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沪科版八年级数学第20章一元二次方程的整章分析
一、教学目标
1、经历实际问题中数量关系的分析、抽象过程，体会方程是刻画现实世界的一种数学模型。
2、了解一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会转化等数学思想方法。
3、理解配方法的意义，会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程。
4、理解一元二次方程根的判别式，不需解方程，可判别一元二次方程有无实数根，有实数根时，两根相等或不等。
5、了解一元二次方程的根与系数的关系。
6、能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程、可化为一元二次方程的分式方程来解，并能根据实际意义检验求得的结果是否合理。
7、在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，提高分析问题和解决问题的能力，体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值。
二、设计思路
1、内容体系
本章是在学生掌握了一元一次方程、二元一次方程组、代数式的运算和因式分解的基础上学习的，是初中阶段代数方程知识的进一步拓展。学习本章内容既是对以前所学的代数式、因式分解、方程、平方根和二次根式知识的强化与巩固，又是为以后学习二次函数、二次不等式作好铺垫。本章主要内容有：一元二次方程的基本概念、解法，一元二次方程的性质及应用。
本章第一部分通过实际问题，建立一元二次方程，体现方程是刻画现实世界的有效数学模型。通过思考、探究、交流等学习活动，运用转化的思想，讨论了一元二次方程几种解法。
第二部分是研究一元二次方程根的判别式及根与系数的关系。
第三部分是运用一元二次方程解决实际问题，强化建模思想，展现运用方程解决实际问题的一般过程，同时，结合应用问题介绍可化为一元二次方程的分式方程的解法。
2、重点和难点
本章学习的重点：一元二次方程的解法、根的性质及其应用。
本章学习的一个难点：配方法。熟练地解一元二次方程，关键在于让学生理解转化思想，设法将方程中的“二次”降为“一次”。配方法就是把“一般”形式的一元二次方程转化为“特殊”（可直接用开平方法解）的一元二次方程。通过这种思想方法的学习，学生可以运用旧知识来解决新问题，由“不会”转变为“会”。
本章的另一个难点：建立一元二次方程或分式方程模型解决实际问题，尽管已经有了运用一次方程（组）解应用问题的经验，但由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景学生不熟悉，有的问题数量关系复杂，不易找出等量关系。同时，还要根据实际问题的意义检验求得的结果是否合理。
3、教科书特点
（1）教科书按照“实际问题——建立数学模型——探究数学模型的解（一元二次方程的解）——回到实际问题的解决”思路展开，从学生熟悉的实际问题入手，让学生经历自主探索与合作交流的活动，体会方程源于实践，同时方程又是解决问题的重要工具。
（2）讨论一元二次方程的解法时，从方程的形式入手，由特殊到一般，先研究特殊形式的一元二次方程的解法，由此引入开平方法，这样可以与第六章开平方知识联系起来。接着研究一般的一元二次方程的解法，在求解的过程中，由开平方法自然地引入配方法，进而得出一元二次方程的公式解法，即求根公式，最后介绍了因式分解法，教材的这种安排，不仅较好地处理了一元二次方程知识的系统性与学生认识规律间的关系，而且突出了一元二次方程的解法的探索过程，能更好地让学生明确各种解法的地位和作用，重视配方法的关键作用和求根公式的一般性，领悟其中的数学思想方法，以利于形成良好的思维品质和探索意识。
（3）有些实际问题的解决，涉及可化为一元二次方程的分式方程，因此安排在“一元二次方程应用”中，结合应用题来学习。本章出现的分式方程与第9章学习的分式方程的解法完全相同，所不同的只是它经过变形后归结到一元二次方程，这样安排既不花太多教学的时间，又可使学生易于接受。
（4）教科书在公式法之后介绍了一元二次方程的判别式的基本知识，是对公式法解一元二次方程的总结。另外，通过数字系数的一元二次方程的求解，观察、分析，猜测出一般规律，得到了一元二次方程的根与系数的关系。让学生经历或体验数学发现的过程，培养学生自主学习的能力。
三、课时安排建议
本章教学约需18课时，具体分配如下：
§20.1 一元二次方程 2课时
§20.2 一元二次方程的解法 6课时
§20.3 一元二次方程的根的判别式 1课时
§20.4 一元二次方程的根与系数的关系 2课时
§20.5 一元二次方程的应用 5课时
小结·评价 2课时
四、教学建议
1、注重创设问题情景，让学生经历建模的过程
方程是刻画现实世界的有效数学模型，因而方程教学关注方程的建模过程。教科书的第1节就是想通过多种实际问题的分析，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。当然，在教学中除教科书第1节、第5节提供了大量的实际问题外，教师还应根据学生生活实际和认知水平，创设更为丰富、贴近学生的现实情景，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。在经历多次这样的数学活动，使学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模思想，增强学生学习数学的兴趣和应用意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、本章为学生提供了许多活动，教学中应让学生进行充分的探索和交流。如在一元二次方程解法的教学中，教师不要采用先示范，然后让学生模仿的方法，而应通过恰当的引导，鼓励学生先独立探索解法，并相互交流。在一元二次方程应用的教学中，应鼓励与提倡解决问题策略的多样化，学生的解法只要合理，就给以肯定，不必拘泥于教科书的解法。
3、注重数学思想方法的渗透
数学建模思想，用方程解决问题的基本过程是：




这就是所谓的“数学化”过程，其中渗透了符号化和数学建模思想，列方程解决实际问题时，要首先分析题意，找出题中的等量关系。分析过程中，借助示意图或表格常常能使抽象的数量关系具体化、形象化，把数与形结合起来是解决数学问题的一个有效的思想方法。
解一元二次方程的每一种方法都渗透着“转化”思想。开平方法、因式分解法通过“降次”，把一元二次方程转化成两个一元一次方程来解；配方法把方转化成的形式，这是数学形式的转化；而公式法直接利用公式把方程中的“未知”转化为“已知”。这种思想，学生可以运用旧知识来解决新问题，把“不会”变为“会”，它在将来学习二次函数、二次不等式等知识时具有广泛的应用，在教学中，教师应注意引导学生体会这种思想。
4、注意把握教学要求
在一元二次方程解法的教学中，应避免过多地求解没有实际背景的一元二次方程，进行单纯的形式化的重复操练，应注意将知识技能的培养寓于实际应用问题的解决过程中。
关于一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，根据《课标》要求，教学中不要将这些内容进行扩充。
可化为一元二次方程的分式方程，书中作为“阅读与思考”内容，供学有余力的学生阅读，不对全体学生作要求。
五、评价建议
1、在本章的学习中，学生需要经历观察、比较、猜想和转化等一系列的思维活动的过程。因此要特别关注学生学习过程方法的评价，关注学生参与数学活动的积极性、思维特征、动手能力、与同伴交流的态度等。
2、对知识与技能的评价，即对一元二次方程的解法，不要单纯地考查学生解方程的速度和数量，应注意在解决实际问题的过程中考查学生能否根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的适当解法求解，并检验解的合理性。
3、重视学生运用方程模型解决问题的能力的评价。如考查学生是否能够发现并提出日常生活、生产和其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并尝试解决。教师应鼓励学生使用数学语言，有条理地表述自己的思考过程，鼓励学生大胆质疑和创新，从中评价学生发现问题、解决问题的能力和应用意识。

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