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小学数学问答手册
一、整数
1.为什么古代中国应称为数学王国？
　　我国古代数学家，创造了光辉的业绩，在许多数学领域处于领先地位。因此我国应称为古代数学王国。仅举几例说明。
　　约公元前5世纪，我国数学家就研究了幻方。即从1到n2的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列、有时还包括每条主对角线上的
　　方。如图，每行每列3个数的和都是15，而且两条主对角线上的3个数的和也都是15。西方人大约在14世纪才开始研究幻方构造。比我国晚约2000年。
　　公元1世纪，我国数学家就开始研究开平方法与开立方法。魏晋间杰出的数学家刘徽在公元263年又有所发展，而西方出现类似的方法晚于公元 390年。
　　我国对于一元同余方程组的研究约在公元400年时就开始了，到了秦九韶时代（公元1247年）已经有完整的解法，被世界称为“中国剩余定理。”
　　我国古代数学家祖冲之（429--500）在公元500年之前，已将圆周率计算到小数点后7位，得到3.1415926＜n＜3.1415927，又
　　结果的。
　　祖冲之之子祖暅提出“祖暅原理”之后的1200年，意大利数学家B.卡瓦列里才重新发现这个事实。
　　我们最早提出的代数方程的近似解法--秦九韶法，贾宪三角形或称杨辉三角形是世界上最早研究二项式展开式系数的三角形，比西方巴斯卡三角形早四五百年。
2.数的概念是怎样发展起来的？
　　数的概念是由人类生产和生活的实践需要而逐渐形成和发展起来的。在人类历史发展的最初阶段，由于计量的需要，形成了自然数（也叫“正整数”）的概念。以后随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展。
　　为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求，人们引进了零及负数，把自然数看作正整数，把正整数、零、负整数合并在一起，构成整数。为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们又引进了
　　样，就把整数扩大为有理数。
　　为了解决这些量与量之间的比值（例如，正方形对角线和边长的比），不能用有理数表示，人们又引进了无理数。无理数就是无限不循环小数。有理数和无理数的全体组成实数。
　　实数概念的产生经过相当长的时间，然而在解方程中，像x2=-1无法解下去时，促使人们考虑数的概念还应继续发展。到16世纪，人们开始引进一个新数i，叫虚数单位，并明确规定i2=-1，使数的概念发展到复数。
3.怎样理解自然数的含义？
　　在数（shǔ）物体个数的过程中，我们数（shǔ）出的一，二，三，四，五，……都叫做自然数。
　　谁也不能把自然数全部数出来或全部写出来。因此，自然数有无限多个。1是自然数的单位。任何自然数都是由若干个“1”组成的。1是最小的自然数，但是自然数没有最大的。
　　从集合的观点看，每一个自然数是一类等价的非空有限集合的标记。它表示非空有限集合中的元素的个数。例如，把两支铅笔作为一个集合，把一个人的两个耳朵作为一个集合，这两个集合是等价集合。又如，把五本练习本作为一个集合，把人的一只手上的手指作为一个集合，这两个集合也是等价集合。前者等价集合的标记是“2”，后者等价集合的标记是“5”。它们都是自然数。
4.自然数的性质有哪些？
　　自然数的性质有下列几点：
　　（1） 1是自然数；
　　（2）每一个确定的自然数 a.都有一个确定的后继数 a′，a′也是自然数。（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数。例如，1的后继数是2，2的后继数是3，等等。）；
　　（3）如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c；
　　（4） 1不是任何自然数的后继数；
　　（5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n的后继数n′也真，那么，命题对所有自然数都真。
　　以上五条自然数的性质是由意大利数学家皮亚诺（1858--1932年）提出来的，通常把它叫做自然数的皮亚诺公理。其中的性质（5）是数学归纳法的依据。
5.怎样理解自然数列的含义？
　　我们把自然数大家庭中的所有成员按照从小到大的顺序排成一列长长的队伍，自然数1是这个队伍的“排头兵”，2排在1的后面，3排在2的后面……这样一直排下去，谁也看不见这个队伍的排尾。我们把这样排成的一列长长的看不到尾的“队伍”叫做自然数列。
　　总之，从“一”起，把自然数按照由小到大的顺序排列起来，就得到一列数：
　　一、二、三、四、五、六……这个依次排列着的全体自然数的集合，叫做自然数列。
6.自然数列的性质有哪些？
　　自然数列的性质主要有以下三点：
　　（1）自然数列是有序的。自然数列里的自然数都是按照一定顺序排列着的，在“1”后面的一个自然数是“2”，在“2”后面的一个自然数是“3”，……这就是说，每个自然数后面都有一个而且只有一个后继数。
　　（3）自然数列是无限的。自然数列里不存在“最后的数”，即自然数列里的数是无限的。
7.常说“自然数有两方面的意义：一是基数的意义，二是序数的意义”，这是怎么一回事呢？
　　在日常生活中，自然数在不同的情况下有不同的意义。例如，同学们在上体育课的时候，有时排成一列横队，老师发出口令：“报数！”，于是从横队由右边排头开始，一！二！三！四！……，排尾报的是三十五。我们知道，横队里的学生同自然数列里的自然数从1开始到35为止，建立起一一对应关系。自然数“ 1”对应自右起的第一个学生，自然数“2”对应自右起的第二个学生，……自然数“35”对应自右起的第三十五个学生（即排尾）。这个“35”，既可以表示这横队共有35个学生，也可以表示站在排尾的这个学生是第35号。
　　我们可以把这一横队的学生的全体看做是一个集合，其中每一个学生，可以看做是这个集合中的一个元素。就这样，用来表示事物数量多少的自然数叫做基数；用来表示事物次序的自然数叫做序数。这就是平常所说的自然数有两重意义，一是基数的意义，二是序数的意义。所谓基数的意义，即被数的事物有“多少个”；所谓序数的意义，即最后被数的事物是“第几个”。
　　为了使学生懂得自然数的双重意义，可以举些实例予以说明。例如，大家都伸出1只手来，从大拇指开始数到小指：一，二，三，四，五！这个“五”可以表示一只手共有五个手指，也可以表示小指是第五号。
　　在数轴上也可以同时反映出自然数的两个含义。（如图）数轴上的“5”，一方面表示的点是原点右边的“第5个”整点，这时“5”就是序数；另一方面，用“5”表示的点同原点之间的距离是“5个”单位，这时“5”就是基数。
　
8.什么叫扩大的自然数列？
　　我们知道自然数列是按照后面的一个自然数比前面的一个多1的顺序排列的。1比0也是多1，可以把0写在自然数列的前面，
　　就得到由小到大依次排列的一个序列。
　　0，1，2，3，4，5，……叫做扩大的自然数列。
　　在扩大的自然数列里，只有零不是自然数，其他的数都是自然数。
　　零和自然数都是整数。
9.什么叫做数字？常见的数字有哪几种？
　　用来记数的符号（或文字）叫做数字。常见的数字有：
　　阿拉伯数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；
　　中国小写数字：○、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十；
　　中国大写数字：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿、兆；
　　罗马数字：
　　I、 V、 X、 L、 C、 D、 M。
　　（1）（5）（10）（50）（100）（500）（1000）
　　阿拉伯数字，是现在世界各国通用的数字，在我们的数学书上也使用阿拉伯数字。中国数字，不论大写的还是小写的，在我国的许多书上常常见到。在一些重要的文件编号上，在商店的发货票上都采用了中国大写数字。罗马数字是过去欧洲人常用的数字，由于它在记数时非常麻烦，后来逐渐被阿拉伯数字所代替。今天，在一些钟表盘上还能见到它。
10.你知道我国数字的历史吗？
　　我国古代很早就有了数字。最初的数字还不可考。只有把数字刻在龟甲和兽骨上时，才有可能留传下来。在我国河南省发现的殷墟甲骨文卜辞中有很多记数的文字，说明早在三千多年前人们已经能用一、二、三、……十、百、千、万等记数，并且采用十进制，只是文字的形体和后来的有所不同。下面是甲骨文的十三个记数单字：
　　这些数字可以说是我国现存最早的数字了。由甲骨文数字几经演变，才形成现代的汉字数字。
　　我国古代还有用小竹棍或小木棍摆出来记数和计算的，这叫做“算筹”。据文献记载，算筹除竹筹外，还有木筹、铁筹、骨筹、玉筹和牙筹，并且有盛装算筹的算袋和算子筒。算筹记数的规则，最早载于《孙子算经》：“凡算之法先识其位。一纵十横，百立千僵。千、十相望，万、百相当。”用算筹表示数目有纵、横两种方式：
　　表示一个多位数，是把各位数码由高位到低位从左至右横列。各位筹式必须纵横相间：个位、百位、万位等用纵式；十位、千位、十万位等用横式。例如1987用算筹表示出来是。数字“零”表为空位，例如6023用算筹表示出来是。这与现今的十进制记数法基本一致。
　　我国明、清时代，在商业上曾用过如下的数码：
　　这种数字，也叫做“苏州码子”，又叫“草码”，直到解放前，有时记帐还用它。
　　现在我们用的中国小写数字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十是由甲骨文的数字演变而来的。此外，现在人们还可以在发货票上见到中国大写数字：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万。虽然我国的大写数字是目前世界上最繁的数字，但是它的优点是不易涂改，因此我国还把它用在会计工作中以及在重要票证或证件的编号上。
11.“0”是不是只表示没有？
　　这个问题要分两方面来讲。首先讲一讲“0”是表示“没有”；其次讲一讲“ 0”不只是表示“没有”，还有更丰富的内容。
　　在日常生活中，有时会遇到一件事物也没有的情况。例如：全班同学都到操场上体育课去了，教室里一个同学也没有了，这时教室里学生的人数，就用“0”表示。
　　既然“0”不仅仅是表示“没有”，那么它还有哪些意义和作用呢？
　　（1）表示分界。“0”是正负数的分界，“0”既不是正数也不是负数，它是仅有的一个中性数。“0”对应于数轴上是一个特定点，由它决定了其他点的位置。从这点起在一条直线上的某一方向被定为正，而相反的方向则为负。因此，原点“0”比表示正负数的任何点都更重要。又如，在温度计上，“0”度是零上温度和零下温度的分界。在通常情况下，摄氏零度是水开始结冰的温度。有时说：“今天的气温是零摄氏度”，并不是说今天没有温度，而是指气温是零度。
