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第二课时　双曲线的标准方程及性质的应用
课标要求　1.理解判断直线与双曲线位置关系的方法. 2.会求解有关弦长问题. 3.会解决直线与双曲线的综合问题.
【引入】 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法定，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.
一、直线与双曲线的位置关系
探究1 类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有哪几种位置关系？
提示　三种.分别为相交、相切、相离.
探究2 画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？
提示　图略.当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但并非相切关系，所以不能用公共点个数来区分.
【知识梳理】
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0.
a.当A＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点.
b.当A≠0时.
①Δ>0 直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ<0 直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离.
温馨提示　(1)相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交.
(2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行.
例1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点.
解　联立消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－
4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
(1)由
得－此时方程(*)有两个不同的实数解，
即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
(2)由得k＝±，
此时方程(*)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，
有且只有一个公共点.
故当k＝±或±1时，
直线l与双曲线有且只有一个公共点.
(3)由得k<－或k>，
此时方程(*)无实数解，
即直线l与双曲线无公共点.
思维升华　1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
训练1 已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
解　当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意.
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0时，k＝±2，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.
综上，k＝或k＝±2或k不存在.
二、双曲线的弦长及中点弦问题
探究3 若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，则弦长有没有最小值？
提示　有.过焦点且与焦点轴垂直的弦长最短，最短为.
探究4 能否像椭圆一样，用“点差法”推导中点弦公式？
提示　设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，点M(x0，y0)为线段AB的中点，
那么eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，))
两式相减可得·＝，
即kAB·＝.
【知识梳理】
1.弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.
2.已知弦AB的中点为P(x0，y0)，若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·；若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·.
例2 (1)已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)
A.4x－3y＋1＝0 B.2x－y－1＝0
C.3x－4y＋6＝0 D.x－y＋1＝0
(2)(链接教材P126例6)斜率为2的直线l与双曲线－＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________.
答案　(1)A　(2)y＝2x±
解析　(1)设弦的两端点分别为P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则2x－y＝2，2x－y＝2，
两式相减，得2(x1－x2)·(x1＋x2)－(y1－y2)·(y1＋y2)＝0.
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝6，
∴8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0 kPQ＝，
因此直线PQ的方程为y－3＝(x－2)，
即4x－3y＋1＝0，经验证，直线4x－3y＋1＝0与双曲线相交.
因此符合题意的直线方程为4x－3y＋1＝0.
(2)设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，
得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0，
由Δ>0得m<－或m>.
故x1＋x2＝－m，①
x1x2＝.②
由已知，得|AB|2＝(1＋4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16.③
把①②代入③，解得m＝±，满足题意.
∴直线l的方程为y＝2x±.
思维升华　双曲线中有关弦长的问题，解决方法与椭圆中的类似，解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
训练2 (链接教材P128拓广探索13)已知双曲线的方程为x2－＝1.
试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.
解　法一　设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
解得k<.设弦的两端点为M(x1，y1)，
N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
∵点B(1，1)是弦的中点，
∴＝1，∴k＝2>.
故双曲线上不存在被点B(1，1)所平分的弦.
法二　设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝1，　　　　　　　　 　 　　　①,x－\f(y,2)＝1.　 　 　 　 　 　 　 　 　 　②))
由①－②得
(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴kMN＝＝2，
∴直线MN的方程为y－1＝2(x－1)，即
y＝2x－1.
由消去y，得2x2－4x＋3＝0.
又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，故双曲线上不存在被点B平分的弦.
三、直线与双曲线的综合问题
例3 设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t.求t的值及点D的坐标.
解　(1)由题意，知a＝2，
所以一条渐近线方程为y＝x，
即bx－2y＝0，所以＝，
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，
所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0>0)，
则由＋＝t，得(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程，消去y得x2－16x＋84＝0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝x1－2＋x2－2＝(x1＋x2)－4＝12，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0>0，,\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x,12)－\f(y,3)＝1，))所以
由＋＝t，
得(16，12)＝(4t，3t)，
所以t＝4，点D的坐标为(4，3).
思维升华　解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线相交时的有关性质进行求解.
　训练3 已知动点P到点F(2，0)的距离与到直线l：x＝的距离之比为2.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l的方程为x＋y－2＝0，l与曲线C交于A，B两点，求△OAB的面积.(O为原点).
解　(1)设点P的坐标为(x，y)，
由题意得＝2，
化简得x2－＝1，即为点P的轨迹C的方程.
(2)将y＝－x＋2代入x2－＝1中，并化简得：2x2＋4x－7＝0，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由韦达定理可得x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝6.
原点O(0，0)到直线的距离d＝＝，
S△OAB＝|AB|d＝×6×＝3.
