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八．比和比例
239．“比”和“比值”这两个概念有什么联系和区别?
　　在除法中，两个数相除时，就叫做两个数的比。一般分为两种情况：
　　（1）比较同类量的倍数关系，表示其中一个数是另一个数的几倍或几分之几。
　　例如：红光小学有女教师40人，男教师12人。表示女教师与男教师人数的比是40∶12（或化简为10∶3），这也表示女教师人数是男教师人数
　　（2）两个不同类量相比，是表示一个新的量。
　　例如：总 价∶数量，表示单价。
　　路 程∶时间，表示速度。
　　总产量∶亩数，表示亩产量。
　　“比”是由前项∶后项组成的，而“比值”是前项除以后项所得的商。如：
　
　　由此可以看出：“比”和“比值”这两个概念是有区别的。但两者之间也是有联系的，因为没有前面的“比”，就不会有后面的“比值”。就一般而言，“比”和“比值”都是一个完整比的组成部分。
　　除此之外，还要看到“比”和“比值”也有着一致性。从广义上解释，两个数的比是两个数的商，这个商也是比值。如：
　　　
　　由于比中的比号相当于分数中的分数线，所以用比的形式表示，就是7∶
240．比、除法、分数这三者之间，有什么联系和区别？
　　在小学数学教材中，从除法到分数，又到比，这不仅是一个发展过程，三者之间也存在着内在的必然联系。在比的教与学中，揭示它们之间的联系，是极其必要的。
　　比的前项相当于除法中的被除数，分数中的他子；后项相当于除法中的除数，分数中的分母；比号柑当于除法中的除号，分数中的分数线；比值相当于除法中的商，分数的分数值。
　　例如：
　
　　　　
在比中，前项÷后项=比值 a∶b=c
　　在除法中，被除数÷除数=商 a÷b=c
　　
　　如上所述，比、除法、分数三者之间有着如此密切的联系，目的在于：有关比的运算，可以转化为除法运算或分数形式，而又需要重新建立比的运算法则。
　　它们之间的区别，从意义上区分有：
　　“比”是表示两个数的倍数；
　　“除法”表示的是一种运算；
　　“分数”则是一个数。
241．“求比值”和“化简比”有区别吗？
　　在比和比例中，求比值是常用的，但也需要把较复杂的整数比（不包括含有分数、小数的比），化成简单的整数比，这两者是有区别的。
　　在区别求比值和化简比时，有一种并不全面的说法，即：求比值时用除法（比的前项除以后项）；而化简比时，运用的是比的基本性质（比的前项和后项同时乘以或除以一个不等于0的数，比值不变）。这只是看到了问题的一个方面，实际上，求比值也可以运用比的基本性质，而化简比也可以用除法。
　　　　
　　　　=3∶60（前项和后项同乘以10）
　　　　=1∶20（前项和后项同除以3）
　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　由此看来，用什么方法并不是两者的主要区别。应该看到的是下述情况：
　　比有三种表示形式，一是比的一般形式，如5∶6；一是比的分数形式，
　　
　　既可以认为是比，读作：5比6；也可以认为是比值，读作：六分之五。在
　　　
就是说，对两者在这样的情况下，不需要严格区别。
　　在小学数学教材中，作为不同的练习形式，又有着求值与化简比的不同要求。为了使学生明确这不同的要求，就必须加以约定，如果是求比值，就把结果写成数的形式（整数、小数或分数）；如果是化简比，就把结果写成比的一般形式，以表示这两者练习形式上的区别，至于用什么方法，则不一定强求一致。
242．绘图时如何选择比例尺？
　　比例尺是图上距离和实际距离的比。在绘制地图、操场或教室的平面图以及零件图时，要把实物的长度（或实际距离）缩小若干倍后，再画到纸上，这就用到比例尺。涉及到比例尺的问题，通常有三种情况：