　　（ 2）“ 0”占有数位。在记数时，当某个数的某些数位上一个计数单位也没有时（即空位），就用“0”表示。例如，九十可以记作90，三百零五可以记作305。这里的“0”不能随意增添或去掉，因为它是占有数位的。如果随意增添或去掉，那么，不是把表示的数量扩大了若干倍就是缩小了若干倍。可知，“0”在写数时是起到占位作用的。
　　（3）“0”可以做为起点。例如，从甲城到乙城的公路上，靠近路边栽有里程碑，每隔1千米栽1个。开始第一个石头桩上刻的号是“0”，表明这段公路的起点。又如，米尺上的一个端点的刻度“0”表示起点，可以把被量的物体端点放在0处起量，是准确的。
12.“ 0”的性质有哪些？
　　在小学数学教材中，有关“0”的性质分散在各部分内容里。现集中起来，简述如下：
　　（1） 0是一个数，并且是一个整数，但0不是自然数，它比一切自然数都小。
　　（2）在十进制记数法中，0起占位的作用。
　　（3）0是一个偶数。
　　（4） 0是任意自然数的倍数。
　　（5）任何数与0相加，它的值不变，即
　　a＋0=0＋a=a。
　　（6）任何数减0，它的值不变，即
　　a-0=a。
　　（7）相同的两个数相减，差等于0，即
　　a-a=0。
　　（8）任何数与 0相乘，积等于 0，即
　　a×0=0×a=0。
　　（9）0被非零的数除，商等于0，即
　　如果 a≠0，那么0÷a=0。
　　（10）0不能作除数。
　　例如：3÷0，0÷0，这类式子是没有意义的。
　　随着数学知识的扩充，0的性质也将进一步扩充。比如，当引进负数之后，0是唯一的中性数，即既不是正数，也不是负数；引入绝对值的概念后，0的绝对值等于0，即｜0｜=0；引入指数概念后，任何非零的数的 0次幂等于1，即如果 a≠0，那么a°=1；等等。
13.怎样用罗马数字记数？
　　罗马数字是罗马人创造的记数符号。基本的共有7个：1（表示1），V（表示 5）， X（表示 10），L（表示 50），C（表示 100），D（表示500），M（表示1000）。这些数字在位置上不论怎么变化，所代表的数是不变的。
　　罗马记数法是把罗马数字按照下列法则并列起来表示数。
　　（l）相同的数字连写，或者把较小的数字写在较大的数字右边，所表示的数就等于这些数合并在一起所得的数。如Ⅲ=3.Ⅵ=6,LX=60，DCC=700，DCLXXⅧ=678。
　　（2）把较小的数字写在较大的数字左边，所表示的数就等于从大数里去掉较小的数后所得的数。如 Ⅳ=5--1=4，Ⅸ=10--1=9，XC=90，CD=100。
　　（3）在数字上加一条横线，表示1000倍，或者在这数字的右下角写一个字母M，就表示若干个千组成的数。如X是10×1000=10000；也可以写作XM是 10×1000= 10000。
　　把这几个方法结合起来,就可以表示所有的数。
　　如：MCMXLⅥ=1946，
　　MCMLXXXⅧ=1988。
　　13世纪以前，罗马数字曾盛行于欧洲。由于使用不如阿拉伯记数法方便，后来就用得少了。
14.现在各国通用的数字，为什么称为阿拉伯数字？
　　1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，称为阿拉伯数字。是现在世界各国通用的数字。这组数字最早起源于印度，8世纪前后传到阿拉伯。13世纪初由意大利数学家斐波那契，L，（约1170-约1250）用拉丁文写成的《算盘书》（1202年完成，1228年修订），系统介绍了印度数码与记数制度，以及整数、分数的各种计算方法，结果用弃九法来验算。还列有乘法表、素数表和因子表等若干数表。当时欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯传来的，称它为阿拉伯数字，以后逐渐推广开来。
15.怎样理解算术及算术数？
　　算术是数学的一个分支，它主要讨论非负整数、分数、小数的读数法、记数法和它们在加、减、乘、除、乘方等运算下产生的数的性质、运算法则。算术进一步发展成为代数与数论。小学数学教材的主要内容是算术部分的知识。近来，由于增加了一些代数知识，为了使名称和内容一致，对小学数学教材不再称为“算术”，改称为“数学”。
　　算术数是自然数、零和正分数（小数）的统称。也可以称为“非负有理数”。
16.算式、式子和算草有什么区别？
　　算式是用“＋”、”-”、“×”、“÷”等运算符号联结数字而成的横列的式子。例如：
　　（125+68-32）÷23=161÷23=7。
　　这就是一个算式。通常称为横式。
　　式子是算式、代数式、方程式等的总称。算式可以看成是式子，但式子不一定都是算式。式子在没有要求计算时可以不算，而算式一般都要求算出结果来。
　　算草是演算时所做的草式。通常称为竖式，例如：
17.计数单位和数位有什么区别？
　　对于每一个数都应当有一个名称，这样，我们才能称呼它，也就是才能读出这个数来。就以自然数来说吧，自然数是无限多的，如果每一个自然数都用一个独立的名称来读出它，这是非常不方便的，也是不可能做到的。为了解决这个问题，人们创造出一种计数制度，就是现在我们使用的十进制计数法。
　　十进制计数法的特点是“满10进一”。也就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位。即10个一叫做“十”，10个十叫做“百”， 10个百叫做“千”， 10个千叫做“万”，……。
　　一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿、兆、……，都是计数单位。
　　数位是指写数时，把数字并列排成横列，一个数字占有一个位置，这些位置，都叫做数位。从右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。这就说明计数单位和数位的概念是不同的。
　　但是，它们之间的关系又是非常密切的。这是因为“个位”上的计数单位是“一（个），“十位”上的计数单位是“十”，“百位”上的计数单位是“百”，“千位”上的计数单位是“千”，“万位”上的计数单位是“万”，等等。例如：8475，“8”在千位上，它表示8个千，“4”在百位上，它表示4个百，“ 7”在十位上，它表示 7个十，“ 5”在个位上，它表示5个一。
18.一位数、两位数、三位数、……是怎样规定的？
　　用一个不是0的数字写出的数叫做一位数。例如：1，3，9。用两个数字，其中最左端的数字不是0，所表示的数，叫做两位数。例如：10， 29， 87。用三个数字，其中最左端的数字不是0，所表示的数，叫做三位数。例如：100，290，607。因此，在一个数中，数字的个数是几（其中最左端的数字不是0），这个数就叫做几位数。
　　也有的书上是如下规定的：
　　“只用一个有效数码表示的数，叫做一位数。用两个数码，其中左端第一个是有效数码来表示的数叫做两位数。同样的规定多位数：三位数、四位数。”又特别指出：“除数码0以外其他的数码（如1，2，3，4，5，6，7，8，9）都叫做有效数码”。
　　可以看出，在以上的规定中，常常特意强调“左端的数字不是0”，这是怎么一回事儿呢？这是因为有时在报名单的号数或者较徽等的号数上常常用“0”占据数位以防止更改。例如：数8可以写成0008，它仍然表示8或第8号，还叫做一位数，不能叫做四位数。数97可以写成0097，但也仍然是二位数。总之，一位数是：1--9：两位数是10--99，三位数是100--999；四位数是1000－9999；……
　　学生也可能问“最小的一位数是不是0？”这句话本身就是不对的。首先，根据规定，如果只写一个“0”，它不叫一位数。至于“0”这个数是否最小，应该说：在非负整数范围内，最小的整数是0。
19.写数的位值原则是什么？
　　同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“ 3”，如果写在个位上，就表示 3个一；如果写在十位上，就表示3个十；如果写在百位上，就表示3个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，我们称它为写数的位值原则。阿拉伯记数法就是应用这个原则，把数字和数位结合起来，可以写出一切整数。
　　古代罗马因为缺乏位值原则，写数与计算非常繁难，于是，罗马记数法就逐渐被淘汰了。
　　例如：
　
　　我国古代，用筹码计算的时候就已经采用位值原则了。
　　有时，初学写数的学生，常把“十九”写成“109”，把“四十五”写成“405”。这是什么原因呢？这是还没有理解阿拉伯记数法的位值原则的缘故。应该进一步弄清阿拉伯记数法的特点——数字和数位结合起来记数。
20.整数包括哪些数？
　　我们认识了自然数和零之后，知道了自然数和零都是整数。即0，1，2，3，……都是整数。当我们学习了负数之后，在自然数前面添上负号“-”而得到的数叫做负整数，如-1，-2，-3，-4，…… 都是负整数。这时，正整数（自然数）、零、负整数，统称为整数，而正整数和零可称为非负整数。
21.数轴的三要素是哪些？
　　规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫做数轴。原点、方向、单位长度就是数轴的三要素。
22.为什么要建立进位制？
　　由于自然数有无限多个，对于每一个自然数如果都用一个独立的名称或符号来读出它或表示它，那是很不方便的，也是不可能做到的。因此，需要建立一种读数、写数制度--进位制。
23.进位制的基数是什么意思？
　　在一种进位制中（设为K进制），由K（K＞1）个某一单位组成一个相邻的较高单位，这种进位制就叫做K进位制。K叫做这种进位制的底数（或称进率），底数也可以叫做基数。
　　基数是10的进位制叫做十进位制，用十进位制记出的数简称为十进数。它的特点是满10进一，它需要10个数码；基数是2的进位制叫做二进位制，用二进位制记出的数简称为二进数。它的特点是满2进一，它只需要两个数码--1。电子计算机是用二进制数，它只需“通电”与“断电”两种信号来表示0和1。
24.怎样把二进数化为十进数？
　　二进位制的特点是“满二进一”，它的底数是2。写二进数只用0和1两个数字就可以了。根据位值原则，“－”至“十”各数的写法如下：
　　“一”记作 1，“二”记作 10，
　　“三”记作 11，“四”记作 100，
　　“五”记作101，“六”记作110，
　　“七”记作111，“八”记作1000，
　　“九”记作1001，“十”记作1010，
　　“零”记作0。
　　由于二进数只有两个数码，所以用通电和断电这两种状态就能把它们表示出来。这样，如果有几组电路的通、断，就可以表示出任意的一个二进数，并且能进行四则运算。因此二进位制广泛应用于电子计算机中。
　　二进数可以化为十进数，十进数也可以化成二进数。
　　例：把 1011012化为十进数。
　　解：二进数的各个数位所表示的计数单位，从右起第一位是一（20），第二位是二（21），第三位是四（22），第四位是八（23）……。
　　为了把1011012化为十进数，可以把1011012先改写成不同
　　计数单位的数之和的形式，再改写成十进数。
　　1011012=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20
　　=1×32+0+1×8+1×4+0+1×1
　　=32+8+4+1
　　=45
　　∴10110122=45
25.怎样把十进数（整数）化为二进数？
　　例：把43化为二进数。
