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四、数的整除性
153.为什么要学习“数的整除性”这部分知识？
　　“数的整除性”在小学数学教学中是一个重要的基础知识。说它重要是因为这部分知识所涉及的基本数学概念不仅多，而且相对集中，如果不能明确、清晰地掌握这些基本数学概念的区别和联系，就会引起混淆，而混淆也必然给以后的数学知识的学习，带来严重的后遗症。
　　例如：约数与倍数、质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数……这些概念在教学中几乎同时出现，但又有相反的内涵，因此，这些概念必须牢固而又明确地建立起来。
　　还必须看到：“数的整除性”是学习分数的前提和准备。在分数的四则运算中，约分和通分是一定要掌握的基础知识，而构成这些基础知识，是离不开“数的整除性”这部分内容的。
　　例如：不掌握求最大公约数的方法，就不可能进行正确、迅速的约分；不掌握求最小公倍数的方法，也无法进行正确、迅速的通分。从这个意义上讲，学习“数的整除性”是进一步学习数学的需要。
　　除此之外，学生在过去的学习中，已经知道整数与整数的和、差、积都是整数，但整数除整数时，商不一定是整数，有时会是小数，到底在什么情况下，整数与整数相除，商仍然是整数呢？这就需要根据“数的整除性”的知识来进行正确的判断了。
　　在未学习“数的整除性”前，学生是很难准确、迅速地判断出下列各式的商是不是整数。
　87459÷3 65246÷7
　　32846÷11 96375÷25
　　74321÷9 79432÷8
　　由于数字较大，一时难于做出正确的判断，一旦掌握了“数的整除性”这部分知识，这些问题就不难解决了。
154.整除和除尽有什么不同？
　　整除和除尽是两个既有区别又有联系的概念，也是两个易于混淆的概念。可以通过下面两道题的计算过程，来加以说明。
　　这两道题相同的地方是都没有余数，都可以说成是“除尽”。但这两道题又有不同的地方，（1）题中的被除数、除数和商都是整数，这种情况称作“整除”。按原题可以说成是896能被16整除。（2）题中的被除数、除数虽然是整数，但商不是整数，而是小数。这类情况就只能称作“除尽”，而不能称作“整除”。按原题可以说成36能被8除尽，而不能说成36能被8整除。
　　又如：3.5÷0.5=7 824÷41.2=20
　　这两个式子虽然都能除尽，商又是整数，但被除数和除数中， 至少有一个数不是整数，因此，这两个式子只能属于“除尽”情况，而不能称作“整除”。
　　由于在小学数学中，“数的整除性”所涉及的数一般都指的是自然数，不包括0，因此，其定义是：“数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a能被b整除。”
　　“整除”与“除尽”是两个不同的概念。“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。
　　“整除”是整数范围内的除法，而“除尽”则不限于整数范围，只要求余数为零。“整除”与“除尽”的区别和联系在于“整除”也可以称作“除尽”，但是“除尽”不一定是“整除”。“除尽”中包括了“整除”，“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。“除尽”与“整除”的关系可用右边集合图来表示。
155.“数的整除性”有哪些性质？
　　“数的整除性”的性质很多，涉及到小学数学内容的有以下几个：
　　（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的和也能被c整除。
　　例如：42÷7=6 56÷7=8
　　（42＋56）÷7=14
　　42能被7整除，56也能被7整除，那么42与56的和（98）也能被7整除。
　　反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，而其中一个数不能被c整除，那么a与b的和就一定不能被c整除。
　　例如：36÷9=4 83÷9=9……2
　　（36+83）÷9=13……2
　　36能被9整除，83不能被9整除，那么36与83的和（119）不能被9整除。
　　（2）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的差也能被C整除。
　　例如：88÷11=8， 66÷11=6
　　（88-66）÷11=2
　　88能被11整除，66也能被11整除，那么88与66的差（22）也能被11整除。
　　反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，另一个数不能被c整除，那么a与b的差就一定不能被c整除。
　　例如：91÷13=7 30÷13=2……4
　　（91-30）÷13=4……9
　　91能被13整除，30不能被13整除，那么91与30的差（61）不能被13整除。
　　（3）如果两个整数a、b都不能被c整除。那么a与b的和（或差）能或不能被c整除。这是一个不肯定的结论。
　　例如：65÷7=9……2 33÷7=4……5
　　（65＋33）÷7＝14
　　（65-33）÷7=4……4
　　65不能被7整除，33也不能被7整除，由于两个余数的和（2＋5=7），正好等于除数，因此，65与33的和（98）能被7整除；而65与33的差则不能被7整除。
　　又如：85÷11=7……8 38÷11=3……5
　　（85＋38）÷11＝11……2
　　（85-38）÷11=4……3
　　85不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85与38的和（123）或差（47）都不能被11整除。
　　（4）如果整数a能被自然数c整除，那么a的倍数（整数倍）也能被c整除。
　　例如：39÷13=3
　　（39×4）÷13=12
　　39能被13整除，39的4倍（156）也能被13整除。
　　（5）如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。
　　例如：有84、21、7三个数
　　84÷24=4 21÷7=3
　　84÷7＝12
　　84能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除。
　　反之，如果a、b、c这三个数中，a与b或b与c之间只要出现一个不能整除的情况，a就一定不能被c整除。
　　例如：有121、11、5三个数
　　121÷11=11 11÷5=2……1
　　121÷5=24……1
　　121能被11整除，但11不能被5整除，那么121就一定不能被5整除。
156.“倍”与“倍数”有什么区别？
　　“倍”与“倍数”虽然只有一字之差，却是两个不同的数学概念，只有真正明确它们各自的内涵和使用范围，才不会在理解和应用上造成混淆。
　　“倍”指的是数量之间的关系，它建立在乘法概念的基础上，在实际教学中，是从“个”和“份”逐步抽象出来的数学概念。
　　例如：白布8米，花布的长度有4个8米；或者说把白布8米看作1份，花布的长度是4份。这里所说的“个”与“份”，换成数学语言就是花布的长度是8米的4“倍”，花布的米数是8×4=32（米）。由此可见，“倍”的出现是从生活中的“个”与“份”逐步抽象出来的，是建立在乘法概念的基础上的。
　　“倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在“数的整除性”这个大概念的基础上，是在明确“整除”的前提下，与“约数”同时建立的。
