资源简介

十、几何初步知识
279．什么叫做几何学和几何图形？
　　几何学是数学的一门分科，它是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学，也就是研究现实客观世界空间形式和数量关系的一门科学。
　　在我们的周围世界里，各种物体都具有形状、大小和相互之间的位置关系。例如：课桌的桌面是长方形的，魔方的每个面是正方形的，各种车轮的形状是圆的。魔方有大小之分，魔方的面的大小也是不一样的；汽车有大小，自行车也有大小，同样是车轮，大小也不相同。还应该看到，物体与物体之间，有着相互位置关系。例如：上下关系、前后关系和左右关系等。
　　公元前338年，希腊数学家欧几里得总结了劳动人民在实践中获得的几何知识，并加以系统整理，按照图形在平面或空间的形式，在几何学中分出了“平面几何”和“立体几何”两个分支。
　　由于几何学是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学，根据研究结果加以抽象概括，便产生了几何图形。几何图形是由点、线、面结合而成的，也是点、线、面的集合。一个图形所有的点，都在同一平面内，这样的图形叫做“平面几何图形”，如长方形、正方形、三角形、梯形和圆等图形，都是平面几何图形。如果一个图形的点不全在同一平面内，这个图形就叫做“立体几何图形”，如长方体、圆柱体和圆锥体等图形，都属于立体几何图形。
280．什么叫做点、线、面、体？
　　点：在平面上只有位置，没有大小（即没有长、宽、高），不可分割的。线和线相交于一个点。也可以理解为“点”是“线”的界限。
　　在几何中，用大写字母表示点。如，图中的A点、B点、C点。
　　线：如果两个面相交，就会交出一条线来。也就是面和面相交于线。一张纸对折起来的痕迹就是“线”。也可以理解为“线”是“面”的界限。
　　线有直线和曲线等。如：长方体相邻的两个面相交于一条线（也就是长方体的一条棱），就是直线。圆柱体的侧面和一个底面相交的一条线，就是曲线。
　　线只是面与面相交的界限，它没有大小（即粗细），只有长短，或者说，线只有长，而没有宽和高。
　　面：任何物体都占一定的空间，都是用它的表面和周围分割开来。因此，可以说“体”是由“面”围成的。如：课本的封面、黑板的面、粉笔的截面、水桶的侧面和底面等都是“面”。也可以理解为“面”是“体”的界限。
　　由于面是物体的表面，如果放弃物体的本身，只单独想象物体的表面，这样的面就是几何的面。几何里的面是没有厚度的（即：高），所以，面只有长和宽，而没有高。
　　体：当我们只研究一个物体的形状、大小而不研究它的其它性质（如颜色、重量、硬度等）的时候，我们就把这个物体叫做几何体，简称“体”。例如：一块砖与一个和砖完全一样的纸盒，虽然它们的颜色、重量、硬度以及制作材料都不同，只要它们的形状、大小都相同，就可以认为它们是完全相等的两个几何体。就上述的砖和纸盒来说，它们是两个相同的长方体。
281．直线、射线和线段有什么不同？
　　直线、射线和线段是易于混淆的三个概念，它们之间也是有联系的，直线是基础，射线和线段是直线概念的发展。它们也是有区别的，这是它们之间的主要方面。
　　首先看直线，一点在空间沿着一定方向和相反方向运动，所成的图形就是直线。一张纸的折痕、双手拉紧的线，都给人以直线的形象。我们把直线看作可以向两方无限延伸的，直线是无头无尾的，即是没有端点的。
　　直线可以用表示它上面任意两点的两个大写字母来表示。例如，直线AB，或直线BA；也可以用一个小写字母表示一条直线。例如，直线l（如下图）。
　　经过一点，可以画无数多条直线，但是,经过两点却只能画出一条直线，这就是直线的基本性质。
　　除此之外，两条直线相交，只有一个交点。
　　其次看射线，在直线上某一点一旁的部分叫做射线。这一点叫做射线的端点。射线的另一端是可以无限延伸的，因此，没有端点。射线只有一个端点；是一条半直线。类似探照灯光和手电筒所射出的光线，都可以看作射线的实际例子。
　　射线通常用表示它的端点和射线上另外一点的两个大写字母来表示，并且把表示端点的字母写在前面。例如，以点O为端点的射线，可以在射线上再取一点A，记作：射线OA（如图）。
　　最后再看线段，直线上任意两点间的部分叫做线段。具有一定长度的拉直了的细绳，可看作线段的实际例子。线段是有长短的，因此可以进行度量。
　　线段通常用表示它的两个端点的大写字母来表示。例如，线段AB，或者线段BA。也可以用一个小写字母表示。例如，线段a（如下图）。
　　在连结两点的所有线中，线段最短。这就是线段的基本性质。
282．什么叫做“角”？
　　几何中所指的“角”的定义是：从一点画出的两条射线所组成的图形，叫做“角”。这里所说的点（即两条射线的端点），叫做角的“顶点”，构成角的两条射线，叫做角的“边”。
　　角的大小与两边的长短无关，只与角两边的相互位置关系有关。这一点，在初学时很容易混淆，必须引起注意。
　　角用符号“∠”来表示。
　　如：
　　从图2中可以看到：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
　　一个角一般有以下三种表示方法：
　　（1）用“∠”与三个大写字母表示角。
　　如：
　　图3中的角记作：∠AOB；
　　图4中的角记作：∠BOC，∠AOB，∠AOC。
　　（2）用“∠”与一个大写字母表示角。
　　这里所指的一个大写字母，应该是角顶上的字母。而且这种用一个大写字母表示角的方法，只适用于单个的角。如图3，用∠O来表示，如果是具有共同顶点的两个或两个以上的角时，则不能用这种方法来表示角。如图4，如果用∠O来表示，就表述不清到底∠O表示哪个角。
　　（3）用“∠”与一个小写希腊字母或一个数字表示角。
　　例如：下图中的角分别记作：∠1、∠2、∠α、∠β。
283．几何中的角可分为哪几种？
　　（1）周角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到这条射线回到它的原来的位置时，就形成了一个周角。
　　如图
　　图中的OA绕它的端点O．按逆时针方向旋转，转到这条射线又回来的位置，形成了一个周角。一个周角等于360°，一个周角是一个平角的2倍。
　　（2）平角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到和原来位置成为一条直线，这时所成的角，叫做平角。
　　如图
　　图中的射线OA绕它的端点O，按逆时针方向旋转，转到射线OB的位置上（射线OA与射线OB构成一条直线），形成一个平角。
　　一个平角等于180度，记作180°。
　　（3）优角：一个大于平角又小于周角的角，叫做优角。优角在小学数学教材中没有出现，但在教学中常常遇到学生提出这样的问题：比周角小又比平角大的角叫什么角？ 181°的角是什么角等等。
　　如图
　　优角大于180°，小于360°。