　　解：根据二进数“满二进一”的特点，可以用2连续除43。
　　43÷2=21（余1）…把21进到第二位，余下的1是第一位数字；
　　21÷2=10（余1）…把10进到第三位，余下的1是第二位数字；
　　10÷2=5（余0）…把5进到第四位，余下的0是第三位数字；
　　5÷2=2（余1）…把2进到第五位，余下的1是第四位数字；
　　2÷2=1（余 0）…把 1进到第六位，余下的 0是第五位数字；
　　1÷2=0（余1）…余下的1是第六位数字。
　　除到此，就可以写出所求的二进数为：
　　43＝1010112
　　为了书写简便，可以用竖式计算：
　　∴43=1010112
　　这种方法通常叫做“二除取余法”。
26.在教学10以内数的时候，怎样使学生建立数的概念？
　　提起10以内数的教学，不禁使人想到一个真实的故事。
　　一年级小学生聚精会神地听老师讲算术课，老师对学生说：“今天咱们学习一和二。”随即举起一张画片，问道：“这张画片上画的是什么？”
　　学生：“画的是皮球。”
　　老师：“画的是几个皮球？”
　　学生：“一个皮球。”
　　这时，老师把画片翻转过来，问：“这上面写的数字念做什么？”
　　学生：“念做1。”
　　老师：“对！念做1。”
　　紧接着，老师用同样的办法开始讲“2”了。画片的正面画着两支铅笔，背面写着数字“2”。老师再没有举出其他的事例。就这样讲完了1和2，然后就指导学生练习写数了。
　　下一次上课的时候，老师在黑板上画了两个皮球，让学生到黑板上表示两个皮球的数字，学生们举手争着要求来写。照理说应该写个“ 2”就对了。事与愿违，没有料到，这个小学生在每个皮球下面都写上“1”。老师问他为什么这样写，这个小学生理直气壮地回答：“您不是讲过吗，‘1’表示一个皮球，那么，两个‘1’不就是表示两个皮球吗！”
　　看来，这位老师讲课时使用的直观教具太少，使小学生错误地认为：“2”就是表示两支铅笔，“1”就是表示一个皮球。学生还没有真正认识1和2，没有获得数的抽象概念。
　　为了使学生真正认识每一个数，教学时应通过适量的实物和直观教具，形成抽象的数的概念。也就是应该使学生知道一个数代表一组事物的总数。例如：为了使小学生认识“2”，可以使用两支铅笔、两块橡皮、两个茶杯、两本书等实物以及每一张画有两件物品的画片等等，使学生体会到，不管它是动物还是植物，不管它是铁的、木头的或是纸的，只要每一组事物的数量可以用两个手指来表示的话，就可以写成数字“2”。此外，两声响声，两滴水滴，也可以用“2”来表示。
　　总之，在教学10以内数的时候，正是学生认数的开始，应利用适量的直观教具，使学生排除个别事物的干扰，也就是排除非本质特征，抽象出共同属性--数，形成数的概念。
27.在认数的时候，为什么要学习数的组成？
　　所谓数的组成，一般地是把某一个数表示成各个不同计数单位的数之和。例如：7是7个“一”组成的；28是由2个“十”和8个“一”组成的；等等。口头叙述的时候，常常是这样说的。在小学阶段，初学认数的时候，能够这样说出来就可以。假如要写出来的话，可以写成如下的形式：
　　28=2×10+8
　　3605=3×1000＋6×100+5
　　但是，在教学10以内各数的时候，不仅要求学生能够说出某个数是由几个“一”组成的，还要使学生知道某个数是由哪几个数的和组成的。例如：8是7和1，6和2，5和3，4和4组成的；当然还可以说8是1和7，2和6，3和5组成的。至于超过10的数，例如19，可以说成是1个“十”9个“一”组成的；24，可以说成是2个“十”4个“一”组成的。
　　在认数的时候，学习数的组成，主要有以下几个原因：
　　（1）对于新认识的数加深理解。例如，知道了7是6和1、5和2、4和3组成的，可以进一步认识到7的大小及它在自然数列中的位置。
　　（2）对于自然数列的特点有个初步的认识。从1开始，每次多1就成一个新的数。比1多1是2，比2多1是3，比6多1是7，比10多1是11，比11多1是12，等等。同时，还可以使学生体会到自然数列里的数是有次序的而且是无限的。
　　（3）对于学习四则计算是个重要的基础。例如：10以内数的加、减法就是根据数的组成来算出的。如3加2得5，5减2得3，5减3得2，这里用不着什么计算方法，只是依靠数的组成说出得数的。尤其是10这个数，更应该熟悉它是由哪两个数的和组成的，因为在计算进位加法与退位减法时要经常用到。至于计算乘、除法的时候也要用到数的组成知识。例如：
　　8＋7=15，初学进位加法时，用凑10法。思考过程是：把7分成2和5，2和8凑成10，10再加5得15。
　　（二九十八，写8进1）
　　（四九三十六，是36个“十”，加上进上来的1个“十”，得37个“十”，结果是378。）
　　（在十位上商4，四九三十六，从37个“十”里减去36个“十”，余下1个“十”与个位上的8，组成18，再被9除，商2。结果是42。）
　　通过以上几点可以看出，在认数的时候，学习数的组成，除对于所学的数可以加深理解外，更重要的是在学习四则计算法则时可以做为说明算理的依据。
　　在小学数学教学中，不仅在认识整数时要学习数的组成，在认识小数和
28.为什么说前10个自然数（一、二、三、四、五、六、七、八、九、十）是计数法的基础？
　　为了数数，对于每一个自然数都应该给它一个名称。当需要数的事物比较少的时候，特别是在不超过10个的情况下，我们可以伸出手来，利用10个手指，就屈指可数了。但是，遇到较多的事物需要数一数它的数目时，应该怎么办呢？
　　人们经过多年的实践，创造出一种计数法，就是十进制计数法。它是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十做为基础，再添上尽可能少的新的名称，就可以数出一切数目来。
　　不妨，我们从一数到一百，看看它们的名称和顺序是怎样的。
　　一、二、三、四、五、六、七、八、九、十，
　　十一、十二、十三、十四、十五、十六、十七、十八、十九、二十，
　　……
　　八十一、八十二、……八十九、九十，
　　九十一、九十二、……九十九、一百。
　　可以看出，前10个自然数各自有一个独立的名称，在“十”的基础上，添上一，也就是十和一，我们读作“十一”，再添上一，我们读作“十二”。从十一到二十这10个数的名称是利用前10个数的名称组成的；它的顺序是和前10个数的顺序是一致的。再往下数的时候，我们可以数到三十、四十、五十、六十、七十、八十、九十，一直数到10个十，对于10个十，给它一个新的名称“百”。从1个十到10十，也是利用前10个数的名称和顺序数出来的。
　　比一百大的数，仍然利用前10个数的名称和顺序往后数：一百零一、一百零二、……、一百零九、一百一十，一直数到二百、三百、……、九百、10个百，对于10个百，给它一个新的名称“千”。再往下数，一千、二千、三千、……、九千、一直数到10个千，对于10个千，给它一个新的名称“万”。
　　比一万再多的数的数法，也是利用前10个数的名称和顺序，一个一个地数下去，一万零一，一万零二，一万零三，……。超过十万、百万、千万、亿的数，仍然按照这个规律，一个一个地数下去。
　　由此可以看出，比10大的自然数的数法都是以前10个自然数的名称和顺序为基础的。又由于我们现在使用的计数方法是十进位制，所以说前10个自然数是计数法的基础。
29.怎样使学生认识“集合”呢？
　　可以结合教材内容，举出一些实例，使学生对于“集合”有个初步的了解就可以了。例如：
　　（1）一个班的所有学生可以作为一个集合。
　　（2）在礼堂所有听报告的人可以作为一个集合。
　　（3）某运输队的所有卡车可以作为一个集合。
　　（4）某专业组的所有绵羊可以作为一个集合。
　　使学生初步体会到，集合是指具有明确范围的一些确定的对象的全体。集合也简称为“集”。
　　在认识集合的同时，还可以认识“元素”，为了说明什么是元素，还是举出一些实例为好。
　　（1）一个班的每个学生是这个班的学生集合的元素。
　　（2）在礼堂里听报告的每一个人是这个集合中的一个元素。
　　（3）某运输队的每辆卡车是这个运输队的卡车集合的一个元素。
　　（4）某专业组的每只绵羊是这个专业组的绵羊集合的一个元素。
　　使学生初步体会到，集合里的每一个对象，都叫做集合的元素。元素也简称为“元”。
　　一辆卡车也可以作为一个集合，这个集合只有一个元素，就是这辆卡车。一个人也可以作为一个集合，这个集合也只有一个元素，就是这个人。
　　集合中的元素可以是有限多个，也可以是无限多个。像前面所举的4个例子，这些集合中的元素都是有限多个。但是，所有自然数的集合，它的元素就是无限多个。
　　关于集合的表示方法。小学数学教材中采用的是画圈的方法。我们把这种表示集合的方法叫做韦恩图（韦恩是英国一个数学家）。它是在一个集合的所有元素外面画一个圈，直观地表示这个集合。例如：
　　表示5辆卡车的集合。
　　它的元素是每一辆卡车。
　　表示4只绵羊的集合。
　　它的元素是每一只绵羊。
　　表示6把镰刀的集合。
　　它的元素是每一把镰刀。
　　表示一个书包的集合。
　　它的元素就是这个书包。
　　表示蔬菜的集合。它的元素是一棵白菜、一个茄子、一个西红柿和一条黄瓜。
30.怎样使学生认识“对应”呢？
　　在小学数学教材里，对于“对应”的概念没有进行深入讲解，只是通过一些插图和简单的事例使学生初步接触并有所体会就可以了。例加：
　　图中左边是杯子的集合，右边是杯盖的集合。如果把杯盖盖在杯子上，一对一地盖上，可以看出，每个杯子都能盖上一个杯盖，同时，每个杯盖也都能盖着一个杯子。这就是说，杯子和杯盖是对应的，也可以说是一一对应的。还可以看出，杯子和杯盖的数是相等的。
　　图中上面是螺丝钉的集合，下面是螺丝帽的集合。把螺丝钉一对一地拧在螺丝帽上，可以看出，每个螺丝钉都能拧在一个螺丝帽上，而每个螺丝帽都能拧上一个螺丝钉。这就是说，螺丝钉和螺丝帽是对应的，而且是一一对应的。这时，我们可以说，螺丝钉的个数和螺丝帽相等。
　　图中上面是花的集合，下面是花盆的集合。把每棵花一对一地栽在每个花盆里，可以看出，每棵花都能栽在一个花盆里，而每个花盆里，不可能都栽上一棵花。这就说明了花和花盆不是一一对应的。我们可以说，花的棵数比花盆的个数少，花盆的个数比花的棵数多。
　　根据小学数学教学大纲的精神，向学生适当渗透“对应”的思想，不讲解它的意义。
31.怎样使学生认识“函数”呢？
　　在小学数学教材里，不讲函数概念，只是通过一些事例和计算题，使学生初步体会到数量之间的依赖关系和变化规律，向学生渗透“函数”思想。例如：
　　左边集合中的数，分别加上9之后，得出右边集合中相对应的结果。在这一组加法式题里，一个加数“9”是不变的，而另一个加数有变化，于是，它们的和也要随着变化。这就是说，“和”要随着“加数”的变化而变化。
　　左边集合中的数，分别减去8之后，得出右边集合中相对应的结果。在这一组减法式题里，减数“8”是不变的，而被减数有变化，于是，它们的差也要随着变化，这就是说，“差”要随着“被减数”的变化而变化。有时，“差”也随着“减数”的变化而变化。
　　还有一种有趣的教具，就是函数器（如图）。
　　先确定一个乘数“5”，贴在函数器上，左边由一名学生把不同的数字卡片放入函数器，右边由一名学生经过口算之后，把应得的积的数字卡片拿出来。做一做这样的计算游戏，使学生认识到计算的结果是随着已知数的变化而变化的，并且是有一定规律的。