　　（1）求比例尺。 图上距离∶实际距离=比例尺
　　（2）求实际距离。 图上距离÷比例尺=实际距离
　　（3）求图上距离。 实际距离×比例尺=图上距离
　　这三类情况，除（1）是求比例尺外，（2）（3）本身都有指定比例尺，因此，计算起来并不困难。但是，在绘图时，比例尺一般是不知道的，这就要视图纸大小这个具体情况，自己确定适当的比例尺。这是因为：如果比例尺选择的太大，图纸就可能不够画；如果比例尺选择的太小，画出的图只占图纸的很小部分，则图纸没有得到充分利用。这样画出的图，即不美观、大方，也不匀称、清楚。所以，在绘图时，选择“适当”的比例尺，则是重要的前提条件。
　　例如：要把一块长50米，宽30米的长方形土地，画在一张长28厘米，宽30厘米的纸上，应该选择怎样的比例尺？
　　光从长考虑，比例尺可以是：
　　28∶5000≈1∶179
　　再从宽考虑，比例尺可以是：
　　30∶3000=1∶100
　　根据一张图纸上只能选用统一的比例尺，对比一下，只能“选小不选大”，因为一旦选大了，图纸则画不下，所以，应选用1∶179的比例尺考虑到在一般情况下，为了画图的准确和方便，实际画图时，实际距离（长、宽、高等）扩大或缩小的倍数，常常是整十、整百、整千、整万……的倍数；同时还要考虑到图案画上后还要留边、画框以及写图的名称和标明比例尺等事项。因此，这张图选用1∶200的比例尺比较合适。按这个标准的比例尺，在纸上画出的图长为25厘米，宽为15厘米，同时也留有余地地满足了有关画图的其他要求。
　　总之，在用比例尺绘图前，首先要了解所画的地形（或实物）在长和宽这两个方向的实际距离是“多长”（以后画立体图时，还要考虑到“高”）；然后再量出图纸在长和宽这两个方向上的尺寸有“多大”。这样，才能根据实际距离的大小和图纸的尺寸，确定选用适当的比例尺。
243．“比”和“连比”一样吗？
　　比和连比是两个不同的概念。从意义上看比是表示两个数的倍数关系（或两个数相除）。连比是两个以上数之间的各自所占的份数比，它不是以上两个数连除的关系。
　　比和连比中的“项”也是不同的：
　　从比值上看：比既然表示两个数的倍数关系，当然可以求出比值来，如：
　　
值。
　　如果把两个比组成连比，必须使第一个比的后项等于第二个比的前项。例如：甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是6∶5，假如把甲、乙、丙的连比写成3∶4∶5则是错误的，写成3∶6∶5也是错误的。因为乙对甲来比是4，对丙来比又是6，这是两个不同标准的比，现在进行连比，乙必须有一个对甲、对丙都一致的数。也就是说，把两个比组成连比，“中项”必须统一。中项统一后，由于中项数字的变化，前项与后项的数字，也要发生相应的变化。
　　甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是6∶5，甲、乙、丙的连比应该是9∶12∶10。其中项统一过程如下：
　　连比的项不限于三项，也可能是若干项。连比的一般形式为a1∶a2∶a3∶…∶an，当连比的项较多时，各项的名称以此为例，a1叫做连比的第一项（也叫首项），a2叫连比的第二项，a3叫连比的第三项，…an叫做连比的第n项（也叫末项）。
244．球赛记分牌上的“2∶0”、“6∶2”等，有没有比的含义？
　　在激烈的足球比赛中，为了表示比赛双方的进球数，记分牌上经常显示“2∶0”或“6∶2”等比分，这些比分都没有数学中“比”的含义。
　　记分牌上的“2∶0”，表示一方踢进对方大门2个球，另一方没有踢进。在篮球比赛中，“2”表示一方得了2分，“0”表示一方没有得分。固然“2∶0”表示比赛的双方相差2分；“6∶2”表示相差4分，但这些比分只表示比赛双方各自的得分和相差的分数，而不表示“比”的含义中的倍数关系。