　　（4）直角：等于平角一半的角，叫做直角。
　　如图
　　直角通常记作“RT∠”。直角的大小通常用d来表示，这样，平角等于2d，周角等于4d。
　　（5）钝角：一个比平角小又比直角大的角叫做钝角。
　　如图
　　钝角的度数大于90°，小于180°。
　　（6）锐角：小于直角的角叫做锐角。
　　如图
　　锐角小于90°。
　　（7）余角：当两个锐角∠AOB与∠BOC之和等于一个直角∠AOC时，其中一个角∠BOC叫做另一个角∠AOB的余角。这两个角叫做互为余角。
　　如图
　　（8）邻角：当两个角有一个公共的顶点，有一条公共的边， 这两个角另外两条边在公共边的两侧，这两个角叫做互为邻角。
　　如图
　　图中的OC是∠AOC与∠COB的公共边，∠AOC是∠COB的邻角；∠BOC也是∠COA的邻角。
　　（9）补角：两个角的和等于平角，这两个角叫做互为补角。也就是说，其中任一个角是另一个角的补角。
　　如图
　　图中的∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角，或者说，∠1与∠2互为补角。
　　（10）对顶角：把一个角的两边分别向相反方向延长，这两条延长线所夹的角，叫做原角的对顶角。
　　如图
　　图中的∠AOD与∠BOC、∠AOB与∠DOC；
　　两对顶角是相等的。图中的∠AOD=∠BOC；∠AOB＝∠DOC；。
　　（11）三线八角：
　　两条直线被第三条直线所截，所得的
　　八个角，叫做三线八角。
　　图中的l1、l2、l3 和∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8就是三线八角。按上述
　　八个角的相互位置，给以下列不同名称：
　　①同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角。
　　如图中的∠1与∠5、∠2与∠6、∠4与∠8、∠3与∠7都是同位角。
　　②内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角。
　　图中的∠6与∠6、∠4与∠5都是内错角。
　　③外错角：如果两个角都在两直线的外侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做外错角。
　　图中的∠1与∠8、∠2与∠7都是外错角。
　　④同旁内角：如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角。
　　图中的∠3与∠5、∠4与∠6都是同旁内角。
　　⑤同旁外角：如果有两个角都在两条直线的外侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁外角。
　　图中的∠1与∠7、∠2与∠8都是同旁外角。
284．垂直和垂线有什么不同？
　　垂直和垂线是两个不同的概念。垂直的含义是：两条直线相交成直角，这两条直线叫做互相垂直。
　　图中的直线AB与直线CD相交于O，并且它们所成的角等于90°，因此，直线AB与CD互相垂直。
　　在两条相互垂直的直线中，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。
　　垂直通常用符号“⊥”来表示。如图中的AB垂直于CD，可记作AB⊥CD，读作AB垂直于CD。有时为了把垂足也表示出来，也可以写作 AB⊥CD于O，读作： AB垂直于CD于O点。
　　垂线还具有以下两个性质：
　　（1）经过一点且只有一条直线垂直于已知直线；
　　（2）从直线外一点到这条线上的各点所连结的线段中，和这条直线垂直的线段最短。
　　画垂线时的要点是什么？
　　通常画垂线所借助的工具有两种：一种是借助“三角板”画垂线；另一种是借助“直尺、圆规”来画垂线。
　　用三角板画一条直线的垂线，一般所给的条件有两种：
　　（1）过直线外一点画这条直线的垂线。
　　（2）过直线上的一点画这条直线的垂线。
　　如图：
　　例如：已知点P是直线AB外的一点，用三角板过P点作PO垂直于AB。
　　如图①，把三角板一条直角边靠在直线AB上（即把三角板的一条直角边与直线AB重合），并沿AB移动，使另一条直角边靠上P点，固定住三角板，并用铅笔沿着这另一条直角边画一条直线PO，直线PO与直线AB交于O点，这样，PO就是直线AB的垂线。
　　用一个三角板作垂线时，往往在接近垂足O点处的一段不容易作得很好。可以采用另一种方法，如图②所示：用两个三角板，把一个三角板（如虚线中的三角板）先固定住，然后把另一个三角板与它靠紧，再拿去第一个三角板，固定住第二个三角板，用铅笔沿着第二个三角板的一条边（靠上P点的一条边）画一条直线PO。这种方法的关键是第二个三角板靠P点的一条边与直线AB相交，因此，在垂足O处，可以画得准确些。
　　又如：已知点P是直线AB上的一点，用三角板过P点作PC垂直于直线AB。
　　如图：
　　如图①，把三角板的一条直角边靠在直线AB上，沿着AB移动，使另一条直角边靠上P点（即直角顶点靠上P点）时，把三角板固定，并且用铅笔沿这另一条直角边画一条直线PC与直线AB相交于P点，则PC是AB的垂线。
　　与上例相同，也可以按图②所示，用两个三角板，当第一个三角板的一条直角边靠在直线AB上，沿AB移动到另一条直角边靠上P点时，固定住三角板，把第二个三角板的一条边与它靠紧，然后拿掉第一个三角板，用铅笔沿第二个三角板靠P点的一边画一条直线PC，则PC是AB的垂线。
　　用直尺和圆规画一条直线的垂线时，通常有两种情况：
　　（1）过直线AB外的一点P作AB的垂线。
　　（2）过直线AB上的一点P作AB的垂线。
　　如图：
　　如图①，以P为圆心，以大于P到AB的距离为半径作弧，交AB于E、
　
　PD，PD交AB于O，则PD是AB的垂线，垂足为O。
　　如图②，以P点为圆心，以任一长为半径作弧交AB于E、F；以E、
　
　　的垂线，垂足为P。
285．平行与平行线有什么关系？
　　平行与平行线是两个不同的概念，它们之间又有着内在的联系。
　　平行的概念是指直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系。当线与线、线与面、面与面平行时，其共同特点是没有公共点。但一组直线平行，除了直线之间没有公共点之外，这组直线必定在同一个平面上。通常用“∥”表示平行。
　　平行线的概念是指在同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线。
　　如图：
　　直线AB与CD，无论怎样把它们向两方无限地延长出去，这两条直线是永远不会相交的。类似这样的两条直线，就是平行线。
　　可记作 AB∥CD，读作AB平行于CD。
　　平行线具有以下几个性质：
　　（1）经过直线外一点，且只有一条直线平行于这条直线。