　　例如：28是7的倍数，因为28能被7整除。28÷7=4，28是7的4倍，如果用乘法表示这三个数的数量关系，则7×4=28，7的4倍是28。由此可见，前者的“倍数”是严格限制在“整除”的范围内，而后者的“倍”只体现在乘法的概念当中，这是两者的明确区别。
　　在小学数学教材中，“倍数”的运用还有另一种情况，即在比例教学时，当阐述正、反比例关系所提到的“扩大或缩小相同的倍数”，这里所提到的“倍数”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范围内的概念。比例中所出现的倍数，所表示的是两个最相比而得到的数，这个数不一定是整数，也可能是小数。在研究“数的整除性”中的倍数，是不允许出现小数的。
157.约数可以等于因数吗？
　　在“数的整除性”中，约数和因数是两个重要的概念。在小学数学“教”与“学”中，接触因数是在整数乘法时，被乘数与乘数对于积来说，都是因数。约数是在“数的整除性”中出现的，它与倍数是在“整除”概念的前提下，同时建立起来的概念。按照教材中对约数所下的定义：“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。”假设把商定为c，其算式为：
　　a÷b=c 反之 b×c=a
　　仅从算式来观察，似乎约数与因数已经等同了，实际上并非如此。约数与因数是一个问题在不同范畴内的两种不同提法，两者之间既有联系，也有区别，从上面乘、除法关系的算式中可以看到它们之间的联系，但它们之间的区别则是主要的。
　　以6÷3＝2为例，6能够被3整除，也能被2整除，因此，对6来说，3和2都是它的约数。如果换成乘法算式：3×2=6，对于乘积（6）来说， 3和2都是它的因数。由此可见，只有在“整除”的范畴内，才能谈得上约数，而在乘法中，因数早已经存在了。
　　事实上，6除了能被3和2整除外，还能够被1和6整除，也就是说，6共有1、2、3、6四个约数。至于3×2=6，3和2固然是6的因数；但1×6=6，1和6也是6的因数，这是两个不同的乘法算式，因此，绝不能说成6有1、2、3、6四个因数，否则，1×2×3×6=36，其乘积就不是6，而是36了。
　　约数与因数的另一个区别，还在于各自的应用范围上。约数的应用范围是有限的，它只存在于“数的整除性”这部分知识当中，为学习“公约数”和“最大公约数”做好基础知识上的准备。因数的应用范围则比较广泛，无论整数、小数、分数、百分数，以及到中学后所接触到的负数，只要出现了乘法，就存在着因数的概念。
　　例如：在小数中2.4×0.8=1.92，2.4与0.8都是1.92的因数。
　　
　　在负数中（-5）×7=35，-5和7都是-35的因数。
　　凡此种种，都充分说明：约数与因数是两个不同的概念，是不能等同的。
158.质数一定是奇数吗？偶数一定是合数 吗？
　　质数与奇数，偶数与合数涉及到两组不同的数学概念。质数与合数是相互依存的，奇数与偶数也是相互依存的。因此，质数不一定是奇数，偶数也不一定是合数。
　　这是因为：一个数只有1和它本身两个约数的，这样的数叫做质数（也叫做素数）。而不能被2整除的数叫做奇数。这两个概念的内涵不同，一般来说，是质数的也都是奇数，如：3、13、29、37……。这些数既是质数，也都是奇数。但有一个数是例外的，这就是“2”。2的约数只有1和它本身，因此，它是质数；但2能被2整除，不符合奇数的定义，所以，2不是奇数。按照数学的严密性语言来说：“除2以外的质数都是奇数”，这样的判断才是正确的。
　　还必须看到，“除2以外的质数都是奇数”这个结论虽然正确无误，但反过来说“除2以外，奇数都是质数”则是错误的，如：27、35、143……这些数，虽然都是奇数，但这些数除了1和它本身这两个约数外，还有其他约数，如：27还有3和9，35还有5和7，143还有11和13，都不符合质数的定义，因此，这些数都不是质数。
　　偶数也不一定是合数，因为“能被2整除的数叫做偶数”，而合数的定义是：“除了1和本身，还有别的约数的，这样的数叫做合数。”这里“2”又是一个重要区分点，2是偶数，但不是合数，准确的说法是：“除2以外的偶数都是合数。”
　　与质数和奇数不能反叙述一样，如果说成“除2以外的合数都是偶数”也是错误的。例如：45、87、187……这些数都是合数，但都不是偶数。
159.最小的偶数是几？
　　偶数概念的出现是在“数的整除性”这部分知识里，在小学数学教材中“数的整除性”一般是限制在自然数范围之内的，由于0不是自然数，因此没有涉及到最小偶数是几的问题，但在“教”与“学”中，却常常遇到这个问题，并且说法不一。
　　按照“能被2整除的数叫做偶数”的定义，以及一个数个位上是0、2、4、6、8的数就一定能被2整除的规律，0能够被2整除，0也应该看作是偶数。
　　至于在“教”与“学”中所提出的“最小的偶数是几”的问题，必须限定一个范围，一般来讲，要区分三种情况：
　　（1）如果限定在自然数的范围内，由于已将0排除，最小的偶数是2；
　　（2）如果扩大自然数的范围，把0包括在内，最小的偶数是0。
　　（3）如果限定在整数范围内，这个“整数”概念包括负整数，由于没有最小的负整数，因此，在整数的范围内，也没有最小的偶数。
160.“12是倍数，4是约数”这种说法对不对？
　　研究“倍数”与“约数”的概念，都是在整除的前提下进行的，因此，它们当中的每一个概念都不是单独存在的，而是互相依存的。可以说：没有倍数就没有约数，没有约数也就没有倍数。按照“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数”的定义，通过下面的例子，就可以回答上面提出的问题了。
　　例如：15÷3=5
　　15能被3整除，15是3的倍数，3是15的约数。
　　24÷8=3
　　24能被8整除，24是8的倍数，8是24的约数。
　　由此可见，12÷4=3，12在能被4整除的情况下，只能说成12是4的倍数，4是12的约数。表述倍数与约数时，必须完整地说明：谁是谁的倍数，谁是谁的约数。如果笼统地说：“谁是倍数，谁是约数”则是孤立的肯定，而失去倍数与约数本身的意义。所以“12是倍数，4是约数”这种说法是不对的。
161.为什么判断一个数能不能被2或5整除，只要看这个数的个位数？
　　判断一个数能不能被2或5整除，在“数的整除性”这个范畴内是一个重要基础知识。教材中是通过自然数乘以2和乘以5的形式，对乘积个位上数的特征的观察，从而得出如下的结论：“个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。”和“个位上是0或者5的数，都能被5整除。”
　　有关这个结论的算理，可以通过下面数例加以说明。
　　例如：（1）364=300＋60＋4
　　（2）876=800＋70＋6
　　（3）4528=4000＋500＋20＋8
　　任何一个数都可以写成上面的形式，从中可看到：一个数千位、百位、十位上的数字，都表示整千、整百、整十的数，而整千、整百、整十的数都能被2整除（或者说都是2的倍数），这是整除的性质所决定的，那么这个数能不能被2整除的关键，就看个位上的数了。因此，只要个位上是0、2、4、6、8的数，这个数就一定能被2整除。个位上是0的数，必然是10的倍数，10能够被2整除，10的倍数也一定能被2整除。所以个位上是0的数，也一定能被2整除了。
　　又如：（1）485=400＋80＋5
　　（2）3765=3000＋700＋60＋5
　　（3）5970=5000＋900十70＋0