【课堂达标】
1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点.
2.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A.(1，2) B.(－2，－1)
C.(－1，－2) D.(2，1)
答案　C
解析　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，
得x2＋2x－4＝0，
由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，
纵坐标为－1－1＝－2.
3.双曲线－＝1的通径长为________.
答案　2
解析　由通径公式得＝＝2.
4.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
答案　4
解析　由双曲线方程可得右焦点为(2，0)，渐近线方程为y＝±x，
把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2，
故|AB|＝4.
一、基础巩固
1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　)
A.1 B.2 C.1或2 D.0
答案　A
解析　由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)，
可得其渐近线方程为y＝±x，
因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行，
所以它与双曲线只有1个交点.
2.(多选)若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　)
A.4 B.2 C.1 D.－3
答案　AD
解析　因为在双曲线－y2＝1中，
x≥2或x≤－2，
若x＝a与双曲线有两个交点，
则a>2或a<－2，故只有A，D符合题意.
3.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　)
A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9
C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25
答案　B
解析　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，
与y＝x联立，得x2－a2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝0，x1·x2＝－，
∴|AB|＝×a＝2，
∴a＝3，故选B.
4.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，
所以|PF|＝3.
又A的坐标是(1，3)，
故△APF的面积为×3×(2－1)＝.
5.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　由已知易得直线l的斜率k＝＝1，
设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \f(x,a2)－eq \f(y,b2)＝1，①
eq \f(x,a2)－eq \f(y,b2)＝1，②
x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，
由①②得＝，从而＝1，
又因为a2＋b2＝c2＝9，
故a2＝4，b2＝5，
所以E的方程为－＝1.
6.若双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则实数a的取值范围为________.
答案　(0，1)∪(1，)
解析　将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1(a>0)中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
依题意
∴07.过双曲线－＝1的右焦点作弦AB，且AB⊥x轴，则△OAB的面积为________.
答案　18
解析　|AB|＝＝＝，
c＝＝2，
S＝|AB|·c＝××2＝18.
8.已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B.若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为________.
答案　±1
解析　由消去y，得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
∴线段AB中点的坐标为(m，2m).
又∵点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，
∴5m2＝5，∴m＝±1.
9.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点(－3，2).
(1)求双曲线的方程及其渐近线方程.
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值.
解　(1)由题意知解得
∴双曲线的方程为x2－＝1，
其渐近线方程为y＝±x.
(2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
当3－k2≠0时，Δ＝16k2＋28(3－k2)＝0.
∴k2＝7，∴k＝±.
当直线l与双曲线C的渐近线y＝±x平行，
即k＝±时，直线l与双曲线C只有一个公共点，
∴k＝±或k＝±.
10.设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求：
(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点).
解　(1)显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
由消去y，
整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝，解得k＝1.
当k＝1时，满足Δ>0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝·
＝×＝4.
又点O到直线AB的距离d＝＝，
∴S△AOB＝|AB|·d＝×4×＝2.
二、综合运用
11.(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　)
A.C的焦距为4
B.C的离心率为
C.C的渐近线方程为y＝±x
D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点
答案　AC
解析　由双曲线C：－＝1过点(3，)，
可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.
所以a＝，b＝1，c＝＝2，
因为双曲线C的焦距为2c＝4，
所以A正确；
因为双曲线C的离心率为＝＝，
所以B不正确；
因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
所以C正确；
将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，
消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝(－4)2－4×3×4＝－32<0，
所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以D不正确.
12.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(4，0)，点A，B在双曲线C：－y2＝1上，且＝3，则直线AB的斜率为________.
答案　±
解析　设直线AB的方程为x＝my＋4.
由
得(m2－4)y2＋8my＋12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①
∵＝(4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)，
＝3，
∴y1＝－3y2，代入①，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝\f(4m,m2－4)，,y＝\f(－4,m2－4)，))
即＝，化简得m2＝，
∴m＝±.
因此直线AB的斜率为＝±.
13.已知圆A：(x＋2)2＋y2＝，圆B：(x－2)2＋y2＝，动圆P与圆A，圆B都外切.
(1)求动圆圆心P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.
(2)若直线y＝kx＋1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1，P2，求k的取值范围.
解　(1)设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，
由题意得|PA|＝R＋，|PB|＝R＋，
∴|PA|－|PB|＝2，
∴圆P的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x轴上，且焦距长为4的双曲线的右支，其方程为x2－＝1(x≥1)，如图所示.
(2)由方程组
消去y得(3－k2)x2－2kx－4＝0(x≥1)，
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则有从而
解得
即－2故k的取值范围为.
