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3　简谐运动的回复力和能量
学习任务一　简谐运动的回复力
[模型建构] 如图所示为放在光滑水平面上的弹簧振子的模型,O点为小球的平衡位置,A、O间和B、O间距离都是x.
(1)小球在O点时受到几个力的作用 分别是什么力


(2)除重力、支持力、弹簧弹力外,振子在O、A、B点还受到回复力的作用吗 回复力有什么特点


(3) 回复力F与位移x有何关系


例1 (多选)如图所示,弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动,下列说法正确的是 (　)
A.小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由A向O运动过程中,回复力逐渐增大
D.小球由O向B运动过程中,回复力的方向指向平衡位置
[反思感悟]

变式1　(多选)如图所示,物体系在两弹簧之间,弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然状态.今向右拉动物体,然后释放,物体在B、C间振动,O为平衡位置(不计阻力),则下列判断正确的是 (　)
A.物体做简谐运动,OC=OB
B.物体做简谐运动,OC≠OB
C.回复力F=-kx
D.回复力F=-3kx
例2 一质量为m、底面积为S的正方体木块放在水面上静止(平衡),如图所示.现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力,木块在水面上下振动,试判断木块的振动是否为简谐运动.
[反思感悟]

【要点总结】
1.回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置,回复力为零的位置就是平衡位置.
(2)回复力的性质:回复力是根据力的效果命名的,可能由合力、某个力或某个力的分力提供.它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力,分析物体受力时不能再加上回复力.
2.简谐运动的动力学特征
回复力F=-kx.
(1)k是比例系数,并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数).k由振动系统决定,与振幅无关.
(2)“-”表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移方向相反.
(3)判断一个物体是否做简谐运动,可找出回复力F与位移x之间的关系,若满足F=-kx,则物体做简谐运动,否则就不做简谐运动.
3.简谐运动的加速度
由F=-kx及牛顿第二定律F=ma,可得a=-x,加速度a与位移x的大小成正比,方向与位移方向相反.
学习任务二　简谐运动的能量
[科学思维]
1.在弹簧振子振动的一个周期内,动能和势能要完成两次周期性变化.经过平衡位置时,动能最大,势能最小(为零);经过最大位移处时,势能最大,动能最小(为零).
2.简谐运动中各物理量的变化规律
小球以O为平衡位置在A、B之间做简谐运动,各物理量的变化规律如下:
位移 回复力 加速度 速度 动能 势能
从O到A 增大 增大 增大 减小 减小 增大
A 最大 最大 最大 0 0 最大
从A到O 减小 减小 减小 增大 增大 减小
O 0 0 0 最大 最大 0
从O到B 增大 增大 增大 减小 减小 增大
B 最大 最大 最大 0 0 最大
从B到O 减小 减小 减小 增大 增大 减小
例3 [2022·缙云中学月考] 如图所示,轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子,弹簧的上端固定于天花板上.当物块处于静止状态时,取它的重力势能为零.现将物块向下拉一小段距离后放手,此后物块在平衡位置附近上下做简谐运动,不计空气阻力,则 (　)
A.物块速度最大时,振动系统的势能为零
B.物块速度最大时,物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C.物块经过平衡位置时,振动系统的势能最小
D.物块振动过程中,振动系统的机械能不守恒
变式2 图为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像,由图像可知 (　)
A.在t=0.1 s时,由于位移为零,所以振动能量为零
B.在t=0.2 s时,弹簧振子的势能最大
C.在t=0.35 s时,弹簧振子具有的能量尚未达到最大值
D.在t=0.4 s时,弹簧振子的动能最大
变式3 [2022·黄岩中学月考] 如图所示,一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子,物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动,O为平衡位置,C为AO的中点,已知OC=h,弹簧的劲度系数为k,某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动,重力加速度为g,则从此刻开始半个周期的时间内,对质量为m的物体,下列说法正确的是 (　)
A. 回复力做功为2mgh
B.重力势能减少了2mgh
C.速度的变化量大小为0
D.通过A点时回复力的大小为kh
1.(回复力)(多选)下列关于简谐运动回复力的说法正确的是 (　)