　　（2）在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
　　（3）两条平行线被第三条直线所截，它们的同位角相等。
　　（4）两条平行线被第三条直线所截，它们的内错角相等。
　　（5）两条平行线被第三条直线所截，它们的同旁内角互补。
　　（6）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也垂直于平行线中的另一条。
　　依据上述平行线的性质，可以对两条直线是否为平行线进行判定。
286．画平行线时的要点是什么？
　　画平行线时，通常借助的工具是直尺和三角板。其画法的要点是：先把三角板靠在直尺上（如下图）。
　　把三角板顺着直尺滑动，沿着三角板的其它一边，在滑动的不同位置上作两条直线（如图中AB和CD），这两条直线就是平行线。
　　一般情况下，需要通过直线外一点，作已知直线的平行线。其画法的要点是：先把三角板的一条边靠在直线上（如图）：
　　三角板所靠的直线为AB，再把直尺贴在三角板的另一边上，然后再把直尺与三角板一起沿着直线AB移动，使直尺边靠在点P上，这时，固定住直尺，把三角板沿着直尺推到与原直线AB靠在一起的一边的点P上，最后用铅笔在这条边上画一条直线CD，这样，直线CD过P点，并且与直线AB平行。
287．长方形、正方形、菱形都是平行四边形吗？
　　回答这个问题，首先明确一下平行四边形的意义及其性质，才能对此做出肯定或否定的判定。
　　平行四边形的意义是：平面上两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
　　
　
　　根据平行四边形的意义，图中四边形ABCD的两组对边 AB∥CD；AD∥BC，因此，四边形 ABCD是
　　个顶点时，要用大写字母依次顺序标出。
　　平行四边形的性质是判定平行四边形的主要依据。这些性质有：
　　（1）对边相等。即：AB=CD，AD＝BC。
　　（2）邻角互补。即：
　　∠A＋∠B=∠B+∠C=180°。
　　（3）对角相等。即：∠A=∠C；∠B=∠D。
　　（4）对角线互相平分。即：AO=OC；BO=OD。
　　根据上述意义和性质，可以对问题做出判定：
　　长方形两组对边分别平行，符合平行四边形的意义，也具备其性质，因此，长方形也属于平行四边形。同时，长方形的四个角都是直角。
　　正方形本身就是特殊的长方形，除了四条边都相等外，具备了长方形的一切特征，因此，正方形也属于平行四边形。
　　菱形的四条边也相等，也具备了平行四边形的意义和性质， 因此，也属于平行四边形。
　　一般情况下，为了突出本身的特征，上述三种图形分别叫它们为长方形、正方形和菱形，从实质上划分，也可以说它们都是特殊的平行四边形。
288．三角形应该如何分类？
　　由于三角形是由不在同一直线上的三条线段所围成的封闭图形，因此，三角形必有三条边和三个角。三角形通常用符号“△”来表示。
　　三角形的分类方法，一般是按“角”和“边”来划分的，角是根据内角的大小，边是根据边的长短。按内角大小来划分，可分为三类：
　　（1）锐角三角形：每个角都是锐角（小于90°）的三角形，叫做锐角三角形。左图中的三角形的三个角都是锐角，所以，△ABC是锐角三角形。
　　（2）直角三角形：有一个内角是直角的三角形，叫做直角三角形。左图中△ABC的内角A是直角，因此，这个三角形是直角三角形。
　　（3）钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形，叫做钝角三角形。左图中△ABC的内角A是钝角，因此，这个三角形是钝角三角形。
　　钝角三角形与锐角三角形的合称，叫做斜三角形。
　　如果按三角形的边的长短来划分，也可分为三类：
　　（1）不等边三角形：三条边互不相等的三角形，叫做不等边三角形。
　　左图中△ABC的三条边互不相等，所以，这个三角形是不等边三角形。
　　（2）等边三角形：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。左图中的△ABC三条边都相等，所以，这个三角形是等边三角形。
　　（3）等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。左图中的△ABC的两条边是相等的，即AB=BC，所以，这个三角形是等腰三角形。
　　由于等边三角形ABC中，AB=BC=AC，任选两边都相等，符合等腰三角形的条件，所以，等边三角形也是等腰三角形。
　　上述三角形分类情况如下图所示：
289．什么叫做“勾股定理”？
　　勾股定理是关于直角三角形边与边之间的关系的定理，即：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
　　如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为a、b，把斜边记为c，那么它们之间的关系式是：
　　a2+b2=c2
　　在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。
　　如图：
　　一般都把直角三角形中，短的一条直角边叫做“勾”，长的一条直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。所以，我国古代把边与边关系所形成的定理，叫做勾股定理（如图1）。
　　图（2）中的直角三角形ABC中，勾AB=3，股BC=4，弦AC=5。按照勾股定理，所揭示三条边的关系为：
　　32＋42=52
　　这就是我国最古的算书《周髀算经》（约成书于公元前一世纪左右）一开始就指出的：“勾三、股四、弦五”。这是直角三角形的三条边长都是整数时的例证。
　　古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前572年--公元前497年）证明了这个定理。所以在国外，常把这个定理称为毕达哥拉斯定理。
290．怎样推导三角形的面积公式？
　　在认识三角形特征的基础上，推导出三角形的面积公式，既是教学的自然发展，也是教学的重点。推导三角形的面积公式，一般有以下三种方法：
　　（1）将两个全等的直角三角形转化成长方形：
　　采用这种方法，可让学生动手实践，先准备一张长方形纸，事先量出它的长和宽，并计算出面积。在课堂上，用剪刀沿长方形的对角线剪开，形成两个全等的直角三角形。
　　如图：
　　通过剪完后的观察，启发学生找出长方形的长相当于三角形的底，长方形的宽相当于三角形的高，而长方形面积则等于两个三角形的面积。由此推导出公式：
　　
　　同理，也可以将两个全等的等腰三角形转化成正方形进行推导。
　　（2）将两个全等的锐角三角形转化成平行四边形：
　　这是一种通常的推导三角形面积的方法。先剪出两个全等的锐角三角形，将这两个三角形一正一反地组成平行四边形。然后对照进行推导。