　　通过计算一些象上面所举出来的一组一组的数学题，使学生进一步认识到，事物是不断变化的，同时，事物和事物之间又是有联系的，变化是有规律的。也启发了学生看事物不要把它们看成是孤立的、不变的。
32.怎样理解概念、概念的内涵及概念的外 延？
　　概念是事物及其本质属性在思维中的反映。或者说，概念是反映客观事物本质属性的思维形式。某种事物的本质属性，就是这种事物所具有的而别种事物都不具有的性质。例如，直角三角形有两个本质属性，即它是一个三角形，并且其中一个内角是直角，有了这两个本质属性，就可以和其他概念区别开来。至于边的长短，两个锐角的大小，都不是直角三角形的本质属性。由这两个本质属性，就构成了直角三角形的概念，即“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。”
　　概念的内涵就是那个概念所包括的一切对象的共同的本质属性的总和。例如，等腰三角形它有两个本质属性，即它是三角形，两条边相等。这两个本质属性的总和就是等腰三角形的内涵。又如， 平行四边形有两个本质属性，即它是四边形，两组对边分别平行。这两个本质属性的总和就是平行四边形的内涵。
　　概念的外延就是适合于那个概念的一切对象的范围。例如，平行四边形的外延包括一般的平行四边形、矩形、菱形和正方形。
　　概念的外延和内涵之间是互相依存而又互相制约的。在一个概念中，当它的内涵扩大时，则它的外延就缩小；当它的内涵缩小时。则它的外延就扩大。例如，等腰直角三角形的内涵有三条：（1）它是一个三角形；（2）有一个角是直角；（3）夹直角的两边相等。如果当它的内涵去掉一个“夹直角的两边相等”，那么它的外延就扩大了，把一般的直角三角形也包括进来了；如果它的内涵再去掉“有一个角是直角”，那么把一般的三角形也包括进来了。反之，当它的内涵扩大时，它的外延就缩小。又如，矩形的概念，它的外延并不包括全部平行四边形，只包括平行四边形的一部分，因此，矩形的外延就比平行四边形的外延小。如果把矩形的内涵“有一个角是直角”去掉，那么它的外延就扩大了，把一般的平行四边形也包括进来了。
33.怎样理解定义、定理、公理和定律？
　　对定义的理解是，对于一个名词或术语的意义的规定就是这个名词或术语的定义。例如，“如果整数a能被自然数b整除，那么a叫做b的倍数，b叫做a的约数”，这就是倍数、约数的定义。又如，“大于直角而小于平角的角叫做钝角”，这就是钝角的定义。
　　把概念用文字或语言表达出来，叫做给这个概念下定义。给概念下定义常用两种方法：一种叫做内涵法，一种叫做外延法。
　　用内涵法定义概念采用如下公式：
　　被定义概念=邻近的种+类差。
　　例如，多边形和四边形都是平行四边形的种，而四边形就是邻近的种。类差就是被定义的概念区别于种概念的本质属性。例如，平行四边形区别于其他四边形的本质属性是它的两组对边分别平 行，这样便得出平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。
　　用外延法定义概念，就是把概念所反映的具体对象一一罗列出来。例如，有理数的定义就是采用了外延法。即“整数和分数统称为有理数”。
　　定义有两个任务：
　　（1）把被定义的对象同其他对象区别开；
　　（2）揭示出被定义对象的本质属性。
　　对定理的理解是，能用推理的方法证明是正确的命题叫做定理。例如，“如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和也能被这个自然数整除”。又如，“对顶角相等”。这些都是定理。每个定理都包含“条件”和“结论”两个部分，条件是已知的部分，结论是从条件经过推理而得到的结果。
　　对公理的理解是，人们在实践中反复验证过的，并且不需要再加以证明就被公认的真理叫做公理。例如，“经过两点可以作一条直线，并且只可以作一条直线”；“经过直线外的一点，只可以作一条直线和这条直线平行。”
　　对定律的理解是，在数学中，具有某种规律性的结论叫做定律。例如，乘法对加法的分配律（a+b）c=ac+bc，就是定律。
34.怎样理解判断和推理？
　　对判断的理解是，对某事物肯定或否定的思维形式叫做判断。符合事实的判断就是真的，不符合事实的判断就是假的。例如，“三角形的内角和是180°”，“这所学校已经有60年的历史了”，“张勇同学今天不来了”等，都是判断。
　　对推理的理解是，根据判断间的关系，由一个或几个已有的判断得出一个新的判断的思维过程，叫做推理。在推理过程中，所根据的已有判断叫做推理的前提，作出的新判断叫做推理的结论。数学中常用的推理，有归纳推理和演绎推理。
35.等量公理有哪些？
　　等量公理有以下几条：
　　（1）等量加等量，和相等；
　　（2）等量减等量，差相等；
　　（3）等量的同倍量相等；
　　（4）等量的同分量相等；
　　（5）在等式中，一个量可以用它的等量来代替（简称“等量代换”）。
36.不等量公理有哪些？
　　不等量公理有以下几条：
　　（1）不等量加上或者减去等量，原来大的仍大；
　　（2）不等量乘以或者除以同一个正数，原来大的仍大；
　　（3）不等量加不等量，大量的和大于小量的和；
　　（4）等量减不等量，减去大的，差反而小；
　　（5）第一量大于第二量，第二量大于第三量，则第一量大于第三量；
　　（6）全量大于它的任何一部分；
　　（7）在不等式中，一个量可以用它的等量来代替。
37.十进位制的读数原则是什么？
　　十进位制的读数原则是：
　　（1）要有前10个自然数及零的名称。即零、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。
　　（2）要有一系列的十进计数单位。这些单位的名称从低到高依次为：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿、……并且，每两个相邻单位间的进率都是10。也就是说，每10个某一单位就组成1个相邻的较高单位。即通常所说的“满10进一”。
　　（3）要有数的命名方法。数的命名是由零、一、二、三、四、五、六、七、八、九和计数单位组合而成。例如，一个数含有四个十万、三个万、八个千、六个百、二个十、五个一，这个数就命名为四十三万八千六百二十五。
38.十进位制的记数原则是什么？
　　十进位制的记数原则是：
　　（1）要规定10个记数的符号。十进位制要有10个记数符号，就是：
　　0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
　　这10个符号都叫做数字，称为阿拉伯数字。
　　（2）要规定各个计数单位的位置及顺序。记数时，各个计数单位要根据它们的十进顺序排列起来。
　　（3）要规定数字记在数位上的原则。每一个数位上只记一个数字，这个数字是几，就表示这个数位上有几个计数单位。例如，在千位上记4就表示4个千，记5就表示5个千；同一个数字记在不同的数位上就表示不同的数。例如，6记在千位上表示6个千，6记在百位上就表示6个百。就是说，记在各个数位上的每一个数字，不但有其本身的数值，还有位置值，这就是阿拉伯记数法的位值原则。
39.十进位制的读数法则有哪些？
　　我国的读数法则采用四位分级，即每四个计数单位组成一级，个、十、百、千组成个级，表示多少个“一”；万、十万、百万、千万组成万级，表示多少个“万”；亿、十亿、百亿、千亿组成亿级，表示多少个“亿”；……
　　根据四位分级的习惯，我国读数法则如下：
　　（1）四位以内的数，从最高位起，顺次读出各位上的数字和单位。例如，5973读作五千九百七十三，4862读作四千八百六十二。
　　如果数中间或末尾有零，要按照下面的规则来读：数中间单个的零，只读数字零，不读数位上的单位，如3076读作三千零七十六，不读作三千零百七十六；数中间连续的零，只读一个零，如3005读作三千零五，不读作三千零零五；数末尾的零不读，如1800读作一千八百。
　　（2）四位以上的数，从最高位起，顺次读出各级里的数及它的级名。
　　例如：64 3125 7085
　　亿 万 个
　　级 级 级
　　读作：六十四亿三千一百二十五万七千零八十五。
　　如果某级的开头、中间有单个的零或连续的零都只读一个零。
　　例如：2004 0070
　　万 个
　　级 级
　　读作：二千零四万零七十。
　　每一级末尾的零，可以不读。
　　例如：50 7100 3000
　　 亿 万 个
　　 级 级 级
　　读作：五十亿七千一百万三千。
　　如果某级的整级都是零的也只读一个零。
　　例如：23 0000 4000
　　 亿 万 个
　　 级 级 级
　　读作：二十三亿零四千。
　　但是，财政部门开具票证时，为了避免错误，在用汉字写数时，除了个级以外，仍然把每一级末尾的零写出来。
40.十进位制的记数法则有哪些？
　　用记数符号把数书写出来的方法叫记数法。记数法要有记数的符号与法则。现在通用的记数法是十进制记数法，它有三个特点：以进位制来说是十进制，书写的原则是位值原则，使用的符号是阿拉伯数字。
　　写数时，从最高位起，顺次写出各级、各位的数，哪些数位上的数是零，就用“0”表示。例如，八千六百零五万四千零九，写作：86054009。
　　国际上许多国家没有“万”这个名称，他们读数、写数的原则不是四位分级，而是三位分节。第一节的数位有个、十、百；第二节的数位有千、十千、百千；千千叫做密，第三节的数位有密、十密、百密；千密叫做别，第四节的数位有别、十别、百别；……这种分节法已在国际上通用。为了便于国际交往，我国也规定：写数时，采用国际通行的三位分节法。节与节之间空半个阿拉伯数字的位置。用“，”号分节的办法不符合国际标准和国家标准，应该废止。（参见国家语言文字工作委员会等七个部门颁布的《关于出版物上数字用法的试行规定》）。
　　用十进制记数法记数，有时还采用下面的形式：
　　（1）用各个数位上的计数单位的数的和来表示一个数。例如：
　　8325=8千+3百+2拾+5个。
　　有时也可把各个计数单位分别表示为10的幂的形式。例如：
　　8325=8×103+3×102+2×101+5×100。
　　（2）把一个数记成a×10n的形式，其中a大于或等于1而小于10，n比原数的整数位数小1。这种记数法是科学技术上常用的一种记数法，通常称为科学记数法。例如：
　　375000=3.75×105。
41.你知道一些数学符号的来历吗？
　　在数学运算中经常使用一些符号，如+，-，×，÷，=，＞，＜，（）等，你知道它们都是谁首先使用，什么时候被人们所公认的吗？
　　加减号“+”，“-”，1489年德国数学家魏德曼在他的著作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从1514年荷兰数学家荷伊克开始。
　　乘号“×”，英国数学家奥屈特于1631年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首创的。
　　除号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“∶”表示除或比。也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”。瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号。