三、创新拓展
14.如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70 m，水平方向上塔身最窄处的半径为20 m，最高处塔口半径25 m，塔底部塔口半径为20 m，则该双曲线的离心率为________.
答案　
解析　如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知|CD|＝2a＝40，
所以a＝20，A(25，m)，F(20，－70＋m)，
所以解得
所以c2＝a2＋b2＝2 000，
所以e＝＝＝.(共67张PPT)
第二课时　双曲线的标准方程及性质的应用
第三章 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质
课标要求
1.理解判断直线与双曲线位置关系的方法.
2.会求解有关弦长问题.
3.会解决直线与双曲线的综合问题.
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法定，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.
引入
课时精练
一、直线与双曲线的位置关系
二、双曲线的弦长及中点弦问题
三、直线与双曲线的综合问题
课堂达标
内容索引
直线与双曲线的位置关系
一
探究1 类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有哪几种位置关系？
提示　三种.分别为相交、相切、相离.
探究2 画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？
提示　图略.当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但并非相切关系，所以不能用公共点个数来区分.
知识梳理
a.当A＝0时，直线l与双曲线的________平行，直线与双曲线C相交于一点.
b.当A≠0时.
①Δ>0?直线与双曲线有______公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0 ?直线与双曲线有______公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ<0 ?直线与双曲线______公共点，此时直线与双曲线相离.
渐近线
两个
一个
没有
温馨提示
(1)相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交.
(2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行.
例1
已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点.
1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
思维升华
训练1
当直线l的斜率不存在时，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
双曲线的弦长及中点弦问题
二
探究3 若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，则弦长有没有最小值？
知识梳理
例2
√
(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为
A.4x－3y＋1＝0 B.2x－y－1＝0
C.3x－4y＋6＝0 D.x－y＋1＝0
思维升华
双曲线中有关弦长的问题，解决方法与椭圆中的类似，解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
训练2
法一　设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，
直线与双曲线的综合问题
三
例3
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，
所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0>0)，
思维升华
解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线相交时的有关性质进行求解.
训练3
【课堂达标】
1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的
√
直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，
2.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是
A.(1，2) B.(－2，－1)
C.(－1，－2) D.(2，1)
2
【课时精练】
√
A.1 B.2 C.1或2 D.0
√
√
√
设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，
√
√
5.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为
18
±1
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值.
显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k.
√
√
设直线AB的方程为x＝my＋4.1
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，
(2)若直线y＝kx＋1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1，P2，求k的取值范围.
如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，第二课时　双曲线的标准方程及性质的应用
课标要求　1.理解判断直线与双曲线位置关系的方法. 2.会求解有关弦长问题. 3.会解决直线与双曲线的综合问题.
【引入】 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法定，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题.
一、直线与双曲线的位置关系
探究1 类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线有哪几种位置关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位置关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)， ①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)， ②
将①代入②，
得Ax2＋Bx＋C＝0.
a.当A＝0时，直线l与双曲线的________平行，直线与双曲线C相交于一点.
b.当A≠0时.
①Δ>0 直线与双曲线有________公共点，此时直线与双曲线相交；
②Δ＝0 直线与双曲线有________公共点，此时直线与双曲线相切；
③Δ<0 直线与双曲线________公共点，此时直线与双曲线相离.
温馨提示　(1)相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交.
(2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行.
例1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
训练1 已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、双曲线的弦长及中点弦问题
探究3 若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，则弦长有没有最小值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 能否像椭圆一样，用“点差法”推导中点弦公式？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝____________.
2.已知弦AB的中点为P(x0，y0)，若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·；若双曲线方程为－＝1，则直线AB的斜率为k＝·.
例2 (1)已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)
A.4x－3y＋1＝0 B.2x－y－1＝0
C.3x－4y＋6＝0 D.x－y＋1＝0
(2)(链接教材P126例6)斜率为2的直线l与双曲线－＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　双曲线中有关弦长的问题，解决方法与椭圆中的类似，解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
训练2 (链接教材P128拓广探索13)已知双曲线的方程为x2－＝1.
试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、直线与双曲线的综合问题
例3 设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t.求t的值及点D的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线相交时的有关性质进行求解.
训练3 已知动点P到点F(2，0)的距离与到直线l：x＝的距离之比为2.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l的方程为x＋y－2＝0，l与曲线C交于A，B两点，求△OAB的面积.(O为原点).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A.(1，2) B.(－2，－1)
C.(－1，－2) D.(2，1)
3.双曲线－＝1的通径长为________.