　　如图：
　
　　转化成平行四边形后，可以观察到：平行四边形的底与三角形的底一样，平行四边形的高与三角形的高也一样，由于平行四边形是两个全等三角形组成，因此，平行四边形面积等于两个三角形面积。由此可推导出公式：
　　
　　也可以将两个全等的锐角三角形转化成长方形进行推导。
　　如图：
　　由图中看到：长方形的长和宽所对应的是三角形的底和高，长方形面积相当于两个全等三角形面积。其公式推导同（1）。
　　（3）将一个三角形转化成长方形：
　　
　　顶点处于同一水平线上，通过割、补即可将这个三角形转化成长方形。
　　如图：
　
　　这种图形割补的演示方法，也可以让学生动手实践进行剪拼。
　　从图形割补可观察到：三角形转化为长方形后，面积大小没有任何改变，长方形的长相当于三角形的高，长方形的宽相当于三角形底的一半（已割去
　　
　　长方形面积= 长 × 宽
　　 ↓ ↓
　　 三角形高 三角形底的一半
　　三角形面积= 高 × 底÷2
　　运用交换律得：底 × 高÷2
291．三角形的中线、三角形的中位线以及三角形的高线有什么区别？
　　这是三个完全不同的概念。三角形的中线是指：连结三角形的一个顶点和这个顶点对边的中点的一条线段，叫做三角形的一条中线。
　　下图中，D是BC的中点，AD则是△ABC的中线。
　　由于三角形有三个角，也必然有三个顶点，每个顶点都可以与这个顶点对边的中点连结成一条线段，因此，每个三角形有三条中线。
　　三角形的中位线是指：三角形两边中点的连线，叫做三角形的一条中位线。
　　左图中，D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，在D与E之间作一连线，则DE是△ABC的一条中位线。
　　三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。同理，三角形有三条中位线。
　　三角形的高线是指：从三角形的一个顶点到它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线。简称三角形的高。
　　左图中，AD⊥BC于D，线段AD是△ABC的一条高线。同理，三角形中有三条高线。应该注意的是：
　　（1）直角三角形中，有两条高线与直角边重合。
　　（2）钝角三角形中，有两条高线在三角形之外。如图中的钝角三角形ABC，的一个内角∠C是钝角，则AD是BC边上的高线，BE是AC边上的高线。但它们分别与AC、BC的延长线相交于三角形ABC的形外。
292．四边形应该怎样分类？
　　由四条线段围成的封闭图形叫做四边形。如果没有一组对边平行的四边形，就叫做任意四边形。
　　在小学中所涉及的四边形，都是凸的四边形，即：如果延长四边形的任何一边，而整个四边形都在这边延长线的同旁，那么这样的四边形就叫做凸四边形。
　　四边形在教材中包括以下八种（如下图）：
　　从上图中可以看到这些都属于四边形的范畴之内，但各自的名称不相同。1是任意四边形；2是平行四边形；3是长方形；4是正方形；5是菱形；6是直角梯形；7是等腰梯形；8是一般梯形。
　　如果把上面图形归类概括，则四边形可做如下分类：
　
293．怎样认识三角形的三个内角和是180°？
　　三角形的三个内角和是180°，这是三角形内角和的性质。在几何初步知识的教学中，这是一个重要的内容。要通过量一量、折一折、想一想和算一算等实践活动，让学生在掌握内容的同时，培养和发展学生的推理判断能力。
　　教学前，先布置课前作业，要求每个学生剪出六个三角形，即：按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；按边分有等边三角形、不等边三角形和等腰三角。形固定，但数据不做统一要求，这样剪出来的三角形是大小不一的。
　　教师谈话后，先让学生量一量。如：拿出一个直角三角形，让学生量出另外一个角的度数，并报出来，教师立即报出第三个角的度数，然后让学生进行测量核实（用量角器）。如此重复数次，就可以激起学习的兴趣和教学中的悬念。在此基础上，全体学生一起动手测量自制的六个三角形三个内角的度数，并把它们加起来，初步明确：无论是什么样的三角形，也无论它的边是多长和多短，它们内角和都是180°。
　　接着，让学生折一折，以丰富学生的感性认识。
　　方法（1）把三角形的三个内角沿虚线折过去，使其组成一个平角，证明三个内角和为180°。
　　如图：
　　方法（2）先画出一个平角，再将手中的一个三角形的三个角撕下来，拼在平角上，使三个角正好组成一个平角，进一步证明三角形三个内角和是180°。
　　方法（3）把一个正方形沿对角线折成两个三角形，因为正方形四个角都是直角（90°），它的内角和是360°，所以一个三角形的内角和是180°。
　　从以上的实践活动，再通过想一想，上升为理性认识，从而形成概念，这是一个抽象概括、归纳总结的过程。想的过程要通过语言的表述进行检验。
　　最后运用练一练的形式，以达到巩固概念、运用概念的目的。练习内容要分基本型和发展型两类。
　　如：基本型
　　①求出下面每个三角形中未知角的度数。
　　②已知三角形中∠1是45°，∠2是60°，∠3是多少度？发展型：
　　①三角形中 ∠是 62°，∠2是 29°，这
　　是一个什么三角形？
　　②三角形的三个内角和是180°，如果切去一个角，剩下图形的内角和是多少度？
294．梯形怎样分类？
　　梯形的定义是：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。梯形可分为一般梯形、直角梯形和等腰梯形三类：
　　（1）一般梯形：
　　梯形的各部分名称是这样的：互相平行的两条边，叫做梯形的底，通常上面的一条边称作上底；下面的一条边称作下底，不平行的两条边称作腰。
　　梯形底边和腰的夹角，称作梯形的底角。上底边和腰的夹角，称作上底角；下底边和腰的夹角，称作下底角。
　　图中的∠A和∠B是下底角；∠C和∠D是上底角。
　　梯形上、下底之间的距离，叫做梯形的高。图中的DE⊥AB，DE是梯形ABCD的高。
　　（2）直角梯形：
　　只有一腰垂直于底边的梯形，叫做直角梯形。图中的AD⊥AB，因此，梯形ABCD是直角梯形。
　　（3）等腰梯形：
　　两条腰相等的梯形，叫做等腰梯形。如图中，AD=BC，因此，梯形ABCD是一个等腰梯形。等腰梯形还具有以下两个性质：
　　①等腰梯形的上底角相等，下底角也相等。如图中，∠DAB=∠CBA，∠ADC=∠BCD。
　　②等腰梯形的对角线相等。如图中， AC= BD。
295．怎样进行梯形面积公式的推导？
　　梯形的面积公式是在平行四边形面积公式的基础上进行推导的。在此之前，已建立了梯形的概念，因此，在教学前，可先让学生自制两个全等梯形。铺垫性的准备练习后，拿出4平方厘米的测量板，用数方格的方法，算出梯形面积是多少。（梯形面积占满8个方格，每个方格是4平方厘米，梯形面积为32平方厘米。）