　　等于号“=”，最初是1540年由英国牛津大学教授瑞柯德开始使用。1591年法国数学家韦达在其著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。17世纪微积分创始人莱布尼兹广泛使用了这个符号，从此人们普遍使用。
　　大于号“＞”，小于号“＜”，1631年为英国数学家赫锐奥特首创使用的。
　　相似号“∽”和全等号“≌”是数学家莱布尼兹首创使用的。
　　括号“（）”，1591年法国数学家韦达开始使用括线，1629年格洛德开始使用括号。
　　
　　第一个“r”演变而来的，上面的短线是括线，相当于括号。
42.加法是怎样定义的？
　　把两个数合并在一起，求一共是多少的运算方法，叫做加法。在加法中，相加的两个数叫做加数，加得的结果，叫做和。例如：47+51=98，在这加法算式中，47与51是加数，98是和。符号“+”叫做加号，读作“加”。
　　从理论上讲，加法还有以下两种定义法：
　　定义1 （序数理论）如果数a与数b都是自然数，在自然数列中的数a之后再数出b个数来，恰好对应于自然数列中的数c，那么，数c叫做a与b的和，求两个数的和的运算叫做加法。记作：
　　a+b=c
　　读作“a加b等于c”。
　　a与b都叫做加数，符号“＋”叫做加号。
　　定义2（基数理论）设A、B是两个不相交的有限集合，它们的基数分别是a和b，如果集合A与B合并所得的并集是C，那么并集C的基数c就叫做a与b的和，求两个数的和的运算叫做加法。记作：
　　a＋b=c
　　读作“a加b等于c”。
　　a与b都叫做加数，符号“+”叫做加号。
43.加法的补充定义是什么？
　　（1）由于集A与集B中有一个集合是非空集，而另一个集合是空集。
　　a＋0＝a 0＋a=a
　　（2）由于集A与集B都是空集，于是，所以0＋0=0
　　这就是说，当加数为零时，零与任何自然数的和仍是这个自然数；零与零的和仍得零。
44.加法的运算定律有哪些？它们在运算体系中起什么作用？
　　加法的运算定律有加法交换律与加法结合律。
　　加法交换律是：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。就是：
　　a＋b=b＋a
　　例如：7＋5=5＋7，8＋0=0＋8，等等。
　　推广到若干个数相加：若干个加数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变。
　　加法结合律是：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再加上第一个数，它们的和不变。就是：
　　（a+b）+c=a+（b+c）
　　例如：（5+4）+3=5+（4+3），
　　（60+70）+80=60+（70+80）等等。
　　推广到若干个数相加：若干个数相加，先把其中的任意几个加数作为一组先加起来，再与其他加数相加，它们的和不变。
　　运算定律是运算体系中具有普遍意义的规律，是运算的基本性质，可作为推理的依据。根据运算定律来证明运算性质，根据运算定律和性质来证明运算法则的正确性，还可以使计算简便。例如：
　　59+75+67+41+25+33
　　=（59+41）+（75+25）+（67+33）
　　=100+100+100
　　=300
45.加法运算法则是怎样规定的？
　　多位数的加法，通常用竖式计算。法则是：
　　（1）相同数位对齐；
　　（2）从个位加起；
　　（3）哪一位上的数相加满10的时候，要向前一位进1。
　　例如： 2734+285=3019
　
　　为什么加法法则是这样规定的呢？这是根据加法的“和”加“和”的性质规定的。这个性质是：若干个数的和加上若干个数的和，可将第一个和中的各个加数分别加上第二个和中的一个加数，再把所得的和加起来。即
　　（a1+a2＋…+an）＋（b1＋b2+…＋bn）
　　=（a1＋b1）+（a2+b2）+…＋（an+bn）
　　其中，ai、bi是整数（i=1，2，3，……，n），ai、bi可以是零。这个性质是加法法则的依据。例如：
　　316＋247
　　=（3百+1拾+6）＋（2百+4拾+7）
　　=（3百+2百）＋（1拾+4拾）＋（6＋7）
　　=5百+5拾+13
　　=563
　　为了简便，可用竖式计算：
46.在加法运算中，如果加数增加（或减少），它们的和将会有什么变化？
　　变化的规律有：
　　规律1如果一个加数增加一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加同一个数。即：
　　如果50＋30=80，那么（50＋7）＋30=87
　　一般地：
　　如果a＋b=c，那么（a＋m）+b=c＋m
　　这个规律证明如下：
　　证明：∵（a+m）+b
　　=a+（m＋b）（加法结合律）
　　=a＋（b＋m）（加法交换律）
　　=（a＋b）＋m （加法结合律）
　　=c＋m（a＋b=c）
　　∴（a+m）＋b=c+m
　　规律2 如果一个加数减少一个数，另一个加数不变，那么它们的和也减少同一个数。即：
　　如果50＋30=80，那么（50-7）＋30=73
　　一般地：
　　如果a＋b=c，那么（a-m）＋b=c-m
　　规律3 如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。即：
　　如果50＋30=80，那么（50＋7）＋（30-7）=80
　　一般地：
　　如果a+b=c，那么（a＋m）+（b-m）=c
47.减法是怎样定义的？
　　减法是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。在减法中，两个加数的和叫做被减数，已知的一个加数叫做减数，所求的加数叫做差。例如：258-42=216，258是被减数，42是减数，216是差。符号“-”叫做减号，读作“减”。
　　一般地说，已知两个数a、b，求一个数c，使c与b的和等于a，这种运算叫做减法。记作：
　　a－b＝c
　　读作“a减b等于c”。
　　从减法的意义可知，减法是加法的逆运算。
48.减法的运算性质是哪些？
　　减法的运算性质主要有以下几条：
　　（1）在无括号的加减混合或连减的算式中，改变运算顺序，结果不变。
　　例如：70+20-30=70-30+20
　　100-40-30=100-30-40
　　一般地，a+b-c=a-c+b（a≥c）
　　a-b-c=a-c-b
　　（2）一个数加上两个数的差，等于这个数加上差里的被减数，再减去差里的减数。（简称数加差的性质）
　　例如：72+（28-9）=72+28-9
　　65+（55-38）=65+55-38
　　一般地，a+（b-c）=a+b-c
　　（3）一个数减去两个数的和，等于这个数依次减去和里的各个加数。（简称数减和的性质）
　　例如：78-（28+36）=78-28-36
　　64-（29+24）=64-24-29
　　一般地，a-（b+c）=a-b-c（a≥b+c）
　　a-（b+c）=a-c-b（a≥b+c）
　　（4）一个数减去两个数的差，等于这个数减去差里的被减数，再加上差里的减数。（简称数减差的性质）
　　例如；87-（47-19）=87-47+19
　　92-（65-38）=92+38-65
　　一般地，a-（b-c）=a-b+c（a≥b）
　　a-（b-c）=a+c-b
　　（5）若干个数的和减去若干个数的和，可以从第一个和中的各个加数，分别减去第二个和中不大于它的一个加数，然后把所得的差加起来。（简称和减和的性质）即：
　　（a1+a2+…+an）-（b1+b2+…+bn）
　　=（a1-b1）+（a2-b2）+…+（an-bn）
　　其中ai≥bi（i=1，2，3，…，n），ai、bi可以是零。
　　这个性质，是减法法则的依据。
　　例如：3617-628
　　=（3千+6百+4拾+7）-（6百+2拾+8）
　　=（3千+6百+3拾+17 ）-（6百+2拾+8）
　　=3千+（6百-6百）+（3拾-2拾）+（17-8）
　　=3千+1拾+9
　　=3019
　　为了简便，可用竖式计算：
49.减法运算法则是怎样规定的？
　　多位数的减法，通常用竖式计算。法则是：
　　（1）相同数位对齐；
　　（2）从个位减起；
　　（3）被减数某数位上的数不够减时，就要向相邻较高数位退1当10，并与本数位上的数加在一起，然后再减。
　　例如：3074-896=2178
　
　　为什么减法法则是这样规定的呢？这是根据减法的“和”减“和”的性质规定的。
50.20以内数的退位减法有几种算法？
　　以一题为例，说明几种不同的思考过程。
　　（1）用加算减。由于减法是加法的逆运算，可以用加法来计算减法。通常叫做以加代减。
　　15-8=？
　　------------这样想：因为8加7等于15，所以15减8等于人。
　　① 8+7=15
　　②15-8=7
　　（2）破10法。先用10减去减数，再把所得的差加上被减数中的个位数。
　　15-8=？
　　-------这样想：因为10减8等于2，2加5等于7；所以，15减8等于7。
　　① 10-8=2
　　② 2+5=7
　　（3）连减法。先把减数分成两部分，使一部分与被减数的个位数相等，另一部分暂且叫做“多余的部分”。然后，先从被减数里减去与它个位数相等的那一部分减数，再用10减去减数中的多余的部分。
　　15-8=？
　　----------这样想：因为15减5等于10， 10再减3等于7；所以，15减8等于7。
　　① 15-5=10
　　②10-3=7
　　这一种计算方法，如果运用熟练以后，这道题可以直接用10减去3就是所求的得数了。
　　这个“3”是怎样找出来的呢，就是减数比被减数的个位数多的那一部分，就是前面所说的“多余的部分”。可以简化成一句话：多3得7。由此推得：
　　15-7=8（因为7比5多2，所以多2得8）
　　14-8=6（因为8比4多4，所以多4得6）
　　16-7=9（因为7比6多1，所以多1得9）
　　13-8=5（因为8比3多5，所以多5得5）
　　……
　　在计算这几个减法题的过程中，用到“多2得8”“多4得6”“多1得9”“多5得5”，可以看出一条规律，就是使这个“多余的部分”与得数相补为10。
51.为什么说20以内数的加、减法是多位数计算的基础？
　　先从多位数加减法看。在计算多位数的加减法过程中，总是一位数对一位数地相加及相减。两个一位数相加的和，或是得几或是得十几，不超过20。与其相对应的减法或是几减几或是十几减几，总称为20以内数的加、减法。为了使多位数加减法的计算正确而迅速，首先应熟练掌握20以内数的加、减法。
　　例如：
　
　　在计算过程中有：4+9=13，5+2+1=8，3+7=10。（20以内数的
　　1083 加法）
　　又如：
　　5346在计算过程中有：6-6=0，14-9=5， 13-1-8=4，5-1-3=1。（20以内数的减法）
　　再从多位数的乘、除法看，在计算多位数乘、除法的过程中，既要用到乘法口决，也要用到加、减法。
　　例如：
　　在计算过程中用到20以内加法的地方有：8＋0=8，5＋6=11，8＋1＋2=11。
　　又如：
　　在计算过程中用到了20以内减法的地方有：16-8=8，14-1-8=5.