　　说明球类比赛中“2∶0”不具有“比”的含义，并不因为这个“2∶0”的后项是0，从而根据比的后项不能是0的规定得出的结论。这是因为球类比赛中的比分，所谓的后项不一定都是0。如果按上述结论去说明，当所谓的后项不是0时，岂不又具有“比”的含义吗？
　　例如：球场上的比分为“6∶2”，说明比赛双方相差4分，如果把“6∶2”看作数学中的“比”，“比”是可以化简的，6∶2=3∶1，其结果表明：比赛双方相差2分，这与球场的实际情况是完全不符合的。
　　因此，球赛时记分牌上所表示的比分，只是为了直观，借用了比的符号，而没有数学中的任何比的含义。
245．正比例的性质和反比例的性质有什么区别？
　　正比例的性质和反比例的性质，是相反的两个性质，在学习和运用时，由于表述形式近似，只是个别关键词语的不同，极容易相互混淆，必须正确地加以区分。
　　正比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比，等于另一种量对应的两个数值的比。
　　例如：一列火车的速度每小时60千米，如果所行时间与所行路程成正比例关系，那么所行时间的任意两个数值的比，必须与对应所行路程的两个数值的比相等。
　　如下表：
　　从顺向看：时间上2小时与4小时的比为2∶4=0.5；路程上2小时所行的千米数与4小时所行的千米数的比120∶240=0.5。这两个比的比值相等，具备了正比例的性质。
　
　　具备了正比例的性质。
　　反比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比等于另一种量对应的两个数值比的反比。
　　例如：完成1200台电视机的生产任务，每天生产的台数和完成的天数成反比例关系，每天产量中任意两个数值的比，等于所对应完成天数的两个数值比的反比。
　　如下表：
　　
　　
　　从逆向看：台数上400台与200台的比为400∶200=2；其对应天数比的反比为6∶3=2。两个比的比值相等，具备了反比例的性质。
246．反比、反比例和反比例关系有什么区别？
　　在比和比例这部分知识中，反比、反比例和反比例关系也是容易混淆的。不正确区分三者的确切含义，就会在凭借概念进行判断和依据性质进行计算上，产生“后遗症”，最后还得溯本求源，从基本概念上进行澄清。因此，从防微杜渐的角度上，一开始就结合教材进行正确区分，是非常必要的。
　　“反比”是与正比相对而言的，它们都不属于比例的范畴。在两个比中，如果一个比的前项和后项，分别是另一个比的后项和前项，这两个比就叫做互为反比。
　　例如：3∶4的反比是4∶3；反过来，4∶3的反比是3∶4。
　　“反比例”是对两种相关联的量对应数值组成比的顺序而言的。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，据此写出的比例式称为反比例。
　　例如：有一堆煤，每天烧煤2吨，可烧12天，如果每天烧煤4吨，可以烧6天，每天烧6吨，可以烧4天。从条件中的规律可见，煤的总重量一定，每天烧煤量与烧得天数成反比例。
　　“反比例关系”是成反比例的两种量之间的数量关系。如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示积（一定），其关系式为：x×y=k（一定），在这个式子中，x与y的关系，就是反比例关系。
247．什么叫做按比例分配的应用题？