　　同理，千位、百位、十位上的数字，所表示的是整千、整百、整十的数，这些数均能被5整除（或者说都是5的倍数），关键是个位上的数，如果个位上的数能被5整除，这个数必然能被5整除。个位上是5的数，当然能被5整除，个位上是0的数，必然是10的倍数，10能被5整除，10的倍数也必然能被5整除。因此，看一个数能不能被5整除，只要看这个数个位上是0或者5，就能正确、迅速地做出判断。
　　个位上是0的数，是10的倍数，10能被2整除，也能被5整除。因此，个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除。
162.为什么看一个数能不能被3或9整除，就要看这个数各数位上数字的和能不能被3或9整除？
　　一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。这个规律可通过下面例子得到证明。
　　例如：判断3576，2549能不能被3整除。
　　3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）
　　∴3576能被3整除。
　　2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）
　　∴2549不能被3整除。
　　检验：2549÷3=849……2
　　又如：判4212、5282能不能被9整除。
　　4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）
　　∴4212能被9整除。
　　5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）
　　∴5282不能被9整除。
　　这个规律主要依据是：
　　（1）凡各位数字是9的数，一定能被3和9整除。如：
　　9÷3=3 9÷9=1
　　99÷3=33 99÷9=11
　　999÷3=333 999÷9=111
　　9999÷3=3333 9999÷9=1111
　　…… ……
　　（2）凡是10的倍数都可以用下列形式表示：10=9+1
　　100=99+1
　　1000=999+1
　　10000=9999+1
　　……
　　80=8×10=8×（9+1）
　　700=7×100=7×（99+1）
　　5000=5×1000=5×（999+1）
　　40000=4×10000=4×（9999+1）
　　……根据以上两点，可以通过下面的等式来说明354能不能被3整除的道理：
　　第一个括号里是9的倍数加上9的倍数，它是能被3或9整除的。因此，这个数能不能被3整除，只要看第二个括号的结果就可以了。而第二个括号里恰恰是354各位数字的和。所以，判断一个数能不能被3或9整除，只要看各位数字的和就可以了。
　　判断结果：3+5+4=12，12能被3整除，因此，354能被3整除。
　　由于9本身能被3整除，所以能被9整除的数，一定能被3整除。而能被3整除的数，却不一定能被9整除。仍以354为例，3+5+4=12，12能被3整除，却不能被9整除，因此，354能被3整除，不能被9整除。
　　用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
　　如：判断7485能不能被9整除。
　　7+4+8+5=24→2+4=6
　　各位数字继续相加
　　从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。最后得出的6，就是7485除以9的余数。即：
　　7485÷9=831……6
　　又如：判断3478能不能被3整除。　　
　　∵3+4+7+8=22
　　
　　∴3478不能被3整除，余数是1。因为22除以3商7后的余数是1，也就是3478除以3的余数1。
　　检验： 3478÷3=1159……1
163.怎样判断一个数能不能被6整除？
　　判断一个数能不能被6整除，主要看这个数能被2整除，又能被3整除，如果都能，那么这个数就能被6整除。因为把6分解质因数是2×3，或者说2与3的乘积是6，所以能同时被2和3整除的数，就能被6整除。
　　在判断一个数能不能被6整除时，可按照下列步骤进行：
　　（1）首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。这就符合了能被6整除的第一个条件。如果这个数不是偶数，那就排除了能被6整除的可能。
　　（2）然后按照能被3整除的数的特征，即：这个数各位数字的和是不是3的倍数，如果是3的倍数，这个数就能被6整除。
　　例如：判断654能不能被6整除。
　　654是偶数，自然能被2整除；654各位数字的和是6+5+4=15，15是3的倍数，因此，654能被6整除。
　　又如：判断274能不能被6整除。274是偶数，但它各位数字的和是2+7+4=13，13不能被3整除，因此，274不能被6整除。
　　如果用图来表示，下面两圆相交部分中的数就是既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。
164.怎样判断一个数能不能被7整除？
　　判断一个数能不能被7整除，不象判断一个数能不能被2、5、3整除那佯，根据这个数的数字特征就能直接做出判断。一般需要采用割减法。
　　割减法的过程是这样的：把一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被7整除。
　　例1：判断3164能不能被7整除。
　　因为14是7的倍数，所以3164能被7整除。
　　检验：3164÷7=452.
　　对于数字不大的数，使用割减法判断能不能被7整除是比较方便的。
　　这个割减的过程，并不需要笔算，口算就可以完成。关于割减法的算理，即：为什么要先割去末位上的数字，然后再从留下的数字中减去割去数字的2倍？这与能不能被7整除有什么关系？讲清这个算理，先观察一下21的倍数有什么特点。
　　从表中可以看到，21的倍数恰好是前位数字是末尾数字的2倍。那么，把一个数割去末位数字，再从前位减去末位数字的2倍，不正是减去21的倍数吗？如例1中割去84，不就是割去末位数字4的21倍吗？
　　由于21=7×3，21包含3个7，所以减去21的倍数，也就是减去7的倍数。由此可以看出：判断一个数能不能被7整除所用的割减法，其依据就是利用了21的倍数的特点。
　　如果一个数连续减去7的倍数，而余下的数也是7的倍数，那么原来这个数也必然是7的倍数，因而也能被7整除。
　　
　　这个过程不一定书写出来，也可以在口算中进行。
　　因为用割减法连续减去的是21的倍数，如果最后的结果还是21的倍数，那么这个数既能被7整除，还能被21整除，当然也能被3整除。
　　例2：判断2583，5264能不能被7和21整除。
　　2583能被7整除；也能被21整除。
　　检验：2583÷7=369
　　2583÷21=123
　　5264能被7整除，不能被21整除。
　　检验：5264÷7=752
　　5264÷21=250……14
165.怎样判断一个数能不能被4或25整除？
　　判断一个数能不能被4或25整除是比较容易的，这就是：如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就一定能被4或25整除。
　　例如：4750=47×100+50
　　928=9×100+28
　　3800=38×100