　　2-1-1=0，11-4=7.
　　8-1-6=1，5-5=0。
　　总之，在多位数四则计算中，常常要用到20以内数的加、减法。因此，在教学20以内数的加、减法时，要使学生算得正确而迅速，如果能够达到脱口而出的程度，就更好了。
52.要学会计算多位数的加、减法需要哪些基础知识？
　　需要掌握的基础知识主要有以下几点：
　　（1）要熟练掌握10以内数的加、减法及20以内数的进位加法、退位减法的口算。在计算多位数加、减法时，一般都要分解成一位数的加法或减法，而一位数的加减法不外乎10以内的加减或者20以内的加减，这些计算比较简单，用口算就可以了。为了使学生能够正确、迅速计算多位数加、减法，应熟练掌握10以内加、减法及20以内进位加法、退位减法的口算是十分必要的。
　　（2）要使学生懂得进位、退位的道理并且能够正确运用进位、退位法则。计算多位数加、减法的时候，经常遇到进位、退位的情况。计算时要注意标明进位、退位的记号，免得忘记了进位、退位的数而发生错误。计算熟练以后，进位、退位记号就可以不标了。
　　（3）正确运用竖式进行计算。加法、减法竖式是人们经过长期的实践创造出来的一种格式，在书写时要特别注意相同数位对齐。
53.为什么说“口算是笔算的基础”？
　　下面我们以一道“三位数和三位数相乘”的题目为例，研究一下在笔算过程中，一般需要多少次的口算。
　　例如：
　
　　①9×7=63 ②8×7+6=62
　　③3×7+6=27 ④9×4=36
　　⑤8×4+3=35 ⑥3×4+3=15
　　⑦9×6=54 ⑧8×6+5=53
　　⑨ 3×6+5=23 ⑩2+6=8
　　⑾7＋5＋4=16 ⑿2＋5＋3＋1=11
　　⒀ 1＋3＋1=5
　　如果按照运算符号统计一下，这道笔算题用了23次口算，假如有一次口算出了错误，这道题的结果就错了。不难看出，口算是笔算的基础。
　　乘法笔算如此，除法笔算也是这样。特别是当除数是两、三位数的时候，在试商过程中，要用到两、三位数乘以一位数的口算。加法、减法的笔算更离不开10以内的加、减和20以内的进位加法、退位减法的口算。
　　总之，加、减、乘、除的笔算，在计算过程中，每一步都要依靠口算求出结果。要使最后的结果正确，必须保证每一步的口算不出错误才行。因此，在教学过程中，对学生加强口算训练是必要的。
54.你会比较整数的大小吗？
　　我们这里说的是非负整数。在比较两个整数的大小时，分两种情况说明。
　　（1）如果两个整数的位数不相同，那么位数多的整数较大。
　　例如：3275＞978；216＞89。
　　（2）如果两个整数位数相同，就从最高位开始比较。最高位上的数字较大的那个整数较大。如果最高位上的数字相同，就比较第二高位上的数字，第二高位上的数字较大的那个整数较大。如果第二高位上的数字也相同，再比较第三高位上的数字，……如果所有的数字都相同，那么这两个整数就相等。
　　例如：2459＞2437；
　　3862＞3861；
　　4705=4705。
55.要掌握多位数的读法和写法，需要哪些基础知识？
　　要掌握多位数的读法，需要以下3点基础知识：
　　（1）要掌握前10个自然数的名称、顺序和计数单位的名称、顺序。就是要掌握一、二、三、四、五、六、七、八、九、十的名称和顺序以及个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿等计数单位的名称、顺序。
　　（2）要知道计数法的十进位制度。我们数数，采用的是十进位制度，也就是某一个单位的10倍组成与它相邻的较高的1个单位。即10个一是1个十，10个十是1个百，10个百是1个千，10个千是1个万……
　　（3）要学会四位一级的读数法。为了使用较少的名称，能够数出较大的数来，人们创造了数的分级的办法。我国使用的是四位一级的读数制度，即个、十、百、千四个单位做为第一级，叫做个级；万、十万、百万、千万四个单位做为第二级，叫做万级；亿、十亿、百亿、千亿四个单位做为第三级，叫做亿级；等等。
　　要掌握多位数的写法，还需要以下4点基础知识：
　　（1）要掌握1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，这10个数字的写法。字要写得规范、美观。
　　（2）要学会阿位伯写数法的位值原则及用0占位的方法。当遇到哪一位上一个单位也没有时，就写0，用0占位。
　　（3）要牢记数位的顺序。特别要记清楚第五位是万位，第九位是亿位。
　　（4）要了解三位一节的分节法。写较大的数，有一个分节的问题，每三位一节。我国政府在1950年曾有通知：“……，为取得全国一致，并和国际习惯符合起来，今特规定数字的分位方法为三位制，……”。后来，我国国家语言文字工作委员会等七个部门颁布《关于出版物上数字用法的试行规定》中指出：节与节之间空半个阿拉伯数字的位置。
　　例如：28 613 900读作：二千八百六十一万三千九百。
　　985 470 000读作：九亿八千五百四十七万。
　　以上讲的，就是读、写多位数时，必须掌握的基础知识。
　　在小学数学教材里，针对小学生的年龄特征，根据他们的接受能力，把这7项基础知识，由浅入深地分别编排在各个年级，与计算法则相互配合，使学生逐步学会。教学时，要把每一项知识讲解清楚并加强练习，使学生打好基础，最后，能够熟练掌握多位数的读、写法。
56.被减数中间有“0”的连续退位的减法怎样计算呢？
　　我们举出一道题来说明。
　　例如：200-63=137
　　计算这道题，难在什么地方呢？主要的是：个位的0减3不够减，需要从十位退1，可是十位上还是0，初学的时候，就觉得困难了。教学时，可以这样讲：十位是0，可以从百位退1，百位的1是10个十，再从这10个十里面退1个十变为10个一，10个一减去3个一得7个一，在得数的个位上写7；十位上还剩9个十，减去6个十，得3个十，在得数的十位上写3；百位上的2退走了1，还剩1个百，在得数的百位上写1。结果得137。
　　也可以讲得简单些：个位的0，减3不够减，从十位退1是10，10减3得7（十位上虽然是0，暂时退1），十位的0，减6不够减，从百位退1是10个十，10个十先去掉退走的1个十，还剩9个十，9减6得3，百位剩1。结果得137。
　　为了防止学生忘记退走的“1”而发生错误，应注意标明退位记号“·”。通常叫做退位点。
57.加法和减法有什么关系？
　　我们知道，减法是加法的逆运算。
　　例如，加法：230+370=600
　　减法：600-230=370
　　600-370=230
　　一般地，加法：a+b=c
　　减法：c-a=b c-b=a
　　可以看出，加法中的和相当于减法中的被减数，加法中的一个加数相当于减法中的减数（或差），另一个加数相当于减法中的差（或减数）。
58.你知道加法、减法怎样验算吗？
　　检查加法运算是否正确的方法叫做加法的验算。加法的验算
　　方法如下：
　　（1）根据加法交换律，把加数交换位置后，再加一次，如果计算是正确的，两次加得的结果应该相同。
　　（2）用减法验算。把加法所得的和减去其中的一个加数，如果计算是正确的，减得的结果应该等于另一个加数。
　　检查减法运算是否正确的方法叫做减法的验算。减法的验算方法如下：
　　（1）用加法验算。把所得的差与减数相加，如果计算是正确的，那么所得的结果应该等于被减数。
　　（2）用减法验算。从被减数中减去所得的差，如果计算是正确的，那么所得的结果应该等于原来的减数。
59.在减法运算中，如果被减数、减数有变化，它们的差将会有什么变化？
　　变化的规律有：
　　规律1 如果被减数增加一个数，减数不变，那么它们的差也增加同一个数，即：
　　如果 70-30=40，那么（70+10）-30=40＋10
　　一般地：如果a-b=c，那么（a+m）-b=c+m
　　规律2如果被减数减少一个数，减数不变，那么它们的差也减少同一个数。即：
　　如果 70-30=40，那么（70-10）-30=40-10
　　一般地：
　　如果a-b=c，那么（a-m）-b=c-m
　　规律3如果减数增加一个数，被减数不变，那么它们的差就减少同一个数。即：
　　如果150--50=100，那么150-（50+30）=100—30
　　一般地：
　　如果a--b=c，那么a-（b＋m）=c-m
　　规律4如果减数减少一个数，被减数不变，那么它们的差就增加同一个数，即：
　　如果150-50=100，那么150-（50-30）=100+30
　　一般地：
　　如果a-b=c，那么a-（b-m）=c+m
　　规律5如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么它们的差不变。即：
　　如果 380-180=200
　　那么（380+20）-（180+20）=200
　　（380--80）-（180-80）=200
　　一般地：
　　如果a--b=c
　　那么（a+m）-（b+m）=c
　　（a-m）（b-m）=c
60.乘法是怎样定义的？
　　求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。例如：8＋8＋8＋8＋8=40，5个8连加，可以表示为：8×5=40，式中的8表示相同的加数，叫做被乘数；式中的5表示相同加数的个数，叫做乘数；计算的结果叫做积。符号“×”叫做乘号，“8×5”读作“八乘以五”或“五乘八”。
　　从理论上讲，乘法有两种定义法，一种是以集合为基础概念，另一种是以加法为基础概念。
　　定义一：设有b个没有公共元素的等价集合A1、A2、A3、……、
　　Ab，它们的基数各是a，它们的并集C的基数为c，那么c叫做a与b的积。求两个数的积的运算叫做乘法。
　　定义二：b个（不小于2的整数）相同加数a的和c叫做a与b的积。求两个数的积的运算叫做乘法。
　　根据乘法定义，乘数最小应是2。但是，常常遇到乘数是1或者0的情况，因此，对乘法作补充定义：
　　（1）当乘数是1时，a×1=a
　　（2）当乘数是0时，a×0=0
　　特殊情况下，被乘数、乘数都是0时，则0×0=0。
61.乘法的运算定律是哪些？
　　乘法的运算定律有乘法交换律、乘法结合律与乘法分配律。
　　乘法交换律是：两个数相乘，交换乘数与被乘数的位置，它们的积不变。就是：
　　a×b=b×a
　　例如：8×9=72，9×8=72，等等。
　　乘法交换律可以推广到多个数的乘法：多个数连乘，任意交换因数的位置，它们的积不变，叫做乘法交换律的推广。