　　然后，让学生将事前准备好的两个全等梯形，一正放，一倒放拼在一起，组成一个平行四边形。提出点拔题：这个平行四边形的底是由梯形的什么组成的？②怎样求出平行四边形的面积？③怎样求出一个梯形的面积？
　　如图：
　　由此得出：梯形面积=（上底+下底）×高÷ 2。
　　也可以用一个梯形通过割、拼的方法，转化成平行四边形。
　　如图：
　　通过上图可以清楚地推导出：
　　
　　还可以通过对一个梯形的割、补，使其转化为三角形，运用求三角形面积的公式，对照观察，从而推导出求梯形面积的公式。
　　对转化后的图观察可知，三角形的底为梯形上底加下底的和，三角形的高相当于原来梯形的高。由此可以推导出梯形面积公式：
　
　　
　　在此基础上，抽象成求梯形面积的字母公式为：
　　S=（a＋b）×h÷2。
　　此时，可安排含有具体数字的求梯形面积的练习，以巩固对公式的运用。
　　当推导求梯形面积的第二个公式时，可先让学生在自制的梯形学具上，找出两腰的中点，画出中位线，然后把右下角剪下来，拼在右上方，使梯形转化为平行四边形。
　　如图：
　　割、补后，梯形已转化成平行四边形，面积大小未变。梯形的中位线相当于平行四边形的底，梯形的高也是平行四边形的高。
　　用字母公式表示为：S=m×h。
　　第二个公式除转化成平行四边形推导外，还可以转化成长方形进行推导。
　　有了前面的推导基础，这个推导过程，应以学生自己思考为主。
　　由此也可以推导出梯形面积公式：
296．什么叫做“圆”？
　　在小学数学教材中，圆是平面图形里最后出现的图形。建立圆的概念、明确圆的各部分之间的关系，对于解答圆的周长和面积等实际问题，无疑都是重要的前提条件。
　　圆的概念是：当一条线段绕着它固定的一端（下图中的O点）在平面上旋转一周时，它的另一个端点（下图中的A点）所画成的封闭曲线，叫做圆。
　　到了中学，圆还可以这样下定义：“平面内和一个定点的距离等于定长的点的轨迹”。或者说：“平面内和一个定点的距离等于定长的点的集合。”
　　定点叫做圆的圆心（图中的O点）；连接圆心和图上任意一点的线段，叫做圆的半径（图中的OA）；过圆心的弦，叫做圆的直径（图中的BC）；圆所包围的平面部分，叫做圆面。
　　其表示符号为：圆用符号“⊙”表示，以O为圆心的圆、记作“⊙O”，读作“圆O”；半径用字母“r”表示，直径用字母“d”表示。
　　通过对任意半径和任意直径的测量，可以发现：在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径等于半径的2倍。
　　其字母公式为：
　　圆是轴对称图形。即：把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就完全重合在一起。经过圆心的任意一条直线（即直径）都是圆的对称轴。
　　如图：
　　圆又是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
297．什么叫轴对称和轴对称图形？
　　轴对称和轴对称图形是两个有联系的概念。轴对称是指：对于两个几何图形，如果连结他们的对应点之间的线段均被某一定直线垂直平分，这样的两个图形叫做关于这一定直线对称。也就是说，这两个图形轴对称。这一定直线叫对称轴。
　　轴对称图形是指：如果一个图形关于一定直线的对称图形和它自身重合，这样的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做这一图形的对称轴。
　　轴对称图形并不仅限于圆，其他象等腰三角形、等边三角形以及菱形等，也都是轴对称图形。如图：
　　如图中，沿着直线MN对折后，三角形ABC全部重合到三角形 A＇B＇ C＇上，三角形 ABC与三角形 A＇B＇ C＇是轴对称图形，直线MN是对称轴。
　　又如右上图中，四边形ABCD沿对角线对折后，对角线两旁的图形能全部重合，所以，四边形ABCD是以对角线AC为对称轴的轴对称图形。
298．什么叫中心对称和中心对称图形？
　　中心对称和中心对称图形，这也是两个有联系的概念。中心
　　对称是指：对于两个几何图形，如果连结它们的对应点之间的线段的中点都和某一定点重合，那么这两个图形就叫中心对称，这一定点，叫做对称中心。
　　中心对称图形是指：如果绕着一个定点旋转180°后，两个图形中的每一个能够与另一个原来的位置互相重合，那么，这个图形叫做以这个定点为对称中心的中心对称图形。
　　如图：
　　图中的三角形A＇B＇C＇绕着定点O旋转180°后，与三角形ABC的原来位置互相重合，因此，三角形 ABC与三角形 A＇B＇C＇是以 O点为对称中心的中心对称图形。
　　除此之外，如果一个图形绕着某一点旋转180°后，能够和原来图形本身位置重合，就称这个图形为中心对称图形。这一点叫做对称中心。
　　以平行四边形为例：
　　图中的四边形ABCD是平行四边形，绕着对角线交点O旋转180°后，能够和原来图形位置重合，因此，平行四边形是以对角线交点O为对称中心的中心对称图形。
299．什么是弦和弧？
　　弦和弧是和圆有关的两个概念，这两个概念是不能混淆的。
　　弦的概念是：对于一个圆，连结圆上任意两点的线段叫做弦。弦里面包括直径，因为通过圆心的弦叫做直径，但弦里面又不限于直径，因为“连结圆上任意两点的线段”并不一定都通过圆心。
　　如图：
　　（l）（ 2）的图中， AB是圆 O上的任意两点，所以，线段 AB是圆O上的一条弦。所不同的是：图（1）中的这条兹是圆O的直径；图（2）中的这条弦则不是。
　　弧的概念是：圆上任意两点间的部分，叫做圆弧，简称弧。一般意义下，弧即指曲线，或曲线的部分。
　　弧用符号“”来表示，如：以点A、B为端点的弧，记作AB，为了避免混淆，有时也记作。见下图：
　　在图中，以AB为端点的弧，记作AB；以AC为端点的弧，记作AC。
　　对于同圆（或等圆）的两段弧，可以加以比较：通过运动，使它们的圆心相重合，两弧的端点也重合，则说这两弧是相等的。圆的任一直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。如上图，BC是圆的直径，以B、C为端点，把圆分成两个半圆。
　　对于圆弧，把小于半圆的弧，叫做劣弧，把大于半圆的弧，叫做优弧。
300．圆心角和圆周角一样吗？
　　圆心角与圆周角是两个完全不同的概念，前者与圆心有关，后者与圆弧有关。
　　圆心角是指：分别连结圆心到圆弧的两个端点所成的角，叫做这个圆弧的圆心角。
　　在同圆（或等圆）中，如果两个圆心角相等，则该圆心角所夹的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距（从圆心到弦的距离）也相等。
　　如图：
　　图（1）中，∠AOB的顶点 O即为圆 O的圆心，因此，∠AOB是圆心角。图（2）中OC⊥AB，OC是AB的弦心距。
