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2024-2025学年河南省周口市太康县新星学校尖刀班九年级（上）月考数学冲刺试卷（一）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是( )
A. B. C. D.
3.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且；则下列结论：
；；；其中正确的结论( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
5.如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如果，抛物线的顶点在第二象限，则方程的实根情况是( )
A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 以上三种均有可能
7.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围值是( )
A. B. C. 且 D. 且
8.如图，中，，，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是( )
A. B. C. D.
9.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.如图，在和中，，，，，连接，将绕点顺时针旋转一周，则线段长的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如，因此， ；若，则 ．
12.若二次函数的图象上有且只有三个点到轴的距离等于，则的值为 ．
13.小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度米与水平距离米之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为______米
14.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；；；其中正确结论有______．
15.如图，点，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，再把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，则点的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
阅读下面的例题，
范例：解方程，
解：当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
原方程的根是，
请参照例题解方程．
17.本小题分
如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象图中的实线．
当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
当 ______时，新函数有最小值；
当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______．
18.本小题分
如图，一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点重合，以为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、或它们的延长线于点，．
如图，当时，与的数量关系是______；
旋转，如图，当时，的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
若菱形的边长为，，请直接写出的长．
19.本小题分
阅读下列材料，完成相应任务．
材料一：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为”当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系，“此关系通常被称为“韦达定理”．
材料二：若，是一元二次方程的两个根，求的值．
解：，是一元二次方程的两个根，
，．
．
任务：
材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则 ______， ______．
拓展应用：已知关于的方程有两个实数根．
求的取值范围；
若此方程的两根分别为，，且，求的值．
20.本小题分
某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 ，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面．
建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
此时，若对方队员乙在甲前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？
21.本小题分
综合与实践
问题情境：
如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点延长交于点，连接．
猜想证明：
试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
如图，若，，请直接写出的长．
22.本小题分
如图，抛物线经过点和点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
点是第四象限内抛物线上的动点，求四边形的面积的最大值和此时点的坐标；
点是轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，若线段与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围．
23.本小题分
已知是等腰三角形，阅读下列过程，回答第、两问．
特殊情形：如图，是上一点，当时，有．
发现探究：如图，是三角形内一点，当，且时，则中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
拓展运用：如图，是三角形内一点，，且，，，则______度．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.；或．
12.
13.
14.
15.
16.解：，
当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
当时，原方程化为，解得：，不合题意，舍去．
故原方程的根是，．
17.； ；
或；
或；
或．
18.；
仍然成立，
理由如下：如图，连接，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，
，
≌，
；
当点在上时，如图，过点作于，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
；
当点在的延长线上时，如图，过点作于，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
综上所述：的长为或．
19.，；
关于的方程有两个实数根，
，
解得；
关于的方程的两根分别为，，
，，
，
，即，
解得，，
由知，
．
20.解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：
设二次函数解析式为
代入、点坐标，得
将点坐标代入式得左边右边
即点在抛物线上
一定能投中；
将代入得
盖帽能获得成功．
21.解：四边形是正方形，
理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
；
理由如下：如图，过点作于，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
≌，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
；
．
22.解：抛物线经过点、点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
如图，连接，作轴于点，设，则，
当时，由，得，，
，
，，
点在第四象限内抛物线上，
，
，
即，
当时，四边形的面积最大，最大值为，此时．
将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，，
当时，如图，
当点在抛物线上，则，
解得，不符合题意，舍去，
当点在抛物线上，则，
解得，不符合题意，舍去，
当时，线段与抛物线有一个公共点；
当时，如图，
当点在抛物线上，则，
解得，不符合题意，舍去，
当点在抛物线上，则，
解得，不符合题意，舍去，
当时，线段与抛物线有一个公共点，
综上所述，的取值范围是或．
23.解：是等腰三角形，，
，
，
即；
解：，理由如下：
，
，
即，
在与中，
，
≌，
；
解：将绕点旋转得，连接，
≌，
，，，
，
，
在中，，，，
，
是直角三角形，
，
，
又≌，
．
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