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《直线与圆及其方程》、《圆锥曲线与方程》
一、选择题
1．【广东韶关·文】7.圆上的动点到直线的最小距离为 B
A．1 B． C． D．
2．【潮州·理科】8、（文科10）已知点是圆：内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，若直线的方程为，则 A
A ∥且与圆相离 B ∥且与圆相交
C 与重合且与圆相离 D ⊥且与圆相离
3．【揭阳·理】3．已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率 A
A．4 B． C．－4 D．－14
4．【揭阳·文】7．已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率 A
A．4 B． C．－4 D．－14
5．【湛江市·理】6．（文科6）若过点A (3 , 0 ) 的直线l与曲线 有公共点，则直线l斜率的取值范围为 D
A．(, ) B．[, ] C．(, ) D．[, ]
6．【珠海·文】8.：两条直线互相垂直，：，则是的 C
A．充分但不必要条件 B．充分且必要条件
C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．【广东韶关·文】4.如图, 共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别
为,其大小关系为 C
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
8．【揭阳·理】5．（文科4）若点到直线的距离比它到点的距离小2，则点的轨迹方程为 A
A. B. C. D.
9．【珠海·理】7．（文科7）经过抛物线的焦点且平行于直线的直线的方程是（ A ）
A. B.
C. D.
二、填空题
1．【潮州·理科】10、以点为圆心、双曲线的渐近线为切线的圆的标准方程是______。
2．【潮州·文科】12、抛物线的准线方程是______。
3．【汕头潮南区·理】11．已知在直角坐标系中，两定点坐标为A（-4,0），B（4，0），一动点M（x,y）满足条件，则点M的轨迹方程是
4．【湛江市·理】9.抛物线的焦点坐标是_______（0，）___________.
三、计算题
1．【广东韶关·文】19. (本题满分14分)
已知动圆过定点，且与定直线相切.
（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（II）若是轨迹C的动弦，且过， 分别以、为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:.
【解】（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上…2分
因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是………………….5分
（II） …………….6分
， ， ………8分
抛物线方程为 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
， ，
所以，
2．【潮州·理科】 18、（本题满分14分）
椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满足，若存在，求直线的倾斜角；若不存在，说明理由。
【解】（1）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为
， ………… 2分
由，得，
即，解得。 ………… 4分
又 ∵ ，∴ ，即椭圆方程为。 ……5分
（2）由知点在线段的垂直平分线上，
由消去得
即 （*） ………… 7分
由，得方程（*）的，即方程（*）有两个不相等的实数根。
…………8分
设、，线段的中点，
则，，
，即 ……… 10分
，∴直线的斜率为，……11分
由，得， …… 12分
∴ ，解得：，即， …… 13分
又，故 ，或，
∴ 存在直线满足题意，其倾斜角，或。…… 14分
3．【潮州·理科】20、（本题满分14分）
抛物线经过点、与点，其中，
，设函数在和处取到极值。
（1）用表示；
（2） 比较的大小（要求按从小到大排列）；
（3）若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求。
【解】（1）由抛物线经过点、设抛物线方程，
又抛物线过点，则，得，
所以。 …………………… 3分
（2），
，函数在和处取到极值，…… 5分
故，
，
………… 7分
又，故。 …… 8分
（3）设切点，则切线的斜率
又，所以切线的方程是
…… 9分
又切线过原点，故
所以，解得，或。 ………… 10分
两条切线的斜率为，，
由，得，，
，
………………………… 12分
所以，
又两条切线垂直，故，所以上式等号成立，有，且。
所以。 ………… 14 分
4．【潮州·文科】18、（本题满分14分）
椭圆方程为的一个顶点为，离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆相交于不同的两点满足，求。
【解】（1）设，依题意得
即 …… 4分
∴ ，即椭圆方程为。 …… 5分
（2）
∴ ，且点线段的中点，
由消去得
即 （*） ………… 7分
由，得方程（*）的，显然方程（*）有两个不相等的实数根。 ……… 8分
设、，线段的中点，
则，
∴ ，即 ……… 10分
，∴直线的斜率为，…… 11分
由，得，…… 13分
∴ ，解得：，…… 14分
5．【揭阳·理】19．（本小题满分14分）
已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．
(1) 若椭圆的离心率，求的方程；
（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．
【解】（1）当时，∵，∴，
∴，，点,，------------2分
设的方程为
由过点F,B,C得
∴-----------------①
-----------------②
-------------------③----------------------------5分
由①②③联立解得，，-----------------------7分
∴所求的的方程为-------------8分
（2）∵过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为--------④----------------------9分
∵BC的中点为，
∴BC的垂直平分线方程为-----⑤---------------------10分
由④⑤得，即----------------11分
∵P在直线上，∴