　　在对物品或任务进行分配时，有时按照平均分配的方法，这种分配的方法也叫“匀分”。另一种分配方法不是平均分配，而是根据需要或其他情况，确定分配对象的不同份额，先找出总份额数（也就是总份数），再求出每份额（每份数）的具体数量，然后根据不同份额求出各自分配到的具体数量。这种分配方法叫按比例分配，用按比例分配的方法去解答的应用题，叫做按比例分配的应用题。
　　例如：光华小学在植树日，需完成植树168棵的任务，按3∶4∶5的比例，分配给四、五、六年级，求每个年级应植树多少棵？
　　此题按一般应用题解法，属于归一问题。
　　解题的过程为：
　　（1）三个年级共多少份？3＋4+5=12（份）
　　（2）平均每份是多少棵？168÷12=14（棵）
　　（3）四年级应植多少棵？14×3=42（棵）
　　（4）五年级应植多少棵？14×4=56（棵）
　　（5）六年级应植多少棵？14×5=70（棵）
　　答：（略）
　　此题用按比例分配方法解，同样要先求出总份数，但不求每份是多少棵，因为分配给三个年级的份额各占总份数的几分之几，也就是三个年级植的棵数各占总棵数（168棵）的几分之几，所以可直接求出三个年级各自应植的棵数。
　　解题过程为：
　　（1）总份数：3＋4＋5=12
　　
　　答：（略）
248．正方形的边长和面积为什么不成比例？
　　在判断比例的练习中，学生常把正方形的边长与面积误判成正比例。造成这种误判，在于对正比例关系缺乏全面理解。对“两种相关的量，一种量变化，另一种量也随着变化”，这句话是记住了，认为边长扩大，正方形的面积也会扩大，但这只是正比例关系含义的一半。另一句话，却被忽略了，即：“如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定”。
　　对其忽略的部分，可通过列出边长与面积的对应数值表，来进行准确的判断。
　　从表中的边长和面积的数值来看，正方形的边长和面积相对应的两个数的比值并不相等。
　　由上边所举数例可以说明：正方形边长的任意两个数值的比与相对应的面积的比，其比值都是不相等的，因此，正方形的边长与面积不能成正比例。
　　除根据正比例的关系来说明正方形的边长和面积不成比例外，还可以根据比例的判定式，来证明正方形的边长和面积是不成比例的。求正方形面积的公式是：
　　无论是成正比例或反比例，其中必有一个量是一定的（或称不变量）。由于正方形的特征之一是：正方形的四条边的长度都相等，在上述公式中，找不出一定的量，如果一个边长扩大了，其他边长也必然相应扩大，否则它就不是正方形了。所以，正方形的边长和面积是不成比例的。
　　同时，还应该看到：正方形的边长和面积固然不成比例，但正方形的边长平方和面积是成正比例的。因为边长平方和相对应面积的两个数的比值是相等的。
　　仍以上表中的数值为例：
　　
249．在正、反比例的应用题中，怎样确定“一定”的量？
　　在成比例的两种相关联的量中，无论是成正比例，还是成反比例，都是这两种量之间的关系。但在形成比例的因素中，事实上还存在着与这两种量密切相关的另一种量，这个量是“一定”的，也就是不变的量。没有这个“一定”的量，只有前面的两种相关联的量，正、反比例的关系都是不能成立的。例如：
　　（1）火车的速度一定，所行的时间和路程成正比例；
　　（2）玉米的亩产量一定，种植玉米的亩数和总产量成正比例；
　　（3）生产机器的总台数一定，生产时间和效率成反比例；
　　（4）全班学生人数一定，分的小组数和每组人数成反比例。
　　上述一些成正、反比例关系的实际问题中，这个“一定”的量比较明显，因此，容易确定；但在另一些成正、反比例的实际问题中，这个“一定”的量比较隐蔽，所以难以确定。揭示出“一定”的量，就成为判断两种量是成正比例还是成反比例的前提条件。例如：
　　（1）正方形的边长和周长成正比例；
　　（2）圆柱体的底面积和高成反比例；
　　（3）圆的直径和周长成正比例；
