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5　实验:用单摆测量重力加速度
【实验思路】
1.实验原理
由T=2π,得g=,则测出单摆的　　　　和　　　　,即可求出当地的重力加速度.
2.实验需要考虑的问题
(1)构成单摆的条件:细线的质量要小、弹性要小,选用体积　　　　、密度　　　　的小球,摆角不超过5°.
(2)要使摆球在同一　　　　内摆动,不能形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.
(3)测周期的方法
①要从摆球过平衡位置时开始计时,因为此处对应的速度大、计时误差小,而最高点对应的速度小、计时误差大.
②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时,且在数“零”的同时按下停表,以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.
(4)本实验可以采用图像法来处理数据.即用纵轴表示摆长l,用横轴表示T2,将实验所得数据在坐标平面上标出,应该得到一条倾斜直线,直线的斜率k=　　　　.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法.
【实验器材】
铁架台及铁夹,金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、　　　　　　.
【物理量的测量】
1.让细线穿过小球上的小孔,在细线的穿出端打一个稍大一些的线结,制成一个单摆.
2.将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边上,把单摆上端固定在铁夹上,使摆球自由下垂.在单摆　　　　处做上标记.
3.用刻度尺量出悬线长l'(准确到mm),用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm),则摆长为l=　　　　.
4.把单摆拉开一个角度,角度不大于5°,释放摆球.摆球经过平衡位置时,用停表开始计时,测出单摆全振动30次(或50次)的时间,求出一次　　　　的时间,即为单摆的振动周期.
5.改变摆长,反复测量几次,将数据填入表格.
【数据处理】
1.平均值法:每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式中求出g值,最后求出g的平均值.
设计实验表格如下:
实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的 平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
2.图像法:由T=2π得T2=l,作出T2-l图像,即以T2为纵轴,以l为横轴,其斜率k=,由图像的斜率即可求出重力加速度g.
【误差分析】
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点是否固定;球、线是否符合要求;振动是否在同一竖直平面内以及测量哪段长度作为摆长等等.
2.本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量.要从摆球通过平衡位置时开始计时,并采用倒数计时计数的方法,不能多计或漏计振动次数.为了减小偶数误差,要进行多次测量后取平均值.
3.本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时,读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米);在时间的测量中,停表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可.
例1 [2022·宁波中学月考] 实验课中,同学们用单摆测量当地的重力加速度,实验装置如图甲所示.
实验过程有两组同学分别用了图乙、图丙的两种不同方式悬挂小钢球,你认为
　　　　(选填“图乙”或“图丙”)悬挂方式较好.
(2)在实验中,某同学用主尺最小刻度为1 mm,游标尺上有20个分度的游标卡尺测量小钢球的直径,结果如图丁所示,读出小球直径为　　　　 cm;
(3)实验中,某同学测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况,并将记录的结果描绘在如图戊所示的坐标系中,图中各坐标点分别对应实验中5种不同摆长的情况.画出该同学记录的T2-L图线.由图像可知重力加速度g=　　　　m/s2.(结果保留3位有效数字)
(4)实验中,三位同学作出的T2-L图线分别如图己中的a、b、c所示,其中a和b平行,b和c都过原点,图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值.则相对于图线a和c,下列分析正确的是　　　　(填选项前的字母).
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线c对应的g值小于图线b对应的g值
例2 如图甲所示,某学习小组利用力传感器做“用单摆测量重力加速度”实验.
实验中,某同学用游标卡尺两次测量小球的直径如图乙和丙所示,则操作正确的是
　　　(选填“乙”或“丙”),若操作正确,则所得小球的直径为　　　　　　　mm.
(2)某次实验用的是摆长为0.98 m的单摆,通过拉力传感器记录拉力随时间变化的关系如图丁所示,则当地的重力加速度g=　　　　　　m/s2(结果保留三位有效数字).
(3)为了尽可能地减小实验误差,下列说法正确的是　　　　　.
A.摆球经过最高点时取为计时零点
B.使摆球在同一竖直平面内摆动,摆角控制在30°以内
C.所用的摆线的长度不能太短,测量摆长时,必须使摆球处于悬挂状态
D.本实验须选用密度和直径都较小的摆球
[反思感悟]


【实验拓展与创新】
通过多次测量摆线长l和周期T的数据,能否准确计算重力加速度
例3 [2022·温州中学月考] 将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外),如图甲所示,将摆球拉离平衡位置一个小角度后由静止释放,设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁,如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L,并通过改变L而测出对应的摆动周期T,再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像,那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.
(1)现有如下测量工具:
A.时钟;
B.停表;
C.天平;
D.毫米刻度尺.
本实验所需的测量工具有　　　　(填测量工具前的选项字母).
(2)如果实验中所得到的T2-L关系图像如图乙所示,那么真正的图像应该是a、b、c中的　　　　.
(3)由图像可知,小筒的深度h=　　　　m;当地的重力加速度g=　　　　m/s2(结果保留三位有效数字).
[反思感悟]