　　因为25与4相乘的积是100，100既能被4整除，又能被25整除，因此百位以前的数（100的倍数）可以不考虑，只要这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。由此可以得出：凡是一个数的末两位数都是0（必然是100的倍数），这个数就一定能被4或25整除。
　　4750的末两位数是50，50能被25整除，但不能被4整除，4750只能被25整除，而不能被4整除。
　　928的末两位数是28，28能被4整除，但不能被25整除，928就只能被4整除，而不能被25整除。
　　3800的末两位数都是0，说明3800是100的倍数，因此，3800既能被4整除，也能被25整除。
166.怎样判断一个数能不能被8或125整除？
　　一个数能不能被8或125整除，要看这个数的末三位，这个数的末三位是8或125的倍数，这个数就能被8或125整除。
　　由于1000=8×125，1000既是8的倍数，也是125的倍数，所以，凡是一个三位以上的多位数，只要末三位数都是0，这个数就一定能被8和125整除。
　　例如：
　　6048能被8整除，4375能被125整除，86000既能被8整除，又能被125整除，7594和7300这两个数，既不能被8整除，也不能被125整除。
　　这种根据一个数末三位数来进行判断的方法，其算理是：任何一个三位以上的多位数，都是由1000的倍数和一个三位数组成的。
　　例如：9864=9×1000+864
　　56750=56×1000+750
　　93000=93×1000
　　1000既能被8和125整除，1000的倍数也必然能被8和125整除，因此，一个数末三位左边的数可以不看，只要末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
　　看末三位数是不是8的倍数，还可以采用简便的方法：
　　（1）先看末位数是奇数还是偶数，倘若是奇数，可以肯定不是8的倍数，因为8的倍数永远是偶数。
　　（2）如果是偶数，用2去除末三位数，看所得的商是4的倍数，这个数就能被8整除。
　　例如：
　　
　　所以7104能被8整除。
　　
　　由于125本身就是三位数，在所有的三位数内，125的倍数只有有限的几个（125、250、375、500、625、750、875、1000），所以，只要熟记这几个数据，就可以准确、迅速地进行判断了。
167.怎样判断一个数能不能被11整除？
　　判断一个数能不能被11整除与判断一个数能不能被7整除一样，都没有直接判断的方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法有两种，其一是“割减法”，其二是奇偶位差法。
　　（1）割减法：判断被11整除的割减法与判断被7整除的割减法不同。即：一个数割去末尾数字，再从留下来的数中减去这个末位数字，这样一次一次地减下去，如果最后结果是11的倍数（包括得0），那么这个数就能被11整除；如果最后结果不是11的倍数，那么这个数就不能被11整除。
　　例如：4708……割去末位8
　　因此，4708能被11整除。
　　在判断时，对于数目不大的数，用口算就可以看出结果。
　　通过口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。
　　（2）奇偶位差法：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除。
　　例如①：判断283679能不能被11整除。
　　23-12=11
　　因此，283679能被11整除。
　　②判断480637能不能被11整除。
　
　21-7=14
　　因此，480637不能被11整除。
　　上述这种方法叫做奇偶位差法，算理可通过下列算式说明。
　　9÷9=1 9÷11（不能整除）
　　99÷9=11 99÷11=9
　　999÷9=111 99÷11（不能整除）
　　9999÷9=1111 9999÷11=909
　　99999÷9=11111 9999÷11（不能整除）
　　999999÷9=111111 999999÷11=90909
　　…… ……
　　由以上两算式中可以看到：全部由9组成的任何一个数，都能被9整除，但除以11则不一定，只有当9的个数成偶数时，才能被11整除，当9的个数是奇数时，则不能被11整除。
　　当一个数首尾数字相同，中间都是0，而且0的个数成偶数时，这个数也能被11整除。
　　如：11÷11=1
　　1001÷11=91
　　300003÷11=27273
　　……
　　通过用奇偶位差法的分解来判断8712能不能被11整除，从中也可以进一步理解这种判断方法的算理。
　　8712=8000+700+10+2 ①
　　偶 奇 偶 奇
　　偶位上的数可以写成：
　　8000=8×1000=8×（1001-1） ②
　　10=1×10=1×（11-1） ③
　　奇位上的数可以写成：
　　700=7×100=7×（99+1） ④
　　把②③④式代到①式中去。
　　第一个括号中所得的结果，肯定能被11整除，原数能不能被11整除，决定于第二个括号中所得的数，而第二个括号中的数，恰恰是奇位数字与偶位数字之差，由此而得出了用奇偶位差法来判断一个数能不能被11整除。
168.怎样判断一个数能不能被13整除？
　　一个数能不能被13整除，在判断上也没有直接的方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法是：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，这个差如果能被13整除，那么原来的这个多位数就能被13整除。
　　例如：判断383357能不能被13整除。
　　383357这个数的末三位数是357，末三位以前的数字所组成约数是383，这两个数之差是383-357=26。
　　∵26能被13整除，
　　∴383357也能被13整除。
　　又如：判断35062能不能被13整除。
　　35062这个数的末三位数是62，末三位以前的数字所组成的数是35，这两个数之差是：62-35=27。
　　∵27不能被13整除，
　　∴35062也不能被13整除。
　　这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除。
169.怎样判断一个数能不能被17整除？
　　判断一个数能不能被17整除，也没有直接的方法，间接的方法也使用“割减法”。不过这里使用的割减法与判断一个数能不能被7整除的割减法，不完全一样。它也是先割去原来数的末位数字，然后再从留下来的数中减去割去数字的5倍，倘若数字还大，就依照上述步骤继续割减，当最后的结果是17的倍数时，那么原来这个数就一定能被17整除。如果最后结果不是17的倍数时，那么原来这个数就一定不能被17整除。
　　例如：判断9894能不能被17整除。
　　最后结果是51，51能被17整除，所以9894也能被17整除。
　　又如：判断8765能不能被17整除。
　　由于80不能被17整除，因此，8765也不能被17整除。
　　这种判断一个数能不能被17整除的割减法的算理是：先割去末位数字，实际上是减去末尾数字本身的1倍，再从前位减去所割数字的5倍，实际上又减去了所割数字的50倍，加上已经减去的1倍，一共减去所割数字的51倍。因为51=17×3，51既是17的倍数，减得的结果是17或是17的倍数（包括0），都证明原来这个数一定能被17整除，反之，则不能。
　　如果要求判断的数不大，判断过程也完全可以用口算进行。
　　如：判断782和693能不能被17整除。
　　从上述口算过程可以得出：782能被17整除；693不能被17整除。