　　（4）齿轮转动，主动轮、从动轮的齿数和转速成反比例。
　　判断上述比例，在于揭示出比较隐蔽的“一定”的量。根据正、反比例
　　种量则成正比例关系；如果x×y=k（一定），这两种量则成反比例关系。
　
　系的关系式。在这个关系式中，“一定’的量就是k。因此，要揭示隐蔽的“一定”的量，就必须熟练地掌握上面的关系式，从关系式中来确定“一定”的量。
　　前面例举的四道题，其“一定”的量可如下进行确定：
　　（1）∵正方形周长/正方形边长=正方形边数
　　正方形边数是4，这是一定的；
　　∴正方形边数就是此题中的“一定”的量。
　　（2）∵圆柱底面积×高=圆柱体体积，圆柱体体积是已知的；
　　∴圆柱体体积是此题中“一定”的量。
　　（3）∵圆的周长/圆的直径=圆周率
　　圆周率π是一个常数；
　　∴圆周率是此题中“一定”的量。
　　（4）∵齿轮齿数×齿轮转数=转过总齿数，主动轮、从动轮转过的总
　　齿数是一样的；
　　∴转过总齿数是此题中“一定”的量。
　　上面确定“一定”的量的关系式中，有除法关系式，也有乘法关系式，从“积”或“商”的不变中，可以找出比较隐蔽的“一定”的量。除此之外，还可以从熟悉的基本数量关系中，直接用乘法关系式来寻找。
　　即： 因数×因数=积
　　在这个乘法关系式中，当其中的一个因数一定时，另一个因数与积存在着正比例关系；而当积一定时，两个因数之间存在着反比例关系。以常见的速度×时间=路程为例：
　　这样的乘法关系式还有很多，如：长×宽=长方形面积、底×高=平行四边形面积、底面积×高=长方体体积（或圆柱体体积）、单价×数量=总价等，利用这些关系式，可以一式三用地确定出“一定”的量，从而对正、反比例的应用题做出正确的判断。
250．比例应用题有哪些解题思路？
　　在学习比例应用题以前，已经掌握了整数、小数、分数的应用题，以及用方程解的应用题，因此，解比例应用题时，其解题思路就不限于比例本身。通常有以下几个思路：
　　（1）按照正、反比例的关系去思考，用比例的方法；
　　（2）按照数量的对应关系（包括量率对应关系）去思考，用算术的方法；
　　（3）按等量关系去思考，用方程的方法。
　　这三种思路在下面例题中可以看到它们的具体运用：
　　如：一辆汽车2小时行驶64千米，用同样的速度，从甲地到乙地共行驶5小时，甲乙两地之间的路程是多少千米？
　　用比例的方法解：从条件中可知，速度为“一定”的量。
　　设：甲乙两地之间的路程是x千米。
　　答：甲乙两地之间的路程是160千米。
　　用以前学习过的算术方法解：汽车5小时行多少千米，要先求出汽车1小时行多少千米，属于归一问题的思路或倍比问题的思路。
　　归一解：64÷2×5=160（千米）
　　倍比解：64×（5÷2）=160（千米）
　　答：甲乙两地之间的路程是160千米。
　　用方程的思路解：由于汽车的速度前后没变，其等量关系式是：5小时行的千米数÷5=2小时行的千米数÷2
　　实际上是速度=速度。
　　设甲乙两地之间的路程是x千米。
　　x÷5=64÷2
　　x=64÷2×5
　　x=160
　　答：甲乙两地之间的路程是160千米。
　　上述三种思路只是从比例、算术、方程的角度上划分的，事实上在算术的范围内有时还会出现多种解法，而每一种解法都是一种思路。因此，在掌握用比例解法解比例应用题的同时，也鼓励学生在可能的情况下进行“一题多解”，这既是对解题思路的开拓，也是对已学过知识的自觉复习。
251．什么叫做复比例？
　　在两个或若干个比例的各对应项上，实行四则运算，所得到的比例叫做复比例。复比例通常有以下三种情况：
　　（1）比例的加法和减法：由两个或若干个具有相等比值的比例，其对应项相加或相减所成的复比例，也具有原来相等的比值。