1.(误差分析)利用单摆测重力加速度的实验中,若测得的g偏小,可能是由于 (　)
A.计算摆长时,只考虑悬线长而未加小球半径
B.测量周期时,将n次全振动误记成n+1次全振动
C.计算摆长时,用悬线长加小球直径
D.单摆振动时,振幅较小
2.(数据处理和误差分析)[2022·湖州中学月考] 某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的操作;
(1)用游标卡尺测量摆球直径如图甲所示,摆球直径为　　　　cm.把摆球用细线悬挂在铁架台上,测量摆线长,通过计算得到摆长L.
(2)用停表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=0,单摆每经过最低点计一次数,当数到n=60时停表的示数如图乙所示,该单摆的周期T=　　　　s(结果保留三位有效数字).
(3)测量出多组周期T、摆长L数值后,画出T2-L图像如图丙所示,重力加速度为g,此图线斜率的物理意义是　　　　(填选项前的字母).
A.g B.
C. D.
(4)该小组的另一同学没有使用游标卡尺,也测出了重力加速度.他采用的方法是:先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1,然后把摆线缩短适当的长度ΔL,再测出其振动周期T2.用该同学测出的物理量表示重力加速度为g=　　　　.
5　实验:用单摆测量重力加速度
实验思路
1.摆长l　周期T
2.(1)小　大　(2)竖直面　(4)
实验器材
游标卡尺
物理量的测量
2.平衡位置　
3.l'+　
4.全振动
例1　(1)图丙　(2)2.240　(3)如图所示　9.86(9.76~9.87)　(4)B
[解析] (1)图乙所示的悬点在摆球摆动过程中会发生松动,使摆长发生变化,造成比较大的误差,图丙所示的悬点相对图乙牢固许多,摆长在误差允许范围内可视为不变,故选图丙.
(2)小球直径为d=22 mm+8×0.05 mm=22.40 mm=2.240 cm
(3)剔除掉误差相对比较大的点4,将剩余的点用一条直线拟合,如图所示.
根据单摆周期公式T=2π,可得T2=,则T2-L图像的斜率为k=,解得g≈9.86 m/s2
(4)图线a有纵截距,即L为零时T不为零,说明所测摆长相对实际值偏小,而误将悬点到小球下端的距离记为摆长L会造成所测摆长较实际值偏大,故A错误;由前面分析可知图像斜率k与g成反比,所以图线c的斜率小于图线b的斜率说明图线c对应的g值大于图线b对应的g值,而误将49次全振动记为50次,会导致所测周期较实际值偏小,则所测g值应较实际值偏大,所以出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次,故B正确,C错误.
例2　(1)乙　19.0　(2)9.66　(3)C
[解析] (1)乙图中小球的位置正确,乙图中游标卡尺的读数为19.0 mm.
(2)根据拉力随时间变化的图像可得单摆的周期为2.00 s,由单摆周期公式T=2π得,g==9.66 m/s2.
(3)摆球经过最低点时取为计时零点,选项A错误;使摆球在同一竖直平面内摆动,摆角控制在5°以内,选项B错误;所用的摆线的长度不能太短,测量摆长时,必须使摆球处于悬挂状态,选项C正确;本实验须选用密度较大且直径较小的摆球,选项D错误.
例3　(1)BD　(2)a　(3)0.3　9.86
[解析] (1)测量筒的下端口到摆球球心之间的距离L,用到毫米刻度尺,测单摆的周期用停表,所以测量工具选B、D.
(2)设摆线在筒内部分的长度为h,由T=2π得,T2=L+h,可知T2 L关系图像为a.
(3)将T2=0,L=-0.3 m代入上式,可得h=0.3 m;将T2=1.20 s2,L=0代入上式,可得g=π2 m/s2≈9.86 m/s2.
随堂巩固
1.A　[解析] 由公式g=l可知,若测得的g偏小,可能是由于测得的l偏小,A正确,C错误;也可能是测得的T偏大,选项B只能使测得的T偏小,B错误;单摆振动周期与振幅无关,D错误.
2.(1)2.06　(2)2.25　(3)C　(4)
[解析] (1)由图可知,游标卡尺示数为20 mm+6×0.1 mm=20.6 mm=2.06 cm.
(2)由图可知,停表示数为t=1 min+7.5 s=67.5 s,单摆的周期T== s=2.25 s.
(3)由单摆周期公式T=2π,可得T2=,则T2-L图像的斜率k=,故C正确.
(4)由单摆周期公式T=2π,可得T1=2π,T2=2π,联立可得g=.

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