170.怎样判断一个数能不能被12、15、18、45整除？
　　判断一个数能不能被12、15、18、45整除都没有直接的方法，可以按照前面提到的判断被6整除的做法，从而找出一个间接的方法来。
　　（1）怎样判断一个数能不能被12整除。
　　因为12=3×4 a÷12=a÷3÷4
　　由此可以得出：如果一个数能被3整除又能被4整除，那么这个数就一定能被12整除。判断被3和4整除的数的特征，在前面已经做了解答，只要满足被3和4整除的这两个条件,这个数就一定能被12整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，末两位的数又是4的倍数，这个数就一定能被12整除。
　　例如：判断3084能不能被12整除。
　　3084的各位数字的和是3+0+8+4=15，
　　15是3的倍数，3084的末两位数是84，84又是4的倍数，所以3084能被12整除。
　　检验：3084÷12=257
　　又如：判断4734能不能被12整除。
　　4734的各位数字的和是4+7+3+4=18，18是3的倍数，但4734的末两位数是34，34不是4的倍数，所以4734不能被12整除。
　　检验：4734÷12=394……6
　　（2）判断一个数能不能被15整除。
　　因为15=3×5 a÷15=a÷3÷5
　　由此可以得出：一个数既能被3整除，又能被5整除，这个数就一定能被15整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，而它末位数字是0或5，这个数就能被15整除。
　　例如：判断8715能不能被15整除。
　　8715的各位数字的和是8+7+1+5=21，21是3的倍数，8715的末位数字又是5，所以8715这个数能被15整除。
　　检验：8715÷15=581
　　（3）判断一个数能不能被18整除。
　　因为18=2×9 a÷18=a÷2÷9
　　由此可以得出：一个数既能被2整除，又能被9整除，那么这个数就一定能被18整除。即：一个末位数字是0、2、4、6、8的数，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就能被18整除。
　　例如：判断52416能不能被18整除。
　　52416的末位数字是6，能被2整除，而52416的各位数字的和是5+2+4+1+6=18，18又是9的倍数，因此，52416一定能被18整除。
　　（4）判断一个数能不能被45整除？
　　因为45=5×9 a÷45=a÷5÷9
　　由此可以得出：一个数既能被5整除，又是9的倍数，那么这个数就一定能被45整除。即：一个数的末位数字是5或0，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就一定能被45整除。
　　例如：判断98865能不能被45整除。
　　98865的末位数字是5，可以被5整除，98865的各位数字的和是9+8+8+6+5=36，36又是9的倍数，因此，98865一定能被45整除。
　　使用上述4种间接判断方法，要特别注意一个问题，即：一个数所分解的两个数，这两个数必须是互质数，否则就会发生判断上的错误。
　　例如：12不能分解成2×6，18也不能分解成3×6。如果12=2×6，2与6并不是互质数，且6=2×3，这样，2就重复考虑了两次，结果就形成了能被6整除的数就能被12整除的错误结论。
　　如果18=3×6，3与6这两个数也不是互质数，6又可以分解成2×3，这样，3又重复考虑了两次。6是3的倍数，也会导致能被6整除的数就能被18整除的错误结论。事实上，如：246、462这些数，都满足能被3和6整除的条件，但却不能被18整除。
171.为什么三个连续数相乘的积一定是6的倍数？
　　三个连续数相乘的积一定是6的倍数，这决定于自然数列的排列规律。因为在自然数列里，所有的偶数都是2的倍数，也就是每隔一个数必是一个2的倍数，而每隔两个数，必是3的倍数。
　　例如：从11起自然数列的顺序是这样的：
　　从上面自然数列中可以看出：无论从任何一个数开始，三个连续数中，必定有2和3的倍数，而2与3的乘积是6，所以在三个连续数的乘积里，必定有6的倍数。或者说：三个连续数相乘的积一定是6的倍数。
　　例如：14、15、16三个连续数。
　　这三个连续数中，14和16是2的倍数，15是3的倍数，因此，这三个连续数相乘的积，一定是6的倍数。14、15、16相乘积是14×15×16=3360，而3360是6的560倍。
172.质数、质因数和互质数有什么区别？
　　质数、质因数和互质数这三个术语的概念极易混淆，因为它们都有“质”和“数”两个字。正确地区分这几个概念，对掌握数的整除性这部分基础知识，有着极其重要的意义。
　　（1）质数：一个自然数，如果只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（也称素数）。
　　例如：
　　1的约数有：1；
　　2的约数有：1，2；
　　3的约数有：1，3；
　　4的约数有：1，2，4；
　　6的约数有：1，2，3，6；
　　7的约数有：1，7；
　　12的约数有：1，2，3，4，6，12；
　　……
　　从上面各数的约数个数中可以看到：一个自然数的约数个数有三种情况：
　　①只有一个约数的，如1。因此，1不是质数，也不是合数。
　　②只有两个约数的（1和它本身），如2，3，7……
　　③有两个以上约数的，如4，6，12……
　　属于第②种情况的，叫做质数。属于第③种情况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。
　　（2）质因数：一般地说，一个数的因数是质数，就叫做这个数的质因数。
　　例如：18=2×3×3
　　这里的2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。这里需要注意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=3×6，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，则不能称做18的质因数。
　　（3）互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数（也叫互素数）。
　　例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35……。
　　上述这几组数，它们的最大公约数都是1，因此，它们都是互质数。在以上两个互质数中，如7、11和15这三个数，7和11是互质数，11和15是互质数，7和15也是互质数。这类情况，我们就叫做这三个数“两两互质”。但12、20和35这组数中，虽然它们也是互质数，但不是两两互质，因为12和35是互质数，至于12和20、20和35都不是互质数。
　　需要注意的是：不管两个数互质或者两个的数以上互质，这些数本身却不一定是质数，如5和7是互质数，它们本身都是质数；4和11是互质数，其中4并不是质数；8和9是互质数，但8和9本身都不是质数。
　　总之，质数是指一个数。譬如说：“2是质数，11是质数”等等。质因数虽然也是指一个数，但是它是针对另一个数而说的。譬如说：“5是35的质因数。”如果离开35，孤立地说：“5是质因数。”则是不妥当的。因此，质因数具有双重身份：第一必须是个质数；第二必须是另一个数的因数。
　　互质数同质数、质因数都不同，它不是指一个数，而是指除了1以外，再没有其他公约数的两个或两个以上的数。
