＝r＋1，当圆C与圆C2内切时，可得|CC2|＝9－r，
故|CC1|＋|CC2|＝10>|C1C2|，可得C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，且长轴长为10，焦距为6，短轴长为8，可得方程为＋＝1；
当圆C与圆C1内切时，可得|CC1|＝r－1，当圆C与圆C2内切时可得|CC2|＝9－r，
故|C1C|＋|CC2|＝8>|C1C2|，可得C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，且长轴长为8，焦距为6，短轴长为2，
可得方程为＋＝1.故选AB.]
12.＋＝1，x≠±2　[设C(x，y)，
则tan∠CAB＝，tan∠CBA＝，
∴·＝2，x≠±2，
整理得＋＝1，x≠±2.]
13.解　设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，
∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1，
∴c＝＝2，
则已知椭圆的两焦点为
F1(－2，0)，F2(2，0).
∵△PF1F2存在，∴y1≠0.
由三角形重心坐标公式有
即
∵y1≠0，∴y≠0.
∵点P在椭圆上，∴eq \f(x,9)＋y＝1，
∴＋(3y)2＝1(y≠0)，
故△PF1F2的重心M的轨迹方程为
x2＋＝1(y≠0).
14.C　[因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且平面α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆.]

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