4.过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
：完成课时精练38
《测评卷》周测卷7第三章　课时精练38　双曲线的标准方程及性质的应用
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　)
1 2
1或2 0
2.(多选)若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　)
4 2
1 －3
3.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　)
x2－y2＝6 x2－y2＝9
x2－y2＝16 x2－y2＝25
4.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)
5.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
－＝1 －＝1
－＝1 －＝1
6.若双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则实数a的取值范围为________.
7.过双曲线－＝1的右焦点作弦AB，且AB⊥x轴，则△OAB的面积为________.
8.已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B.若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为________.
9.(15分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且过点(－3，2).
(1)求双曲线的方程及其渐近线方程.
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值.
10.(15分)设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求：
(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点).
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　)
C的焦距为4
C的离心率为
C的渐近线方程为y＝±x
直线2x－y－1＝0与C有两个公共点
12.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(4，0)，点A，B在双曲线C：－y2＝1上，且＝3，则直线AB的斜率为________.
13.(15分)已知圆A：(x＋2)2＋y2＝，圆B：(x－2)2＋y2＝，动圆P与圆A，圆B都外切.
(1)求动圆圆心P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.
(2)若直线y＝kx＋1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1，P2，求k的取值范围.
三、创新拓展
14.如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70 m，水平方向上塔身最窄处的半径为20 m，最高处塔口半径25 m，塔底部塔口半径为20 m，则该双曲线的离心率为________.
课时精练38　双曲线的标准方程及性质的应用
1.A　[由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)，
可得其渐近线方程为y＝±x，
因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行，
所以它与双曲线只有1个交点.]
2.AD　[因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，若x＝a与双曲线有两个交点，
则a>2或a<－2，故只有A，D符合题意.]
3.B　[设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，
与y＝x联立，得x2－a2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝0，x1·x2＝－，
∴|AB|＝×a＝2，
∴a＝3，故选B.]
4.D　[由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，
所以|PF|＝3.
又A的坐标是(1，3)，
故△APF的面积为×3×(2－1)＝.]
5.B　[由已知易得直线l的斜率k＝＝1，
设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \f(x,a2)－eq \f(y,b2)＝1，①
eq \f(x,a2)－eq \f(y,b2)＝1，②
x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，
由①②得＝，从而＝1，
又因为a2＋b2＝c2＝9，
故a2＝4，b2＝5，
所以E的方程为－＝1.]
6.(0，1)∪(1，)　[将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1(a>0)中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
依题意
∴07.18　[|AB|＝＝＝，
c＝＝2，
S＝|AB|·c＝××2＝18.]
8.±1　[由消去y，得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
∴线段AB中点的坐标为(m，2m).
又∵点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，
∴5m2＝5，∴m＝±1.]
9.解　(1)由题意知解得
∴双曲线的方程为x2－＝1，
其渐近线方程为y＝±x.
(2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
当3－k2≠0时，Δ＝16k2＋28(3－k2)＝0.
∴k2＝7，∴k＝±.
当直线l与双曲线C的渐近线y＝±x平行，即k＝±时，直线l与双曲线C只有一个公共点，∴k＝±或k＝±.
10.解　(1)显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
由消去y，
整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝，解得k＝1.
当k＝1时，满足Δ>0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝·
＝×＝4.
又点O到直线AB的距离d＝＝，
∴S△AOB＝|AB|·d＝×4×＝2.
11.AC　[由双曲线C：－＝1过点(3，)，
可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，
因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以A正确；
因为双曲线C的离心率为＝＝，
所以B不正确；
因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
所以C正确；
将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝(－4)2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以D不正确.]
12.±　[设直线AB的方程为x＝my＋4.
由
得(m2－4)y2＋8my＋12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①
∵＝(4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)，
＝3，∴y1＝－3y2，
代入①，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝\f(4m,m2－4)，,y＝\f(－4,m2－4)，))
即＝，化简得m2＝，
∴m＝±.
因此直线AB的斜率为＝±.]
13.解　(1)设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，
由题意得|PA|＝R＋，|PB|＝R＋，
∴|PA|－|PB|＝2，
∴圆P的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x轴上，且焦距长为4的双曲线的右支，其方程为x2－＝1(x≥1)，如图所示.
INCLUDEPICTURE"B187.TIF" INCLUDEPICTURE "B187.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)由方程组
消去y得(3－k2)x2－2kx－4＝0(x≥1)，
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则有从而
解得
即－2故k的取值范围为.
14.　[如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知|CD|＝2a＝40，
INCLUDEPICTURE"B185.TIF" INCLUDEPICTURE "B185.TIF" \* MERGEFORMAT
所以a＝20，A(25，m)，F(20，－70＋m)，
所以解得
所以c2＝a2＋b2＝2 000，
所以e＝＝＝.]

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