　　由此可见：掌握质数、质因数和互质数这几个术语的概念，其中质数是基础，这三者之间既有联系，又有区别，要透彻理解和正确区分，才能防止混淆。
173.怎样判断一个数是不是质数？
　　正确而迅速地判断一个自然数是不是质数，在数的整除性这部分知识中，是一项重要的基本技能。
　　由于大于2的质数一定是奇数（奇数又不一定都是质数），所以，在判断一个自然数是不是质数时，首先要看它是奇数还是偶数。如果是大于2的偶数，这个数肯定不是质数，而是合数；如果是奇数，那就有可能是质数。在这种情况下，一般使用以下两种方法：
　　（1）查表法：
　　主要是指查“质数表”。编制质数表的过程是：按照自然数列，第一个数1不是质数，因此要除外，然后按顺序写出2至500的所有自然数，这些数中2是质数，把它留下，把2后面所有2的倍数划去，2后面的3是质数，接着再把3后面所有3的倍数划去，如此继续下去，剩下的便是500以内的全部质数。
　　最早使用上述方法来寻求质数的人，是古代希腊数学家埃拉托斯特尼，由于他在开始时，先把自然数写在一块蜡板上，把不是质数的数（合数）分别刺上一个孔，这样，在蜡板上就被刺上了许多象筛子一样的孔，后来，大家就把这种寻求质数的方法叫做“筛法”。
　　下面是用筛法寻找出的500以内质数表：
　　这类的质数表还可以编制成数字范围更大一些的，如1000以内质数表等。判断一个自然数是不是质数，如在表所规定的数字范围内，即可用查表的方法进行判断。
　　（2）试除法：
　　在手头上没有质数表的情况下，可以用试除法来判断一个自然数是不是质数。例如判断143、179是不是质数，就可以按从小到大的顺序用2、3、5、7、11……等质数去试除。一般情况下用20以内的2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数去除就可以了。如143，这个数的个位是3，排除了被2、5整除的可能性，它各位数字的和是1+4+3=8，也不可能被3整除，通过口算也证明不能被7整除，当试除到11时，商正好是13，到此就可以断定143不是质数。
　　对179试除过程如下：
　　179÷2=59……2
　　179÷3=66……1
　　179÷5=35……4
　　179÷7=25……4
　　179÷11=16……3
　　179÷13=13……10
　　179÷17=10……9
　　当179÷17所得到的不完全商10比除数17小时，就不需要继续再试除，而断定179是质数。这是因为2、3、5、7、11、13、17都不是179的质因数，因此，179不会再有比17大的质因数，或者说179不可能被小于10的数整除，所以，179必是质数无疑。
　　综上所述，用试除法判断一个自然数a是不是质数时，只要用各个质数从小到大依次去除a，如果到某一个质数正好整除，这个a就可以断定不是质数；如果不能整除，当不完全商又小于这个质数时，就不必再继续试除，可以断定a必然是质数。
174.怎样把一个合数分解质因数？
　　分解质因数在数的整除性这部分知识中，既是整除、约数、质数等基础知识的综合运用，也是后面学习最大公约数和最小公倍数的前提和准备，所以，在数的整除中,它具有承上启下的作用。
　　把一个合数分解质因数，就是把这个合数用质因数相乘的形式表示出来。或者说，把一个合数写成几个质数的连乘积。譬如36是合数，把36分解成因数相乘，会有以下几种情况：
　　（1）36=1×36 （2）36=2×18
　　（3）36=4×9 （4）36=3×12
　　（5）36＝6×6
　　在上面五种分解中，只有（2）式的2和（4）式的3是质数,其他都不是。要分解质因数就要把不是质数的数（1不是质数，也不是合数，排除在外），再分解成质数连乘的形式。如（3）式中的4和9都是合数，4可以分解为：2×2； 9可以分解为： 3 × 3。这样，把 36分解质因数，36=2×2×3×3。事实上，除（l）式外，（2）（4）（5）式继续分解，其最后结果也是同样的。
　　把一个合数分解质因数，具体过程可采用短除法。
　　例如：把420分解质因数。（从最小的质因数开始）
　　由短除式中可以看到，420有2、2、5、3、7五个质因数，420分解质因数的结果是：420=2×2×5×3×7。
　　在进行分解质因数时，最后的书写格式要特别注意，一定要把所要分解的合数写在等号的左边，如：24=2×2×2×3，105=3×5×7等，而不能写在等号的右边，如：2× 2×2×3= 24，这样就与乘法算式相混淆，而不是分解质因数了。
175.怎样找出一个合数所有的约数？
　　把一个合数所有的约数都找出来，对数目不大的合数，可以通过口算找出来，例如：9的约数有1、3、9；15的约数有1、3、5、15；21的约数有1、3、7、21等。对于数目较大的数，单纯靠口算，就有可能会遗漏中间的约数。通常可以先把这个合数分解质因数，再把各个质因数依次搭配结合，就可以找出它的所有约数。
　　例如：找出420的所有约数。
　　先把120分解质因数
　　420=2×2×3×5×7
　　（1）上面这些约数中有质数：2、3、5、7四个。
　　（2）由两个质数结合成的有：
　　2×2=4 2×3=6
　　2×5=10 2×7=l4
　　3×5=15 3×7＝21
　　5×7=35
　　有4、6、10、14、15、21、35七个。
　　（3）由三个质数结合成的有：
　　2×2×3=12 2×2×5＝20
　　2×2×7＝28 2×3×5＝30
　　2×3×7=42 2×5×7＝70
　　3×5×7＝105
　　有12、20、28、30、42、70、105七个。
　　(4）由四个质数结合成的有：
　　2×2×3×5=60 2×2×3×7=84
　　2×2×5×7=140 2×3×5×7=210
　　有60、84、140、210四个。
　　因此，420的约数有4＋7＋7＋4=22（个），再加上1和420本身，共24个约数。
　　除上述方法外，还可以先把一个合数分解质因数，然后把每个质因数的个数加1，连乘起来，所得的积就是这个合数的所有约数的个数，并且包括了1和它本身。
　　仍以420为例：
　　∴420有 24个约数。
　　∴360也有 24个约数。
176.为什么用短除法能求出几个数的最大公约数？
　　求几个数最大公约数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的约数找出来，然后再找出公约数，最后在公约数中找出最大公约数。
　　例如：求12与18的最大公约数。
　　12的约数有：1、2、3、4、6、12。
　　18的约数有：1、2、3、6、9、18。
　　12与18的公约数有：1、2、3、6。
　　12与18的最大公约数是6。
　　这种方法对求两个以上数的最大公约数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
　　12=2×2×3
　　18=2×3×3
　　12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看，12与 18都有公约数 2和 3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公约数。
　　采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出公约数和最大公约数。
　　从短除中不难看出，12与18都有公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
177.为什么用短除法能求出几个数的最小公倍数？
