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第三章
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用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，可以得到椭圆、双曲线、抛物线，三种曲线统称为圆锥曲线.
1.平面内与两个定点F1，F2距离的和等于常数2a，若其大于两定点的距离|F1F2|＝2c，这样的点的轨迹叫做椭圆.
特别地，当2a＝2c时，轨迹为线段；当2a<2c时，不表示任何图形.
2.平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数2a，若其小于两定点的距离|F1F2|＝2c，这样的点的轨迹叫做双曲线.
特别地，2a＝2c时，轨迹为两条射线，2a>2c时，不表示任何图形，2a＝0时，轨迹为一条直线.
3.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.特别地，若l经过F，则轨迹为一条直线.
一、圆锥曲线的定义
例1
√
已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝5，则M的轨迹为____________.
训练1
一条射线
二、圆锥曲线的方程
例2
若双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过(2，2)，则双曲线的标准方程为
____________.
训练2
三、圆锥曲线的几何性质
1.圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程.
例3
√
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
训练3
√
设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
四、直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是考查热点，常涉及焦半径、焦点弦、一般弦长、 中点弦以及面积问题，对于计算能力的要求较高.
例4
由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
训练4
已知抛物线y2＝2x，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1＋y2＝2y.
五、圆锥曲线的综合问题
1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解.
2.本类型题目在考查时通常第一问涉及定义、方程以及几何性质的求解，较为简单；第二问综合性强，计算量大，较为复杂.
例4
训练5　　
一、圆锥曲线的定义
用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，可以得到椭圆、双曲线、抛物线，三种曲线统称为圆锥曲线.
1.平面内与两个定点F1，F2距离的和等于常数2a，若其大于两定点的距离|F1F2|＝2c，这样的点的轨迹叫做椭圆.
特别地，当2a＝2c时，轨迹为线段；当2a<2c时，不表示任何图形.
2.平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数2a，若其小于两定点的距离|F1F2|＝2c，这样的点的轨迹叫做双曲线.
特别地，2a＝2c时，轨迹为两条射线，2a>2c时，不表示任何图形，2a＝0时，轨迹为一条直线.
3.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.特别地，若l经过F，则轨迹为一条直线.
例1 已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.以上都不对
答案　C
解析　5＝|3x＋4y－12|可转化成＝.
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等.∴点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.
训练1 已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝5，则M的轨迹为________.
答案　一条射线
解析　由|F1F2|＝＝5，
|MF1|－|MF2|＝|F1F2|，
又|MF1|>|MF2|，故M的轨迹为一条射线.
二、圆锥曲线的方程
1.三种曲线的标准方程：
(1)椭圆：＋＝1或＋＝1(a>b>0)；
(2)双曲线：－＝1或－＝1(a，b>0)；
(3)抛物线：y2＝±2px或x2＝±2py(p>0).
2.求圆锥曲线方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.
(3)相关点法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数.
例2 在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程.
解　法一　由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y).
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
法二　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则D(x0，0)，由＝2，
得x0＝x，y0＝2y，
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，(*)
把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
训练2 若双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过(2，2)，则双曲线的标准方程为________.
答案　－＝1
解析　法一　焦点在x轴上时，
设为－＝1(a，b>0)，
则解得
即－＝1，
焦点在y轴上时，设为－＝1(a，b>0)，
则无解.
综上，双曲线方程为－＝1.
法二　设双曲线为(2x)2－y2＝λ，
即有λ＝4×22－22＝12，
∴4x2－y2＝12，化简得－＝1.
三、圆锥曲线的几何性质
1.圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程.
2.求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.
例3 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，
|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，
所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
训练3 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则可令F(c，0)，B(0，b)，直线FB：bx＋cy－bc＝0与渐近线y＝x垂直，所以－·＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，
即e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去).
四、直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是考查热点，常涉及焦半径、焦点弦、一般弦长、 中点弦以及面积问题，对于计算能力的要求较高.
例4 已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程.
解　(1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1得|m|<.①
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得x2－mx＋m2－3＝0，
Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2>0.②
由根与系数的关系可得
x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，经检验满足①②.
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
训练4 已知抛物线y2＝2x，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1＋y2＝2y.
当直线AB的斜率存在时，
kAB＝＝.
