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2　简谐运动的描述
学习任务一　描述简谐运动的物理量
[教材链接] 阅读教材,填写相关知识.
(1)振幅:振动物体离开　　　　的最大距离,叫作振动的振幅,用A表示,单位是　　　　.振幅是表示　　　　　　的物理量,是标量.
(2)全振动:一个完整的　　　　称为一次全振动.以任何位置作为开始研究的起点,完成一次全振动所需的时间总是　　　　.
(3)周期和频率
①周期:做简谐运动的物体完成　　　　所需的时间,叫作振动的周期,用T表示,单位是　　　　.
②频率:单位时间内完成　　　　的次数,叫作振动的频率,用f表示,单位是　　　　.
③周期和频率的关系:f=　　　　.
④物理意义:周期和频率都是描述振动快慢的物理量,周期越小,频率越大,表示振动得越快.
(4)相位:描述周期性运动在各个时刻所处的　　　　.
例1 (多选)[2022·长兴中学月考] 如图所示,弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,A、B间的距离是20 cm,小球由A第一次运动到B的时间是2 s,则(　)
A.从O到B再回到O,小球做了一次全振动
B.振动周期为4 s,振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s,小球通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s,小球回到平衡位置
变式1 (多选)如图所示,小球在B、C之间做简谐运动,O为BC的中点,B、C间的距离为
10 cm,则下列说法正确的是 (　)
A.小球的最大位移是10 cm
B.只有在B、C两点时,小球的振幅是5 cm,在O点时,小球的振幅是0
C.无论小球在哪个位置,它的振幅都是5 cm
D.从任意时刻起,一个完整的振动过程内小球经过的路程都是20 cm
学习任务二　简谐运动的表达式x=Asin (ωt+φ)的应用
[物理建模] 我们知道简谐运动的位移随时间按正弦函数规律变化,在数学课上(如图所示的一幅图很熟悉吧),我们学习过正弦函数y=Asin (ωt+φ0).
(1)y、A、ω、φ0、ωt+φ0分别表示什么物理量



(2)圆频率ω与周期T有何关系



[科学思维]
对表达式x=Asin(ωt+φ)的理解
(1)由于ω==2πf,所以表达式也可写为x=Asin或x=Asin(2πft+φ).
(2)相位ωt+φ表示质点在t时刻所处的一个状态.
(3)若两个简谐运动的表达式分别为x1=A1sin(ωt+φ1),x2=A2sin(ωt+φ2),则相位差为Δφ=φ2-φ1.
当Δφ=0时,两振动质点振动步调一致.
当Δφ=π时,两振动质点振动步调完全相反.
例2 一个小球和轻质弹簧组成的系统,其位移遵循x1=5sincm的规律.
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相;
(2)另一简谐运动表达式为x2=5sincm,求它们的相位差.
[反思感悟]

变式2 (多选)有两个简谐运动的振动方程分别是x1=3sin cm,x2=5sin cm,下列说法正确的是 (　)
A.它们的振幅相同
B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定
D.它们的振动步调一致
【要点总结】
简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动的图像,即x-t图像是表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律.
(2)x=Asin (ωt+φ0)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况.
两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的.我们能够做到两个方面:一是根据振动方程作出振动图像,二是根据振动图像读出振幅、周期、初相位,进而写出位移的函数表达式.
对简谐运动对称性的理解和应用
[科学探究] 简谐运动的位移按正弦函数规律变化,正弦函数在时间上具有周期性,
在空间上具有对称性.如图所示,质点在E与F两点间做简谐运动,O点为平衡位置,A和B两点及C和D两点关于O点对称,试分析:
(1)质点来回通过A、C两点间所用的时间有何关系