　　例如：15×4×3=15×3×4=3×15×4
　　a×b×c=a×c×b=c×b×a
　　乘法结合律是：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变，就是：
　　（a×b）×c=a×（b×c）
　　例如：（20×6）×4=480
　　20×（6×4）=480
　　乘法结合律可以推广到多个数的乘法：多个数相乘，可以先把其中的几个数结合成一组相乘，再把所得的积同其余的数相乘，它们的积不变。
　　应用乘法交换律、乘法结合律，有时可以使得计算简便。
　　例如：25×23×4×3=（25×4）×（23×3）
　　=100×69=6900
　　乘法分配律是：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，所得的结果不变。就是：
　　（a+b）×c=a×c+b×c
　　或 c×（a+b）=c×a+c×b
　　例如：（27+23）×10=500
　　27×10+23×10=500
　　又如：30×（12＋18）=900
　　30×12+30×18=900
　　乘法分配律也叫做乘法对加法的分配律。
　　乘法分配律可以推广到多个加数的情况：若干个数的和与一个数相乘，可以先把每个加数与这个数相乘，再把各个积加起来，所得的结果不变。
　　应用乘法分配律，有时可以使计算简便。
　　例如：
　　（1） 304×15=（300＋4）×15
　　=300×15+4×15
　　=4500+60=4560
　　（2）47×19+47×38+47×43
　　=47×（19+38+43）
　　=47×100=4700
62.乘法的运算性质是哪些？
　　乘法的运算性质主要有下列两条：
　　（1）两个数的差与一个数相乘，可以把被减数和减数分别与这个数相乘，再把两个积相减，所得的结果不变。
　　例如：（84-70）×5=14×5=70
　　84×5-70×5=420-350=70
　　又如：35×（60-48）=35×12=420
　　35×60-35×48=2100-1680=420
　　一般地：（a-b）×c=a×c-b×c
　　或者c×（a-b）=c×a-c×b
　　（2）若干个数的和与若干个数的和相乘，可以把第一个和里的每一个加数与第二个和里的每一个加数相乘，再把所得的积加起来，所得的结果不变。
　　例如：（5+7+8）×（4+6+9）
　　=20×19=380
　　（5＋7＋8）×（4＋6＋9）
　　=5×4＋7×4＋8×4+5×6+7×6
　　+8×6＋5×9＋7×9＋8×9
　　=20＋28＋32+30+42＋48＋45＋63＋72
　　=380
　　一般地：
　　（a1＋a2＋…＋an）×（b1+b2＋…＋bm）
　　=a1×b1+a2×b1＋…＋an×b1…＋a1×b2
　　+a2×b2+…+an×b2+…+a1×bm
　　+a2×bm+…+an×bm
63.乘法运算法则是怎样规定的？
　　在说明乘法法则的时候，我们分为一位数与一位数相乘、多位数与一位数相乘以及多位数与多位数相乘的情况来分析。
　　（1）一位数乘以一位数。根据乘法定义用同数连加的方法计算。例如：
　　7×5=7+7+7+7+7=35
　　为了计算方便，把两个一位数相乘的结果编成乘法口决。应用乘法口决，就能直接说出任意两个一位数相乘的结果。
　　（2）多位数乘以一位数。可以把多位数写成不同计数单位的数之和的形式，然后根据乘法分配律的推广进行计算。例如：
　　2514×3=（2000+500+10+4）×3
　　=2000×3+500×3+10×3+4×3
　　=6000+1500+30+12
　　=7542
　　写成竖式就是：
　　总之，多位数乘以一位数的法则是：用多位数的个位、十位、百位、……上的数依次乘以一位数，哪一位上乘得的积满几十就向前一位进几。
　　（3）多位数乘以多位数。可以先把乘数写成不同计数单位的数之和的形式，然后根据乘法运算性质进行计算。例如：
　　264×315=264×（300+10+5）
　　=264×300+264×10+264×5
　　=79200+2640+1320
　　=83160
　　写成竖式就是：
　　总之，多位数乘以多位数的法则是：两个多位数相乘，可以依次用乘数的个位、十位、百位、……上的数去乘被乘数，再把各部分积加起来。
64.怎样确定两个自然数的积的位数？
　　两个自然数的积的位数，等于这两个数的位数的和，或者比这个和少1。
　　例如：一个三位数和一个二位数相乘，它们的积可能是五位数或者是四位数。
　　（1） 314×56=17584……积是五位数；
　　（2）134×56=7504……积是四位数；
　　（3）214×54=11984……积是五位数。
　　判断积的位数的方法：
　　①如果两个因数最高位上的数的积等于或大于10，或者虽然小于10，但加上进位来的数以后就等于或大于10，那么它们的积的位数就等于两个因数的位数之和。如（1）、（3）式。
　　②如果两个因数的最高位上的数的积小于10，而且加上进位来的数以后仍小于10，那么这两个因数的积的位数就比两个因数的位数的和少1。如（2）式。
65.有一种计算乘法的格式叫“铺地锦”，你知道吗？
　　铺地锦是计算乘法的一种格式，它的方法是，先画方格的斜线，记入数字进行计算，形如织锦，因此称为“铺地锦”。原来是流行于阿拉伯的一种古算，15世纪传入我国。例如：467×34=15878。采用“铺地锦”方法计算，如图所示：上边横栏的三四是乘数，右边直行的四六七是被乘数。中间各方格斜划中的数字，是部分乘积，乘积的“个位数”写在斜线下角，乘积的“十位数”写在斜线上角。乘数与被乘数各个位上的数逐一相乘之后，再把同一斜线内各数相加，逢到进位时，横栏进入前格，直行进入上格。如图中，同一斜线内的四、二、一相加为七，在线下边写七，其次六、二、八、二相加为十八，在左边直行相应的格中写八，数一则进入上格与同一斜线内的一、二、一相加为五。这样自右起，依次写于下边及左边各格内，即得乘积一五八七八。
66.什么叫做“部分积”？
　　在乘法中，如果乘数是两位或两位以上的数，乘的时候，就要
　　用乘数的每一位去乘被乘数，每次乘得的积，叫做部分积，或叫做不完全积。
　　例如：
67.在乘法运算中，如果因数扩大（或缩小）若干倍，它们的积将会有什么变化？
　　积的变化规律主要有以下两条：
　　规律1如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或者缩小）同数倍。即：
　　如果6×5=30，那么（6×2）×5=60
　　又16×5=30，那么（6÷2）×5=15
　　一般地：
　　如果 a×b=c，那么（a×n）×b=c×n
　　如果a×b=c，那么（a÷n）×b=c÷n（a能被n整除）
　　规律2如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同数倍，那么它们的积不变。即：
　　如果5×6=30，那么（5×2）×（6÷2）=30
　　一般地：
　　如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c（b能被n整除）
　　举例：两个数相乘，如果一个因数扩大12倍，另一个因数缩小4倍，它们的积有什么变化？
　　解：设a×b=c
　　那么（a×12）×b=c×12（积的变化规律）
　　（a×12）×（b÷4）=（c×12）÷4（积的变化规律）
　　=c×（12÷4）（除法运算性质）
　　=c×3
　　（a×12）×（b÷4）=c×3
　　答：它们的积扩大3倍。
68.为了熟记乘法口诀，对于口诀表可以横着背，竖着背，为什么还要拐弯背？
　　为了便于说明，先列出乘法表。（这里只列出乘法式子，没有列出乘法口诀）
乘法表
　　按照乘法表的顺序横着读，同讲课的顺序一致，比较熟悉，容易记忆。竖着读，换一个方式，目的是为了达到熟记。拐弯读，指的是按照横行读某个数的乘法口诀，读到最后一句时，拐一个直角弯，继续读，读到该数与九相乘的口诀为止。例如，六的乘法口诀， 从一六得六读到六六三十六，再继续读六七四十二，六八四十八，六九五十四。又如，读完七七四十九，继续读七八五十六，七九六十三。这样读的目的是，当遇到商大于除数的除法时便于找商。因为在计算商大于除数的除法时，利用口诀（假如只是横着读的话），不大容易找到商。例如：28÷4，有的同学一看到是除以4，就去背4的乘法口诀，从一四得四背到四四十六，在教材里，4的乘法口诀就是这些，只有在7的乘法口诀里，才有四七二十八。如果指导学生经常练习拐弯读，就可以弥补这个缺陷了。
　　教学时，要使学生理解乘法口诀的意义，并采用各种练习方式使学生背熟，以便在计算乘、除法时能够灵活运用。
69.什么是“小九九”，什么是“大九九”？各有什么特点？
　　现在小学数学教材里使用的乘法口诀是45句的，就是平常所说的“小九九”。它的特点是,在每句口诀里表示相乘的两个数,第一个数总是不大于第二个数，遇到相乘的两个数相同时，该数的口诀就结束了。例如：5的乘法口诀，一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。至于五六三十，是在6的口诀里，五七三十五呢，在7的口诀里。
　　还有一种是81句的乘法口诀，它的特点是，不管哪个数的乘法口诀，都是从1到9。例如：5的乘法口诀，一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五，六五三十，七五三十五，八五四十，九五四十五。平常称这种口诀为“大九九”。
　　总之，“小九九”只有45句，便于记忆；而“大九九”呢，共有81句，便于试商。下面根据试商过程中应用乘法口诀的情况作简要说明。
　　（1）商大于除数的情况。例如：15÷3=5.24÷4=6，35÷5=7，48÷6=8，63÷7=9，……。当学生遇到48÷6=？的时候，他们总是先想6的口诀，可是在6的乘法口诀里，最大是“六六三十六”，找不到六八四十八。为了弥补“小九九”的这种缺陷，在指导学生读乘法口诀表时，除可以横着读、竖着读之外，还应该拐弯读。即
　　一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。
　　一六得六，……五六三十，
　　一七得七，……五七三十五，
　　一八得八，……五八四十，
　　一九得九，……五九四十五，