易知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x1，　　①,y＝2x2， ②))
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，
所以2y·＝2，
即2y·＝2，即＝x－.
当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为(2，0)，适合上式，
故所求轨迹方程为＝x－.
五、圆锥曲线的综合问题
1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解.
2.本类型题目在考查时通常第一问涉及定义、方程以及几何性质的求解，较为简单；第二问综合性强，计算量大，较为复杂.
例5 已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P(2，2)平分.
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.
解　(1)由题意，可得直线AB的斜率存在，且不为0.
设直线AB：x－2＝m(y－2)，
代入抛物线方程可得y2－8my＋16m－16＝0.
判别式Δ＝(－8m)2－4(16m－16)＝64>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有y1＋y2＝8m，
由8m＝4，得m＝.
所以直线l的方程为2x－y－2＝0.
(2)假设存在点C，D，
则可设lCD：y＝－x＋n，与抛物线y2＝8x联立，
消去y得x2－(n＋8)x＋n2＝0，
其中Δ＝(n＋8)2－n2＝16n＋64>0，
则n>－4.(*)
又xC＋xD＝4(n＋8)，
所以CD的中点为(2(n＋8)，－8)，
代入直线l的方程，
得n＝－，不满足(*)式.
所以满足题意的点C，D不存在.
训练5 已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设直线l与椭圆C交于A，B两点.
(1)若|m|>，求实数k的取值范围；
(2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)，求△OAB的面积的取值范围.
解　(1)联立方程＋＝1和y＝kx＋m，
得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，①
所以Δ＝(6km)2－4(2＋3k2)(3m2－6)>0，
所以m2<2＋3k2.
又|m|>，
所以2＋3k2>3，即k2>，
解得k>或k<－.
所以实数k的取值范围为
∪.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①式得
x1＋x2＝，x1x2＝.
设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，
因为直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，
所以k1k2＝＝k2，
即＝k2(m≠0)，
化简得2＋3k2＝6k2，即k2＝.
因为|AB|＝|x1－x2|
＝，
点O到直线l的距离h＝＝|m|，
所以S△OAB＝|AB|·h
＝·
≤×＝，
当m＝±时，x1x2＝0，直线OA或OB的斜率不存在，等号取不到，
所以△OAB的面积的取值范围为.　　
一、圆锥曲线的定义
用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，可以得到椭圆、双曲线、抛物线，三种曲线统称为圆锥曲线.
1.平面内与两个定点F1，F2距离的和等于常数2a，若其大于两定点的距离|F1F2|＝2c，这样的点的轨迹叫做椭圆.
特别地，当2a＝2c时，轨迹为线段；当2a<2c时，不表示任何图形.
2.平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数2a，若其小于两定点的距离|F1F2|＝2c，这样的点的轨迹叫做双曲线.
特别地，2a＝2c时，轨迹为两条射线，2a>2c时，不表示任何图形，2a＝0时，轨迹为一条直线.
3.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.特别地，若l经过F，则轨迹为一条直线.
例1 已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.以上都不对
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝5，则M的轨迹为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、圆锥曲线的方程
1.三种曲线的标准方程：
(1)椭圆：＋＝1或＋＝1(a>b>0)；
(2)双曲线：－＝1或－＝1(a，b>0)；
(3)抛物线：y2＝±2px或x2＝±2py(p>0).
2.求圆锥曲线方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程.
(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.
(3)相关点法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.
(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数.
例2 在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 若双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过(2，2)，则双曲线的标准方程为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、圆锥曲线的几何性质
1.圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程.
2.求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.
例3 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是考查热点，常涉及焦半径、焦点弦、一般弦长、 中点弦以及面积问题，对于计算能力的要求较高.
例4 已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练4 已知抛物线y2＝2x，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
五、圆锥曲线的综合问题
1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解.
2.本类型题目在考查时通常第一问涉及定义、方程以及几何性质的求解，较为简单；第二问综合性强，计算量大，较为复杂.
例5 已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P(2，2)平分.
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练5 已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设直线l与椭圆C交于A，B两点.
(1)若|m|>，求实数k的取值范围；
(2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)，求△OAB的面积的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
：完成《测评卷》章末检测卷(三)
综合检测卷

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