　　圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。图（1）中，∠AOB的度数=AB的度数。
　　圆周角是指：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。对于一个圆周角，角的内部必然夹了一段圆弧，通常把圆周角说成是这一弧上的圆周角；角的外部也有一段圆弧，有时也把圆周角说成是这一弧所含的圆周角。
　　如图：圆中的∠BAC的顶点A在圆上，并且角的两边AB、AC都与圆相交，因此，∠BAC是圆O的圆周角。
　　圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。如
301．什么是圆和圆的位置关系？
　　圆与圆之间有以下五种位置关系：
　　（1）外离。
　　两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都各在另一个的外部时，叫做这两个圆外离。
　　图中两圆的半径分别为r、 R，圆心距为 d，则 d＞r＋ R外离（其中“”表示等价），即当d＞r+R时，两圆则外离；反之，当两圆外离时，则d＞r+R。
　　（2）外切。
　　两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。
　　图中的两圆半径分别为r、R，圆心距d，则d=r+R外切。
　　（3）相交。
　　两个圆有两个公共点时，这两个圆叫做相交。
　　图中两圆半径分别为r、R，圆心距为d，则R-r＜d＜R＋r（r≥r）相交。
　　（4）内切。
　　两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个公共点叫做切点。
　　图中两圆半径分别为r、R，圆心距为d，则d=R-r，（R＞r）内切。
　　（5）内含。
　　两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含（如左图）。右图为同心圆，同心圆则是内含的一种特例。
　　图中两个圆的半径分别为r、R，圆心距为d，则d＜R-r（R＞r）内含。
302．圆周长和圆周率有什么关系？
　　这是两个不同的概念。但计算圆周长时，必须明确什么是圆周率，否则，圆周长的公式将无法推导出来。
　　圆周长是指圆的长度，通常用字母C表示。圆周率是指圆的周长C与直径2r的比值。圆周率通常用希腊字母“π”来表示。
　　任何一个圆，不论是大还是小，当用直径去量圆周长时，就会发现圆周长都是它直径的3倍多一点，也就是说，圆的周长和直径的比是一个常数，这个常数是个超越数，或者说：圆周率π是一个无限不循环小数。
　　
　　由于π是无限不循环小数，它的真值是永远写不完的。
　　π＝3．1415926535897932384626……。在实用中，并不需要如此精密，在小学数学教材里，通常取圆周率的近似值为：
　　π＝3．14
　　在明确圆周率的基础上，可以推导出圆周长公式。如果圆周长为c，半径为r，直径为d，那么
　　c=2πr，或c=πd
　　在小学生的数学语言中，圆的周长公式一般概括为：圆的周长=直径×π
　　例（1）已知圆的半径为5厘米，求圆的周长是多少？
　　c= 2πr（或半径×2×π）
　　=2×3．14×5
　　=31．4（厘米）
　　答：圆的周长是31．4厘米。
　　例（2）已知圆的直径为20厘米，求圆的周长是多少？
　　c=πd（或直径×π）
　　= 20 × 3．14
　　=62．8（厘米）
　　答：圆的周长是62．8厘米。
303.π值是如何计算的？
　　我国古代的《周髀算经》里，对于π值曾得出“周三径一”的结论。古希腊的学者阿基米德用“逼近法”从圆内接正六边形，一直到正96边形，得
　　
　　我国魏晋南北朝时代的数学家刘徽，也应用“逼近法”用到圆内接正192边形，得到的π值为3．14，南北朝时代的数学家祖冲之（公元429--500年），计算出π的近似值在3．1415926--3．1415927之间，这是世界上计算π值精确到小数点后七位的第一个人，他还运用两个分数来表示
直到一千多年后的公元1573年，欧州人奥托才求出来。祖冲之在数学上的伟大贡献得到了世界的公认，为了纪念祖冲之这一贡献，将密率称为“祖率”。
　　1959年10月4日，苏联发射了第三枚宇宙火箭，第一次拍摄了月球背面的照片，并把月球上的“火谷”、“平原’都做了命名，把其中一个环形山定名为“祖冲之山”。由此可见，祖冲之在国际上所享有的崇高荣誉。
　　到16世纪，法国人韦达计算出的π值是小数点后10位。1615年德国人鲁道夫算到小数点后35位，即：
　　3．14159265358979323816264338327950288……。他死后，人们还把这个数值刻在他的墓碑上。以后英国人夏普算到小数点后72位，到1946年美国人连契算到小数点后808位，1973年有人算到小数位达100万位，1983年达到了16777216位。
　　最近一位美国科学家使用先进的巨型电脑“克雷-2”仅用了28小时，就算出了小数点后有2936万位的π值，创下了最新的世界记录。如果把这个惊人的位数全部记录下来，长度可达60千米，或者相当于50本500页的长篇小说。在这么长的数字中，出现了一些奇特的情况，即小数点后第710100位起，320465位起，都连续出现七个3--3333333；一千位中连续出现六个相同的数字的有37次。如 762位开始出现999999，从995998位起，出现23456789；但从2747956位起，又出现876543210。
　　至于π值还可以算到小数点后的多少位，还待人们继续耐心地算下去。
304．怎样推导圆的周长公式？
　　推导圆的周长公式是小学数学教学的重要内容之一。这是因为在这部分知识中，不仅要使学生认识圆的周长、理解圆的周长与直径之间的关系；还要掌握圆的周长公式，并能正确计算圆的周长。在这些教学要求中，推导并掌握圆的周长公式，无疑是教学的重点。
　　新课前，教师要安排必要的铺垫性练习，可从复习长、正方形的周长公式入手，结合提问做如下板书：
　　C＝2（a＋b）
　　在长方形周长公式的基础上，出示有关正方形周长的板书：
　　C＝4a
　　随着铺垫性练习教师可让学生以正方形对角线的交点为圆心，用事先准备好的正方形纸画一个最大的圆，然后量出这个圆的直径，并把这个圆剪下来，明确圆周长的概念，进而自然地导入新知识。
　　新知识的实践，讨论可大体上按下列步骤安排：
　　（1）动手实践：用直尺测量圆的周长。将图沿直尺滚动，并用小线围绕圆周，然后进行测量。测量结果填在下表内。
　　（2）激疑设问：教师可通过圆铅笔的截面、黑板画圆和抡动一端系有物品的小线，提问如何测量这些圆的周长，此时还可以通过投影器中的各种圆，启发学生观察圆的周长与直径的关系。