∵ ∴
由得-------------------------------------------13分
∴椭圆的方程为--------------------------------------------------------------14分
6．【揭阳·文】19．（本小题满分14分）
已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．
(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；
（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．
【解】（1）由椭圆的方程知，∴点，，
设的坐标为，
∵FC是的直径，∴
∵ ∴ -------------------------2分
∴，-------------------------------------------------3分
解得 -----------------------------------------------------------------------5分
∴椭圆的离心率---------------------------------6分
（2）∵过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为--------①-----------------------------------7分
∵BC的中点为，
∴BC的垂直平分线方程为-----②---------------------9分
由①②得，即--------------------11分
∵P在直线上，∴
∵ ∴--------------------------------------------------13分
由得
∴椭圆的方程为------------------------------------------------------------------14分
7．【汕头潮南区·理】19．（本题14分）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F（c,0）（c>0）的准线（准线方程x=,其中a为长半轴，c为半焦距）与x轴交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于点P、Q。
求椭圆方程；
求椭圆的离心率；
若，求直线PQ的方程。
【解】（1）由已知得，解得：……………………2分
所求椭圆方程为………………………………………………4分
（2）因，得……………………………………7分
（3）因点即A（3，0），设直线PQ方程为………………8分
则由方程组，消去y得：
设点则……………………10分
因，得，
又，代入上式得
，故
解得：，所求直线PQ方程为……………………14分
8．【湛江市·理】20．（本小题满分14分）
已知定圆圆心为A，动圆M过点，且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)若点为曲线C上一点，探究直线与曲线C是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．
【解】 (Ⅰ) 圆A的圆心为， ……………… 1 分
设动圆M的圆心为 ………… 2分
由|AB|=，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1-r2，
即|MA|+|MB|=4， ……………… 4分
所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为，
由
故曲线C的方程为 ……………… 6分
(Ⅱ)当，
………………8分
消去 ① …………… 10分
由点为曲线C上一点，
于是方程①可以化简为 解得， …………… 12分
……………………………………………………………13分
综上，直线l与曲线C存在唯一的一个交点，交点为. …………… 14分
9．【湛江市·文】20．（本小题满分14分）
已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；
（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．
【解】（Ⅰ）证明：设直线与曲线的交点为
∴ 即：
∴ --------2分
在上
∴，
∴两式相减得： ----------------4分
∴ 即： ---------------5分
∴曲线是一个圆 ----------------6分
（Ⅱ）设直线与曲线的交点为，
∴曲线是焦点在轴上的椭圆 ----------7分
∴ 即： ----------8分
将代入整理得：

∴， ---------------10分
在上 ∴
又
∴
∴2
∴
∴
∴
∴
∴ ---------------12分
∴
∴
------------14分
10．【珠海·理】19.（本小题满分14分）已知椭圆的方程为双曲线的两条渐近线为和，过椭圆的右焦点作直线，使得于点，又与交于点，与椭圆的两个交点从上到下依次为（如图）.
(1)当直线的倾斜角为，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；
(2)设，证明：为常数.
解：（1）由已知，，…………………2分
解得:， …………………4分
所以椭圆的方程是:. …………………5分
（2）解法1：设
由题意得: 直线的方程为: ,直线的方程为: ,………………7分
则直线的方程为: ,其中点的坐标为; ………………………8分
由 得: ,则点; ………9分
由 消y得:,则; 10分
由得:,则:,
同理由得:, …………………………………………………12分
故为常数. ……………………………………………………………………14分
解法2：过作轴的垂线，过分别作的垂线，垂足分别为，…6分
由题意得: 直线的方程为: ,直线的方程为: ,………………8分
则直线的方程为: ,其中点的坐标为; ………………………9分
由 得: ,则直线m为椭圆E的右准线; ………10分
则: ,其中e的离心率; …………………………12分
,
故为常数. ………………………………………………………………14分
11．【珠海·文】19. （14分）已知椭圆的方程为双曲线的两条渐近线为和，过椭圆的右焦点作直线，使得于点，又与交于点，与椭圆的两个交点从上到下依次为（如图）.
（Ⅰ）当直线的倾斜角为，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：
解：（Ⅰ）由已知，，解得，
所以椭圆的方程是
（Ⅱ）直线的方程是，联立，解得的坐标为
又联立，解得的坐标为

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