　　例如：40∶10=24∶6（比值为4）
　　 12∶3=8∶2（比值为4）
　　经过加减得到的复比例是：
　　（40±12）∶（10±3）=（24±8）∶（6±2）
　　按加法得：52∶13=32∶8
　　按减法得：28∶7=16∶4
　　（2）比例的乘法：从两个或若干个比例各对应项相乘所得到的复比例，它的比值等于已知各比例比值的积。
　　通过乘法得到的复比例是：
　　（3×4）∶（2×2）=（6×2）∶（4×1）
　　12∶4=12∶4（比值为3）
　　
　　由此可知，已知比例的各项自乘所得到的复比例，它得的比值等于已知比值自乘以同次方。
　　
比例各项自乘3次得到复比例为：
　　（3）比例的除法：一个比例的各项除以另一个比例的各对应项所得的复比例，它的比值等于两个已知比例的比值的商。
　　
　　通过除法得到的复比例为：
　　（3÷4）∶（2÷2）=（6÷2）∶（4÷1）
　　
　　
252．什么是复比例应用题？
　　计算两个以上的量成比例的应用题，叫做复比例应用题。
　　例如：6个水管10小时注满10米长、3米宽、1.5米深的水池，用同样的水管8个，要注满9米长、4米宽、2.5米深的水池，需要多少小时？
　　设需要x小时。列出已知条件，使同类量上下对齐：
　　此题中共有五个量，在列出的条件里，“↓”表示所求量与已知量成正比例；“↑”表示所求量与已知量成反比例。
　　在固定其他量“一定’的前提下，判断未知量与每一个量成正比例还是反比例。成正比例的，向下画一个箭头；成反比例的，向上画一个箭头。最后把箭头所指的数及与未知数同一列的数的积作分子，箭尾指着的数的积作分母，所得的分数值，就是题目中所求。
　　　　
　　答：需要15小时。
　　复比例应用题也可以用整数或小数中的“归一”方法解，仍以上题为例：
　　（1）每个水管1小时注水多少立方米？
　　10×3×1.5÷10÷6=0.75（立方米）
　　（2）要注满水的水池容积是多少立方米？
　　9×4×2.5=90（立方米）
　　（3）8个水管1小时注水多少立方米？
　　0.75×8=6（立方米）
　　（4）需要多少小时？
　　90÷6=15（小时）
253．什么是混合比例应用题？
　　把价值不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价及混合后的平均价格（或总价和总数量），求混合量的应用题，叫做混合比例应用题。
　　混合比例应用题在小学数学教材中虽然没有涉及，但在实际生活中，这类问题又是常见的。例如：
　　两种糖果，每千克的价格，甲种4.8元，乙种4.2元，混合后每千克价格为4.6元，已知混合时，甲种糖果比乙种多用2.5千克，求两种糖果各用多少千克？
　　解：设甲种糖果用x千克，乙种糖果用了（x-2.5）千克。
　　（4.8-4.6）∶（4.6-4.2）=（x-2.5）∶x
　　0.2∶0.4=（x-2.5）∶x
　　0.2x=0.4x-1
　　0.2x=1
　　x=5（千克）甲种
　　5-2.5=2.5（千克）乙种
　　验算：甲种糖果5千克价：4.8×5=24（元）
　　乙种糖果2.5千克价：4.2×2.5=10.5（元）
　　两种糖果共价：24＋10.5=34.5（元）
　　两种糖果共重：5＋2.5=7.5（千克）
　　混合后每千克价：34.5÷7.5=4.6（元）
　　又如：买来甲乙两种铅笔若干支作为奖品，甲种每支0.6元，乙种每支0.4元，平均每支0.525元，已知甲种铅笔比乙种多20支，求两种铅笔各多少支？
　　解：设甲种铅笔x支，乙种铅笔（x-20）支。
　　答：甲种铅笔50支；乙种铅笔30支。

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