　　最小公倍数的定义是：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。求几个数最小公倍数的方法，可以用分别分解质因数的方法，先找出几个数公有的质因数，再找出各自独有的质因数，把这些质因数连乘起来，最后得出的积就是这几个数的最小公倍数。
　　例如：求12和20的最小公倍数。
　　12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60
　　把分别分解合在一起，就是短除法。这样做，不仅结果一样，还减少了中间计算的层次，通常采用的就是这种方法。
　　仍如上例：
　　短除竖式左边是这两个数的公有质因数，竖式下边是这两个数各自独有的质因数。根据两个数的最小公倍数一定能被这两个数整除，所以，最小公倍数必须包含这两个数里的所有质因数。竖式左边的公有质因数与竖式下边各自独有质因数的连乘积，才是最小公倍数的道理，就在于此。
　　在求三个数的最小公倍数时，两个数中共同的质因数要筛去，如果不筛去，所求出来的虽然也是这三个数的公倍数，但不是最小公倍数。所以，只要有两个数能被同一质数整除，就应该继续除下去，直到除到竖式下边的三个数两两互质为止。
　　例如：求15、30和50的最小公倍数。
　　∴15、 30和50的最小公倍数是5×2×3×5=150。
178.两个数的最大公约数与最小公倍数有什么联系？
　　两个数的最大公约数与最小公倍数是两个完全不同的概念，但它们之间又存在着一定的规律。以12和20的最大公约数与最小公倍数为例：
　　12和20的最大公约数是2×2=4；
　　12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。
　　12与20的积是12×20=240，它们的最大公约数与最小公倍数的积是 4 × 60=240。两个积正好一样，这并非巧合，而是一种规律，即：两个自然数的积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。通过原来算式的因数交换可以得到证明：
　　再如：45与105的最大公约数和最小公倍数为：
　
　　45与105的最大公约数是3×5=15；
　　45与105的最小公倍数是3×5×3×7=315。
　　45与105的乘积是45×105=4725，再看最大公约数与最小公倍数的乘积也是15×315=4725。由此可证明，两个数的最大公约数与最小公倍数是有联系的，这种联系是通过以上规律来体现的，这个规律如果用字母公式表示为：
　　一般地，a×b=（a，b）× [a，b]
　　依据这个规律，在求两个数的最大公约数和最小公倍数时，可以推导出新的公式。即：已知12与20的最大公约数是4，求它们的最小公倍数是多少？
　　最小公倍数=两数的乘积/最大公药数=12×20/4=60
　　如果已知12与20的最小公倍数是60，求它们的最大公约数是多少？
　　最大公约数=两数的乘积/最小公倍数=12×20/60=4
179.怎样用求最大公约数和最小公倍数的方法解答实际问题？
　　在实际生活中，有些应用题需要用求最大公约数和最小公倍数的方法去解答，用其他解应用题的方法将无济于事。
　　例1：将一块长24厘米，宽18厘米，厚12厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，可以锯成多少块？
　　由于同样大小的正方体木块，棱长都必须相等，这个棱长的厘米数，应该是长方体木料长、宽、厚厘米数的公约数，因为要求正方体的木块尽可能大，也就是要求正方体木块的棱长尽可能长，所以求的棱长厘米数必然是长方体木料长、宽、厚的最大公约数。
　　24、18和 12的最大公约数是2×3=6。
　　既然正方体木块的棱长最大长度是6厘米，再分别求出长方体木料的长、宽、厚各有几个6厘米，最后就可以求出锯出正方体木块的块数。
　　24÷6=4 18÷6＝3 12÷6=2
　　因此，锯成的块数是 4×3×2=24（块）
　　检验：
　　长方体木料体积：24×18×12=5184（立方厘米）
　　正方体木块体积：6×6×6=216（立方厘米）
　　可以锯成的块数：5184÷216=24（块）
　　答：可以锯成24块。
　　例2：在公共汽车站有三条汽车线，一路车每隔5分钟开出一辆，六路车每隔10分钟开出一辆，八路车每隔8分钟开出一辆。这三路汽车在同一时刻发车后，至少再过多少分钟，又在同一时刻发车？
　　这一、六、八路车在同地同时发车后，由于每路车发车时间的间隔不同，再次同时发车经过的时间，必然是5、10、8分钟的公倍数，根据题意要求，至少再过多少分钟，说明所求的就是5、10、8分钟的最小公倍数。
　　5、8、10的最小公倍数是2×5×1×4×1=40
　　答：至少再过40分钟，又在同一时刻发车。
　　最大公约数与最小公倍数应用题，在实际生活中应用比较广泛。例如，人数不同的教学班，分成人数相等的小组；行星运转轨道不同，在同一直线上开始运转，再次同时运转所需天数等问题，都需要用上述两种方法来解答。
180.怎样用“公倍数法”解“孙子问题”？
　　我国古代的《孙子算经》里，曾提出了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
　　翻译成现代语言就是：“现在有许多物品不知道是多少，三个三个地数余二个，五个五个地数余三个，七个七个地数余二个，问这些物品有多少个？”这个问题通常叫做“孙子定理”或“孙子问题”，它的解法很早就流传到国外，被称为“中国剩余定理”。
　　用公倍数法解这道题的思路是这样的：先考虑第一个条件，并使其余数为1，从第二、三个条件入手，5和7的公倍数是35，但35÷3的余数为 2，不是 1，而 35×2= 70， 70÷3的余数正好是1，也就是说：能被5、7整除，而被3除余1的数是70。
　　再考虑第二个条件，也使其余数为1，从第一、三条件入手，3和7的公倍数是21，21÷5的余数正好是1，这说明：能被3和7整除，而被5除余1的数是21。
　　然后考虑第三个条件，从第一、二条件入手，使其余数也是1， 3和5的公倍数是15，15÷7的余数也恰是1，这说明：能被3和5整除，而被7除余1的数是15。
　　因此，被5和7整除，而被3除余2的数是70×2=140；被3和7整除，而被5除余 3的数是： 21×3=63；被 3和 5整除，而被7除余2的数是15×2=30。把满足三个条件的数加起来，所得的和必然是具备被3除余2，被5除余3，被7除余2的特点。
　　140＋63＋30=233，这个结果是正确的，但不是唯一的，因为除数3、5、7的最小公倍数是105，233加上或减去若干个105，所得的结果仍然能满足题目中的全部条件。但减105时，在正整数范围内，差小于105就可以了。
　　如果原题最后一问加上“最少”两个字，即：“最少为几何？”则：233-105-105=23。这个23是满足题目条件的最小的一个数。
　　这个问题的解法，在明朝程大位《算法统宗》里，有如下歌诀：
　　三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
　　七子团圆正半月，除百零五便得知。
　　这个歌诀所说的计算步骤，与前面叙述过程一样，列出算式为：
　　2×70+3×21+2×15=233
　　233-105-105=23
　　检验：23÷3=7……2 23÷5=4……3
　　23÷7=3……2w
181.怎样解“九宫填数”问题？