A.回复力是使物体回到平衡位置的力
B.回复力一定是变力
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
2.(回复力与加速度) [2022·余杭高级中学月考] 甲图中的弹簧振子在0~5 s内的振动图像如图乙所示,下列说法中正确的是 (　)
A.从第2 s末到第3 s末振子的回复力增加
B.从第2 s末到第3 s末振子的加速度增加
C.从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
D.第2 s末振子的加速度最大且方向为x轴正向
3.(简谐运动的能量)(多选)图是弹簧振子做简谐运动的振动图像.下列说法中正确的是 (　)
A.曲线上A、C、E点对应的弹簧振子的势能最大
B.曲线上A、E点对应的弹簧振子的势能最大,C点对应的弹簧振子的势能最小
C.曲线上B、D点对应的弹簧振子的机械能相等
D.曲线上F点对应的弹簧振子的动能最大
4.(简谐运动的能量)(多选)如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,物块的质量为M.若物块运动到B处时将另一质量为m的物体放到物块上面,物体与物块一起振动且两者无相对运动,则下列说法正确的是 (　)
A.振幅不变 B.振幅减小
C.最大动能不变 D.最大动能减小
3　简谐运动的回复力和能量
[模型建构] (1)两个力;重力、支持力.
(2)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,是按照力的作用效果来命名的,不是一种新型的力,所以分析物体的受力时,不分析回复力.回复力可以由某一个力提供(如弹力),也可能是几个力的合力,还可能是某一个力的分力,归纳起来,回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力.
(3)回复力F=-kx,方向与位移方向相反.
例1　AD　[解析] 回复力是根据力的作用效果命名的力,不是做简谐运动的物体受到的具体的力,它是由物体受到的具体的力所提供的,在此情景中弹簧的弹力充当回复力,故A正确,B错误;回复力与位移的大小成正比,由A向O运动过程中位移在减小,故此过程中回复力逐渐减小,C错误;回复力总是指向平衡位置,故D正确.
变式1　AD　[解析] 当物体位移是x时,物体受到的作用力F=F1+F2=-k1x-k2x=-3kx,符合简谐运动的动力学方程,物体做简谐运动,所以OB、OC的长度都等于物体做简谐振动的振幅,OB=OC,选项A、D正确.
例2　是
[解析] 以木块为研究对象,设水的密度为ρ,静止时木块浸入水中的深度为Δx,当木块被压入水中x深度后所受力如图所示,则F回=mg-F浮
又F浮=ρgS(Δx+x)
联立得F回=mg-ρgS(Δx+x)=mg-ρgSΔx-ρgSx
因为静止时有mg=ρgSΔx,所以F回=-ρgSx
即F回=-kx(k=ρgS),
所以木块的振动为简谐运动.
例3　C　[解析] 当物块在平衡位置时,速度最大,但是弹簧的弹性势能不为零,故振动系统的势能不为零,选项A错误;在平衡位置时,物块的重力势能与弹簧的弹性势能不一定相等,选项B错误;由于只有重力和弹簧弹力做功,则物块的动能、重力势能及弹性势能之和守恒,故在平衡位置时,动能最大,振动系统的势能最小,选项C正确,D错误.
变式2　B　[解析] 弹簧振子做简谐运动,振幅不变,振动能量不变,选项A错误;在t=0.2 s时,位移最大,小球的势能最大,选项B正确;弹簧振子的振动能量不变,在t=0.35 s时,弹簧振子具有的能量与其他时刻相同,选项C错误;在t=0.4 s时,小球的位移最大,动能为零,选项D错误.
变式3　B　[解析] 根据简谐运动的对称性,经过半个周期时,物体恰好运动到OB的中间位置,且速度方向向下,速度大小仍为v,回复力做功为零,A错误;由于下降了2h,因此重力势能减少了2mgh,B正确;由于初速度向上,末速度向下,因此速度的变化量大小为2v,C错误;由于弹簧的劲度系数为k,因此通过A点时回复力的大小为F=2kh,D错误.
随堂巩固
1.AB　[解析] 回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力,由F=-kx可知,回复力是变力,A、B正确;回复力的方向总是指向平衡位置,跟物体离开平衡位置的位移方向相反,可能跟物体的速度方向相反,也可能跟物体的速度方向相同,C、D错误.
2.D　[解析] 第2 s末到第3 s末振子在衡位置,弹簧的形变量减小,故回复力减小, 振子的加速度减小,故A、B错误;振子在平衡位置速度最大,第1 s末到第2 s末,振子在做加速度增大的减速运动,故C错误;第2 s末振子到负向位移最大处,所以加速度最大,且方向为x轴正向,故D正确.
3.ACD　[解析] 小球离平衡位置越远,则弹簧振子势能越大,A正确,B错误;因为简谐运动过程中机械能守恒,所以越衡位置处,动能越大,D正确;因为简谐运动的机械能是守恒的,所以在各个位置的机械能应相等,C正确.
4.AC　[解析] 当物块运动到B处时,物块的动能为零,放上物体后,系统的总能量为弹簧所储存的弹性势能Ep,由于简谐运动过程中系统的机械能守恒,故振幅不变,选项A正确;当物块与物体运动至平衡位置O时,物块与物体的动能之和即为系统的总能量,此时动能最大,故最大动能不变,选项C正确.

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