　　学生掌握了这种读口诀的方法之后，当遇到“45÷5”的时候，如果只用5的口诀，最多是五五二十五。按照拐弯读的方法，继续读出：五六三十，五七三十五，五八四十，五九四十五！得数是9。（2）商小于除数的情况。例如：63÷9=7，48÷8=6，35÷7=5，24÷6=4，15÷5=3，……。实践表明，学生见到除数是9，难免要先想到9的口诀，九几六十三呢？在“小九九”里，没有九几六十三，学生背得滚瓜烂熟的是“七九六十三”，不熟悉“九七六十三”。这样说来，采用“大九九”，确实是便于试商的
70.20句的进位加法表与36句的进位加法表各有什么特点？
　　为了便于分析，我们先把两种情况的进位加法表列出来。
20句的进位加法表
　　这个进位加法表，它的特点是，第一个加数总是不小于第二个加数。例如：
　　7＋4=11，7＋5=12，7＋6=13，7＋7=14。当计算到差小于减数的题目时，比较顺利，即正确率较高，速度也比较快。即11—7，因为学生熟悉7加4得11，所以很快得出4。又如，12—7，因为学生熟悉7加5得12，所以很快得出5。但是遇到差大于减数的情况时，学生的错误率较高，这是什么原因呢？我们看下面两例。11-4，4加几得11呢，在这20句的进位加法表里，只有7加4得11，而没有4加7得11；又如12—5，5加几得12呢？在这20句的进位加法表里，只有7加5得12，而没有5加7得12，学生不熟悉，计算起来错误率较高，速度也比较慢。为此，使学生熟悉36句的进位加法表是比较好的。
　　在36句的进位加法表里，不局限于“第一个加数不小于第二个加数”的范围，有9＋2=11，也有2＋9=11，有7＋5=12，也有5＋7=12。再遇到差大于减数的情况，就可以比较迅速地求出得数来了。
36句的进位加法表
71.被乘数末尾有“0”的乘法，怎样计算比较简便？
　　被乘数末尾有“0”的乘法，可以用乘数去乘“0”前面的数，再看被乘数末尾有几个“0”，就在乘得的数的末尾添上几个“0”，就是所求的积。这是一种简便计算方法。下面举出两例予以说明。
　　可以这样想：2400可以用“一”作单位，即2400个“一”；也可以用“百”作单位，即24个“百”。用3去乘得72个“百”，把这个结果写出来，需要在72后面添上两个0，来补足位数；而被乘数末尾的两个0直接落下来，正好是需要补足位数的两个0。如果被乘数末尾有三个0，可以看作以“千”为单位的数。……总之，依据这个道理，不管被乘数末尾有几个0，都可按照这个规律进行计算。
　　掌握这个规律，遇到被乘数是整十、整百、整千的口算题，都可以用上述方法进行简便计算。
　　例如：34000×2，可以先口算34×2=68，然后在68的末尾添上三个0，即可得出正确的积：68000。
　　应该在理解的基础上掌握这种简便计算方法，在条件符合时，无论是笔算还是口算，都可以显示出准确而又迅速的优点。
72.乘和乘以有什么区别？
　　两个数相乘有两种读法——“乘”和“乘以”。被乘数读在前用“乘以”，而乘数读在前则用“乘”，例如“5×4”读作“5乘以4”或读作“4乘5”。“4乘5”表示4个5相加，而“5乘以4”仍然表示4个5相加。其中“以”是“用”的意思或“拿”的意思。“5乘以4”可以解释为用4去乘5。
73.怎样利用加法交换律和加法结合律进行简便运算？
　　根据相加各数的具体情况，再根据加法交换律和加法结合律进行简便运算。例如：
　　（1）87+59+36＋13+64＋41
　　=（87＋13）＋（59＋41）+（36＋64）
　　=100＋100＋100
　　=300
　　（2）125+62+137+75+63+138
　　=（125+75）+（62+138）+（137+63）
　　=200+200+200
=600
74.怎样利用乘法交换律和乘法结合律进行简例运算？
　　在乘法运算中，根据相乘各数的具体情况，再根据乘法交换律和乘法结合律进行简便运算。
　　我们先看看利用乘法交换律使运算简便的情况。例如：
　　74×356=356×74
　　用竖式计算74×356就不如用竖式计算356×74简便。这是由于乘数是三位数，在计算过程中，必然出现三个“部分积”，如果被乘数和乘数交换位置，变成356×74，竖式中的“部分积”相应地减少了1个，部分积相加时，又减少了一个加数，当然最后的积还是不变的。这样简化了运算步骤。
　　又如：89×25×125×4×8
　　=89×（25×4）×（125×8）
　　=89×100×1000
　　=8900000
　　通过上题可以明显看出：利用乘法交换律与乘法结合律，运算简便得多了。特别是25×4=100，125×8=1000，脱式的过程都可以采用口算，既迅速又正确。
　　在四则混合运算中，乘法部分常常出现一些简便的因素，根据乘法运算定律，针对题目的具体情况，灵活地选择使用，就可以简化计算步骤，又保证了结果的正确。这对于锻炼学生灵活运用知识的能力，也是大有益处的。
75.怎样利用乘法分配律进行简便运算？
　　让我们先解答一道题，研究利用乘法分配律进行简便运算的情况。
　　例如：某校买了23张办公桌，单价是106元，求共用了多少钱？
　　这道题列式为：106×23，按照正常的计算方法，是三位数乘以两位数，用竖式进行计算时，过程是比较繁杂的，如果利用乘法分配律，则可以使运算变得简便。
　　106×23=（100＋6）×23
　　=100×23＋6×23
　　=2300＋138
　　=2438（元）
　　又如，遇到如下情况的题目，也可以利用乘法分配律进行简便运算。
　　29×7+55×7+16×7=（29＋55+16）×7
　　=100×7
　　=700
　　这道题里的三项都有因数7，针对这种情况，就可以利用乘法分配律进行简便运算。
76.一位数乘两位数的口算，要从高位开始，优点是什么？
　　一位数乘两位数的笔算是从低位开始的，但是，口算这类题的时候，又要求从高位开始。因为笔算时，先求出两位数中低位的积，这个积可以用笔记录下来，不需要默记，而每一步计算，都用笔记录，不容易出错。口算呢，从高位开始，“积”的出现是先高位后低位，和读数的顺序一致，同时，先默记同高位数的乘积，再加上同低位数的乘积，是比较容易求出两个部分积之和的。例如：
　　38×2，口算时，可以这样想：两个30是60，两个8是16，60加上16等于76。又如：29×3，口算过程是，三个20是60，三个9是27，60加上27等于87。
77.乘数是11的乘法，怎样计算比较简便？
　　一个数乘以11，等于这个数用1乘了一次，又用10乘了一次。用1乘了之后，仍得原数，用10乘了之后，所得的数是原数后面添一个“0”。形成了两个被乘数错位相加的情况。例如：
　　通过这几个例题可以看出：一个两位数乘以11，积的首位数字就是被乘数的十位数字，积的末位数字就是被乘数的个位数字，积的中间数字恰恰是被乘数十位数字与个位数字的和。这个速算的规律是：被乘数首尾数字不变，在中间插入首尾数字的和，就是所求的积。简单地概括为：“两头一拉，中间一加”。
　　上述这个基本的速算规律，在实际应用时，还要注意以下两点。
　　（1）当中间数字（首尾相加的和）满10时，要向前一位进1。例如：
　　（2）遇到多位数乘以11时，这个规律也是适用的，即：首尾拉开后，相邻两数依次相加，顺序将结果写在中间，遇到满10的时候，仍向前一位进1。现分别举例如下：
78.要学会计算多位数乘、除法，需要哪些基础知识？
　　需要掌握的基础知识主要有以下几点：
　　（1）要熟练掌握乘法口诀。乘法口诀是学习乘、除法运算的基础，整数乘法在计算过程中，都是根据一位数乘一位数的乘法口诀进行计算的，而除法是根据乘、除互逆关系求商，也离不开乘法口诀。因此，熟练掌握乘法口诀对于正确迅速地计算多位数的乘、除法关系很大。
　　（2）要掌握两个一位数相乘再加一位数的口算及两位数乘以一位数的口算能力。两个一位数相乘再加一位数的口算，在计算乘法时经常用到。两位数乘以一位数的口算，在除法试商过程中经常用到。当除数是三位数时，可以把这个三位数看成是几百几十，再用口算与试商的一位数相乘。
　　（3）要懂得乘法竖式中“对位”的道理及除法试商过程中又有乘又有减的道理。乘法竖式中的“对位”，主要指积的数位问题。
　　例题1：
　　例题2：
　　在例题1里，用乘数十位上的2去乘4时，得8，这个8是8个十，应该在积的十位上写8。在例题2里，1824除以24（如果按均分来解释的话），把1824平均分为24份，每份应该是多少。先说第一步，每份先分得7个十，24份就要分掉（24×7=）168个十，那么总数里还剩下多少呢，就要用到减法。这就是说，在除法试商过程中要用到乘法、加法和减法。
　　以上三点，是计算多位数乘、除法的基础知识，在教学过程中，应给以足够的重视。
79.除法是怎样定义的？
　　已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法中，已知的两个因数的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所得的因数叫做商。例如：91÷7=13，91是被除数，7是除数，13是商。符号“÷”叫做除号。
　　一般地说，已知整数a与自然数b，要求一个整数q，使q与b的积等于a，这种运算叫做除法，q叫做a除以b的商。
　　a除以b等于q，记作a÷b=q，读作“a除以b等于q”，或读作“b除a等于q”。
　　从除法的意义可知，除法是乘法的逆运算。
80.除法的运算性质是哪些？
　　除法的运算性质主要有以下几条；
　　（1）在无括号的乘除混合或连除的算式中，改变运算顺序，结果不变。
　　例如：36×7÷4=36÷4×7
　　36÷9÷2=36÷2÷9
　　一般地，a×b÷c＝a÷c×b（a能被c整除）
　　a÷b÷c=a÷c÷b（a能被bc整除）
　　这条性质也适用于含有三个以上的数的算式。例如：37×45×11÷15=37×45÷15×11。
　　应用这条性质进行计算时，要注意整除的条件，就是使变化后的算式中的除法能够整除。例如：40×9÷18×7，可以变成40×9×7÷18，而不能变成40÷18×9×7，因为40不能被18整除。
　　（2）一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。这条性质可以简称为“数乘以商的性质”。
　　例如：2×（75÷15）＝2×75÷15
　　或

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