　　“九宫填数“也叫“九方数”，古代称为“九宫算”。九宫填数是将九个有效数字填在九个方位格子里，要使每行、每列和每条对角线上的和都相等，即：横的三个数之和、竖的三个数之和与斜的三个数之和，都相等。在解这个题之前，先把九宫的方位问题明确了，以便讲行具体的阐述。
　　这个方位的确定与看地图的方位是一致的。由于要把1—9这九个数填在适当的格子里，这九个数之和是45，无论是横、竖、斜都是三个数，把45平均分成三行，每行三个数的和都是15（包括横、竖、斜）。每三个数的情况：横有3种，竖有3种，斜有2种，共8种。
　　这8种情况（将15分解成的）有：
　　（1） 1， 5， 9； （2） 1， 6， 8；
　　（3） 2， 4， 9； （4） 2， 5， 8；
　　（5） 2， 6， 7； （6） 3， 4， 8；
　　（7） 3， 5， 7； （8） 4， 5， 6。
　　在填数时，其顺序是先把“中数”确定，因为横、竖、斜这8种情况中，有4种情况都包含“中数”，上面8种组合中，只有“5”在4种中都出现了，因此这个中数是5无疑。
　　然后再确定四个角上的“角数”。由于每个“角数”向横、竖、斜发展，都会组成一组数，共三组，因此，每个“角数”必然是上面8组数中三组包含的同一个数。从8组数中观察，这样的数共有四个偶数，即：2，4，6，8。这四个偶数还不能随意填，因为斜着的三个数的和必须是15，这样，两个对角数的和也应该是10，有了这种条件限制，斜线上的三个数是2，5，8或4，5，6。但排列形式上，由于每个角数变换方位，会出现以下8种情况：
　　
　　“中数”和“角数”确定之后，只剩下“边数”的四个奇数了，由于横、竖三个数的和是15，现在已有了其中两个数，剩下的这个数就不难求出了。
　　上述填数的规律确定之后，如果任意指定填上九个连续自然数，那么上述的规律也同样适用。即：先确定“中数”，后确定“角数”和“边数”。这有两种情况：如果“中数”是奇数，那么“角数”必然是偶数，“边数”则是奇数；如果中数是偶数，那么“角数”必然是奇数，边数则是偶数。
　　例如：把下列各组数摆成“九宫数”：
　　（1）5，6，7，8，9，10，11，12，13；
　　（2）6，7，8，9，10，11，12，13，14。
　　（1）式中横、竖、斜各三个数的和为27；
　　（2）式中横、竖、斜各三个数的和为30。
182.什么叫辗转相除法？
　　辗转相除法是求最大公约数的另一种方法。具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
　　例如：求112和77的最大公约数。
　　辗转相除法的过程如下；
　　把112和77并列用77去除112，写好，用三条竖线隔商1（写在左边），余数开。35。
　　当最后余数是0时，辗转相除的过程已经完成，最后的除数7就是112和77的最大公约数。
　　辗转相除法的算理是根据：在a=bq+r，中，除数b和余数r能被同一个数整除，那么被除数a也能被这个数整除。或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数；如果反过来说，被除数与除数的最大公约数，就是除数与余数的最大公约数。
　　如果用辗转相除法求两个数的最大公约数时，最后的余数是1，那么这两个数就是互质数，或者说，它们只有公约数1。
183.什么叫哥德巴赫猜想和陈氏定理？
　　1742年，德国数学家哥德巴赫发现了这样的事实；每一个大于或者等于6的偶数，都是两个奇质数之和。例如：
　　6=3＋3 8=3＋5 10=5＋5
　　12=5＋7 14=7＋7 16=3＋13
　　18=5+13 100=3+97 1002＝5+997
　　哥德巴赫对许多偶数进行了检验，都证明这个论断是正确的，有人甚至一个一个的偶数进行验算，一直验算到三亿三千万个之多，也证明这个论断是正确的。然而自然数是无穷的，是不是对所有的自然数，这个论断都正确呢？在数学中还需要从理论上加以证明。
　　由于哥德巴赫自己无法证明，1742年他写信给当时有名的数学家欧拉，请他帮助做出证明。后来欧拉回信，认为哥德巴赫所提的问题是对的，不过他也无法证明。哥德巴赫所提的问题，直到现在还没能证明，因此，不能成为一条定律，只能是一个猜想。哥德巴赫所提的问题，就被称为哥德巴赫猜想，而这一猜想也成为世界著名难题之一。
　　二百多年过去了，这一难题的研究虽然有些进展，但迄今为止，还没有完全得到解决。
　　1920年挪威数学家布朗证明了：每一个很大偶数（或叫大偶数）是九个素数的积加上九个素数的积，简称“9＋9”。1924年法国的拉德巴哈尔证明了：每一个大偶数是七个素数的积加上七个素数的积，简称“7＋7”。随着研究的进展，“6＋6”、“5＋5”……最终还没有完全证明。
　　研究越前进，困难也越大。50年代以来，我国数学家不断在哥德巴赫猜想这一世界难题研究中，取得了良好的成绩。特别是1966年，我国数学家陈景润宣布他已经证明了：每一个充分大的偶数，都可以表示成一个素数加上两个素数的积；即：所谓的（1+2）。
　　例如：8=2+2×3 18=3+3×5
　　98=7＋13×7 1000=7+3×331
　　陈景润的研究成果是研究哥德巴赫猜想的最好的结果，引起了国际数学界的高度重视，对于陈景润的杰出贡献，国外数学家把（1+2）这个证明命名为“陈氏定理”。
　　（1+2）的证明是1973年正式公布的。哥德巴赫猜想这道世界难题的最终解决，还需要人们不断地探索和证明。
184.什么是弃九验算法？
　　弃九验算法又称九余数法。它是依据九余数的特点，用来检验加、减、乘、除四则运算是否正确的一种验算方法。
　　所谓弃九数，就是指：把一个数的各位数字相加（如果相加的结果大于九要减去九），直到和是一位数，这个数就叫做原来数的弃九数。弃九数也可以通过下列方法得到，即：把一个数中的数字9或相加得9的几个数字都划去，将剩下数字相加，得到一个小于9的数，这个数就是原来的弃九数。
　　例如：下列各数的最后数就是弃九数。
　　弃九验算法的实际应用是：
　　（1）检验加法时，如果各个加数九余数之和（如超过9再减去9的倍数）等于和的九余数时，计算结果可能就是正确的。
　　（2）检验减法时，如果被减数的九余数减去减数的九余数所得的差，等于差的九余数时，计算结果可能就是正确的。
　　（3）检验乘法时，如果被乘数的九余数与乘数的九余数之积的九余数，等于积的九余数，计算结果可能就是正确的；反之则是错误的。
　　由于等号两边的数字不一致，可以认定结果是错误的，正确结果应该是：3585437。
　　(4）检验除法时,可以用乘法逆运算的办法进行。即：商×除数=被除数。当商的九余数和除数的九余数之积的九余数，等于被除数的九余数时，计算结果可能是正确的，反之则是错误的。
　　这种弃九验算法的根据是：利用被9整除数的特征。一个数的弃九数就是这个数被9除后的余数（如果弃九数是0，说明能被9整除）。如果等号两边的余数相同，证明原来计算可能是正确的；等号两边的余数不相同，说明计算结果是错误的。
　　弃九验算法是一种并不十分精确的验算方法，它的局限性是：在遇到下列情况时，往往检验不出来计算结果的错误。
　　（1）如果在抄写时，数字颠倒了位置，如：837误抄成873。
　　（2）在数字中出现丢0或多0时，如：8406误写成846或84006。
　　（3）这种验算方法也可以适用于小数四则的计算，验算时也按上述整数四则的方法进行。但是，当小数点点错了位置时，也检验不出来错误的所在。
　　尽管如此，弃九验算法由于具有简便易行的特点，在一般情况下，较之用重复计算或逆运算的方法进行验算，可以省时省力，因此，这种验算方法还是有一定实用价值的。

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