(2)质点经过AC和DB两线段所用的时间有何关系


(3)质点连续两次经过D点的速度有何关系


(4)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度有何关系


示例　如图所示,一质点做简谐运动,先后以相同的速度依次通过M,N两点,历时1 s,质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点,在这2 s内质点通过的总路程为12 cm.则质点的振动周期和振幅分别为 (　)
A.3 s,6 cm
B.4 s,6 cm
C.4 s,9 cm
D.2 s,8 cm
变式3　一弹簧振子做简谐运动,周期为T.以下说法正确的是 (　)
A.若Δt=,则在t时刻和(t+nΔt)时刻弹簧长度一定相等(n=1,3,5,…)
B.若Δt=T,则在t时刻和(t+nΔt)时刻小球运动的加速度一定相等(n=1,2,3,…)
C.若t和(t+Δt)时刻小球运动速度大小相等,方向相反,则Δt一定等于的整数倍
D.若t和(t+Δt)时刻小球运动位移大小相等,方向相反,则Δt一定等于T的整数倍
[反思感悟]
1.(简谐运动的描述)如图所示,弹簧振子在A、B之间做简谐运动,O为平衡位置,测得A、B间距为8 cm,小球完成30次全振动所用时间为60 s,则(　)
A.振动周期是2 s,振幅是8 cm
B.振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是8 cm
D.小球过O点时开始计时,3 s内通过的路程为24 cm
2.(简谐运动表达式的理解)两个简谐运动的表达式分别为x1=4sin 4πt(cm)和x2=2sin 2πt(cm),它们的振幅之比、频率之比分别是(　)
A.2∶1,2∶1
B.1∶2,1∶2
C.2∶1,1∶2
D.1∶2,2∶1
3.(简谐运动的表达式)如图甲所示,水平弹簧振子的平衡位置为O点,小球在B、C两点之间做简谐运动,规定水平向右为正方向,图乙是小球做简谐运动的x-t图像,则 (　)
A.小球从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B.小球的振动方程为x=0.1sin m
C.图乙中的P点对应时刻小球的速度方向与加速度方向都沿正方向
D.小球在前2.5 s内的路程为1 m
4.(简谐运动的周期性与对称性)(多选)一小球沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点.t=0时小球的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,下列说法正确的是(　)
A.若振幅为0.1 m,则周期可能为 s
B.若振幅为0.1 m,则周期可能为 s
C.若振幅为0.2 m,则周期可能为4 s
D.若振幅为0.2 m,则周期可能为6 s
2　简谐运动的描述
[教材链接] (1)平衡位置　米(m)　振动幅度大小　 (2)振动过程　相同的　(3)①一次全振动　秒(s)　②全振动　赫兹(Hz)　③　(4)不同状态
例1　BC　[解析] 小球从O到B再回到O,只完成半个全振动,选项A错误;从A到B,小球也只完成了半个全振动,半个全振动的时间是 2 s,所以振动周期是4 s,小球离开平衡位置的最大距离为10 cm,则振幅A=10 cm,选项B正确;t=6 s=T,所以小球通过的路程为4A+2A=6A=60 cm,选项C正确;从O开始经过3 s,小球处在位置A或B,选项D错误.
变式1　CD　[解析] 小球位移的起点是O点,小球经过B点或C点时位移最大,最大位移为5 cm,故A错误;小球做简谐运动,振幅不变,由题意知,振幅A=5 cm,故B错误,C正确;根据对称性和周期性可知,从任意时刻起,一个完整的振动过程内小球经过的路程都是4倍振幅,即4A=4×5 cm=20 cm,故D正确.
[物理建模] (1)位移、振幅、圆频率、初相位、相位.(2)ω=.
例2　(1) s　4 Hz　5 cm　　(2)π
[解析] (1)由题意知ω=8π rad/s
振幅A=5 cm,初相φ1=
由ω=得T= s
则f==4 Hz.
(2)它们的相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1=π-=π.
变式2　BC　[解析] 由题意知,它们的振幅分别是3 cm,5 cm,振幅不同,选项A错误;它们的圆频率ω=100π rad/s,所以周期T== s,选项B正确;Δφ=-=,故相位差恒定,选项C正确;由于Δφ≠0,即振动步调不一致,D错误.
素养提升
[科学探究] (1)相等,即tCA=tAC.(2)相等,即tAC=tDB.(3)速度大小相等,方向相反.(4)速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.
示例　B　[解析] 因质点通过M,N两点速度相同,说明M,N两点关于平衡位置对称,由时间的对称性可知,平衡位置O到N点的时间t1==0.5 s.又因质点通过N点后再经过1 s,第二次经过该点,则质点由N到右侧最大位移处的时间t2=0.5 s,故=2t1+2t2=2 s,即T=4 s,由过程的对称性可知,质点在这2 s内通过的路程恰为2A,即2A=12 cm,A=6 cm,故B项正确.
变式3　B　[解析] 若Δt=,则在t时刻和(t+nΔt)时刻小球的位移大小相等,弹簧长度可能不相等,故A错误;若Δt=T,则在t时刻和(t+nΔt)时刻小球的加速度一定相等,速度也相等,故B正确;若t时刻和(t+Δt)时刻小球速度的大小相等,方向相反,则小球可能以相反的方向经过同一个点,也可能以相反的方向经过对称的两个点,所以时间Δt不一定是的整数倍,故C错误;若t时刻和(t+Δt)时刻小球运动位移的大小相等,方向相反,则小球经过对称的两个点,所以时间Δt一定不是T的整数倍,故D错误.
随堂巩固
1.D　[解析] 由题意可知T= s=2 s,A= cm=4 cm,故A错误;频率为f== Hz=0.5 Hz,故B错误;小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍,即4×4 cm=16 cm,故C错误;小球在3 s内通过的路程为s=×4A=×4×4 cm=24 cm,故D正确.
2.A　[解析] 由题意知A1=4 cm,A2=2 cm,ω1=4π rad/s,ω2=2π rad/s,则A1∶A2=2∶1,f1∶f2=ω1∶ω2=2∶1,故A正确,B、C、D错误.
3.D　[解析] 小球从B点经过O点再运动到C点,之后再返回B点为一次全振动,A错误;根据题图乙可知,小球的振幅是A=0.1 m,周期为T=1 s,则ω==2π rad/s,规定向右为正方向,t=0时刻位移为0.1 m,表示小球从B点开始运动,初相位为φ0=,则小球的振动方程为x=Asin(ωt+φ0)=0.1 sinm,B错误;题图乙中的P点对应时刻小球的速度方向为负,此时刻小球正在沿负方向做减速运动,加速度方向为正,C错误;因周期T=1 s,故2.5 s=2T+,则小球在前2.5 s内的路程为s=2×4A+2A=10×0.1 m=1 m,D正确.
4.AD　[解析] 若振幅为0.1 m,根据题意可知T=1 s(n=0,1,2,3,…),解得T= s(n=0,1,2,3,…),当n=1时,T= s,当T= s时,n不为整数,故A正确,B错误;若振幅为0.2 m,则有1 s=+nT(n=0,1,2,3,…)①,或者1 s=T+nT(n=0,1,2,3,…)②,或者1 s=+nT(n=0,1,2,3,…)③,对于①式,当T=4 s或T=6 s时,n不为整数;对于②式,当T=4 s或T=6 s时,n不为整数,对于③式,当T=4 s时,n不为整数,当T=6 s时,n=0,为整数,故C错误,D正确.

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