　　（3）概括小结：在组织学生进行同桌或分组议论的基础上，初步概括：圆有周长总是它直径的3倍多。同时指出：在同一个圆里，周长与直径的倍数是固定不变的。这个不变的倍数在数学中叫做“圆周率”。此时可简要介绍祖冲之在圆周率研究上的杰出贡献。
　　圆周率用字母π来表示，在小学中π值取小数点后两位，即3．14。
　　归纳圆周长公式：圆的周长=直径×π
　　抽象成字母公式：c=πd
　　或 c=2πr
　　（4）反馈练习：（略）
　　进行上述安排时，要求课前做好充分的准备，如教师的投影片等其他教具，学生的正方形纸、剪刀等各种学具。在推导圆的周长公式前，要明确建立圆周率的概念，在教学的全过程中，这是一个必须突破的难点。
305．圆面积与扇形面积有什么关系？
　　教材中先安排圆的认识和圆面积的求法，后安排扇形的认识和扇形面积的求法，这是因为扇形是圆的一部分，扇形面积也是圆面积的一部分。从知识上看，前者是整体，后者是部分；从方法上看，前者是基础，后者是发展。
　　圆面积就是指圆内部的大小。圆面积等于半径乘以半径再乘以π。
　　如果圆面积用S表示，半径用r表示，直径用d表示，那么抽象成字母公式为：
　　　
　　通过把一个圆分成若干等份（如16等份），如图甲，来分析圆面积的公式。
　　再把圆剪成16等块（如图乙），把“1”那一块分成两半，把它们拼成近似于长方形的图形（如图丙），这时“长方形”的长是原圆周长的一半，宽是圆的半径，由此可得出字母公式如下：
　　
　　长方形的面积=长×宽
　　=πr×r
　　=πr2
　　∴圆面积公式为：S=πr2
　　例（1）求半径为3厘米的圆的面积。
　　解：S=πr2
　　=3.14×32
　　=28.26（平方厘米）
　　或S=3×3×3.14=28.26（平方厘米）
　　答：这个圆的面积是28.26平方厘米。
　　例（2）求直径为3.5厘米的圆的面积。
　　　
　　答：这个圆的面积是9.61625平方厘米。
　　由于扇形面积是圆面积的一部分，一个圆的周角是360°，只要知道扇形圆心角的度数，扇形的面积就可以由圆的面积公式按照比例通过计算而得到。
　　根据圆的面积=πr2，扇形圆心角的度数用n°来表示，可以得出扇形面积公式为：
　　
　　例如：求半径r=6厘米，圆心角为60°的扇形面积。
　　　　
　　答：这个扇形的面积是18.84平方厘米。
306．同心圆和圆环有什么联系和区别？
　　这是两个不同的概念，但它们又有所联系，既同属于“圆”的范畴，在一定意义上，又有着整体与部分、前提与发展的关系。
　　同心圆是指：圆心相同，半径不相等的圆，叫做同心圆（如图甲）。
　　圆环是指：两个同心圆所夹的部分，叫做圆环（如图乙）。
　　如图甲所示：这两个圆由于具有相同的圆心，但它们的半径分别是r1和r2（r1≠r2），因此它们是同心圆。
　　图乙所示：这两个同心圆所夹的阴影部分，就是一个圆环，也叫做环形。
　　同心圆本身不涉及面积的求法，而圆环可以求出它的面积。由于圆环是两个同心圆的所夹部分，因此，圆环面积就等于大圆面积与小圆面积之差。即：
　　圆环面积=大圆面积-小圆面积
　　如果用字母来表示，则为：
　　字母公式中的r1和r2分别是大圆和小圆的半径。
　　例如：求一个大圆半径为3厘米，小圆半径为2厘米的圆环面积。
　　解：S=π（r21-r22）
　　=3.14×（32-22）
　　=15.7（平方厘米）
　　答：这个圆环的面积是15.7平方厘米。
307．怎样推导圆的面积公式？
　　推导圆的面积公式必须建立在明确圆的面积概念的基础上进行。因此，在教学开始时要先复习什么叫面积？然后过渡到对圆面积的认识。由于教材中关于圆的面积公式是通过割、拼的方法，使圆转化为近似长方形，所以，对长方形的面积公式也要进行必不可少的复习。以达到以旧引新、新旧结合，使新知识纳入旧知识的网络当中。
　　教学中，当明确圆的面积以后，可提出下列问题让学生思考后回答。
　　（1）怎样用字母表示求圆的周长公式？（C=2πr）
　　
　　（3）怎样求长方形的面积？（长×宽）
　　然后教师出示根据教材制作的圆的教具，演示过程可按以下步骤进行：
　　（1）先把圆分成两个半圆，每个半圆各分成8等份，每份分别按顺序编上号（如图）。
　　（2）再将三角形1分成两等份，然后将两个半圆分别散开，附在磁铁黑板上（如图）。
　　（3）在磁铁黑板上，让上半圆向下滑动，拼成长方形（如图）
　　演示至此，让学生观察这个长方形的长和宽各相当于圆的哪部分，然后结合前面提问所形成的板书进行公式推导。
　　
　　公式推导出后，可让学生质疑，然后转入应用式的反馈练习。
　　当把圆分成16等份后，每份是一个假设三角形时，学生可能概括出下列公式，教师要归纳引导，最后通过比较，统一到πr2上来。
　　（1）1个假设三角形的面积×16。
　　
　　（三角形的底）（高）
　　（2）1个假设平行四边形的面积×8。
　　　
　　（平行四边形的底）（高）
　　这个平行四边形由两个假设三角形组成。
　　（3）用1个假设的大三角形面积×4。
　　其公式为：
　　
　　（三角形底）（高）
　　这个大三角形由四个假设的小三角形所组成。
308．什么叫做割补法和分割法？
　　割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。
　　割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。
　　（1）平行四边形割补后转化为长方形：
　　（2）梯形割补后转化为平行四边形：
　　分割法是指：对一些不规则图形的面积，不能使用割补法，可以利用不规则图形的凹凸特点，将其分割成若干个可以计算的规则图形（如：长方形、三角形、梯形、……），先将各个规则图形的面积计算出来，然后再把这些规则图形的面积加在一起，总面积就是不规则图形的面积。这种计算不规则图形的方法，叫做分割法。
　　下面两个图形就采用了分割法。
　　（1）
　　（2）
　　左图ABDE是一个不规则图形，用分割法可分成一个平行四边形ABCDE，一个三角形BCD，把平行四边形和三角形的面积分别求出来，再把所得的结果加在一起，就是这个不规则图形的面积。
309．体积和容积有什么联系和区别？
　　体积和容积是两个含义不同的概念，但它们之间又有着联系。教材中的不少练习是把求体积和求容积放在一起安徘的，因此，学生极容易注意了计算公式的相同，而忽视了这两个概念的不同含义。
　　一个物体的体积是指这个物体所占有空间的大小。而容积是指一个物体内部空间能够容纳物体的体积。一个容纳物品的器皿，譬如一只木箱，从外面量起，确定长、宽、高，它所占空间的大小，就是这只木箱的体积；如果这只木箱从里面量起，确定长、宽、高（或深），里面所能容纳物体的大小，就是这只木箱的容积。
　　从里面量与从外面量，这当中在长、宽、高上都会出现长度上的差距，这是因为制作这只箱子用的是木板，木板本身有一定的厚度，从外面量，包括了木板的厚度；从里面量，就减去了木板的厚度。对这只木箱来说，从外面量，就是求它的体积；反之，从里面量，就是求它的容积。
　　计算体积和容积的方法是一样的，如果这个物体是长方体，无论是求体积还是求容积，其计算公式都是长×宽×高；如果这个物体是圆柱体，求体积或求容积，使用的公式也都是底面积×高。
　　例如：一个长方体木箱，长80厘米，宽50厘米，高40厘米，这只木箱里面长78厘米，宽48厘米，高38厘米，求这木箱的体积和容积各是多少立方分米？
　　体积：80×50×40=160000（立方厘米）
　　=160立方分米
　　容积：78×48×38=142272（立方厘米）
　　≈142立方分米
　　在区分体积和容积概念时，这两者所使用的单位有时是不同的。体积使用的单位是立方米、立方分米、立方厘米；容积有时（如液体）则使用升和毫升。它们相邻单位之间的进率都是1000；换算时，1立方分米=1升。
　　还应该看到，有些物体如一块长方体的砖，就只能计算它的体积，而不能计算它的容积。但用这些长方体的砖砌成一个游泳池，就可以计算游泳池的容积了。
310．如何区分长方体和正方体？
　　由六个长方形（相对的两个面也可能是正方形）所围成的六面体，叫做长方体。
　　交会于一个顶点的长方体的三条棱，叫做长方体的三度。长方体的三度在小学数学中，叫做长方体的长、宽、高。
　　长方体有六个面，各相对的两个面的面积相等。有十二条棱（就是相邻的面的交线），平行的四条棱的长度相等，有八个顶点（就是每三条棱相交的点），交会于顶点的三条棱，就是长、宽、高。
　　三度相等的长方体，叫做正方体。或者说，长、宽、高都相等的长方体，叫做正方体。
　　与长方体相同的是：正方体也有六个面、八个顶点和十二条棱。
　　与长方体不同的是：正方体的六个面都是全等的正方形，正方体的十二条棱的长度都相等。
　　正方体是特殊的长方体。
311．什么叫做圆柱体和圆锥体？
　　在小学数学教材中，对圆柱和圆锥都没有下明确的定义，为了更好地驾驭教材，作为数学教师，有必要较为确切地掌握圆柱和圆锥概念。
　　圆柱：以矩形的一边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转而成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱体，简称圆柱。圆柱可以看成一个矩形A1AOO1，统一边O1O旋转一周形成的旋转体（如下图）。O1O称为圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的两个圆面，叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面，叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆柱的母线。圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高。
　　当两个底面中心的连线垂直于底面时，这种圆柱叫做直圆柱。在小学里，所说的圆柱，一般都指直圆柱。圆柱的侧面展开成的图形是一个长方形。
　　圆柱具有以下几个性质：
　　（1）圆柱的轴过两个底面的圆心，并且垂直于两个底面；
　　（2）用垂直于圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的截面是和底面相等的圆；
　　（3）用一个过圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的截面是一个矩形，它的两条对边是圆柱的两条母线，另外两条对边，分别是两个底面圆的直径；
　　（4）用一个平行于圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的平面是个矩形，它的两条对边是圆柱的两条母线，另外两条对边，分别是两个底面圆的弦。
　　圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕轴旋转而形成的曲面所围成的几何体，叫做圆锥。旋转的轴叫做圆锥的轴，由另一条直角边旋转而成的圆面，叫做圆锥的底面。由斜边旋转而成的曲面，叫做圆锥的侧面。斜边无论旋转到任何位置，都叫圆锥侧面的母线。母线的交点叫做圆锥的顶点。从圆锥顶点到圆锥底面的距离，叫做圆锥的高。
　　上图所示圆锥，是以直角三角形ABO的一条直角边AO为旋转轴旋转而成的，因此，它是一个直圆锥，简称圆锥。
　　圆锥具有以下几个性质：
　　（1）圆锥的底面是一个圆，它所在的平面垂直于圆锥的轴；
　　（2）圆锥的轴经过顶点和底面的圆心，底面圆心和顶点的连线（如图中的AO）就是圆锥的高；
　　（3）圆锥的一切母线都交于圆锥的顶点，并且都相等，各条母线与轴的夹角都相等。
　　（4）用一个过圆锥的顶点，并且和底面相交的平面去截圆锥，所得的截面是一个等腰三角形。
　　（5）垂直于轴的圆锥截面是个圆。
312．怎样推导圆柱的体积公式？
　　学习圆柱的体积公式是在掌握圆柱的侧面积和表面积的基础上进行的。由于圆柱的体积公式与圆面积公式和长方体体积公式紧密相连，因此，在准备练习时，要复习圆面积公式和长方体的体积公式，对圆面积公式要让学生通过教具演示说明公式的推导过程，这是因为圆柱的体积公式与其推导过程是相似的。
　　新课开始时，在提出课题的同时，可安排学生看书自学，教材中有圆柱通过割补法转化为近似长方体的图示（如下图）。
　　自学时，教师要安排适当的自学提纲。
　　如：（1）圆柱是怎样转化为近似长方体的？
　　（2）转化后体积有没有变化？
　　（3）长方体的各部分相当于圆柱的哪几部分？
　　在自学、观察的同时，可围绕自学提纲组织学生进行同桌或小组议论。在此基础上，教师再进行用割补法将圆柱转化为近似长方体的教具演示。如果有条件的话，每个小组都应准备一份教具，让学生亲自动手实践，效果会更好。
　　在割补的过程中，要说明分得的底面扇形的柱体越多，拼起来越接近长方体。
　　演示和讨论中，要使学生明确：
　　（1）转化后的近似长方体，其底面积（近似长方形）与圆柱的底面积（圆）是一样的。可唤起学生对圆面积推导过程的回忆。
　　（2）转化后近似长方体的高，与圆柱的高是一样的。
　　（3）要从长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式来。
　　上述的三个问题一旦明确，教师就可结合准备练习时的板书，讲解沟通长方体体积公式与圆柱体积公式的联系。板书的顺序要先出现文字公式，然后再过渡到抽象的字母公式。
　　
　　公式推导出后，可安排应用公式的反馈练习。在练习时，要提醒学生注意以下几个问题：
　　（1）要认真审题（包括审图），看清单位和要求；
　　（2）条件中计量单位不一致时，要先统一单位，然后再按公式进行计算；
　　（3）要按规范的格式书写，并按要求答题。

展开更多......

收起↑